八年级数学上册因式分解拔高题型
八年级数学上册因式分解练习题及答案
八年级数学上册因式分解练习题及答案八年级数学上册因式分解练习题及答案学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的过程。
为了帮助大家在考前对知识点有更深的掌握，今天店铺为大家整理了因式分解练习题及答案，希望对大家有所帮助。
一、选择1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是()A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是()A.x2-yB.x2+2xC.x2+y2D.x2-xy+13.多项式6x3y2-3x2y2-18x2y3分解因式时，应提取的公因式是()A.3x2yB.3xy2C.3x2y2D.3x3y34.多项式x3+x2提取公因式后剩下的因式是()A.x+1B.x2C.xD.x2+15.下列变形错误的是()A.-x-y=-(x+y)B.(a-b)(b-c)=-(b-a)(b-c)C.–x-y+z=-(x+y+z)D.(a-b)2=(b-a)26.下列各式中能用平方差公式因式分解的是()A.–x2y2B.x2+y2C.-x2+y2D.x-y7.下列分解因式错误的是()A.1-16a2=(1+4a)(1-4a)B.x3-x=x(x2-1)C.a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)D.m2-0.01=(m+0.1)(m-0.1)8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是()A.x2-xyB.x2+xyC.x2-y2D.x2+y2二、填空9.a2b+ab2-ab=ab(__________).10.-7ab+14a2-49ab2=-7a(________).11.3(y-x)2+2(x-y)=___________12.x(a-1)(a-2)-y(1-a)(2-a)=____________.13.-a2+b2=(a+b)(______)14.1-a4=___________15.992-1012=________16.x2+x+____=(______)217.若a+b=1,x-y=2,则a2+2ab+b2-x+y=____。
组卷因式分解拔高题
因式分解拔高题一．选择题（共10小题）1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．18x2y＝2x2•9y B．ab﹣ac+d2＝a（b﹣c）+d2C．a（x+y）＝ax+ay D．2x2﹣＝2（x+）（x﹣）2．下列各式：①﹣x2﹣y2；②﹣a2b2+1；③a2+ab+b2；④﹣x2+2xy﹣y2；⑤﹣mn+m2n2，可以用公式法分解因式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．若a，b，c是直角三角形ABC的三边长，且a2+b2+c2+200＝12a+16b+20c，则△ABC三条角平分线的交点到一条边的距离为（）A．1B．2C．3D．44．若多项式2x2+ax﹣6能分解成两个一次因式的积，且其中一个因式为2x﹣3，则a的值为（）A．1B．5C．﹣1D．﹣55．已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（）A．16B．12C．10D．无法确定6．已知a、b不同的两个实数，且满足ab＞0、a2+b2＝4﹣2ab，当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或B．或1C．或1D．或7．在△ABC中，若三边长a，b，c满足a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，△ABC的周长是（）A．12B．16C．8D．68．若a为整数，则a2+a一定能被（）整除．A．2 B．3 C．4 D． 59．下列说法正确的是（）①若a2+b2+c2﹣2（a+b+c）+3＝0，则a＝b＝c；②a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），则a+b+c＝0；③若x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，则x+y＝6；④实数x，y，z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是20．A．①②B．①③④C．①②③D．①②③④10．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（）A．0或﹣3B．1C．2或3D．﹣2二．填空题（共12小题）11．已知非零实数x，y满足，则＝．12．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值．13．计算：12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝．14．若关于x的三次四项式x3+ax2+bx+3能分解成（x+1）（x2﹣2x+3），则a+b＝．15．如图，矩形的周长为10，面积为6，则m2n+mn2的值是．16．若实数m，n满足m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，则（m﹣n）2的值为．17．若a+b+c＝5，ab+bc+ca＝4，则a2+b2+c2＝．18．阅读材料：如果两个正数a、b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式≥，当且仅当a＝b时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若y＝2x+（x＞0），则y的最小值为．19．已知m2＝2n+1，4n2＝m+1（m≠2n），那么m+2n＝，4n3﹣mn+2n2＝．20．若x2+x﹣1＝0，则3x4+3x3+3x+2的值为．21．设M＝2n+28+1，若M为某个有理数的平方，则n的取值为．22．如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝．三．解答题（共6小题）23．求证：N＝52×32n+1×2n﹣3n×6n+2能被13整除．24．（1）若（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）的积中不含x和x3项，求m3﹣mn+n2的值；（2）已知关于x的多项式x2+kx﹣10能被x﹣2整除，试求k的值．25．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，AB＝CD＝a，AD＝b，BD＝c，且满足a2+2ab ＝c2+2bc，AE是△ABD的中线．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．26．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1进行因式分解的过程．解：设x2﹣3x＝m原式＝（m+4）（m+6）+1（第一步）＝m2+10m+25（第二步）＝（m+5）2（第三步）＝（x2﹣3x+5）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式；B．平方差公式；C．完全平方公式（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+6）+9进行因式分解．（3）因式分解：（x2﹣4x+6）（x2﹣4x+2）+4＝（在横线处直接写出因式分解的结果）．27．教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝；（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；（3）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；（4）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣8c+50＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．28．阅读下列文字：我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）小明同学打算用x张边长为a的正方形纸片A和y张边长为b的正方形纸片B，z 张相邻两边长分别为a、b的长方形纸片C拼出了一个面积为（3a+5b）（4a+7b）的长方形，那么他总共需要张纸片A、张纸片B、张纸片C；（2）写出图2中所表示的数学等式；（3）利用（2）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝9，a2+b2+c2＝23，求ab+bc+ac的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．D．2．B．3．B．4．A．5．已知m2＝4n+a，n2＝4m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（）A．16B．12C．10D．无法确定【解答】解：将m2＝4n+a与n2＝4m+a相减得m2﹣n2＝4n﹣4m，（m+n）（m﹣n）＝﹣4（m﹣n），（m﹣n）（m+n+4）＝0，∵m≠n，∴m+n+4＝0，即m+n＝﹣4，∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣4）2＝16．A．6．已知a、b不同的两个实数，且满足ab＞0、a2+b2＝4﹣2ab，当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或B．或1C．或1D．或【解答】解：∵a2+b2＝4﹣2ab，∴（a+b）2＝4．∵（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，∴（a﹣b）2＝4﹣4ab．∴a﹣b＝±．∵a﹣b为整数，且ab＞0．∴4﹣4ab为非负整数．∴4﹣4ab＝0或4﹣4ab＝1．∴ab＝1或ab＝．故选：C．7．D．8．A．9．下列说法正确的是（）①若a2+b2+c2﹣2（a+b+c）+3＝0，则a＝b＝c；②a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），则a+b+c＝0；③若x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，则x+y＝6；④实数x，y，z满足x2+y2+z2＝4，则（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是20．A．①②B．①③④C．①②③D．①②③④【解答】解：∵a2+b2+c2﹣2（a+b+c）+3＝0，∴a2﹣2a+1+b2﹣2b+1+c2﹣2c+1＝0，即（a﹣1）2+（b﹣1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣1＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，∴a＝1，b＝1，c＝1，∴a＝b＝c，∴①选项符合题意；∵a2+b2+c2＝﹣2（ab+bc+ac），∴a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）＝0，∴（a+b+c）2＝0，∴a+b+c＝0，∴②选项符合题意；∵x2+xy+y＝14，y2+xy+x＝28，∴x2+y2+2xy+x+y＝42，∴（x+y）2+（x+y）＝42，解得x+y＝6或x+y＝﹣7，∴③选项不符合题意；∵实数x、y、z满足x2+y2+z2＝4，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2＝4x2﹣4xy+y2+4y2﹣4yz+z2+4z2﹣4xz+x2＝5（x2+y2+z2）﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣4（xy+yz+xz）＝20﹣2（2xy+2yz+2xz）＝20﹣2[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]20﹣2[（x+y+z）2﹣4]＝28﹣2（x+y+z）2≤28，∴（2x﹣y）2+（2y﹣z）2+（2z﹣x）2的最大值是28，∴④选项不符合题意；故选：A．10．已知整数a，b满足2ab+4a＝b+3，则a+b的值是（）A．0或﹣3B．1C．2或3D．﹣2【解答】解：由2ab+4a＝b+3，得：2ab+4a﹣b﹣2＝1∴（2a﹣1）（b+2）＝1，∵2a﹣1，b+2都为整数，∴或，解得或，∴a+b＝0或﹣3．故选：A．二．填空题（共12小题）11．已知非零实数x，y满足，则＝﹣1．【解答】解：方法1．取x＝1，则y＝0.5．则原式＝﹣1．方法2．条件可以变为x﹣y＝xy．原式＝（xy﹣2xy）÷xy＝﹣112．若m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），那么代数式m3﹣2mn+n3的值﹣2021．【解答】解：将两式m2＝n+2021，n2＝m+2021相减，得m2﹣n2＝n﹣m，（m+n）（m﹣n）＝n﹣m，（因为m≠n，所以m﹣n≠0），m+n＝﹣1，∵m2＝n+2021，n2＝m+2021（m≠n），∴m2﹣n＝2021，n2﹣m＝2021（m≠n），∴m3﹣2mn+n3＝m3﹣mn﹣mn+n3＝m（m2﹣n）+n（n2﹣m）＝2021m+2021n＝2021（m+n）＝﹣2021，故答案为﹣2021．13．计算：12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝2016．解：∵12﹣22﹣32+42＝4，52﹣62﹣72+82＝4，…，20132﹣20142﹣20152+20162＝4，将计算式依次分组，每4个数为一组，即n2﹣（n+1）2﹣（n+2）2+（n+3）2，＝﹣（n+1﹣n）（n+1+n）+（n+3+n+2）（n+3﹣n﹣2），＝﹣2n﹣1+2n+5，＝4，∴每组都等于4，∴12﹣22﹣32+42+52﹣62﹣72+82+…+20132﹣20142﹣20152+20162＝2016，故答案为：2016．14．0．15．30．16．若实数m，n满足m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，则（m﹣n）2的值为12．【解答】解：∵m2+n2+m2n2+8mn+9＝0，∴m2+n2+2mn+m2n2+6mn+9＝0，∴（m+n）2+（mn+3）2＝0，∴m+n＝0，mn+3＝0，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝12，故（m﹣n）2的值为12，故答案为：12．17．17．18．阅读材料：如果两个正数a、b，即a＞0，b＞0，则有下面的不等式≥，当且仅当a＝b时取到等号．我们把叫做正数a、b算术平均数，把叫做正数a、b 的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．根据上述材料，若y＝2x+（x＞0），则y的最小值为2．【解答】解：由得，．∴≥，即y≥2，∴y的最小值为2．故答案为：2．19．已知m2＝2n+1，4n2＝m+1（m≠2n），那么m+2n＝﹣1，4n3﹣mn+2n2＝0．【解答】解：∵m2＝2n+1，4n2＝m+1（m≠2n），∴m2﹣4n2＝2n+1﹣m﹣1，∴m2﹣4n2＝2n﹣m，∴（m+2n）（m﹣2n）＝2n﹣m，∵m≠2n，∴m+2n＝﹣1；∵4n2＝m+1，∴4n3＝mn+n，∴4n3﹣mn＝n．∵4n2＝m+1，∴n2＝（m+1），∴2n2＝（m+1）．∵4n3﹣mn+2n2＝（4n3﹣mn）+2n2＝n+（m+1）＝（2n+m+1）＝（﹣1+1）＝0．故答案是：﹣1；0．20．若x2+x﹣1＝0，则3x4+3x3+3x+2的值为5．【解答】解：∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1．∴3x4++3x3+3x+2＝3x2（x2+x）+3x+2＝3x2+3x+2＝3（x2+x）+2＝3+2＝5．故答案为：5．21．设M＝2n+28+1，若M为某个有理数的平方，则n的取值为5或14或﹣10．【解答】解：当2n是乘积二倍项时，原式＝28+2•24+1＝（24+1）2，此时n＝5；当28是乘积二倍项时，原式＝2n+2•27+1＝（27+1）2，此时n＝14；当1是乘积二倍项时，原式＝2n+2•24•2﹣5+28＝（24+2﹣5）2，此时n＝﹣10，综上所述，n的值为5或14或﹣10．22．如果x2+4y2﹣2x﹣4y+2＝0，则（2x﹣3y）2﹣（3y+2x）2＝﹣12．三．解答题（共6小题）23．求证：N＝52×32n+1×2n﹣3n×6n+2能被13整除．【解答】解：52•32n+1•2n﹣3n•6n+2能被13整除．理由如下：∵52•32n+1•2n﹣3n•6n+2＝52•（32n•3）•2n﹣3n•（6n•62）＝75•32n•2n﹣36•3n•6n＝75•18n﹣36•18n＝39•18n＝13×3•18n，又∵3•18n是整数，∴52•32n+1•2n﹣3n•6n+2能被13整除．24．（1）若（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）的积中不含x和x3项，求m3﹣mn+n2的值；（2）已知关于x的多项式x2+kx﹣10能被x﹣2整除，试求k的值．【解答】解：（1）（x2+3mx﹣）（x2﹣3x+n）＝x4+（3m﹣3）x3+（n﹣9m﹣）x2+（3mn+1）x﹣n，由积中不含x和x3项，得到3m﹣3＝0，3mn+1＝0，解得：m＝1，n＝﹣，m3﹣mn+n2＝1++＝；（2）由题意知，当x﹣2＝0，即x＝2时，x2+kx﹣10＝0，∴4+2k﹣10＝0，解得k＝3．25．如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，AB＝CD＝a，AD＝b，BD＝c，且满足a2+2ab＝c2+2bc，AE是△ABD的中线．（1）判断△ABD的形状，并说明理由；（2）求证：AD是∠EAC的平分线．【解答】（1）解：△ABD是等腰三角形，理由如下，∵a2+2ab＝c2+2bc，∴（a﹣c）（a+c+2b）＝0，∵a+c+2b≠0，∴a＝c，∴△ABD是等腰三角形．（2）证明：如图，取AB的中点F，连接DF，则由（1）得，a＝c，∴AB＝BD，∠F AD＝∠EDA，∵点E是BD的中点，F是AB的中点，∴DE＝BD，AF＝AB，DF∥AC，∴DE＝AF，∠ADF＝∠DAC，在△ADF和△DAE中，，∴△ADF≌△DAE（SAS），∴∠ADF＝∠DAE，∴∠DAE＝∠DAC，∴AD是∠EAC的平分线．26．下面是某同学对多项式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1进行因式分解的过程．解：设x2﹣3x＝m原式＝（m+4）（m+6）+1（第一步）＝m2+10m+25（第二步）＝（m+5）2（第三步）＝（x2﹣3x+5）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C．A．提取公因式；B．平方差公式；C．完全平方公式（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2+2x）（x2+2x+6）+9进行因式分解．（3）因式分解：（x2﹣4x+6）（x2﹣4x+2）+4＝（x﹣2）4．（在横线处直接写出因式分解的结果）．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．故答案为：C；（2）设x2+2x＝y，原式＝y（y+6）+9＝y2+6y+9＝（y+3）2＝（x2+2x+3）2；（3）设x2﹣4x+2＝z，原式＝z（z+4）+4＝z2+4z+4＝（z+2）2＝（x2﹣4x+2+2）2＝（x2﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4．27．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；例如：求代数式x2+4x+6的最小值．原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．∵（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝（m+1）（m﹣5）；（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；（3）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝﹣1时，y有最大值（填“大”或“小”），这个值是﹣2；（4）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣8c+50＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．【解答】解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣4﹣5＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）．故答案为：（m+1）（m﹣5）．（2）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3；∴x2﹣6x+12的最小值是3．故答案为；3．（3）y＝﹣x2+2x﹣3，y＝﹣x2+2x﹣1﹣2，y＝﹣（x+1）2﹣2，∴当x＝﹣1的时候，y有最大值﹣2．故答案为：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝﹣1时，y有最大值，这个值是﹣2．（4 a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣8c+50＝0，a2﹣6a+9+b2﹣10b+25+c2﹣8c+16＝0，（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣4）2＝0，三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣4＝0，得，a＝3，b＝5，c＝4．∴△ABC是直角三角形．故答案为：△ABC是直角三角形．28．解：（1）∵（3a+5b）（4a+7b）＝12a2+41ab+35b2，∴拼出了一个面积为（3a+5b）（4a+7b）的长方形，它总共需要12张纸片A、35张纸片B、41张纸片C．故答案为：12；35；41；（2）∵图2中的图片是边长为（a+b+c）的正方形，∴图2中的面积为：（a+b+c）2．又∵图2中由1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，1个边长为c的正方形，2个长为a宽为b的长方形2个长为a宽为c的长方形，2个长为c宽为b的长方形组成，∴图2中的面积为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．∴图2中所表示的数学等式为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（3）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，∴ab+bc+ac＝．∵a+b+c＝9，a2+b2+c2＝23，∴ab+bc+ac ＝＝＝29．第11页（共11页）。
专题14.3 因式分解的综合应用(专项拔高卷)学生版-2024-2025学年八年级数学上册真题汇编章
2024-2025学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题14.3 因式分解的综合应用（专项拔高30题）考试时间：90分钟试卷满分：120分难度：0.53姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•佛山月考）已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+ac＝b2+bc，则△ABC是（）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形2．（2分）（2023•阜城县校级模拟）如图，把图1中的①部分剪下来，恰好能拼在②的位置处，构成图2中的图形，形成一个从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．（2分）（2023•赫山区校级一模）设n为某一自然数，代入代数式n3﹣n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是（）A．5814 B．5841 C．8415 D．84514．（2分）（2023•路北区模拟）在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式．如图，从左图到右图的变化过程中，解释的因式分解公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+b2＝（a+b）2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b25．（2分）（2023春•蜀山区校级期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“致真数”，如8＝32﹣12，24＝72﹣52，即8，24均为“致真数”，在不超过50的正整数中，所有的“致真数”之和为（）A．160 B．164 C．168 D．1776．（2分）（2023春•金沙县期末）设a，b为自然数，定义aΔb＝a2+b2﹣ab，则（3△4）+（﹣4△5）的值（）A．34 B．58 C．74 D．987．（2分）（2022秋•大兴区校级期末）在日常生活中，如取款、上网等都需要密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如：对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣9xy2，取x＝10，y＝1时，用上述方法生成的密码可以是（）A．101001 B．1307 C．1370 D．101378．（2分）（2022秋•江北区校级期末）定义：对于确定顺序的三个数a，b，c，计算，，，将这三个计算结果的最大值称为a，b，c的“极数”：例如：1，﹣3，1，因为，，，所以1，2，3的“极数”为，下列说法正确的个数为（）①3，1，﹣4的“极数”是36；②若x，y，0的“极数”为0，则x和y中至少有1个数是负数；③存在2个数m，使得m，﹣6，2的极数为．A．0个B．1个C．2个D．3个9．（2分）（2021秋•惠民县期末）已知a、b、c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc ＝0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形10．（2分）（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25 B．20 C．15 D．10评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023春•岳阳期末）当a+b＝2，ab＝﹣3时，则a2b+ab2＝．12．（2分）（2023•平江县模拟）若2a﹣3b＝﹣1，则代数式4a2﹣6ab+3b的值为．13．（2分）（2022秋•万州区期末）若，则代数式m2+n2+k2+2mn﹣2mk﹣2nk 的值为．14．（2分）（2022秋•河口区期末）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为2＝12+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x+y，y是正整数），所以M也是“丰利数”．若p＝4x2﹣mxy+2y2﹣6y+9（其中x＞y＞0）是“丰利数”，则m＝．15．（2分）（2023春•淮安区期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为．16．（2分）（2022秋•新泰市期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a厘米的大正方形，2块是边长都为b厘米的小正方形，5块是长为a厘米，宽为b厘米的相同的小长方形，且a＞b．观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为．17．（2分）（2022秋•新泰市期中）已知a＝2021x+2000，b＝2021x+2001，c＝2021x+2002，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为．18．（2分）（2021秋•云梦县期末）若m2＝2n+2021，n2＝2m+2021（m≠n），那么式子m3﹣4mn+n3值为．19．（2分）（2022秋•文登区期中）已知a＝+18，b＝+17，c＝+16，那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是．20．（2分）（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ca的值为．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分80分）21．（8分）（2023春•高碑店市校级月考）发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．验证：（1）（2+1）2﹣（2﹣1）2＝；（2）设两个正整数为m，n，请验证“发现”中的结论正确；拓展：（1）已知（x+y）2＝200，xy＝48，求（x﹣y）2的值；（2）直接写出两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是几的倍数．22．（8分）（2023春•新晃县期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．23．（8分）（2022秋•交城县期末）在学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题：例：因式分解：（x2+6x+5）（x2+6x﹣7）+36解：设x2+6x＝y原式＝（y+5）（y﹣7）+36第一步＝y2﹣2y+1第二步＝（y﹣1）2第三步＝（x2+6x﹣1）2第四步完成下列任务：（1）例题中第二步到第三步运用了因式分解的；（填序号）①提取公因式；②平方差公式；③两数和的完全平方公式；④两数差的完全平方公式；（3）请你模仿以上例题分解因式：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4．24．（8分）（2022秋•前郭县期末）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．25．（8分）（2022秋•邻水县期末）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图1可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2.现有足够多的正方形卡片1号、2号，长方形卡片3号，如图3．（1）根据图2完成因式分解：2a2+2ab＝；（2）现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张，在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，求这个大正方形的边长；（3）图1中的两个正方形的面积之和为S1，两个长方形的面积之和为S2，S1与S2有何大小关系？请说明理由．26．（10分）（2023春•芗城区校级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，可以通过以下过程进行因式分解：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2+2xy+y2﹣9；（2）已知：x+y＝3，x﹣y＝2．求：x2﹣y2+6y﹣6x的值．27．（10分）（2022秋•长春期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式；（2）猜测（a+b+c+d）2＝．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．28．（10分）（2023春•新吴区期中）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+3）（x ﹣1）．根据以上材料，解答下列问题．（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；（2）求多项式x2+4x﹣3的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．29．（10分）（2021秋•科尔沁区期末）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例：x2+4x﹣5＝x2+4x+（）2﹣（）2﹣5＝x2+4x+4﹣9＝（x+2）2﹣9．＝（x+2﹣3）（x+2+3）＝（x﹣1）（x+5）．根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题．（1）分解因式：x2+2x﹣3；（2）求多项式x2+6x﹣9的最小值；（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣8b﹣10c+50＝0，求△ABC的周长．。
因式分解经典题及解析
因式分解经典题及解析因式分解拔高题1．在学习因式分解时，我们学习了提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解x2+2x﹣3时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法：x2+2x﹣3=x2+2×x×1+12﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣﹣﹣①=（x+1）2﹣22﹣﹣﹣﹣﹣﹣②=…解决下列问题：（1）填空：在上述材料中，运用了_________的思想方法，使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法；（2）显然所给材料中因式分解并未结束，请依照材料因式分解x2+2x﹣3；（3）请用上述方法因式分解x2﹣4x﹣5．2．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底_________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．4．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．5．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．6．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．7．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．8．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．9．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．10．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x ﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．11．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：_________．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x ﹣3）+4．12．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是_________，由②到③这一步的根据是_________；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是_________；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．13．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．答案1．请看下面的问题：把x4+4分解因式分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+（22）2的形式，要使用公式就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+4﹣4x2=（x2+2）2﹣4x2=（x2+2）2﹣（2x）2=（x2+2x+2）（x2﹣2x+2）人们为了纪念苏菲•热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲•热门的做法，将下列各式因式分解．（1）x4+4y4；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab．考点：因式分解-运用公式法．专题：阅读型．分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝试做以下题目．解答：解：（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，=（x2+2y2）2﹣4x2y2，=（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；（2）x2﹣2ax﹣b2﹣2ab，=x2﹣2ax+a2﹣a2﹣b2﹣2ab，=（x﹣a）2﹣（a+b）2，=（x﹣a+a+b）（x﹣a﹣a﹣b），=（x+b）（x﹣2a﹣b）．点本题考查了添项法因式分解，难度比较大．评：2．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x=y原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）=y2+8y+16（第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2﹣4x+4）2（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的C．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底不彻底．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果（x ﹣2）4．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：阅读型．分析：（1）完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；（2）x2﹣4x+4还可以分解，所以是不彻底．（3）按照例题的分解方法进行分解即可．解答：解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）x2﹣4x+4还可以分解，分解不彻底；（3）设x2﹣2x=y．（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1，=y（y+2）+1，=y2+2y+1，=（y+1）2，=（x2﹣2x+1）2，=（x﹣1）4．点评：本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．3．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．考点：因式分解-十字相乘法等．分析：根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a 是﹣6的两个因数的和，则﹣6可分成3×（﹣2），﹣3×2，6×（﹣1），﹣6×1，共4种，所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况．解答：解：x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）；x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）；x2+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）；x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数﹣6的不同分解是本题的难点．4．利用因式分解说明：两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．考点：因式分解的应用．分析：根据题意设出两个连续偶数为2n、2n+2，利用平方差公式进行因式分解，即可证出结论．解答：解：设两个连续偶数为2n，2n+2，则有（2n+2）2﹣（2n）2，=（2n+2+2n）（2n+2﹣2n），=（4n+2）×2，=4（2n+1），因为n为整数，所以4（2n+1）中的2n+1是正奇数，所以4（2n+1）是4的倍数，故两个连续正偶数的平方差一定能被4整除．点评：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确设出两个连续正偶数，再用平方差公式对列出的式子进行整理，此题较简单．5．已知关于x的多项式3x2+x+m因式分解以后有一个因式为（3x﹣2），试求m的值并将多项式因式分解．考点：因式分解的意义．分析：由于x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，所以当x=时多项式的值为0，由此得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，再把m的值代入3x2+x+m进行因式分解，即可求出答案．解答：解：∵x的多项式3x2+x+m分解因式后有一个因式是3x﹣2，当x=时多项式的值为0，即3×=0，∴2+m=0，∴m=﹣2；∴3x2+x+m=3x2+x﹣2=（x+1）（3x﹣2）；故答案为：m=﹣2，（x+1）（3x﹣2）．点评：本题主要考查因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解．6．已知多项式（a2+ka+25）﹣b2，在给定k的值的条件下可以因式分解．请给定一个k值并写出因式分解的过程．考点：因式分解-运用公式法．专题开放型．：分析：根据完全平方公式以及平方差公式进行分解因式即可．解答：解：k=±10，假设k=10，则有（a2+10a+25）﹣b2=（a+5）2﹣b2=（a+5+b）（a+5﹣b）．点评：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式和平方差公式是解题关键．7．先阅读，后解题：要说明代数式2x2+8x+10的值恒大于0还是恒等于0或者恒小于0，我们可以将它配方成一个平方式加上一个常数的形式，再去考虑，具体过程如下：解：2x2+8x+10=2（x2+4x+5）（提公因式，得到一个二次项系数为1的二次多项式）=2（x2+4x+22﹣22+5）=2[（x+2）2+1]（将二次多项式配方）=2（x+2）2+2 （去掉中括号）因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么2（x+2）2+2的值一定为正数，所以，原式的值恒大于0，并且，当x=﹣2时，原式有最小值2．请仿照上例，说明代数式﹣2x2﹣8x﹣10的值恒大于0还是恒小于0，并且说明它的最大值或者最小值是什么．考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方．分析：按照题目提供的方法将二次三项式配方后即可得到答案．解答：解：﹣2x2﹣8x﹣10=﹣2（x2+4x+5）=﹣2（x2+4x+22﹣22+5）=﹣2[（x+2）2+1]=﹣2（x+2）2﹣2因为当x取任意实数时，代数式2（x+2）2的值一定是非负数，那么﹣2（x+2）2﹣2的值一定为负数，所以，原式的值恒小于0，并且，当x=﹣2时，原式有最大值﹣2．点评：此题考查了配方法与完全平方式的非负性的应用．注意解此题的关键是将原代数式准确配方．8．老师给学生一个多项式，甲、乙、丙、丁四位同学分别给了一个关于此多项式的描述：甲：这是一个三次三项式；乙：三次项系数为1；丙：这个多项式的各项有公因式；丁：这个多项式分解因式时要用到公式法；若已知这四位同学的描述都正确，请你构造一个同时满足这个描述的一个多项式．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：开放型．分析：能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．解答：解：由题意知，可以理解为：甲：这是一个关于x三次三项式；乙：三次项系数为1，即三次项为x3；丙：这个多项式的各项有公因式x；丁：这个多项式分解因式时要用到完全平方公式法．故多项式可以为x（x﹣1）2=x（x2﹣2x+1）=x3﹣2x2+x．点评：本题考查了提公因式法和公式法分解因式，是开放性题，根据描述按照要求列出这个多项式．答案不唯一．9．在对某二次三项式进行因式分解时，甲同学因看错了一次项系数而将其分解为2（x﹣1）（x ﹣9），而乙同学看错了常数项，而将其分解为2（x﹣2）（x﹣4），请你判断正确的二次三项式并进行正确的因式分解．考点：因式分解的应用．分此题可以先将两个分解过的式子还原，再根析：据两个同学的错误得出正确的二次三项式，最后进行因式分解即可．解答：解：2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18，2（x ﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；由于甲同学因看错了一次项系数，乙同学看错了常数项，则正确的二次三项式为：2x2﹣12x+18；再对其进行因式分解：2x2﹣12x+18=2（x﹣3）2．点评：本题考查了因式分解的应用，题目较为新颖，同学们要细心对待．10．观察李强同学把多项式（x2+6x+10）（x2+6x+8）+1分解因式的过程：解：设x2+6x=y，则原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2（1）回答问题：这位同学的因式分解是否彻底？若不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：（x+3）4．（2）仿照上题解法，分解因式：（x2+4x+1）（x2+4x ﹣3）+4．考点：因式分解-十字相乘法等．专题：换元法．分析：（1）根据x2+6x+9=（x+3）2，进而分解因式得出答案即可；（2）仿照例题整理多项式进而分解因式得出答案即可．解答：解：（1）这位同学的因式分解不彻底，原式=（y+10）（y+8）+1=y2+18y+81=（y+9）2=（x2+6x+9）2=（x+3）4．故答案为：（x+3）4；（2）设x2+4x=y，则原式=（y+1）（y﹣3）+4 =y2﹣2y+1=（y﹣1）2=（x2+4x﹣1）2．点评：此题主要考查了因式分解法的应用，正确分解因式以及注意分解因式要彻底是解题关键．11．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．（2）阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]①=（1+x）2（1+x）②=（1+x）3③①上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由②到③这一步的根据是同底数幂的乘法法则；②若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2006，结果是（1+x）2007；③分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．考点：因式分解-提公因式法．分析：（1）根据题目要求可以编出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；（2）首先通过分解因式，可发现①中的式子与结果之间的关系，根据所发现的结论可直接得到答案．解答：解：（1）m3﹣mn2=m（m2﹣n2）=m（m﹣n）（m+n），（2）①提公因式法，同底数幂的乘法法则；②根据①中可发现结论：（1+x）2007；③（1+x）n+1．点评：此题主要考查了因式分解法中的提公因式法分解因式，公式法分解因式以及分解因式得根据，考查同学们的观察能力与归纳能力．12．阅读下面的材料并完成填空：因为（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b两数满足a﹒b=a+b=p，则有x2+px+q=（x+a）（x+b）．如分解因式x2+5x+6．解：因为2×3=6，2+3=5，所以x2+5x+6=（x+2）（x+3）．再如分解因式x2﹣5x﹣6．解：因为﹣6×1=﹣6，﹣6+1=﹣5，所以x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．同学们，阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看．因式分解：（1）x2+7x+12；（2）x2﹣7x+12；（3）x2+4x﹣12；（4）x2﹣x﹣12．因式分解-十字相乘法等．考点：专阅读型．题：分析：发现规律：二次项系数为1的二次三项式x2+px+q的因式解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，则x2+px+q=（x+a）（x+b）．解答：解：（1）x2+7x+12=（x+3）（x+4）；（2）x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4）；（3）x2+4x﹣12=（x+6）（x﹣2）；（4）x2﹣x﹣12=（x﹣4）（x+3）．点评：本题考查十字相乘法分解因式，是x2+（p+q）x+pq型式子的因式分解的应用，应识记：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．。
专题10 因式分解重难点题型分类(解析版)八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)
专题10 因式分解重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《因式分解》这一在各次期中期末中常考的主流题型，所选题目源自各名校期中、 期末试题中的典型考题，具体包含六类题型：因式分解的概念、提公因式法、用平方差公式分解因式、用完全平方公式分解因式、用十字相乘法分解因式、分组分解法，本专题资料适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生月考、期末考前刷题时使用。
题型一：因式分解的概念因式分解的概念（1）定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.（2）原则：①分解必须要彻底（即分解之后因式均不能再做分解）；②结果最后只留下小括号 ③结果的多项式首项为正。
1．（2022·福建泉州）下列各式由左边到右边的变形中，正确因式分解的是（ ）A ．232(3)2a a a a -+=-+B ．2(1)a x a a ax -=-C ．()22393x x x ++=+D ．()()2141414a a a -=+- 【详解】A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B 、符合因式分解的定义，故本选项正确；C 、左边≠右边，不是因式分解，故本选项错误；D 、左边≠右边，不是因式分解，故本选项错误．故选：D ．2．（2021·江西）下列因式分解中，正确的是（ ）A ．()211x x x +=+B ．()()2222x x x -=+-C ．()22693x x x -+=-D ．()()21644x x x x x +-=+-+ 【详解】解：A 、等式左边不能因式分解，故本选项错误；B 、()()2222x x x -=+-，故本选项错误； C 、用完全平方公式，()22693x x x -+=-，正确；D 、等式右边不是因式分解，故本选项错误．故选C ．3．（2022·上海）下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）A ．()()22x y x y y x --=--B ．23231226a b a b ⋅＝C ．()()()442281933x y x y x y x y -++-＝D ．()()()()222222821222812a a a a a a a a +-++++-+＝ 【详解】解：AD.等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，故AD 不符合题意；B.左边不是多项式，所以不是因式分解，故B 不符合题意；C.符合因式分解的定义，故C 符合题意；故选：C ．题型二：提公因式法提公因式法的定义（1）定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成 因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.（2）理论依据：乘法分配律的逆运算)(c b a ac ab +=+.4．（2022·甘肃）已知a −b =3，ab =2，则22a b ab -的值为____________．【详解】解：∵3a b -=，2ab =，∴22a b ab - ()=ab a b - =23⨯ =6．故答案为：6．5．（2022·河北邯郸）分解因式：x (x －3)－x +3=_______________________．【详解】解：x (x －3)－x +3＝x (x －3)－(x －3)＝(x -3)(x -1)，故答案为：(x -3)(x -1)．6．（2022·辽宁）因式分解：()()26a x y b y x ---=________． 【详解】解：2a （x -y ）-6b （y -x ）=()()23x y a b -+．故答案为：()()23x y a b -+．题型三：用平方差公式分解因式公式法（1）公式法的定义：逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.（2）方法归纳：①平分差公式))((22b a b a b a -+=-；②完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±.7．（2022·河北邯郸）下列多项式中，既能用提取公因式又能用平方差公式进行因式分解的是（ ） A ．22a b -- B ．24a -+ C ．34a a - D ．24a a + 【详解】解：A.22a b --，不能因式分解，故该选项不符合题意；B.24a -+()()22a a =+-，只用了平方差公式因式分解，故该选项不符合题意；C.34a a -()()()2422a a a a a =-=+-，故该选项符合题意；D. 24a a +，能用提公因式的方法因式分解，故该选项不符合题意．故选C ．8．（2022·辽宁沈阳）在下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ）A ．24a +B ．24a -C ．24a --D ．22a m + 【详解】解：A 、24a +，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；B 、()()2422a a a -=+-，能用平方差公式因式分解，故本选项符合题意；C 、()2244a a --=-+，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；D 、22a m +，不能用平方差公式因式分解，故本选项不符合题意；故选：B9．（2022·广西贺州）在实数范围内分解因式：425x -=________________________________．10．（2022·陕西汉中）分解因式：()2249a b +-=________．【详解】解：原式()()22=43a b +-()()=4343a b a b +-++ 故答案为：()()4343a b a b +-++．11．（2022·辽宁葫芦岛·八年级期末）因式分解：2()25()x m n n m -+-【详解】解：原式＝2)(25()x m n m n ---＝2()(25)m n x -- ＝()(5)(5)m n x x -+-．12．（2022·山东济宁）()()2222x y x y +-+分解因式的结果是______． 【详解】解：()()2222x y x y +-+=()()()()222+-2⎡⎤+++⎡⎤⎣⎦⎣⎦+x y x y x y x y =2+2)((22)+++--x y x y x y x y =(3+3（)-+)x y x y =3(+（)-)x y x y - 或=3(+（)-)x y y x 故答案为：3(+（)-)x y x y -或3(+（)-)x y y x ． 13．（2022·湖南永州）因式分解(1)336m m - (2)()222224m n m n +- 【详解】解：（1）解：336m m -()236m m =-()()66m m m =+-；（2）解：()222224m n m n +-()()22222m n mn =+-()()222222m n mn m n mn =+++-()()22m n m n =+-．14．（2022·山东菏泽）分解因式：(1)2()4()x a b b a -+- (2)22(2)(2)a b a b +-- 【详解】解：（1）解：原式()2()4a b x =--()(2)(2)a b x x =--+； （2）解：原式(22)(22)a b a b a b a b =++-+-+(3)(3)a b b a =+-．题型四：用完全平方公式分解因式15．（2022·陕西榆林）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A ．241x -B ．221x x +-C ．221x x ++D ．22x xy y -+ 【详解】解：A 、241x -可以用平方差公式因式分解为（2x +1）（2x -1）．故选项A 不符合题意； B 、221x x +-不能用完全平方公式进行因式分解，故选项B 不符合题意；C 、2221(1)x x x ++=+，故选项C 符合题意；D 、22x xy y -+不能用完全平方公式进行因式分解，故选项D 不符合题意．故选：C ．16．（2022·山东滨州）下列各式：①22x y --；②22114a b -+；③22a ab b ++；④222x xy y -+-；⑤2214mn m n -+，能用公式法分解因式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个17．（2022·山东济南）下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）A ．21x +B ．221x x --C ．239x x ++D ．214x x -+ 【详解】解：A ．x 2+1，缺少积的2倍项，不能用完全平方公式进行分解因式，故A 不符合题意；B ．x 2+2x -1，缺少两数的平方的和，不能用完全平方公式进行分解因式，故B 不符合题意；18．（2021·湖北·十堰）分解因式：3222a a b ab -+=_________________．【详解】解：()()23222222a a b ab a a ab b a a b -+=-+=-，故答案为：()2a ab -． 19．（2022·辽宁）已知多项式29(6)4x m x -++可以按完全平方公式进行因式分解，则m =________________．【详解】解：多项式()2229(6)43(6)2x m x x m x -++=-++，∵该多项式可以按完全平方公式进行因式分解，∴(6)232m -+=⨯⨯或(6)232m -+=-⨯⨯，解得18m =-或6m =．故答案为：18-或6．20．（2022·湖南岳阳）若多项式29x kx ++可以用完全平方公式进行因式分解，则k =_________．【详解】解：∵多项式29x kx ++可以用完全平方公式进行因式分解，∴2136k =±⨯⨯=±．故答案为：6±．21．（2022·吉林）分解因式：am 2﹣2amn +an 2＝_____．【详解】解：am 2﹣2amn +an 2＝()()2222a m mn n a m n -+=-， 故答案为：()2a m n -．22．（2022·辽宁营口·八年级期末）分解因式：﹣8a 3b +8a 2b 2﹣2ab 3＝_____．【详解】解：原式＝﹣2ab （4a 2﹣4ab +b 2）＝﹣2ab （2a ﹣b ）2，故答案为：﹣2ab （2a ﹣b ）2．23．（2022·陕西渭南）分解因式：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y ＝___．【详解】解：﹣x 2y ＋6xy ﹣9y()()22=693y x x y x --+=--故答案为：()23y x --．24．（2021·四川达州）分解因式24(21)x x +-=________．【详解】解：（2x +1）2-x 4=（2x +1-x 2）（2x +1+x 2）=（2x +1-x 2）（x +1）2．故答案为：（2x +1-x 2）（x +1）2．题型五：用十字相乘法分解因式十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解.特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和.（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++25．（2022·辽宁抚顺）分解因式：2-2-8a a =______．【详解】解：a 2-2a -8=（a -4）（a +2），故答案为：（a -4）（a +2）．26．（2022·吉林长春）分解因式：x 2﹣5x ﹣6＝_____．【详解】解：x 2﹣5x ﹣6 ()()61x x =-+故答案为：()()61x x -+．27．（2022·上海浦东）因式分解：2412x x --=_______．【详解】解：因为1262,624-=-⨯-+=-，且4-是x 的一次项的系数，所以2412(6)(2)--=-+x x x x ，故答案为：(6)(2)x x -+．28．（2021·上海虹口）因式分解：2a 2-4a -6=________．【详解】解：2a 2－4a －6＝2（a 2－2a －3）＝2(a -3)(a +1)故答案为：2(a -3)(a +1)．29．（2022·黑龙江）把多项式2412ab ab a --分解因式的结果是_________．【详解】2412ab ab a --2(412)a b b =--()()62a b b =-+故答案为：(6)(2)a b b -+．30．（2022·上海）在实数范围内分解因式：2252x x -+=________．【详解】解：225221()()2x x x x -+=--，故答案为：(21)(2)x x --．31．（2022·山东淄博）分解因式：3243a a a -+=__________．【详解】解：32243(43)(1)(3).a a a a a a a a a -+=-+=--32．（2020·上海浦东）分解因式：32514x x x --=__________． 【详解】解：32514x x x --=()2514x x x --=()()27x x x +-故答案为：()()27x x x +-．33．（2018·黑龙江）在实数范围内分解因式：x 4﹣2x 2﹣3=_____．题型六：分组分解法34．（2022·黑龙江）分解因式：2224a ab b -+-=________________．【详解】解：2224a ab b -+-2()4a b =--(2)(2)a b a b =-+--故答案为：(2)(2)a b a b -+--． 35．（2021·江苏常州）因式分解：22421x y y ---=__________．【详解】22421x y y ---224(21)x y y =-++22(2)(1)x y =-+(21)(21)x y x y =++--． 故答案为：(21)(21)x y x y ++--．36．已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．直角或等腰三角形D ．直角或等边三角形【解答】解：222244a c b c a b -=-，2222222()()()c a b a b a b ∴-=+-，2222222()()()0c a b a b a b --+-=， 22222()()0a b c a b ---=，22a b ∴=或222c a b =+，ABC ∴∆是等腰三角形或直角三角形， 故选：C ．37．分解因式：22424x xy y x y --++= ．【解答】解：22424x xy y x y --++22(44)(2)x xy y x y =-++-2(2)(2)x y x y =-+-(2)(21)x y x y =--+．故答案为：(2)(21)x y x y --+．38．已知2226100a b a b ++-+=，求ab 的值．【解答】解：2226100a b a b ++-+=，2221690a a b b ∴+++-+=，22(1)(3)0a b ∴++-=， 10a ∴+=，30b -=，1a ∴=-，3b =，133ab ∴=-⨯=-．39．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边，且满足222222a b c ab ac ++=+，试判断ABC ∆的形状，并说明理由．【解答】解：ABC ∆为等边三角形，理由如下：由222222a b c ab ac ++=+得： 2222220a ab b a ac c -++-+=，22()()0a b a c ∴-+-=，0a b ∴-=，0a c -=a b ∴=，a c = a b c ∴==，ABC ∴∆为等边三角形．40．已知a ，b ，c 为ABC ∆的三边，若2222220a b c ac bc ++--=，判断ABC ∆的形状？【解答】解：2222220a b c ac bc ++--=，2222220a c ac b c bc ∴+-++-=， 即22()()0a c b c -+-=，0a c ∴-=且0b c -=，即a c =且b c =，a b c ∴==． 故ABC ∆是等边三角形．41．三角形ABC 的三条边长a ，b ，c 满足222166100a b c ab bc --++=，求证：2a c b +=．【解答】证明：222166100a b c ab bc --++=，222269(1025)0a ab b c bc b ∴++--+=， 22(3)(5)0a b c b ∴+--=，(35)(35)0a b c b a b c b ∴++-+-+=，即(2)(8)0a c b a b c +-+-=， a ，b ，c 是三角形三边长，0a b c ∴+->，80a b c ∴+->，20a c b ∴+-=， 2a c b ∴+=．。
初二因式分解难题 (附答案及解析)
数学（因式分解难题）一．填空题（共10小题）1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为．2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：．3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是．4．分解因式：4x2﹣4x﹣3=．5．利用因式分解计算：2022+202×196+982=．6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是．7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=．8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是（填上你认为正确的所有结论的序号）．9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=．10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．13．因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．14．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为．16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出s n﹣2，s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=．21．仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x ﹣3），求另一个因式以及k的值．22．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．24．分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是，共应用了次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法次，结果是．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．2017年05月21日数学（因式分解难题）2参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2016秋•望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为160．【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．【解答】解：∵x+y=10，xy=16，∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．故答案为：160．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（2016秋•新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x﹣3）2．【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；∴原多项式为2x2﹣12x+18．2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．3．（2015春•昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m 的值是±4．【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，即x2+mx+4=x2±4x+4，∴m=±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．4．（2015秋•利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．5．（2015春•东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982=90000．【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．【解答】解：原式=2022+2x202x98+982=（202+98）2=3002=90000．【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．6．（2015秋•浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是等边三角形．【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a ﹣c）2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，解得：a=b=c，所以，△ABC是等边三角形．故答案为：等边三角形．【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．7．（2015秋•鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151．【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）=（1+101）×101÷2=5151．故答案为：5151．【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．8．（2015秋•乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：①2★（﹣2）=3②a★b=b★a③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab④若a★b=0，则a=1或b=0．其中正确结论的序号是③④（填上你认为正确的所有结论的序号）．【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，其中正确的有③④．故答案为③④．【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．9．（2015春•张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0．【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），=0+0，=0．故答案是：0．【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．10．（2015春•昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是﹣8．【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，解得：a=﹣3，b=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．二．解答题（共20小题）11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．12．（2016秋•农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：4x2y﹣4xy+y=y（4x2﹣4x+1）=y（2x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．（2015秋•成都校级期末）因式分解（1）a3﹣ab2（2）（x﹣y）2+4xy．【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．（2015春•甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，∴（x﹣y）2+（y+2）2=0∴x=y=﹣2∴；（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0∴a=b=c=3∴三角形ABC是等边三角形．【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．15．（2015秋•太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为2500．【分析】（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可说明“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：36=102﹣82；2016=5052﹣5032；（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数；（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．故答案是：2500．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而达到使计算简化．16．（2015春•兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．【解答】解：（1）如图：拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；（2）∵长方形②的周长为34，∴a+b=17．∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，∴a2+b2=169．将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，∴2ab=289﹣169，∴ab=60．∴长方形②的面积为60．（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．∵现有三种纸片各8张，∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）∴n≤2，m≤2．∴共有以下四种情况；①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．17．（2014秋•莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：a2+2a+1=（a+1）2．（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；（2）要能根据等式画出合适的拼图．【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；②a2+2a+1=（a+1）2；（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．18．（2013秋•海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，s n=a n+b n（1）计算s2；（2）请阅读下面计算s3的过程：因为a+b=1，ab=﹣1，所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=4你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．（3）试写出s n﹣2，s n﹣1，s n三者之间的关系式；（4）根据（3）得出的结论，计算s6．【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；（3）根据（1）所推出的结论，即可推出S n﹣2+S n﹣1=S n；（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），∴3×1=a3+b3﹣1，∴a3+b3=4，即S3=4；∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，∴S4=7；（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，∴S2+S3=S4，∴S n﹣2+S n﹣1=S n；（3）∵S n﹣2+S n﹣1=S n，S2=3，S3=4，S4=7，∴S5=4+7=11，∴S6=7+11=18．【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：S n﹣2+S n﹣1=S n．19．（2013春•重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22=（9.8+0.2）2=100；（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）=（a﹣1）（2a﹣1）2．【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．20．（2013春•惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c=7．【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0∴（x+y）2+（y+1）2=0∴x+y=0 y+1=0解得x=1，y=﹣1∴x﹣y=2；（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0∴a﹣3=0，b﹣4=0解得a=3，b=4∵三角形两边之和＞第三边∴c＜a+b，c＜3+4∴c＜7，又c是正整数，∴c最大为6；（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．故答案为：7．【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．21．（2012秋•温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n∴n+3=﹣4m=3n 解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．问题：（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a=﹣3；（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b=9；（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x ﹣3），求另一个因式以及k的值．【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x ﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，∴a﹣2=﹣5，解得：a=﹣3；（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，∴b=9；（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x ﹣3n，则2n﹣3=5，k=3n，解得：n=4，k=12，故另一个因式为（x+4），k的值为12．故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．22．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．23．（2012春•碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，∴a=b=c，故△ABC为等边三角形．【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．24．（2011秋•北辰区校级期末）分解因式（1）2x4﹣4x2y2+2y4（2）2a3﹣4a2b+2ab2．【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4=2（x4﹣2x2y2+y4）=2（x2﹣y2）2=2（x+y）2（x﹣y）2；（2）2a3﹣4a2b+2ab2=2a（a2﹣2ab+b2）=2a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．25．（2011秋•苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn．（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2=9．（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2．（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．（3）此题可参照第（2）题．（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．（5）可参照第（4）题画图．【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（5）答案不唯一：例如：．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．26．（2009秋•海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c 的值．【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．【解答】解：因为a﹣b=8，所以a=b+8．（1分）又ab+c2+16=0，所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）即（b+4）2+c2=0．又（b+4）2≥0，c2≥0，则b=﹣4，c=0．（4分）所以a=4，（5分）所以2a+b+c=4．（6分）【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．27．（2010春•北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，求：这个长方体的体积．【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，（1+b）（c+1+a+ac）=2007，（1+b）（c+1）（a+1）=2007，2007只能分解为3×3×223∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223∴a、b、c也只能分别为2、2、222∴长方体的体积abc=888．【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．28．（2007秋•普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．29．（2007春•镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x（x+1）+x（x+1）2=（1+x）[1+x+x（x+1）]=（1+x）2（1+x）=（1+x）3（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2004，则需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，=（x+1）n+x（x+1）n，=（x+1）n+1．【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．30．（2007春•射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），（1）求式子中m、n的值；（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x ﹣2n，=x3﹣5x2+x+10，（2分）所以，解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，分别令x=0，x=1，即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）（2）把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣3x﹣10），（9分）=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．。
八年级数学上册因式分解拔高题型
八年级数学上册因式分解拔高题型一、知识点梳理：1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变成几个整式的积的形式。
2、因式分解的方法：（1）提公因式法；即 ma+mb+mc=m(a+b+c)；a 22（ 2）运用公式法；平方差公式：b a b a b ；完整平方公式： a22ab b 2= a b2和a22ab b2 a b2（3）十字相乘法：关于二次三项式x2Pxa b p, q ；若能找到两个数 a 、 b ；使b q,a则就有 x2Px q x2(a b) x ab( x a)( x b) ．注：若 q 为正；则 a；b 同号；若 q 为负；则 a；b 异号；二、典型例题：（1）假如9 x 2kx25 是一个完整平方式；那么k 的值是（）A、 15B、±5C、30 D ±30（2）若x2mx15( x3)( x n)则 m=_____； n=______。
（3）计算 2998 2+2998×4+4=。
（4）若x24x 4 的值为0；则 3x 212x 5 的值是________。
例 2：分解因式：224a2(x- y)+9b2 (y- x)2a x 8axy8a y例 3：已知 a –b = 1；a2b 225求ab和a+b的值。
三、加强训练：1、已知 x+y=6； xy=4；则 x2y+xy2的值为.2、察看图形；依据图形面积的关系；不需要连其余的线；便能够获得一个用来分解因式的公式；这个公式是 ______________________。
3、分解因式：(2a- b)2-(a +b)2- 3ma3+6ma2- 3ma a2(m- n)+b2(n- m)m416n4（8）16a472a 2b 281b44、已知： a=2999；b=2995；求a22ab b 25a 5b 6 的值。
5、利用因式分解计算11111111 (11)2232 4 252n26；已知 a 为随意整数；且 a 13 2a2的值总能够被n 整除 (n 为自然数；且n 不等于 1)；则 n 的值为。
八年级上册因式分解难题
八年级上册因式分解难题一、题目。
1. 分解因式：x^4 - 81解析：x^4-81=(x^2)^2 - 9^2 =(x^2 + 9)(x^2-9) =(x^2+9)(x + 3)(x - 3)2. 分解因式：9x^2 - 16y^2解析：根据平方差公式a^2 - b^2=(a + b)(a - b)，这里a = 3x，b=4y所以9x^2-16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)3. 分解因式：(a + b)^2 - 4(a + b)+4解析：将(a + b)看成一个整体，设m=a + b，则原式变为m^2-4m + 4，根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a=m，b = 2所以m^2-4m + 4=(m - 2)^2，即(a + b-2)^24. 分解因式：x^3 - 2x^2+x解析：x^3-2x^2+x=x(x^2-2x + 1) =x(x - 1)^25. 分解因式：25m^2 - 80m+64解析：根据完全平方公式(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，这里a = 5m，b=8所以25m^2-80m + 64=(5m - 8)^26. 分解因式：x^2y - 4y^3解析：x^2y-4y^3=y(x^2-4y^2) =y(x + 2y)(x - 2y)7. 分解因式：a^2 - 2ab + b^2 - c^2解析：a^2-2ab + b^2-c^2=(a - b)^2-c^2 =(a - b + c)(a - b - c)8. 分解因式：x^3+27解析：根据立方和公式a^3+b^3=(a + b)(a^2 - ab + b^2)，这里a=x，b = 3所以x^3+27=(x + 3)(x^2-3x + 9)9. 分解因式：16x^4 - 1解析：16x^4-1=(4x^2)^2-1^2 =(4x^2 + 1)(4x^2-1) =(4x^2+1)(2x + 1)(2x - 1) 10. 分解因式：3ax^2+6axy+3ay^2解析：3ax^2+6axy + 3ay^2=3a(x^2+2xy + y^2) =3a(x + y)^211. 分解因式：m^2(m - 1)-4(1 - m)^2解析：m^2(m - 1)-4(1 - m)^2=m^2(m - 1)-4(m - 1)^2 =(m - 1)[m^2-4(m - 1)] =(m - 1)(m^2-4m + 4) =(m - 1)(m - 2)^212. 分解因式：(x + y)^2 - 10(x + y)+25解析：设m=x + y，则原式为m^2-10m + 25=(m - 5)^2=(x + y - 5)^213. 分解因式：x^2 - y^2 - z^2+2yz解析：x^2-y^2 - z^2+2yz=x^2-(y^2 - 2yz+z^2) =x^2-(y - z)^2 =(x + y - z)(x - y + z)14. 分解因式：8x^3 - 27y^3解析：根据立方差公式a^3 - b^3=(a - b)(a^2+ab + b^2)，这里a = 2x，b=3y所以8x^3-27y^3=(2x - 3y)(4x^2+6xy + 9y^2)15. 分解因式：a^4 - b^4解析：a^4 - b^4=(a^2)^2-(b^2)^2 =(a^2 + b^2)(a^2 - b^2) =(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)16. 分解因式：x^2 - 4xy+4y^2 - 9解析：x^2-4xy + 4y^2-9=(x - 2y)^2-3^2 =(x - 2y + 3)(x - 2y - 3)17. 分解因式：2x^2 - 12x+18解析：2x^2-12x + 18=2(x^2-6x + 9) =2(x - 3)^218. 分解因式：x^3 - 6x^2+9x解析：x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x + 9) =x(x - 3)^219. 分解因式：m^2 - 5m - 14解析：对于二次三项式ax^2+bx + c，这里a = 1，b=-5，c=-14 m^2-5m - 14=(m - 7)(m+ 2)20. 分解因式：a^2 - 4a - 21解析：对于二次三项式ax^2+bx + c，这里a = 1，b=-4，c = - 21 a^2-4a - 21=(a - 7)(a + 3)。
初二因式分解经典题35题
初二因式分解经典题35题一、提取公因式法相关（10题）1. 分解因式：6ab + 3ac- 你看这里面每一项都有个3a呢。
就像大家都有个共同的小秘密一样。
那我们就把3a提出来呀，提出来之后就变成3a(2b + c)啦。
2. 分解因式：15x^2y−5xy^2- 哟，这里面5xy是公共的部分哦。
把5xy提出来，就剩下5xy(3x - y)啦，是不是很简单呢？3. 分解因式：4m^3n - 16m^2n^2+8mn^3- 仔细瞧瞧，8mn是都能提出来的。
提出来后就变成8mn(m^2 - 2mn + n^2)啦。
4. 分解因式：−3x^2y+6xy^2−9xy- 这里面−3xy是公因式哦。
把它提出来，就得到−3xy(x - 2y+3)啦。
5. 分解因式：2a(x - y)-3b(x - y)- 看呀，(x - y)是公共的部分呢。
提出来就变成(x - y)(2a - 3b)啦。
6. 分解因式：a(x - y)^2 - b(y - x)^2- 注意哦，(y - x)^2=(x - y)^2。
那这里面(x - y)^2是公因式，提出来就得到(x - y)^2(a - b)啦。
7. 分解因式：x(x - y)+y(y - x)- 先把y(y - x)变成-y(x - y)，这样公因式就是(x - y)啦，提出来就是(x - y)(x - y)=(x - y)^2。
8. 分解因式：3a(a - b)+b(b - a)- 把b(b - a)变成-b(a - b)，公因式(a - b)提出来，就得到(a - b)(3a - b)啦。
9. 分解因式：2x(x + y)-3(x + y)^2- 公因式是(x + y)，提出来就变成(x + y)[2x-3(x + y)]=(x + y)(2x - 3x - 3y)=(x + y)(-x - 3y)=-(x + y)(x + 3y)。
10. 分解因式：5(x - y)^3+10(y - x)^2- 把(y - x)^2变成(x - y)^2，公因式5(x - y)^2提出来，得到5(x - y)^2[(x -y)+2]=5(x - y)^2(x - y + 2)。
部编数学八年级上册专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练(解析版)(人教版)含答案
专题03运算方法之因式分解综合压轴题专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．△ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119，则△ABC 的周长为__．【答案】12【分析】将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）＝120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同的整数这两个条件加以分析即可得出答案．【详解】解：∵abc+ab+ac+bc+a+b+c＝119∴ab（c+1）+a（c+1）+b（c+1）+（c+1）＝120（a+1）（b+1）（c+1）＝120∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1．故可分为以下6种情况：（1）120＝3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（2）120＝3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（3）120＝3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（4）120＝6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1＝6+4+5，a+b+c ＝12．（5）120＝6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（6）120＝12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．（7）120＝2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去．综上可知，△ABC 的周长为12．故答案为12．【点睛】本题主要考查因式分解的应用及三角形三边关系，掌握三角形三边关系并分情况讨论是解题的关键．2．多项式2222627a ab b b -+-+的最小值为________．【答案】18．【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．【详解】解：2222627a ab b b -+-+，=222)((269)18a ab b b b -+-+++，=22()(3)18a b b -+-+，∵22()(3)00a b b --³³，，∴22()(3)18a b b -+-+的最小值为18；故答案为：18．【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．3．若实数a ，b 满足1a b -=，则代数式2225a b b --+的值为_______________．【答案】6．【分析】将所求代数式中的22a b -因式分解，再把1a b -=代入，化简即可．【详解】解：2225()()25a b b a b a b b --+=+--+，把1a b -=代入得()25255a b b a b b a b +-+=+-+=-+，再把1a b -=代入得5156a b -+=+=；故答案为：6．【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值．4．如果一个两位数a 的个位数字与十位数字都不是零，且互不相同，我们称这个两位数为“跟斗数”，定义新运算：将一个“跟斗数”的个位数字与十位数字对调，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记()a ω，例如：a =13，对调个位数字与十位数字得到新两位数31，新两位数与原两位数的和，31+13=44，和与11的商44÷11=4，所以()134ω=．根据以上定义，回答下列问题：（1）计算：()23ω=____________．（2）若一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k +1)，且()8b ω=，则“跟斗数”b =____________．（3）若m ，n 都是“跟斗数”，且m +n =100，则()()m n ωω+=____________．【答案】526 19 【分析】（1）根据题意直接将数值代入即可．（2）根据题意写出“跟斗数”是含有k 的式子，再利用()8b ω=，列方程求解即可．（3）根据m +n =100，解设未知数用还有x ，y 的式子表示m 、n 为m =10x ＋y ， n =10(9-x )＋(10-y )，根据题意列式子化简即可．【详解】解：（1）()233223511ω+==（2）∵一个“跟斗数”b 的十位数字是k ，个位数字是2(k ＋1)，且()8b ω=，∴[][]102(1)102(1)811k k k k +++⨯++=解得k =2，∴2(k ＋1)=6，∴b =26．（3）∵m ，n 都是“跟斗数”，且m ＋n =100，设m =10x ＋y ，则n =10(9-x )＋(10-y )，∴[][]10(9)(10)+10(10)(9)(10)(10)()()1111x y y x x y y x m n ωω-+--+-++++=+10109010101001091111x y y x x y y x +++-+-+-+-=+111120*********x y x y +--=+1919x y x y =++--=【点睛】本题考查新定义的数，按照题意正确代入是关键，本题是中考的常见题型5．如图是 A 型卡片（边长a 的正方形）、B 型卡片（长为 a 、宽为 b 的长方形）、C 型卡片（边长为 b 的正方形）．现有 4张 A 卡片，11张 B 卡片，7张 C 卡片，选用它们无缝隙、无重叠地拼正方形或长方形，下列说法正确的是__________．（只填序号）①可拼成边长为2+a b 的正方形；②可拼成边长为23a b +的正方形；③可拼成长、宽分别为24a b +、2a b +的长方形；④用所有卡片可拼成一个大长方形．【答案】①③④【分析】①②③利用完全平方公式和多项式乘多项式法则求出要拼成的图形的面积，各项系数即为各型号卡片的个数．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2，将此多项式因式分解即可．【详解】①（a +2b ）2=a 2+4ab +4b 2，要用A 型卡片1张，B 型卡片4张，C 型卡片4张，所以可拼成边长为a +2b 的正方形．②（2a +3b ）2=224129a ab b ++，要用A 型卡片4张，B 型卡片12张，C 型卡片9张，因为B 型卡片只有11张，C 型卡片只有7张，所以不能拼成边长为2a +3b 的正方形．③（2a +4b ）（2a +b ）=222242844104a ab ab b a ab b +++=++，可得A 型卡片4张，B 型卡片10张，C 型卡片4张，所以可拼成长、宽分别为242a b a b ++、的长方形．④所有卡片面积和为4a 2+11ab +7b 2=（4a +7b ）（a +b ）．所以所有卡片可拼长长为（4a +7b ），宽为（a +b ）的长方形．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了整式乘法、分解因式与几何图形之间的联系，解题时注意利用数形结合和熟记公式是解题的关键．二、解答题6．代数中的很多等式可以用几何图形直观表示，这种思想叫“数形结合”思想．如：现有正方形卡片A 类、B 类和长方形C 类卡片若干张，如果要拼成一个长为2()a b +，宽为(2)a b +的大长方形，可以先计算22(2)(2)522a b a b a ab b ++=++，所以需要A 、B 、C 类卡片2张、2张、5张，如图2所示（1）如果要拼成一个长为(3)a b +，宽为()a b +的大长方形，那么需要A 、B 、C 类卡片各多少张？并画出示意图．（2）由图3可得等式：____________；（3）利用（2）中所得结论，解决下面问题，已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=，222a b c ++的值；（4）小明利用2张A 类卡片、3张B 类卡片和5张长方形C 类卡片去拼成一个更大的长方形，那么该长方形的较长的一边长为________（用含a 、b 的代数式表示）【答案】（1）A 、B 、C 三类卡片各需要1张、3张、4张，图见解析；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++；（3）45；（4）23a b+【分析】（1）首先计算出22(3)()43a b a b a ab b ++=++，再根据计算结果对应的卡片类型得出结论；（2）根据图形面积的就算方式2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++即可得出结论；（3）根据题意找到2222()2()a b c a b c ab ac bc ++=++-++，再通过带值即可求出；（4）利用因式分解的计算过程可得，22235(23)()a b ab a b a b ++=++，即可得出结论．【详解】解：（1）如下图：A 、B 、C 三类卡片各需要1张、3张、4张；（2）2222()222a b c a b c ab ac bc++=+++++（3）2222()2()12123845a b c a b c ab ac bc ++=++-++=-⨯=Q （4）22235(23)()a b ab a b a b ++=++Q ，\较长的边为：23a b +．【点睛】本题考查了代数中的等式问题，解题的关键是掌握因式分解、具备数形结合的思想．7．若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P ，到点P 距离为1的点所对应的数分别记为a ，b ．定义：若数K ＝a 2＋b 2－ab ，则称数K 为“尼尔数”．例如：若P 所表示的数为3，则a ＝2，b ＝4，那么K ＝22＋42－2×4＝12；若P 所表示的数为12，则a ＝11，b ＝13，那么K ＝132＋112－13×11＝147，所以12，147是“尼尔数”．（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”．【答案】（1）6不是尼尔数，39是尼尔数，证明见解析；（2）这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．【分析】（1）根据“尼尔数”的定义，设P 表示的数为x （x 是能被3整除的自然数），则23K x =+，分别令236x +=，2339x +=，解方程，判断x 的解是不是能被3整除的自然数即可；证明所有“尼尔数”一定被9除余3时，可设P 表示的数为3m ，则K 可化为9m 2＋3，由m 为整数得9m 2＋3被9除余3；（2）设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2，则K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，m 12－m 22＝21，再根据m 1，m 2都是整数，可解出m 1，m 2，从而得到K 1，K 2．【详解】(1)设P 表示的数为x （x 是能被3整除的自然数），则1a x =-，1b x =+，()()()()22211113K x x x x x =-++--+=+，令236x +=，得x =2339x +=，得6x =，∴6不是尼尔数，39是尼尔数．证明：设P 表示的数为3m ，则a ＝(3m －1)，b ＝(3m ＋1)，K ＝(3m －1)2＋(3m ＋1)2－(3m －1)(3m ＋1)＝9m 2＋3，∵m 为整数，∴m 2为整数，∴9m 2＋3被9除余3；(2)设这两个尼尔数分别是K 1，K 2，将两个“尼尔数”所对应的“3倍点数”P 1，P 2分别记为3m 1，3m 2.∴K 1－K 2＝9m 12－9m 22＝189，∴m 12－m 22＝21，∵m 1，m 2都是整数，∴1212121272131m m m m m m m m +=+=ììíí-=-=îî或，∴1122m 5m 11m 2m 10==ììíí==îî或，∴1122k 228k 1092k 39k 309==ììíí==îî或. ∴这两个尼尔数分别是228，39或1092,309．【点睛】本题考查了因式分解的应用、方程的整数解问题、学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，理解“尼尔数”的定义是解题的关键．8．若一个四位自然数满足个位数字与百位数字相同，十位数字与千位数字相同，我们称这个四位自然数为“双子数”．将“双子数”m 的百位、千位上的数字交换位置，个位、十位上的数字也交换位置，得到一个新的双子数'm ，记()221111m m F m ¢+=为“双子数”m 的“双11数”．例，2424m =，'4242m =，则()22424242422424121111F ⨯+⨯==（1）计算3636的“双11数”()3636F =__________．（2）已知两个“双子数”p 、q ，其中p abab =，q cdcd =（其中19a b £<£，19c ££，19d ££，c d ¹且a 、b 、c 、d 都为整数），若p 的“双11数”()F p 能被17整除，且p 、q 的“双11数”满足()()()24320F p F q a b d c +-+++=，令(),101p q G p q -=，求(),G p q 的值．【答案】（1）18；（2）G （p ，q ）的值为51或17．【分析】（1）直接根据“双子数”m 的“双11数”的计算方法即可得出结论；（2）先根据“双11数”F （p ）能被17整除，进而判断出p 为8989，求出F （q ）=2（c +d ），再根据F (p )+2F (q )-(4a +3b +2d +c )=0，得出d =2532c -，进而求出c ，d ，即可得出结论．【详解】解：（1）由题意知，3636的“双11数”()()236366363236362636336361811111111F +⨯+⨯===，故答案为：18；（2）∵“双子数”p ，p abab =，∴F （p ）=2（a +b ），∵“双11数”F （p ）能被17整除，∴a +b 是17的倍数，∵1≤a ＜b ≤9，∴3≤a +b ＜18，∴a +b =17，∴a =8，b =9，∴“双子数”p 为8989，F （p ）=34，∵“双子数”q ，q cdcd =，∴F （q ）=2（c +d ），∵F （p ）+2F （q ）-（4a +3b +2d +c ）=0，∴34+2×2（c +d ）-（4×8+3×9+2d +c ）=0，∴3c +2d =25，∴2532c d -=，∵1≤c ≤9，1≤d ≤9，c ≠d ，c 、d 都为整数，∴c 为奇数，1≤c ＜9，当c =1时，d =11，不符合题意，舍去，当c =3时，d =8，∴“双子数”q 为3838，∴898938385151(,)51101101101p q G p q --====，当c =5时，d =5，不符合题意，舍去，当c =7时，d =2，∴“双子数”q 为7272，∴898972721717(,)17101101101p q G p q --====，∴G （p ，q ）的值为51或17．【点睛】本题是新定义题目，主要考查了完全平方数，整除问题，理解和运用新定义是解本题的关键．9．对于一个四位数n ，将这个四位数n 千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调后可以得到一个新的四位数n ¢，将交换后的数与原数求和后再除以101，所得的商称为原数的“一心一意数”，记作F （n ）＝101n n ¢+，如n ＝5678，对调数字后得n ¢＝7856，所以F （n ）＝56787856101+＝134．（1）直接写出F （2021）＝ ；（2）求证：对于任意一个四位数n ，F （n ）均为整数；（3）若s ＝3800＋10a ＋b ，t ＝1000b ＋100a ＋13（1≤a ≤5，5≤b ≤9，a 、b 均为整数），当3F （t ）－F （s ）的值能被8整除时，求满足条件的s 的所有值．【答案】（1）41；（2）见解析；（3）3816或3847或3829【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）设n ＝1000a ＋100b ＋10c ＋d ，则n ¢＝1000c ＋100d ＋10a ＋b ，（a 、b 、c 、d 为整数且a ≠0），然后根据题意列式计算即可证明；（3）先求得F （s ）＝10a ＋b ＋38，F （t ）＝10b ＋a ＋13，进而可求得3F （t ）－F （s ）＝29b －7a ＋1，再根据3F （t ）－F （s ）的值能被8整除，可得5b ＋a ＋1的值能被8整除，再根据1≤a ≤5，5≤b ≤9可得27≤5b ＋a ＋1≤51，进而可得5b ＋a ＋1＝32，40，48，由此可求得16a b =ìí=î或47a b =ìí=î或29a b =ìí=î，最终即可求得满足条件的s 的所有值．【详解】解：（1）F （2021）＝20212120101+＝41，故答案为：41；（2）设n＝1000a＋100b＋10c＋d，则n¢＝1000c＋100d＋10a＋b，（a、b、c、d为整数且a≠0）所以F（n）＝(100010010)(100010010)101a b c d c d a b+++++++＝10101011010101101a b c d+++＝10a＋b＋10c＋d，∵a、b、c、d为整数且a≠0，∴10a＋b＋10c＋d为整数，∴对于任意一个四位数n，F（n）均为整数；（3）∵s＝3800＋10a＋b，t＝1000b＋100a＋13（1≤a≤5，5≤b≤9，a、b均为整数），∴F（s）＝(380010)(100010038)101a b a b+++++＝10101013838101a b++＝10a＋b＋38，F（t）＝(100010013)(130010)101b a b a+++++＝10101011313101b a++＝10b＋a＋13，∴3F（t）－F（s）＝3（10b＋a＋13）－（10a＋b＋38）＝29b－7a＋1，∵3F（t）－F（s）的值能被8整除，∴29b－7a＋1的值能被8整除，∴24b－8a＋5b＋a＋1的值能被8整除，∴5b＋a＋1的值能被8整除，∵1≤a≤5，5≤b≤9，∴27≤5b＋a＋1≤51，∵5b＋a＋1的值能被8整除，∴5b＋a＋1＝32，40，48，∴16ab=ìí=î或47ab=ìí=î或29ab=ìí=î，∴s＝3816或3847或3829．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及有理数的整除，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果是解决本题的关键．10．已知若干张正方形和长方形硬纸片如图1所示．（1）若用1张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，3张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形（如图2）．请用两种不同的方法计算图2长方形的面积并根据你的计算结果可以得到怎样的等式；（2）请通过拼图的方式画出一个面积为22252a ab b ++的长方形示意图，并写出其因式分解的结果；（3）在（2）的条件下，若拼成的长方形周长为66，图1中小长方形的面积为24，则拼成的长方形面积是多少？【答案】(1)22()(2)23a b a b a b ab ++=++；（2）画图见解析，(2)(2)a b a b ++；（3）266．【分析】(1)用面积和差和长方形面积公式分别计算即可；(2)根据算式可知用2张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形即可，根据面积的不同求法可写成因式分解结果；(3)根据题意列出方程，求出22a b +即可．【详解】解：(1)用面积和差计算得：2223a b ab ++；用长方形面积公式计算得：()(2)a b a b ++；可得等式为：22()(2)23a b a b a b ab ++=++；(2) 根据算式可知用2张边长为a 的正方形，2张边长为b 的正方形，5张边长分别为a 和b 的长方形拼成一个新的长方形，如图所示：根据面积公式可得，22252(2)(2)a ab b a b a b ++=++；(3) （2）中拼成的长方形周长为66，则2(22)66a b a b +++=，解得，11a b +=，∴22()11a b +=，即222121a b ab ++=，图1中小长方形的面积为24，则24ab =，则2273a b +=，22252273524266a ab b ++=⨯+⨯=；拼成的长方形面积是266．【点睛】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，树立数形结合思想，利用面积法列出等式是解题的关键．11．材料一：一个整数的各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除；材料二：已知一个各位数字都不为零的四位数100010010m abcd a b c d ==+++，百位和十位上的数字之和是千位和个位上的数字之和的两倍，则称这个四位数为“双倍数”．将这个“双倍数”m 的各位数字颠倒过来就变成新的“双倍数”m dcba ¢=，记()111m m F m ¢+=．例如2461m =，()46212+¹⨯+，所以2461不是“双倍数”：2685m =，()68225+=⨯+，所以2685是“双倍数”， 5862m ¢=，()26855862268577111F +==（1）判断2997，6483是否为“双倍数”，并说明理由；（2）若s ，t 均为“双倍数”，s 的千位数字是5，个位数字大于2，t 的百位数字是7，且s 能被9整除，()()4F s F t +是完全平方数，求t 的最大值．【答案】（1）2997是“双倍数”，6483不是“双倍数”；理由见解析；（2）t 的最大值7791．【分析】（1）利用题干中“双倍数”定义计算即可求解；（2）设s 的个位数字是d ，十位数字是c ，则百位数字是10+2d -c （d ＞2），可得s =5000+100（10+2d -c ）+10c +d 且5+10+2d -c +d +c =15+3d 能被9整除，依此可得d =4或d =7，利用“双倍数”的定义和F （m ）的公式，分类讨论计算出F （s ）和F （t ），依据已知和数位上数字的特征计算后，比较大小，取最大值即可．【详解】解：（1）∵()99227+=⨯+，∴2997是“双倍数”，∵()48236+¹⨯+，∴6483不是“双倍数”；（2）设s 的个位数字是d ，十位数字是c ，则百位数字是10+2d -c （d ＞2），∴s =5000+100（10+2d -c ）+10c +d 且5+10+2d -c +d +c =15+3d 能被9整除，∵d ＞2，∴d =4或d =7，①d =4时，有10+2d =2×（5+4）=18，∴此时十位数，百位数均为9，∴s =5994，s ′=4995，F （s ）=（s +s ′）÷111=99，设t =1000a +700+10b +72b +-a ，则t ′=1000（72+2b -a ）+100b +70+a ，∴F （t ）=（t +t ′）÷111=112b +772，则4F （s ）+F （t ）=4×99+112b +772=112b +8692，∵112b +8692，是完全平方数，且b 是整数，∴b =9，∴t 的十位数字是9，则7+9=16，∴千位和个位上的数字之和是8，∴t 的最大值是7791；②d =7时，有10+2d =2×（5+7）=24，∵百位和十位上的数字之和最大为18，∴不符合题意．综上所述，t 的最大值是7791．【点睛】本题主要考查了完全平方数，因式分解的应用，本题是阅读型题目，准确理解题意并能熟练应用题干中的定义和公式是解题的关键．12．对于一个三位正整数（各位数字均不为0），若满足十位数字是个位数字与百位数字之和，则称该三位正整数为“夹心数”．将“夹心数”m 的百位、个位数字交换位置，得到另一个“夹心数”m ¢，记()99m m F m ¢-=，()121m m T m ¢+=．例如：792m =，297m ¢=．792297()599F m -==，792297()9121T m +==．（1）计算()693F =__________；()561T =__________．（2）对“夹心数”m ，令()()2294s T m F m =-，当36s =时，求m 的值．（3）若“夹心数”m 满足()2F m 与()2T m 均为完全平方数，求m 的值．【答案】（1）3，6；（2）m =121；（3）m =121，583，484．【分析】（1）根据题中的定义和例题提供的算法，即可算出结果；（2）设()1001011011m a a b b a b =+++=+，代入 ()()2294s T m F m =-，并进行化简后，根据 s =36的已知条件，求出a 、b 的值，即可求出m 的值；（3）结合（2）的相关结论，求出a 、b 的值，即可求出符合条件的m 的值．【详解】解：（1）()()6933965611656933561699121F T -+====，．故答案为：3；6．（2）设()1001011011m a a b b a b =+++=+，则()1001011110m b a b a a b =+++=+¢．∴()()()11011111109999999999a b a b m m a b F m a b +-+--====-¢，()()()1101111110121121121121a b a b a b T m a b ++++===+．()()()()()()()()()()22229494323255s T m F m a b a b a b a b a b a b a b a b éùéù\=-=+--=+--++-=++ëûëû．∵s =36，∴()()5536a b a b ++=．∵19,19,29,a b a b £££££+£且 a 、 b 、a +b 都是正整数，∴5656a b a b +³+³，．∴5656a b a b +=ìí+=î，解得， 11a b =ìí=î．∴1101111011121m a b =+=+=．（3）由（2）得，()()()()2222F m a b T m a b =-=+，，∵a 、b 、a +b 都是1到9的正整数，∴()()204218a b a b -³£+£，．∵()2a b +是完全平方数，∴()24916a b +=，，．又∵()2a b +是偶数，∴()29a b +=不合题意，舍去．∴28a b +=，．当a +b =2时，a =b =1，此时，()20a b -=，符合题意；当a +b =8时，若a =7，b =1，此时，()212a b -=，不合题意，舍去；若a =6，b =2，此时，()28a b -=，不合题意，舍去；若a =5，b =3，此时，()24a b -=，符合题意；若a =4，b =4，此时，()20a b -=，符合题意．∵11011m a b =+，∴符合条件的121583484m =，，．【点睛】本题考查了新定义运算、因式分解、方程组、不等式等知识点和分类讨论的数学思想，围绕新定义的运算法则进行计算是解题的基础，分类讨论时做到不重复不遗漏是关键．13．对任意一个三位数m ，如果m 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，则称这个数为“特异数”，将m 的百位数字调到个位可以得到一个新的三位数，不断重复此操作共可得到两个不同的新三位数，把这两个新数与原数m 的和与111的商记为()F m ．例如，123是“特异数”，不断将123的百位数字调到个位可得231，312，()1232313126661236111111F ++===．（1）求()456F ，()321F ；（2）已知10032s x =+，256t y =+（19x y £££，x ，y 为整数），若s 、t 均为“特异数”，且()()F s F t +可被6整除，求()()s F F t ×的最大值．【答案】（1）F （456）=15，F （321）=6；（2）F (s )•F (t )的最大值为384．【分析】（1）根据F （m ）的定义式，分别将m =456和m =321代入F （n ）中，即可求出结论．（2）由s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，解出x ，y 的值，再根据“特异数”的定义结合F （m ）的定义式，即可求出F （s ），F （t ）的值，求出最大值即可．【详解】解：（1）F （456）=(456+564+645)÷111=15，F （321）=(321+213+132)÷111=6；（2）∵s 、t 均为“特异数”， 10032s x =+，256t y =+，∴F (s )=(100x +32+320+x +203+x ) ÷111=5+x (19x ££)，∵256t y =+，∴4y ¹，当13y ££时，F (t )=()()256502106100625y y y éù+++++++ëû÷111=13+y ，当59y ££时，F (t )=()()25660210610100610265y y y éù++++-++-+=ëû÷111=4+y (6y ¹)，∴F (s )+ F (t )=()()181913919596x y x y x y x y y ì++££££ïí++££££¹ïî，，，，由于()()F s F t +可被6整除，y x ³，①当1913x y ££££，时，6x y +=或12x y +=，∴当且当3x y ==时成立，则F (s )•F (t )=(5+x )• (13+y )=816128⨯=；②当195x y ££=，、7、8、9时，3x y +=或9或15，∴当9x y +=时，4x =，5y =或2x =，5y =或1x =，8y =，此时F (s )•F (t )=81或77或72；当15x y +=时，7x =，8y =或6x =，9y =，此时F (s )•F (t )=384或143；综上，F (s )•F (t )的最大值为384，此时7x =，8y =．【点睛】本题考查了因式分解的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F （m ）的定义式，求出F （456），F （321）的值，（2）根据s =100x +32，t =256+y 结合F （s ）+F （t ）可被6整除，得出x ，y 的二元一次方程组．14．阅读理解：在教材中，我们有学习到2222()a ab b a b -+=-，又因为任何实数的平方都是非负数，所以2()0a b -³，即222a b ab +³．例如，比较整式24x +和4x 的大小关系，因为2244(2)0x x x +-=-³，所以244x x +³请类比以上的解题过程，解决下列问题：（初步尝试）比较大小：21x +______2x ；9-_____26x x-（知识应用）比较整式225210x xy y ++和2(2)x y -的大小关系，并请说明理由．（拓展提升）比较整式2222a ab b -+和12a -的大小关系，并请说明理由．【答案】[初步尝试]≥，≤；[知识应用]225210x xy y ++≥2(2)x y -；[拓展提升]221222a ab b a ³-+-【分析】[初步尝试]两式相减，仿照题干中的方法比较即可；[知识应用]两式相减，将结果因式分解，再比较即可；[拓展提升]两式相减，利用完全平方公式变形，再比较即可．【详解】解：[初步尝试]()221210x x x +-=-³，∴21x +≥2x ；()()222696930x x x x x ---=-+=-³，∴9-≤26x x -；[知识应用]2225(20)12x xy y x y +-+-=2222542104x y xyx xy y -+++-=2269xyx y ++=()23x y +≥0∴225210x xy y ++≥2(2)x y -；[拓展提升]221222a ab b a æö-+-çè-÷ø=221222a ab b a --++=22211122222a a a ab b +-+-+=()()22211144222a a a ab b -+-++=()()22111222a a b +--当a =1，b =12时，原式=0，∴()()22111222a a b +--≥0，∴221222a ab b a ³-+-．【点睛】此题考查了因式分解的应用，非负数的性质，以及整式的混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解本题的关键．15．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．例如：分解因式()22223214(1)(3)(-1)4(12)(12)x x x x x x x x x +-=++-=+-==++++-求代数式2246x x +-的最小值，()2222462232(1)8x x x x x +-=+-=+-．当1x =-时，22467x x +-有最小值，最小值是8-，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：245x x --=__________．（2）当x 为何值时，多项式2243x x --+有最大值？并求出这个最大值．（3）若221721202333a ab b b -+-+=，求出a ，b 的值．【答案】（1）（x +1）（x -5）；（2）x =-1，最大值为5；（3）a =2，b =1【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；（2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x 为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a 、b 的值．【详解】解：（1）x 2-4x -5=（x -2）2-9=（x -2+3）（x -2-3）=（x +1）（x -5），故答案为：（x +1）（x -5）；（2）∵-2x 2-4x +3=-2（x +1）2+5，∴当x =-1时，多项式-2x -4x +3有最大值，这个最大值是5；（3）∵221721202333a ab b b -+-+=，∴2222172122202333a ab b b b b -+-+-+=，∴()()222114421023a ab b b b -++-+=，∴()()221121023a b b -+-=，∴a -2b =0，b -1=0，∴a =2，b =1．【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．16．下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++因式分解的过程．解：设24x x y -=，则原式()()264y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）()24y =+（第三步）()2244x x =-+（第四步）解答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是（）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．【答案】（1）C ；（2）因式分解不彻底，()42x -；（3）()41x -【分析】（1）先根据多项式乘以多项式计算，再用完全平方公式因式分解计算即可（2）利用完全平方公式因式分解即可（3）模仿给出的步骤，进行因式分解即可【详解】（1）∵()228164y y y ++=+，∴运用了两数和的完全平方公式．故选C ．（2）∵()()()222424422x x x x éù-+=-=-ëû，∴因式分解不彻底．（3）设22x x y -=，则原式()()()()22222221211211y y y y y x x x éù=++=++=+=-+=-ëû()41x =-．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、多项式乘以多项式、换元法是解题的关键17．定义：若一个整数能表示成a 2＋b 2（a ，b 是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为13＝32＋22，所以13是“完美数”；再如：因为a 2＋2ab ＋2b 2＝（a ＋b ）2＋b 2，所以a 2＋2ab ＋2b 2也是“完美数”．（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；（2）判断53 （请填写“是”或“否”）为“完美数”；（3）已知M ＝x 2＋4x ＋k （x 是整数，k 是常数），要使M 为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；（4）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k =5，理由见解答过程；（4）见解析【分析】（1）2=12+12，5=22+12，8=22+22，这些数都是小于10的“完美数”；（2）利用53=22+72即可判断；（3）由M=x2+4x+k得M=（x+2）2+k-4，则使k-4为一个完全平方数即可；（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则mn=（a2+b2）（c2+d2），进行整理可得：mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而可判断．【详解】解：（1）根据题意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，故2，5，8都是“完美数”，且都小于10，故答案为：2或5或8（写一个即可）；（2）53=22+72，故53是“完美数”，故答案为：是；（3）k=5（答案不唯一），理由：∵M=x2+4x+k∴M=x2+4x+4+k-4M=（x+2）2+k-4则当k-4为完全平方数时，M为“完美数”，如当k-4=1时，解得：k=5．（4）设m=a2+b2，n=c2+d2，则有mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad-bc）2故mn是一个“完美数”．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．18．一个三位或者三位以上的整数，从左到右依次分割成三个数，记最左边的数为a，最右边的数为b，中间的数记为m，若满足m＝a2+b2，我们就称该整数为“空谷”数．例如：对于整数282．∵22+22＝8，∴282是一个“空谷”数，又例如：对于整数121451，∵122+12＝145∴121451也是一个“空谷”数．满足m＝2ab，我们就称该整数为“幽兰”数；例如：对于整数481，∵2×4×1＝8，∴481是一个“幽兰”数，又例如：对于整数13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一个“幽兰”数．（1）若一个三位整数十位数字为9，且为“空谷”数，则该三位数为 ；若一个四位整数为“幽兰”数，且中间的数为40，则该四位数为 ；（2）若586a b是一个“空谷”数，570a b是一个“幽兰”数，求a2﹣b2的值．（3）若一个整数既是“空谷”数，又是“幽兰”数，我们就称该整数为“空谷幽兰”数．请写出所有的四位“空谷幽兰”数．【答案】（1）390；4405或5404；（2）136或-136；（3）1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【分析】（1）根据“空谷”数，“幽兰”数的特点进行分析并解答即可；（2）据题意可得：a2+b2=586，2ab=570，从而可求得a+b与a-b的值，进而可求a2-b2的值；（3）由题意可得：a2+b2=2ab，整理可得a=b，再由这个数是四位数，分析可得出结果．【详解】解：（1）∵这个三位数是“空谷”数，且十位数字为9，∴a2+b2=9，∴有3ab=ìí=î，3ab=ìí=î（不符合题意），∴这个三位数是390；∵这个四位数是“幽兰”数，且中间数为40，∴2ab=40，则ab=20，∴有45ab=ìí=î，54ab=ìí=î，210ab=ìí=î（不符合题意），102ab=ìí=î（不符合题意），∴这个四位数是：4405或5404；故答案为：390；4405或5404；（2）∵586a b是一个“空谷”数，570a b是一个“幽兰”数，∴a2+b2=586，2ab=570，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=586+570=1156，则a+b=34，(a-b)2=a2+b2-2ab=586-570=16，则a-b=±4，∴a2-b2=(a+b)(a-b)=34×4=136或a2-b2=(a+b)(a-b)=34×(-4)=-136；（3）由题意得：222m a b m abì=+í=î，则有a 2+b 2=2ab ，整理得：(a -b )2=0，则有a =b ；∵这个整数是一个四位数，∴1≤a ≤9，1≤b ≤9，中间数是两位数，则有：a =b =1时，这个四位数是1021；a =b =2时，这个四位数是2082；a =b =3时，这个四位数是3183；a =b =4时，这个四位数是4324；a =b =5时，这个四位数是5505；a =b =6时，这个四位数是6726；a =b =7时，这个四位数是7987．综上，这个四位数是1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，灵活运用因式分解进行解答．19．材料一：一个正整数x 能写成22x a b =-（a ，b 均为正整数，且a b ¹），则称x 为“雪松数”，a ，b 为x 的一个平方差分解，在x 的所有平方差分解中，若22a b +最大，则称a ，b 为x 的最佳平方差分解，此时()22F x a b =+．例如：222475=-，24为雪松数，7和5为24的一个平方差分解，22223297,3262=-=-，因为22229762+>+，所以9和7为32的最佳平方差分解，()223297F =+．材料二：若一个四位正整数，它的千位数字与个位数字相同，百位数字与十位数字相同，但四个数字不全相同，则称这个四位数为“南麓数”，例如4334，5665均为“南麓数”．根据材料回答：（1）请直接写出两个雪松数，并分别写出它们的一对平方差分解；（2）试说明10不是雪松数；（3）若一个数t 既是“雪松数”又是“南麓数”，并且另一个“南麓数”的前两位数字组成的两位数与后两位数字组成的两位数恰好是t 的一个平方差分解，请求出所有满足条件的数t ．【答案】（1）22112113=-，224073=-；（2）见解析；（3）2772，5445【分析】（1）根据雪松数的特征即可得到结论；（2）根据题意即可得到结论；（3）设(t abba a =，b 均为正整数，且09)a b <¹…，另一个“南麓数”为(t mnnm m ¢=，n 均为正整数，且09)n m <<…，根据“南麓数”的特征即可得到结论．【详解】解：（1）由题意可得：22112113=-，224073=-；（2）若10是“雪松数”，则可设2210(a b a -=，b 均为正整数，且)a b ¹，则()()10a b a b +-=，又1025101=⨯=⨯Q ，a Q ，b 均为正整数，a b a b \+>-，\52a b a b +=ìí-=î，或101a b a b +=ìí-=î，解得：7232a b ì=ïïíï=ïî或11292a b ì=ïïíï=ïî，与a ，b 均为正整数矛盾，故10不是雪松数；（3）设(t abba a =，b 均为正整数，且09)a b <¹…，另一个“南麓数”为(t mnnm m ¢=，n 均为正整数，且09)n m <<…，则2222(10)(10)99()99()()t m n n m m n m n m n =+-+=-=+-，99()()1000100101001110m n m n a b b a a b \+-=+++=+，整理得()()109a b m n m n a b ++-=++，a Q ，b ，m ，n 均为正整数，9a b \+=，经探究2786a b m n =ìï=ïí=ïï=î，5483a b m n =ìï=ïí=ïï=î，符合题意，t \的值分别为：2772，5445．【点睛】本题主要考查分解因式的应用，实数的运算，理解新定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．20．若一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，∵3764+=+，∴3674是“交替数”，对于四位数2353，2533+¹+Q ，∴2353不是“交替数”．（1）最小的“交替数”是________，最大的“交替数”是__________．（2）判断2376是否是“交替数”，并说明理由；（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是12，且十位数字与个位数的和能被6整除．请求出所有满足条件的“交替数”．【答案】（1）1001，9999；（2）是，理由见解析；（3）满足条件的“交替数”是4224或4257．【分析】（1）根据新定义，即可得出结论；（2）根据新定义，即可得出结论；（3）根据题意知()()1216243a b a b +-=⨯=⨯=⨯，求得a 和b 的值，再根据题意c d +是6的倍数，结合a c b d +=+，取舍即可求得所有满足条件的“交替数”．【详解】（1）根据题意：一个四位正整数abcd 满足：a c b d +=+，我们就称该数是“交替数”，最小的正整数是1，最大的正整数是9，∵1001+=+，9999+=+，∴最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999，故答案为：1111，9999；（2）是，理由如下：∵2736+=+，∴2376是“交替数”；（3）设这个“交替数”为abcd ，k 为正整数，依题意得：2212a b -=，6c d k +=，且a c b d +=+，由2212a b -=，知()()1216243a b a b +-=⨯=⨯=⨯，且19a ££，19b ££，即121a b a b +=ìí-=î或62a b a b +=ìí-=î或43a b a b +=ìí-=î，解得：132112a b ì=ïïíï=ïî(舍去)，或42a b =ìí=î或7212a b ì=ïïíï=ïî(舍去)，∵19c ££，19d ££，2618c d k £+=£，∴k 取1或2或3，当k 取1时，即6c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴62c d c d +=ìí-=-î，解得：24c d =ìí=î，∴“交替数”是4224；当k 取2时，即12c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴122c d c d +=ìí-=-î，解得：57c d =ìí=î，∴“交替数”是4257；当k 取3时，即18c d +=，4a =，2b =，∵a c b d +=+，即42c d +=+，即2c d -=-，∴182c d c d +=ìí-=-î，解得：810c d =ìí=î(不合题意，舍去)；综上，满足条件的“交替数”是4224或4257．【点睛】本题主要考查了新定义，倍数问题，二元一次方程的整数解的求解，平方差公式的应用，理解新定义是解本题的关键．21．很久以前，有一位老人临终前，准备将自己所养的7头牛全部分给两个儿子饲养，大儿先得一半，小儿再得剩余的四分之三，两儿正踌躇不决时，热心的邻居从自家牵了一头牛参与分配，给大儿分了四头牛，小儿分了三头牛，余下的一头牛邻居又牵回家了，皆大欢喜，聪明的邻居合理地解决了这个问题．初中数学里也有这种“转化”的思考方法．例如：先阅读下列多项式的因式分解：()()()()()2244222224444222222x x x x x x x x x x +=++-+-+=-++=按照这种方法分别把多项式分解因式：（1）464x +；。
因式分解顺利通关(基础+拔高+真题演练)(Word版+答案)
因式分解精华1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.分解因式的一般方法： （1）提公共因式法. （2）运用公式法.①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±（3）十字相乘法。
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.①对于二次三项式，若存在 ，则 ②首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.（4）分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 3.分解因式的步骤：2x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++ 专题知识回顾(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ),完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.【例题1】（2019•江苏无锡）分解因式4x 2－y 2的结果是（ ） A ．（4x +y ）（4x ﹣y ） B ．4（x +y ）（x ﹣y ） C ．（2x +y ）（2x ﹣y ） D ．2（x +y ）（x ﹣y ）【例题2】（2019贵州省毕节市） 分解因式：x 4﹣16＝ ． 【例题3】（2019广东深圳）分解因式：ab 2－a=____________．【例题4】（2019黑龙江哈尔滨）分解因式：22396ab b a a +-= ． 【例题5】（经典题）把下列各式分解因式：（1）1522--x x ； （2）2265y xy x +-．【例题6】（2019山东东营）因式分解：x （x －3）－x+3=____________．【例题7】（2019湖北咸宁）若整式x 2+my 2（m 为常数，且m ≠0）能在有理数范围内分解因式，则m 的值可以多少（写一个即可）．【例题8】（经典题）把ab ﹣a ﹣b+1分解因式。
精品-八年级数学上册-因式分解提高题集
整式的乘除与因式分解例1.已知：2,3==n m x x ，求n m x23+、n m x 23-的值。
例2.若0352=-+y x ，求yx 324⋅的值．例3.已知二次三项式21ax bx ++与2231x x -+的乘积展开式中不含3x 项，也不含x 项，求a 、b 的值。
例4.对下列多项式进行因式分解：（1）2233m n m n --- （2）432462x x x --+（3）22111439x xy y -+- （4）32322002220022000200220022003-⨯-+-例5.已知9ab =，3a b -=-，求223a ab b ++的值.例6.已知22n+1+4n =48, 求n 的值.例7.已知2226100a a b b ++-+=，求a 、b 的值。
例8.求证：不论x 、y 为何有理数，2210845x y x y +-++的值均为正数。
例9.先化简，再求值：()()()()33222491233x y x y x y xy xy xy +-+-+÷-，其中1,23x y ==。
课堂练习：一、选择题：1.若142-=y x ，1327+=x y ，则y x -等于（ ）A.－5B.－3C.－1D.12.若x 、y 是正整数，且2x ·2y ＝25，则x 、y 的值有 （ ）A. 4对B. 3对C. 2对D. 1对3.若a 、b 互为相反数，且a 、b 均不为0，n 为正整数，则下列结论正确的是（ ）A. a 2n 和b 2n 也一定互为相反数B. a n 与b n 一定互为相反数C. －a 2n 与－b 2n 也一定互为相反数D. a 2n ＋1与b 2n ＋1也一定互为相反数4.观察下列各式：①abx adx -；②2226x y xy +；③328421m m m -++；④3223a a b ab b ++-；⑤222()5()6()p q x y x p q p q +-+++；⑥2()()4()a x y x y b y x +--+.其中可以用提公因式法分解因式的有（ ）A ．①②⑤B ．②④⑤C ．②④⑥D ．①②⑤⑥5.多项式322236312m n m n m n --+分解因式时应提取的公因式为（ ）A ．3mnB ．23m n -C ．23mnD ．223m n -6.把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ）A.()()p p a +-21B.()()p p a --21 C.()()11--p a p D.()()11+-p a p7.已知2a b +=，则224a b b -+的值是（ ）Ａ.2 B.3 Ｃ.4 D.68.设(5a+3b)2=(5a-3b)2+M,则M 的值是( )A. 30abB. 60abC. 15abD. 12ab9.下列多项式能利用平方差公式分解的是（ ）A.2x y -B.22x y +C.22x y --D.22x y -+10.22424y x y xy x ++--有一个因式是x-2y ，另一个因式是（ ）A. x+2y+1B.x+2y-1C.x-2y+1D.x-2y-1二、填空题：11.若210,n n +-=则3222008_______.n n ++=12.已知：a m =2，b n =32，则n m 1032+=_______ 13.计算()()200520045225__________+⋅-= 14.利用分解因式计算:32003+6×32002－32004=_________15.计算（2＋1）（22＋1）（24＋1）·……·（22008＋1）＋1＝______16.要使162x ＋1成为完全平方式，应加上的式子是_______17.若n mx x ++2是一个完全平方式，则n m 、的关系是18.如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为___________19.已知0258622=+--+b a b a ，则代数式ba ab -的值是___________ 20.已知：0106222=+++-y y x x ，则=x _________，=y _______三、计算综合题：21.若的求n n n x x x 22232)(4)3(,2---=值．22.对下列多项式进行因式分解：（1）22254n m +- （2）229124b ab a ++ （3）（x -4）（x -2）＋1（4）4)1(4)1(222++-+a a （5）12918922---++y y x x （6）16)43)(23(22-++-+x x x x23.已知099052=-+x x ，求1019985623+-+x x x 的值。
因式分解精选经典拔高培优习题(含详细答案解析)
因式分解精选经典培优习题1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ．4、分解因式：22635y y x xy x ++++5、分解因式91)72)(9)(52(2---+a a a6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy因式分解详细答案解析1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)解析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．解析： (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ． 解析：4、分解因式：22635y y x xy x ++++ 解析：5、分解因式 91)72)(9)(52(2---+a a a 解析：6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy 解析：。
八年级因式分解常见方法和经典题型(适合基础和提高)
西安乐童教育中心八年级数学 因式分解常见方法讲解和经典题型常见方法一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)． 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
人教版八年级数学上《提公因式法》拔高练习
《提公因式法》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）计算（﹣2）2018+（﹣2）2017所得的结果是（）A．﹣22017B．﹣1C．﹣2D．22017 2．（5分）计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣299D．299 3．（5分）已知x﹣y＝3，xy＝2，则x2y﹣xy2的值为（）A．6B．5C．1.5D．1 4．（5分）分解因式﹣4x2y+2xy2﹣2xy的结果是（）A．﹣2xy（2x﹣y+1）B．2xy（﹣2x+y）C．2xy（﹣2xy+y﹣1）D．﹣2xy（2x+y﹣1）5．（5分）（﹣2）10+（﹣2）11的值等于（）A．﹣2B．﹣210C．210D．（﹣2）21二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）因式分解：2x2﹣4x═．7．（5分）把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是．8．（5分）因式分解：8a2﹣2a＝．9．（5分）分解因式：3x2yz+15xz2﹣9xy2z＝．10．（5分）将多项式﹣5a2+3ab提出公因式﹣a后，另一个因式是．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy12．（10分）把下列各式因式分解（1）a（x﹣y）+b（x﹣y）（2）（x+1）（x﹣1）﹣313．（10分）因式分解：﹣24m2x﹣16n2x．14．（10分）因式分解：（1）x2﹣10x（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay215．（10分）在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．《提公因式法》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）计算（﹣2）2018+（﹣2）2017所得的结果是（）A．﹣22017B．﹣1C．﹣2D．22017【分析】直接提取公因式（﹣2）2017，进而计算得出答案．【解答】解：（﹣2）2018+（﹣2）2017＝（﹣2）2017×（﹣2+1）＝22017．故选：D．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2．（5分）计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2B．﹣2C．﹣299D．299【分析】根据提公因式法，可得负数的奇数次幂，根据负数的奇数次幂是负数，可得答案．【解答】解：原式＝（﹣2）99[（﹣2）+1]＝﹣（﹣2）99＝299，故选：D．【点评】本题考查了因式分解，提公因式法是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．3．（5分）已知x﹣y＝3，xy＝2，则x2y﹣xy2的值为（）A．6B．5C．1.5D．1【分析】直接提取公因式xy，进而分解因式，再把已知代入得出答案．【解答】解：∵x﹣y＝3，xy＝2，∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝2×3＝6．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．4．（5分）分解因式﹣4x2y+2xy2﹣2xy的结果是（）A．﹣2xy（2x﹣y+1）B．2xy（﹣2x+y）C．2xy（﹣2xy+y﹣1）D．﹣2xy（2x+y﹣1）【分析】直接找出公因式﹣2xy，进而提取得出答案．【解答】解：﹣4x2y+2xy2﹣2xy＝﹣2xy（2x﹣y+1）．故选：A．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．5．（5分）（﹣2）10+（﹣2）11的值等于（）A．﹣2B．﹣210C．210D．（﹣2）21【分析】直接找出公因式（﹣2）10，进而提取计算得出答案．【解答】解：（﹣2）10+（﹣2）11＝（﹣2）10×（1﹣2）＝﹣210．故选：B．【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）因式分解：2x2﹣4x═2x（x﹣2）．【分析】直接提取公因式2x，进而分解因式即可．【解答】解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．7．（5分）把多项式3mx﹣6my分解因式的结果是3m（x﹣2y）．【分析】直接提取公因式3m，进而分解因式即可．【解答】解：3mx﹣6my＝3m（x﹣2y）．故答案为：3m（x﹣2y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（5分）因式分解：8a2﹣2a＝2a（4a﹣1）．【分析】直接找出公因式2a，进而提取公因式得出答案．【解答】解：8a2﹣2a＝2a（4a﹣1）．故答案为：2a（4a﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．（5分）分解因式：3x2yz+15xz2﹣9xy2z＝3xz（xy+5z﹣3y2）．【分析】直接找出公因式3xz，进而提取3xz分解因式得出答案．【解答】解：3x2yz+15xz2﹣9xy2z＝3xz（xy+5z﹣3y2）．故答案为：3xz（xy+5z﹣3y2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．10．（5分）将多项式﹣5a2+3ab提出公因式﹣a后，另一个因式是5a﹣3b．【分析】直接利用提取公因式法分解因式得出答案．【解答】解：多项式﹣5a2+3ab提出公因式﹣a后，另一个因式是：5a﹣3b．故答案为：5a﹣3b．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．【点评】考查了因式分解﹣提公因式法．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．12．（10分）把下列各式因式分解（1）a（x﹣y）+b（x﹣y）（2）（x+1）（x﹣1）﹣3【分析】（1）直接提取公因式（x﹣y），进而分解因式即可；（2）直接去括号进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：（1）a（x﹣y）+b（x﹣y）＝（x﹣y）（a+b）；（2）（x+1）（x﹣1）﹣3＝x2﹣1﹣3＝（x+2）（x﹣2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．13．（10分）因式分解：﹣24m2x﹣16n2x．【分析】直接找出公因式﹣8x，进而提取公因式得出答案．【解答】解：原式＝﹣8x（3m2+2n2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（10分）因式分解：（1）x2﹣10x（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2【分析】（1）直接提取公因式x，进而分解因式即可；（2）直接提取公因式﹣8a，进而利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）x2﹣10x＝x（x﹣10）；（2）﹣8ax2+16axy﹣8ay2＝﹣8a（x2﹣2xy+y2）＝﹣8a（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．15．（10分）在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．【分析】选择第一、三项相加，利用提取公因式法分解即可．【解答】解：x2+2xy+x2＝2x2+2xy＝2x（x+y）（答案不唯一）．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．。
第14章整式的乘法与因式分解(拔高卷)学生版
20232024学年人教版数学八年级上册章节真题汇编检测卷（拔高）第14章整式的乘法与因式分解考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.47姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•南平期末）下列各式变形中，是因式分解的是（）A．x2﹣2x﹣1＝x（x﹣2）﹣1 B．C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）2．（2分）（2022秋•天河区校级期末）有足够多张如图所示的A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片，若要拼一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片的张数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2分）（2023春•滕州市校级期末）若x2﹣2（m﹣3）x+16是完全平方式，则m的值是（）A．3 B．﹣5 C．7 D．7或﹣14．（2分）（2022秋•南关区校级期末）若△ABC的三边a，b，c满足（a﹣b）（b2﹣2bc+c2）＝0，那么△ABC 的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．锐角三角形5．（2分）（2023春•海港区校级期中）若c＝（﹣）2022×（）2023，则下列结果正确的是（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣6．（2分）（2022秋•西山区期末）如图，正方形中阴影部分的面积为（）A．a2﹣b2B．a2+b2C．ab D．2ab7．（2分）（2022秋•西岗区校级期末）若a﹣2b＝10，ab＝5，则a2+4b2的值是（）A．125 B．120 C．110 D．1008．（2分）（2022秋•合川区校级期末）已知2x﹣y＝3，则代数式x2﹣xy+y2+的值为（）A．B．C．3 D．49．（2分）（2022秋•和平区校级期末）已知a＝2020m+2021n+2020，b＝2020m+2021n+2021，c＝2020m+2021n+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（）A．1 B．3 C．6 D．101010．（2分）（2022秋•新泰市期中）在多项式①﹣m4﹣n4，②a2+b2，③﹣16x2+y2，④9（a﹣b）2﹣4，⑤﹣4a2+b2中，能用平方差公式分解因式的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个评卷人得分二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•前郭县期末）已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，则25m+10n＝．12．（2分）（2022春•洪泽区期中）一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则m2n+mn2的值为．13．（2分）（2022秋•长沙月考）x是实数，若1+x+x2+x3+x4+x5＝0，则x6＝．14．（2分）（2021秋•巴彦县期末）如果（x+m）（x﹣3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为．15．（2分）（2021秋•冷水滩区校级期中）已知（x﹣3）x+4＝1，则整数x的值是．16．（2分）（2019秋•雁江区期末）当a＝，b＝时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值．17．（2分）（2022秋•任城区校级月考）已知m、n满足mn＝4，m﹣n＝﹣1，则2m3n﹣4m2n2+2mn3＝．18．（2分）（2021•寻乌县模拟）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为．19．（2分）（2020•武侯区校级开学）计算：（2b﹣3c+4）（3c﹣2b+4）﹣2（b﹣c）2＝．20．（2分）（2018秋•晋江市期末）如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a ＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式．评卷人得分三．解答题（共7小题，满分60分）21．（8分）（2022秋•抚顺县期末）分解因式：（1）a3﹣a；（2）1﹣x2+2xy﹣y2．22．（8分）（2022春•渭滨区期末）如图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形边长为．（2）请你用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积，并用等式表示．（3）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝34，求图中阴影部分面积．23．（8分）（2022秋•铁西区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（4，64）＝，（3，1）＝，（2，）＝；（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明：∵设（3，4）＝x，则3x＝4，∴（3x）n＝4n，即（3n）x＝4n，∴（3n，4n）＝x∴（3n，4n）＝（3，4）．试参照小明的证明过程，解决下列问题：①计算（8，1000）﹣（32，100000）；②请你尝试运用这种方法，写出（7，45），（7，9），（7，5）之间的等量关系．并给予证明．24．（8分）（2021秋•坡头区校级期末）数学课上，我们知道可以用图形的面积来解释一些代数恒等式，如图1可以解释完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（1）如图2（图中各小长方形大小均相等），请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（不化简）：方法1：S阴影＝；方法2：S阴影＝．（2）由（1）中两种不同的方法，你能得到怎样的等式？（3）①已知（m+n）2＝16，mn＝3，请利用（2）中的等式，求m﹣n的值．②已知（2m+n）2＝13，（2m ﹣n）2＝5，请利用（2）中的等式，求mn的值．25．（8分）（2022秋•祁东县校级期中）一个长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），如果将长方形的长和宽各增加5厘米得到新的长方形，面积记为S1，将长方形的长和宽各减少2厘米得到新的长方形，面积记为S2．（1）请说明：S1与S2的差一定是7的倍数．（2）如果S1比S2大196cm2，求原长方形的周长．（3）如果一个面积为S1的长方形和原长方形能够没有缝隙没有重叠的拼成一个新的长方形，请找出x 与y的关系，并说明理由．26．（10分）（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．27．（10分）（2022春•榕城区期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．。
专题14.2因式分解(专项拔高卷)学生版
20232024学年人教版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题14.2 因式分解（专项拔高30题）考试时间：90分钟试卷满分：120分难度：0.49姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共11小题，满分22分，每小题2分）1．（2分）（2023春•电白区期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．3xy2＝3x⋅y2B．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）C．x2+x+2＝x（x+1）+2 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣12．（2分）（2022秋•高青县期末）已知甲、乙、丙均为含x的整式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为x2﹣4，乙与丙相乘的积为x2﹣2x，则甲与丙相乘的积为（）A．2x+2 B．x2+2x C．2x﹣2 D．x2﹣2x3．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（）A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣184．（2分）（2022秋•两江新区期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．以下说法：①分解因式：x2y+x2﹣y﹣1＝（x2﹣1）（y+1）＝（x+1）（x﹣1）（y+1）；②若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2＝ac+ab+bc，则△ABC为等边三角形；③若a，b，c为实数且满足a2+2b2+c2+28＝4a+8b+8c，则这三边能构成三角形；正确的有（）个．A．3 B．2 C．1 D．05．（2分）（2023春•曲阳县期末）已知多项式x2+ax﹣6因式分解的结果为（x+2）（x+b），则a+b的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．46．（2分）（2022秋•白云区期末）下列多项式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．a2﹣2a+4 B．a2+2a﹣1 C．a2+a﹣1 D．a2﹣4a+47．（2分）（2023春•曲阳县期末）小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种8．（2分）（2022秋•林州市校级期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x ﹣1，a﹣b，3，x2+1，a，x+1分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将3a（x2﹣1）﹣3b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱数学B．爱河南C．河南数学D．我爱河南9．（2分）（2022秋•南安市期末）已知a＝﹣x+2021，b＝﹣x+2022，c＝﹣x+2023，那么，代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值是（）A．﹣2022 B．2022 C．﹣3 D．310．（2分）（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（）A．25 B．20 C．15 D．1011．（2分）（2022春•兰西县校级期末）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（）cm2．A．B．C．15 D．16评卷人得分二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）（2023春•汉寿县期中）已知4x2+2（k+1）x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则k＝．（2分）12．13．（2分）（2023春•新田县期中）已知x2﹣x﹣1＝0，则代数式﹣x3+2x2+2022的值为．14．（2分）（2023春•新晃县期末）甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲看错了m，分解结果为（x+9）（x﹣2）；乙看错了n，分解结果为（x﹣5）（x+2），则正确的分解结果为．15．（2分）（2023春•双流区期中）已知：△ABC的三分别边为a、b、c；且满足a2+2b2+c2＝2b（a+c），则△ABC的形状．16．（2分）（2022秋•合肥期末）若a+b＝3，ab＝﹣1，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为．17．（2分）（2022春•桃江县期末）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．18．（2分）（2022秋•济宁期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：（x+y）＝18，（x﹣y）＝0，（x2+y2）＝162，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式9x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）．19．（2分）（2021秋•龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是．20．（2分）（2018春•成都期中）若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ca的值为．评卷人得分三．解答题（共10小题，满分80分）21．（6分）（2023春•成县期末）因式分解．（1）y+（y﹣4）（y﹣1）；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．22．（6分）（2022秋•嘉峪关期末）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解的过程．将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y，则原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2，再将“y”还原即可．解：设x2+2x＝y．原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2．问题：（1）该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣4x）（x2﹣4x+8）+16进行因式分解．23．（6分）（2022秋•宛城区校级期末）阅读以下文字并解决问题：【方法呈现】形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x 的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：x2+2x+3＝（x2+2x+1）+2＝（x+1）2+2，∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．则这个代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1．【尝试应用】（1）利用“配方法”因式分解：x2+2xy﹣3y2．（2）求代数式x2﹣14x+10的最小（或最大）值，并写出相应的x的值．24．（8分）（2023春•铁西区月考）我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝（x2+2x+1﹣1）﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．求代数式2x2+4x﹣6的最小值．2x2+4x﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值﹣8．根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）填空：x2﹣+49＝（x﹣7）2；；（2）利用配方法分解因式：x2﹣2x﹣24（注意：用其它方法不给分）；（3）当x为何值时，多项式﹣x2﹣4x+3有最大值，并求出这个最大值．25．（8分）（2023春•吉安县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣4a﹣b2+4；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状．26．（8分）（2023春•沭阳县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．（1）请说明28是否为“神秘数”；（2）下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．①嘉嘉发现：两个连续偶数2k+2和2k（其中k取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数．②洪淇发现：2024是“神秘数”．27．（8分）（2023春•滕州市期末）阅读下列材料，并解答相应问题：对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式，但是对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接应用完全平方式，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加一项a2，使其一部分成为完全平方式，再减去a2项，使整个式子的值不变，于是有下面的因式分解：仔细领会上述的解决问题的思路、方法，认真分析完全平方式的构造，结合自己对完全平方式的理解，解决下列问题：（1）因式分解：①x2﹣4x+3；②（x2+2x）2﹣2（x2+2x）﹣3．（2）拓展：因式分解：x4+4．28．（10分）（2023春•贵州期末）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图1、图2阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b的等式①；【知识迁移】在边长为a的正方体上挖去一个边长为b的小正方体后，余下的部分（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②a3﹣b3＝（结果写成整式的积的形式）【知识运用】已知a﹣b＝4，ab＝3，求a3﹣b3的值．29．（10分）（2023春•兴庆区期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝15，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形图形，则x+y+z＝．（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一直线上，连接AG 和GE，若两正方形的边长满足a+b＝12，ab＝20，你能求出阴影部分的面积吗？30．（10分）（2022秋•平城区校级期末）综合与实践如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝，S2＝；写出利用图形的面积关系所得到的公式：（用式子表达）．（2）依据这个公式，康康展示了“计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解题过程．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．在数学学习中，要学会观察，尝试从不同角度分析问题，请仿照康康的解题过程计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．（3）对数学知识要会举一反三，请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数．。
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八年级数学(上)周末辅导
资料
、知识点梳理:
1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形
式。
2、因式分解的方法:
(1) 提公因式法，即 ma+mb+mc=m(a+b+c)
(2)运用公式法，平方差公式:
、典型例题:
例2:分解因式: 2 2a x
(1) 如果9x 2
kx 25是一个完全平方式，那么 k 的值是(
A 、
15 B 、 ± 5 C 30
D ± 30 (2) 若x 2 mx 15 (x 3)(x n)则 m= n=
(3) 计算 2998 2+2998X 4+4=
(4) 若x 2 4x 4的值为0，
则 3x 2 12x 5的值是
例3:已知a - b = 1 ，a 2 b 2 25 求ab 和a+b 的值
完全平方公式: a 2 2ab b 2 a b 2 和 a 2 2ab b 2
(3)十字相乘法：对于二次三项式 Px q ,若能找到两个数a 、
P , q, 则就有 x 2 Px q x 2 (a b)x ab (x a)(x b).
注：若q 为正，则 a , b 同号；若 q 为负，贝U a , b 异号;
2
8axy 8a y a 2(x-y)+9b 2(y-x)
、强化训练:
1、已知x+y=6, xy=4，则x* 2y+xy2的值为.
2、观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是________________________ 。
3、分解因式：
(2 a- b) 2-( a +b)2-3 ma+6m£-3 ma a 2( m n)+ b2( n- m)
(8) 16a472a2b281b4
4、已知：a=2999, b=2995,求a2 2ab b2 5a
6, 已知a为任意整数，且13 2
a的值总可以被n整除(n为自然数，且n不等于1)，则n的值为
7、已知x(x-1)-( x2y)=-2,
2
y—xy的值。
m416n4
5b 6的值
5、利用因式分解计算
2。