线性控制系统的数学模型

合集下载

第2章自动控制系统的数学模型

二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式：
2、特点一阶惯性环节含有一个储能元件，输入量的作用不能立即在输出端全部重现出来，而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电容电压uC为输出；（2）列微分方程组：由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章线性系统的数学模型
第2章线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析法都是建立在传递函数基础上的。

线性系统的数学模型

第二章线性系统的数学模型
描述控制系统输入、输出变量及内部变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
★ 描述控制系统的输入－输出变量数学模型:
微分方程、传递函数、方框图、频率特性
★ 描述控制系统的内部变量数学模型：状态空间
说明 ◆ 要分析自动控制系统的性能，必须先建立该系统的数学模型； ◆ 一个物理系统，要处理的问题或要达到的精度不同，得到的数学模型也不同。
3.反馈
R(S) E(S) ＋ B(S) H(S) C(S)
G(S)
负反馈正反馈单位反馈：H(S)＝1
主要内容
§2－1 微分方程 §2－2 传递函数
§2－3 典型环节的传递函数及动态响应
§2－4 电气网络的运算阻抗与传递函数 §2－5 方框图 §2－5 反馈控制系统的传递函数
§2－1
微分方程
对于线性定常系统, 可以用线性常系数微分方程作为其数学模型，如 a 0dnc (t)/dtn +a1dn-1c (t) /dtn-1+…＋anc (t) =b0dmr(t)/dtm +b1dm-1r(t)/dtm-1+…+bmr(t) c(t): 系统的输出； r(t): 系统的输入； a0……an ; b0……bm 均为实数，均由系统本身的结
对电气网络，可以不列微分方程，仅利用运算电路，经过简单的代数运算，就可以求得传递函数！
§2－5 控制系统的方框图
方框图是以图形表示系统的数学模型；
通过方框图，能够非常清楚地表示出信号在系统各
环节之间的传递过程；
方框图可以方便地求出复杂系统的传递函数；方框图是分析控制系统的一个简明而有效的工具。
八.二阶振荡环节 1、传递函数

自动控制原理学习

自动控制学习1．控制系统的数学模型经典控制理论分析线性控制系统的性能的方法：时域分析、根轨迹、频域分析。

线性化处理选用拉氏变换，非线性处理，用泰勒级数展开，当增量很小时，去除增量线性化。

复数域的数学模型：传递函数。

定义在零初始状态下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换的比值。

2.线性系统的时域分析2.1一阶系统的时域分析2.2 二阶系统的时域分析时域分析就是输出响应随着时间变化由输入激励函数所产生响应的变化。

输入激励有单位阶跃函数、单位脉冲函数、单位斜坡函数。

系统的稳定性分析：所谓稳定性就是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原状态的性能。

即平衡状态稳定性。

若达到稳定，闭环系统的极点均具有负实部，即所有极点均落在S轴的左边。

赫尔维茨判据：要求其闭环特征方程的系数全大于零，且各顺序主子式也大于零。

劳斯判据：为防止劳斯判据失效，在劳斯表中出现无穷大项时，可以用原特征方程乘以（s+a）的系数重新组成特征方程。

若出现全零行，则去F(s)为全零行的上一行，用F(s)的导数取代全0行。

时域分析中的重要参数δ-阻尼比，Wn-自然频率，σ-衰减系数，Wd-阻尼振荡频率，td-延迟时间，tr-上升时间，tp-峰值时间，ts-调节时间2.3 自动控制经典控制理论1、控制系统的组成：给定＋控制器＋被控对象＋反馈。

2、基本的控制方式：1）开环控制系统利用控制器或控制执行机构去获得预期的响应。

2）闭环（反馈）控制系统将被控量与期望值通过比较得到一个偏差，通过控制器的作减小或消除这个偏差，使被控量与期望值趋于一致。

2.3.1 线性系统的频域分析2.3.1.1频域分析法的特点根据傅里叶级数，周期函数的傅里叶级数都是由正弦和余弦组成的三角级数。

周期为T 的任一周期函数f(t),若满足狄里赫莱条件：在一个周期内只有有限个不连续点，在一个周期内只有有限个极大和极小值，f(t)在时间-T/2~T/2内积分存在，即可写出傅里叶级数。

经傅里叶分解后得到各项分量频率是基波频率的倍数，对不同频率分量的响应我们选用频域分析。

自动控制原理课件第二章线性系统的数学模型

c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0

0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方程。
• 涉及的是线性系统非线性系统必须进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与实际对应，通常将复杂系统分解为若干典型环节的连接
数学模型的定义数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型的形式时间域：复数域：频率域：微分方程差分方程传递函数结构图频率特性状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

控制系统的数学模型

Monday, July 27,
J
d
dt
m
mc
2020
8
控制系统的微分方程
La
di dt
Rai
ea
ua
ea Ce
m Cmia
J
d
dt
m
mc
整理得
La J CeCm
d 2 dt 2
Ra J CeCm
d dt
ua Ce
La CeCm
dmc dt
Ra mc CeCm
TaTm
d 2 dt 2
Tm
d dt
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m
Monday, July 27,
2020
7
控制系统的微分方程
[例2-3]电枢控制式直流电动机
Ra La
if
i ua
ea
M
ω
这里输入是电枢电压ua和等效到电机
Mc 转轴上的负载转矩Mc，输出是转速
若的取A(某x0,一y0平)。衡A点状附态近为有工点作为点，如下图中y0
例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, F, m, f , k
分别与
q,
ui
,
L,
R,
1 C
为相似量。
[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟
相对复杂的系统，实现仿真研究。
Monday, July 27,
2020
10
非线性环节微分方程的线性化
2、非线性元件（环节）微分方程的线性化
在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。

自动控制原理线性系统的数学模型传递函数

(5)传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子
多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性
所造成的。系数为实数。
6/47
§2.3 传递函数
(6)传递函数与微分方程有相通性。把微分方程
中的
d dt
用s代替就可以得到对应的传递函数。
(7)传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。
(8)传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
K1 R
14/47
§2.3 传递函数
3. 积分环节
输出量正比于输入量的积分的环节称为积分环节，其动态特性方程：
c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
其传递函数： G(s) C(s) 1 R(s) Ti s
式中Ti为积分时间常数。
15/47
§2.3 传递函数
积分环节的单位阶跃响应为： C(t) 1 t Ti
§2.3 传递函数
4. 微分环节
理想微分环节的特征输出量正比于输入量的
微分，其动态方程
c(t)
Td
dr(t) dt
其传递函数
G(s)
C(s) R(s)
Td
s
式中Td称微分时间常数
它的单位阶跃响应曲线 c(t) Td (t)
它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所示。
16/47
§2.3 传递函数
上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输出u0(t)，其传递函数为
G(s) U0 (s) 1 1 Ui (s) RCs Ti s
式中Ti = RC
17/47
9/47
§2.3 传递函数
2.2.3 典型环节的传递函数

自动控制理论线性系统数学模型

设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y
若的取A某(x一0, y平0 )衡。状A点态附为近工有作点点为，如下图中y0
y0
y0
B(x x, y y)，当 x很小时，AB段可
近似看做线性的。
0
B y f (x) A
x0 x0 x x
设f(x)在 A(x0, y0 )点连续可微，
y
则将函数在该点展开为泰勒级
G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s)
控制系统的数学模型>>控制系统的结构图与信号流图
2、并联运算法则
因为所以
R(s)
G1(s)
X1(s) + C(s)
G1 (s)
X1 (s) R(s)
-
G2 (s)
X 2 (s)
G
2
(s)
X2 (s) R(s)
X1(s) X2 (s) C(s)
G(s) C(s) X1 (s) X 2 (s) X1 (s) X 2 (s)
[ui (s)
u(s)]
1 R1
I1(s)
I1(s) I (s) I2(s) I(s) 1 u(s)
C1s
ui (s)
1
-
R1
I1(s)
u(s) I(s)
-
I1(s)
I2 (s)
I (s)
1 C1s
u(s)
[u(s) uo (s)]
1 R2
I 2 (s)
I 2 (s)
1 C2s
uo (s)
图3.1 RLC无源网络
解：
L
di(t) dt
Ri(t)
1 C
i(t)dt
ui(t)

第二章控制系统数学模型

s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0

控制系统的数学模型及传递函数【可编辑全文】

可编辑修改精选全文完整版控制系统的数学模型及传递函数2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。

一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。

f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。

2)当时，，M，a为实常数。

2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。

—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。

二、典型时间函数的拉氏变换在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。

1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见表2-1：拉氏变换对照表F(s) f(t)11(t)t三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。

2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：，令t-a=τ,则有上式=例：, 求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)由正向使的f(t)值。

自动控制原理课件：线性系统的数学模型

式中
L1——信号流图中所有不同回环的传输之和；
L2——所有两个互不接触回环传输的乘积之和；
L3——所有三个互不接触回环传输的乘积之和；
……………
Lm——所有m个互不接触回环传输的乘积之和；
26
梅逊公式：信号流图上从源节点（输入节点）到汇节点（输出节点）的总传输公式.
1 n
G ( s ) Pk k
1. 确定系统的输入量和输出量；
2. 根据物理或化学定理列出描述系统运动规律的一组
微分方程；
3. 消去中间变量，最后求出描述系统输入与输出关系
的微分方程---数学模型。
如微分方程为线性，且其各项系数均为常数，则称为
线性定常系统的数学模型。
例2.1 如图所示为一RC网络，图中外加输入电压ui，电容电压
L 0
1
2
1
1
2
2
2
1 L1 1 G2 (s)H1 (s) G1 (s)G2 (s)H2 (s)
1 1
2 1
G1 ( s )G2 ( s ) G3 ( s )G2 ( s )
C (s)

R( s ) 1 G2 ( s ) H1 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )
duc (t )
RC
uc (t ) ui (t )
dt
设初始状态为零，对方程两边求拉普拉斯变换，得
U c (s)
1
G (s)

U i ( s ) RCs 1
典型环节的传递函数
b0 s m b1s m1 bm1s bm
G( s)
a0 s n a1s n1 an1s an

自动控制原理经典控制部分线性系统的数学模型

可由下列的语句来输入 >>G=4*conv(［1,2］,conv(［1,3］,［1,4］))
32/27
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
有了多项式的输入,系统的传递函数在 MATLAB 下可由其分子和分母多项式唯一地确定出来,其格式为
sys=tf(num,den)
其中num为分子多项式，den为分母多项式
>>A =［1,3］; B =［10,20,3］； >>C = conv(A,B) C = 10 50 63 9
即得出的C(s)多项式为10s3 +50s2 +63s +9
31/27
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
MATLAB提供的conv( )函数的调用允许多级嵌
套,例如
G(s)=4(s+2)(s+3)(s+4)
>>P=［1 0 2 4］
注意尽管s2项系数为0,但输入P(s)时不可缺省0。
MATLAB下多项式乘法处理函数调用格式为
C=conv(A,B)
30/27
2.6 在MATLAB中数学模型的表示
例如给定两个多项式A(s)=s+3和B(s)=10s2+20s+3, 求C(s)=A(s)B(s),则应先构造多项式A(s)和B(s),然后再调用conv( )函数来求C(s)
num=［b0,b1,b2,…,bm］；den=［a0,a1,a2,…,an］；
19/27
§ 2.5 信号流图
2.5.6信号流图的增益公式
给定系统信号流图之后，常常希望确定信号流图中输入变量与输出变量之间的关系，即两个节点之间的总增益或总传输。上节采用信号流图简化规则，逐渐简化，最后得到总增益或总传输。但是，这样很费时又麻烦，而梅逊 (Mason) 公式可以对复杂的信号流图直接求出系统输出与输入之间的总增益，或传递函数，使用起来更为方便。

第2章_控制系统的动态数学模型_2.2数学模型的线性化

线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。
非线性系统数学模型的线性化方法泰勒级数展开法函数 y = f ( x) 在其平衡点 ( x0，y0 ) 附近的泰勒级数展开式为：
df ( x) y = f ( x) = f ( xo ) + ( x − x0 ) dx x = x0
df ( x) y 或： − y0 = ∆y = k ∆x，其中： k = dx x = x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增量方程。由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。此处增量是指偏离平衡点的量。增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点。
df ( x) y = f ( x) = f ( xo ) + ( x − x0 ) dx x= x0 1 d f ( x) 1 d f ( x) 2 + ( x − x0 ) + ( x − x0 )3 +L 2! dx2 x=x 3! 高一次的增量 ∆x = x − x0 的项，则：
非线性系统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。为分析方便通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。
线性系统微分方程的一般形式
dn d n −1 d an n xo (t ) + an −1 n −1 xo (t ) + L + a1 xo (t ) + a0 xo (t ) dt dt dt dm d m −1 d = bm m xi (t ) + bm −1 m −1 xi (t ) + L + b1 xi (t ) + b0 xi (t ) dt dt dt

第2章线性系统的数学模型

duC (t ) d 2 u C (t ) u r (t ) RC LC u C (t ) 2 dt dt
整理成规范形式 LCuC (t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t )

【例2】建立下面机械平移系统的数学模型求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。

数学模型的形式
时域（t）
：微分方程复域（s）：传递函数频域（w）：频率特性
三种数学模型之间的关系线性系统
拉氏传递函数变换
微分方程
傅氏变换
频率特性
§2-2 时域数学模型
时域中数学模型的基本形式是微分方程。线性定常连续系统其最基本的时域数学模型为：常系数线性微分方程，其一般形式可表为：
f (t ) L [ F ( s)]
1
拉氏变换的基本知识拉氏变换的基本性质 (1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
(2)微分性质
若 L[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。

u uc ur u Ri Rf

运算放大器的数学模型为
uc (t )
Rf Ri
u r (t )
2.线性系统的特点

1）定义
如果系统的数学模型是线性微分方程，这样的
系统就是线性系统具有迭加性和齐次性的元件称为线性元件。

2）性质：满足叠加原理
迭加性齐次性
L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] F1 (s) F2 (s)

线性定常控制系统的数学模型

第三十八章线性定常控制系统的数学模型第一节控制系统模型的构成一、控制系统的模型描述控制系统动态特性的数学表达式称为系统的数学模型，它是分析和设计系统的依据。

数学模型应当既能足够准确地反映系统的动态特性，又具有较简单的形式。

实际系统都程度不同地存在非线性和分布参数特性，如果这些因素影响不大，则可忽略不计。

在正常工作点附近变化时，可以用线性化模型来处理；但当系统在大范围内变化时采用线性化的模型就会带来较大误差。

可以根据系统内部的变化机理写出有关的运动方程，或者通过实验测取系统的输入!输出数据，然后对这些数据进行处理，从而建立系统的数学模型。

前者是机理法，后者是测试法，又称系统辨识。

二、微分方和差分方程微分方程是连续系统最基本的数学模型，可按下列步骤建立："!将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量、输出量。

单向环节是指后面的环节无负载效应，即后面的环节存在与否对该环节的动态特性没有影响。

#!根据系统内部机理，通过简化、线性化、增量化建立各个环节的微分方程。

$!消去中间变量，保留系统的输入量、输出量，得出系统的微分方程。

%!整理成标准形式，将含输出量的项写在方程左端，含输入量的项写在右端，并将各导数项按降阶排列。

设&!’，则单输入!单输出系统的微分方程的一般形式为(（"）（)）*+"(（&!"）（)）*…*+&!"(!（)）*+&(（)）,-./（’）（)）*-"/（’!"）（)）*…*-’!"/!（)）*-’/（)）（$0!"）离散系统在某一时刻12的输出(（1），可能既与同一时刻的输入与同一时刻的输入/（1）有关，又与过去时刻的输入(（1!"），…，/（1!’）有关；而且还与过去时刻的输出/（1!"），…，(（1!&）有关。

因此，&!’时，输入和输出之间的关系可表示为#（$）*%"#（$!"）*…*%"#（$!"）,&.’（$）*&"’（$!"）*…*&(’（$!(）（$0!#）不失一般性，可以假定/（1）,.，(（1）,.，13.。

控制工程第二章线性系统的数学描述1

3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的关系表达出来。微分方程、传递函数、频率特性和差分方程。
➢ 状态空间描述或内部描述不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？系统、元件非线性特性的普遍存在性；精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般形式的解，这给研究系统带来理论上的困难；线性微分方程理论比较成熟。

第3章线性控制系统的数学模型

9
天津大学仁爱学院信息工程系
第3章控制系统模型及转换【例3.3】写出下列系统的状态变量方程在MATLAB中的矩阵表示：
1 6 9 10 4 6 3 12 6 8 2 4 x u x 4 7 9 11 2 2 5 12 13 14 1 0 0 0 2 1 y x 8 0 2 2
第3章控制系统模型及转换
控制系统仿真
李双双 2实验楼405 tjulishuangshuang@
天津大学仁爱学院信息工程系
第3章控制系统模型及转换
主要内容
• • • • • 3.1 线性定常系统模型 3.2 线性离散时间系统的数学模型 3.3 线性定常系统模型的属性 3.4 线性系统数学模型之间的相互转换 3.5 方框图模型的连接和化简
18
天津大学仁爱学院信息工程系
第3章控制系统模型及转换（3）离散系统的滞后离散系统的纯滞后通常用采样周期的整数倍来描述。【调用格式】 Ts=m H=tf(num,den,’Ts’,T) 6z H ( s) 【例3-7】设某离散系统的脉冲传递函数为 z z 1 采样周期Ts=0.1s。试建立该系统的带有0.2s纯滞后时间的数学模型。解：系统的纯滞后时间为0.2s，为2个采样周期 >>Ts=0.1; >>H=tf(6,[1 -1 0 1],Ts,'inputdelay',2)
控制系统模型及转换天津大学仁爱学院信息工程系李双双2实验楼405tjulishuangshuang163com控制系统模型及转换天津大学仁爱学院信息工程系31线性定常系统模型32线性离散时间系统的数学模型33线性定常系统模型的属性34线性系统数学模型之间的相互转换35方框图模型的连接和化简控制系统模型及转换天津大学仁爱学院信息工程系31线性定常系统模型连续线性定常系统一般都可用传递函数来表示也可用状态方程来表示它们适用的场合不同前者是经典控制的常用模型后者是现代控制理论的基础但它们是描述同样系统的不同描述方式

自动控制理论第二章--线性系统的数学模型全

理
论一.物理模型、数学模型及数学建模
物理模型：
任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对
它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。
简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。
简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确
要求来确定出合理的物理模型。
2
第二章线性系统的数学模型
自
动
控
制理
物理模型的数学描述。是指描述系统
零初使条件是指当t≤0时,系统r(t)、c(t)以及它们的各阶
导数均为零。
传递函数
输出信号的拉氏变换输入信号的拉氏变换
零初始条件
C(s) R(s)
26
第二章线性系统的数学模型
自
动
控线性系统微分方程的一般形式为:
制
理论
制理论
F(s)
br (s p1)r
br 1 (s p1)r1
b1 (s p1)
ar 1 s pr1
an s pn
br
B(s)
A(s)
(s
p1
)r
s p1
br 1
d
ds
B(s) A(s)
(s
p1 ) r
s p1
br j
1 dj
j!
ds
j
B(s) A(s)
(s
p1
La
dia (t ) dt
Raia (t )
Ea
+
(1) -
La
if Ra
m
+ ia
Ea ——电枢反电势，其表达式为 Ua
Ea S M
负载
jmfm
Ea Cem(t) (2) --