偏微分方程理论学习-USTC
偏微分方程重点知识点总结
偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
《偏微分方程》课件
非线性偏微 分方程：方 程中含有偏 导数，且偏 导数项的系 数不是常数
椭圆型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数
抛物型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 不是常数
双曲型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数，但 方程的解不 是实数
边界条件：确定求解区域和边界条件，如Dirichlet边界条件、 Neumann边界条件等
初值条件：确定求解区域的初值条件，如Cauchy问题、初边值问题等
稳定性和收敛性：分析求解方法的稳定性和收敛性，确保解的准确性和 可靠性
应用实例：通过具体实例，展示求解方法的应用和效果
课件结构
课件目录
偏微分方程的应用
物理领域：描述 流体力学、热力 学、电磁学等现 象
工程领域：解决 结构力学、材料 力学、电子工程 等问题
生物领域：模拟 生物系统的生长、 扩散、反应等过 程
经济领域：用于 金融、经济模型、 风险管理等方面
偏微分方程的求解方法
分析法：通过分析方程的性质，寻找解的性质和形式
数值法：通过数值计算，求解偏微分方程的数值解
偏微分方程的求解方法：展示偏微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等
公式素材
偏微分方程的 定义和性质
偏微分方程的 应用实例
偏微分方程的 求解方法
偏微分方程的 扩展和研究进
展
动画素材
动画类型：2D动画、3D动画、Flash动画等 动画内容：偏微分方程的求解过程、应用实例等 动画风格：简洁明了、生动有趣、易于理解 动画时长：根据课件内容需要，控制在5-10分钟以内
偏微分方程PPT课件
偏微分方程在物理学中的完美应用——热方程，推导和示例
偏微分方程在物理学中的完美应用——热方程，推导和示例偏微分方程是一个将具有一个以上变量的函数与其偏导数联系起来的方程。
为了引入偏微分方程，我们要解决一个简单的问题：模拟薄金属棒内的温度作为位置和时间的函数。
在此过程中，我们将从物理原理推导出一维热方程，并求解一些简单的条件：在这个方程中，温度T是位置x和时间T的函数，k、ρ和c分别是金属的热导率、密度和比热容，k/ρc称为扩散系数。
物理过程我们想要研究，随着时间的增加，热量如何在长为L的金属棒中传导的。
金属棒的一端在x=0处，另一端在x=L处。
金属棒的长度远大于它的截面半径，所以我们可以把热传导看成是x和t的函数。
假设金属棒的比热容是已知的，如果我们能找到温度T（x, t）的函数，我们就能知道热量是如何扩散的。
假设棒沿其长度方向是绝热的，因此它只能通过两端吸收或散发热量。
这意味着温度分布只取决于以下三个因素：•初始温度分布情况T（x,0）。
这叫做初始条件。
•金属棒两端的温度，T（0, t）和T（L, t）这些叫做边界条件。
•热量在金属棒内由一点传递到另一点的规律。
热方程是这种物理定律的数学表示。
对于一组特定的初始和边界条件，求解偏微分方程的问题被称为初始边值问题（IBVP）。
在本文中，我们将求解的热方程的初始边值为T（0，t）=T（L，t）=0°C。
这些叫做齐次边界条件。
热方程的推导热方程可以从能量守恒导出：金属杆上某一点储存的热量的时间变化率等于进入该点的净热量流量。
这个过程显然符合连续性方程。
如果Q是各点处的热量，V是热量流动的矢量场，则：根据热力学第二定律，如果两个相同的物体进行热接触，其中一个比另一个热，那么热量必然以与温度差成比例的速度从较热的物体流向较冷的物体。
因此，V与温度的负梯度成正比，所以V=-k∇T，其中k为金属的导热系数。
在一维中，它简化为V=(-k∂T/∂x)x，其中x是+x方向的单位向量。
Q=ρcT，代入V和Q的表达式，得到热方程：解热方程在我们进一步讨论之前，我们需要证明对于任何有物理意义的初始和边界条件，热方程必须存在一个唯一的解。
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法大学数学易考知识点：偏微分方程的基本理论和解法一、引言数学作为一门基础学科，广泛应用于各行各业。
在大学数学课程中，偏微分方程是一个重要的知识点。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、偏微分方程的基本概念1. 偏微分方程的定义偏微分方程是含有未知函数及其偏导数的方程。
它与常微分方程不同之处在于，偏微分方程中的未知函数不仅依赖于自变量，还依赖于各个自变量的偏导数。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的未知函数的偏导数的阶数和个数，可以分为常系数偏微分方程和变系数偏微分方程；根据方程类型，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型等不同类型的方程。
三、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性对于线性偏微分方程，满足一定的初值条件和边值条件时，解的存在性和唯一性可以得到保证。
这一结论对于求解实际问题具有重要的意义。
2. 偏微分方程的解的性质偏微分方程解的性质包括可微性、连续性以及一定的物理意义。
解的性质可以通过数学推导和物理分析得到。
四、偏微分方程的解法1. 常系数偏微分方程的解法常系数偏微分方程包括常系数线性偏微分方程和常系数非线性偏微分方程。
对于常系数线性偏微分方程，可以使用特征线法、分离变量法等方法求解；对于常系数非线性偏微分方程，可以使用变量分离法等方法求解。
2. 变系数偏微分方程的解法对于变系数偏微分方程，一般的解法是利用变换法将其转化为常系数偏微分方程。
常用的变换方法包括相似变量法、积分因子法等。
五、应用实例1. 热传导方程的求解热传导方程是一个典型的偏微分方程，描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
采用分离变量法或者变量分离法可以求解该方程，从而得到物体内部的温度分布。
2. 波动方程的求解波动方程描述了波动现象的传播规律。
通过变量分离法或者特征线法可以求解波动方程，得到波动的传播速度和波形。
六、总结通过对偏微分方程的基本理论和解法的介绍，我们可以看到偏微分方程是数学中一个重要且广泛应用的知识点。
一阶偏微分方程讲义
偏微分方程(Partial Differential Equations)許多物理規律、物理過程和物理狀態都可以用微分方程描述。
當物理過程和狀態只由一個因素決定時，往往提出常微分方程。
例如質點的運動，通過解常微分方程就能得到質點的運動規律。
例：()()()()mu t cu t ku t P t++=(質點運動方程式)當物理問題由多個因素決定時，就會涉及到偏微分方程，偏微分方程為應用數學中重要的課題之一，物理問題之數學模式與偏微分方程式有關，許多數學理論與方法的發展往往肇因於求解偏微分方程。
例：222u uat x∂∂=∂∂(熱傳導方程式)22222u uat x∂∂=∂∂(波動方程式)2222u ux y∂∂+=∂∂(拉普拉斯方程式)u uut x∂∂+=∂∂(衝擊波方程式)33u u uut x xσ∂∂∂++=∂∂∂(KdV方程式)1. 偏微分方程的定義與解設()12,,,n u x x x = 為自變數12,,,n x x x 之函數，任何包含其偏導數之關係式21211,,,,,,,0n n u u f x x x x x x ⎛⎫∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭(1)稱為偏微分方程式(簡稱P.D.E.)。
基本名詞：(1) 階數(order)：P.D.E.中所含最高階偏導數之階數。
(2) 線性(linear)：P.D.E.中，其未知函數以及其偏導數均滿足 (i)次數均為一次。
(ii)無互相的乘項。
(iii)無非線性函數。
則稱為線性P.D.E.。
(3) 擬線性(quasi-linear)：P.D.E.中，其最高階的偏導數之次數為1次，且彼此無互乘項，則稱為擬線性P.D.E.。
(4) 非線性(non-linear)：若P.D.E.不為線性或擬線性，則稱為非線性P.D.E.。
解之分類：(1) 通解(general solution)：滿足P.D.E.且包含任意函數之解。
(2) 全解(complete solution)：滿足P.D.E.且包含任意常數之解。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程基本理论的归纳与总结偏微分方程就是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来、最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性、微分方程就是一个庞大的体系,它的基本问题就就是解的存在性与唯一性、该学科的主要特征就是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法与理论、这就是与常微分方程有显著差异的地方、这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面、从数学的角度,方程的类型一般总就是对应于一些普遍的理论与工具、换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来、而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类、当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们就是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象、根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们就是:（1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具就是Fourier分析方法;（2）椭圆型方程,它的方法就是先验估计+泛函分析手段;（3）抛物型方程,主要就是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计;（4）双曲型方程,对应于Galerkin方法;（5）一阶偏微分方程,主要工具就是数学分析方法、从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类:（1）稳态方程(非时间演化方程);（2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动、相变与混沌就是它们的主要内容;（3）保守系统,如具有势能的波方程、该系统控制的运动就是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗、行波现象与周期运动就是它们的主要特征;（4）守恒律系统,这类方程就是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒、激波行为就是由守恒律系统来控制、下面具体来介绍三类经典方程:三类典型方程:椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论、关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要就是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法与Green 函数方法、关于三类典型方程的基本理论——极值原理与能量估计,并由此给出了解的唯一性与稳定性的相关结论、具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解与弱解、前者主要介绍了基本解、调与函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法与变分原理;而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究;关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式与方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件与非局部项的方程式的最大值原理及能量方法;关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性、椭圆、抛物与双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程与波动方程作为代表、具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程与定解条件的具体解,这就决定了存在性问题;再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解就是唯一的,也就解决了唯一性问题;关于连续依赖性问题,需要在不同函数空间中考虑,我们将在连续函数空间与平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据的连续依赖性问题学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析就是研究其它一切的基础、首先有必要解释一下解的适定性、简单地说,一个偏微分方程就是适定性的,若它有解(存在性)解唯一(唯一性)且对输入数据的微小改变的响应也就是很小的改变(连续依赖性)、前两个准则就是一个有意义的物理模型所要求的,第三个准则就是实验观察的基础、考虑适定性时,还应记得对有实际意义的问题通常不可能求得显示解,从而可考虑逼近格式,特别就是数值解在应用中就具有特别的重要性、因此,适定性问题与偏微分方程科学计算的如下中心问题有密切联系:对一个问题给定一定精度的数据,数值解计算输出有多少精度？正因为这个问题对现代定量科学的重要性,适定性成为偏微分方程理论的核心内容、因此,偏微分方程的学习应以三类线性偏微分方程的适定性问题为主要研究对象、同时,考虑到偏微分方程理论的两个特点:一就是与应用、与物理的紧密联系;二就是与数学其它分支的联系、以下,我们具体来说一下其两个具有应用价值的特点、针对特点一:首先,数学物理方程就是自然科学与工程技术的各门分支中出现的偏微分方程,这些方程给出了所考察的物理量关于自变量(时间变量与空间变量)的偏导数的关系、例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理的范畴,数学物理方程侧重于模型的建立与定解问题的解题方法,而偏微分方程则侧重于其自身的数学理论,所以偏微分方程理论的研究就是能够更好地将其运用于物理当中、针对特点二:偏微分方程理论与其她数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系、偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念,基础思想与基本方法,并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响、鉴于此,对于应用数学而言,掌握与研究偏微分方程的目的主要应该放在以下几个方面:(1)建立模型、在经典物理中,具有普遍意义的自然定律不仅可以用实验手段获得,而且根据这些定律很容易对相应的自然现象建立数学模型、如天体力学,连续介质力学,流体动力学以及经典电磁学中的物理定律就属于这种情况、在近代物理中,情况有一些变化、咋爱量子力学与广义相对论中,一些自然规则与物理定律就是隐而不见的,此时数学物理方程就是依靠部分物理原则与实验数据猜测出来的、然而,到了现代数学阶段,大多数面临的问题仅依靠物理或数学的单一学科知识与直觉建立模型已变得非常困难,必须具备多学科交叉能力才行、因此,只有系统全面地掌握偏微分方程的理论与方法,才能训练出从方程解的性质反推出模型的形式的能力,这里方程解的性质就是由实验数据与观测资料所提供、这种模型反推能力再结物理直觉就就是现在建立数学模型的基本要求;(2)从已知的方程与模型推导出新的发现与预言、这个方面可以说就是科学发展最重要的环节之一;(3)从控制自然现象的微分方程中得到问题的机理与解释;(4)最后一个方面就就是从数学模型获得与实验与观测相吻合的性质与结论、虽然这类工作不能提供新的科学结果,但能使我们加深对问题的理解,体现自然美与数学美的有机结合、在总结了偏微分方程理论所研究的内容及其特点以后,我们该怎样学习基本理论呢？首先,对于每一类方程,我们要了解它的物理背景及其意义,否则,我们根本不知道它在说什么、事实上,同一个方程有许多不同的来源,这一方面就是偏微分方程理论具有广泛应用的原因之一、同时对于不同的来源进行类比研究可以更好地解释物理过程的某些特性,因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意,而在另外某个物理过程已经被观察注意到了,如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程,则在原来的物理过程中应该也具有这个特性、其次,在对数学模型研究之后,需要有意识地讲数学解带回原来的物理意义中,去理解,解释物理现象、这一方面可以验证数学模型的有效性,另一方面可以更好地理解已知的物理现象,从而更加深刻地了解其在现实中的意义、然后,要善于去思考,总结,归纳、逐步提高分析、解决实际问题的能力、至于与数学其她学科的联系,比如,求解过程中将会用到许多微积分或数学分析的概念,思想,与定理,解的表达形式也就是有积分形式的或级数形式的,解空间的结构则用到许多线性代数的知识、最后,学好泛函分析也就是同等重要的,因为偏微分方程解的唯一性与连续依赖性需要许多实变与泛函分析的理论与方法、所以在重视偏微分方程基本理论时(实变函数与泛函分析的许多思想方法都就是来源于偏微分程理论研究),也要同样学好泛函分析、参考文献（1）王明新,偏微分方程基本理论;（2）马天,偏微分方程理论与方法;（3）王明新,数学物理方程、。
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结一、偏微分方程的分类：1.齐次与非齐次：一个偏微分方程中，如果所有出现的偏导数项的次数相同，且不含常数项，则称其为齐次方程；如果存在常数项，则称其为非齐次方程。
2.线性与非线性：一个偏微分方程中若只包含未知函数及其偏导数的一次项，并且未知函数的系数不依赖于未知函数自身及其偏导数，则称其为线性方程；反之，则是非线性方程。
3.定常与非定常：一个偏微分方程中，如果未知函数及其偏导数的系数不依赖于自变量，则称其为定常方程；反之，则是非定常方程。
4.高阶与低阶：一个偏微分方程中，若最高阶偏导数的阶数大于1，则称其为高阶方程；若最高阶偏导数的阶数为1，则称其为一阶方程。
二、偏微分方程的求解方法：1.分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，可以通过分离变量的方式将其转化为一阶常微分方程进行求解。
2.特征线法：对于一些具有特殊形式的偏微分方程，可以通过特征线法来求解。
该方法将方程中的自变量替换为新的变量，使得方程在新的变量系综下变得简单。
3.变换法：通过适当的变量代换，将原方程转化为形式简单的方程或标准的数学物理方程进行求解。
5.数值解法：对于一些复杂的偏微分方程，可以采用数值解法进行近似求解，如有限差分法、有限元法、谱方法等。
三、偏微分方程的应用：1.物理学：偏微分方程在物理学中有着广泛的应用，如热传导方程、波动方程、扩散方程等。
2.工程学：偏微分方程在工程学中也有重要应用，如电磁场方程、流体力学方程、固体力学方程等。
3. 经济学：偏微分方程在经济学中的应用主要用于建模和分析经济系统的动态变化，如Black-Scholes方程、Hamilton-Jacobi-Bellman方程等。
4. 生物学：偏微分方程在生物学中的应用主要用于描述群体的扩散、生物图像处理和生物电传导等问题，如Fisher方程、Gray-Scott方程等。
综上所述，偏微分方程理论是数学中的重要分支之一、通过对偏微分方程的分类、求解方法及其应用的归纳与总结，不仅可以帮助我们更好地理解偏微分方程的本质与特点，还能够为我们解决实际问题提供一个有效的数学工具。
安徽大学大学物理第七章
第七章：用分离变量法求解偏微分方程前言：对自然界中物理现象的研究就是掌握相应的物理量在空间某个区域的分布情况和随时间的变化规律，在数学上往往用与空间三维坐标和时间有关的偏微分方程表达出来，称为数学物理方程。
作为对同一类物理现象的共性进行描述的数学物理方程本身称为泛定方程。
研究具体的物理过程必须考虑周围环境的影响，这种影响体现于研究对象的边界所处的物理状态，对它的数学描述就是边界条件；还必须考虑特定的历史条件，体现在研究对象在初始时刻的状态，对它的数学描述就是初始条件。
对于泛定方程，加上边界条件和初始条件可求出某一物理量在具体情况下的解，因此称边界条件和初始条件为定解条件。
泛定方程和定解条件构成的特定问题称为定解问题。
物理过程研究的一般步骤：数学物理方程的建立+定解条件→求解方程→证明解的合理性并做出物理解释。
1．数学物理的定解问题●数学物理方程的导出均匀弦的微小横振动方程弦在绷紧以后，相邻小段之间有拉力，这种拉力称为张力，张力沿着弦的切线方向。
由于张力的作用，弦中一个小段的振动必然传播到整根弦，形成波动。
图7-1如图7-1，绷紧的弦在没有振动时是一根直线，取这根直线为x 轴，把振动时弦上各点的横向位移记作u ，显然它是坐标x 和时间t 的函数，表示为),(t x u 。
把整根弦细分为许多极小的小段，每一小段可以抽象为质点。
如图7-1，任取在区间),(x x x ∆+上的一小段弦21M M ，长度为s ∆。
设弦的质量线密度为ρ，则小段弦21M M 的质量为s ∆ρ，其横向加速度为22tu∂∂，由牛顿第二定律可得：221122sin sin tus s g T T ∂∂∆=∆--ρραα （1）弦上的每小段都没有纵向（沿x 轴方向）的运动，所以作用于小段21M M 上的纵向合力应为零，则可得：0cos cos 1122=-ααT T （2）对于弦的微小振动，弦的横向位移很小，弦的切线与x 轴的夹角α为小量，可以忽略关于α的二阶和二阶以上的高阶小量，则可得到：1211cos 211≈+-= αα 1c o s 2≈α++=≈≈+-=31111311131tan !31sin αααααααx x u∂∂=≈≈111tan sin αααx x xu∆+∂∂=≈≈222t a n s i n αααx x x x xu s ∆≈∆+≈∆+=∆∂∂+=∆2221tan 1)(1αα 根据以上讨论由方程(2)可得：T T T T T ==⇒=-12120，则方程(1)可化为：x t ux g x u x u T tu s s g T T x xx ∆∂∂=∆-∂∂-∂∂⇒∂∂∆=∆--∆+22221122][sin sin ρρρραα （3） 在(3)式两边同除以x ∆并取0→∆x 的极限，则可得：2222220lim tug x u T t u g xxu xuT xxx x ∂∂=-∂∂⇒∂∂=-∆∂∂-∂∂∆+→∆ρρρρ（4） 由(4)式可得均匀弦的微小横振动方程：g xu a t u -∂∂=∂∂22222 （5） 其中：ρTa =2，后面将会看到a 为振动在弦上传播的速度。
分分分方方方程程程I习习习题题题课课课讲讲讲义义义-USTC
硕士19级 数学科学学院 吴天 20பைடு நூலகம்9年12月19日
前言
微分方程I, 在中国科大是一门数学系的基础必修课. 它的主要内容包括: 常微分方程和偏微分方程两部 分. 常微分方程主要包括一阶方程的初等积分法、解的存在唯一性与延拓、奇解与包络、高阶方程与线性微 分方程组、幂级数解法与迭代法等; 偏微分方程主要包括一阶拟线性偏微分方程的特征线、运输方程、波动方 程、扩散方程、Fourier方法、调和函数与Laplace方程的基本解、对数梯度估计等.
2.4 积分因子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.5 因变量可解出型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
本讲义将习题课的主要内容罗列出来, 可以说一个提纲. 为避免大家查阅困难, 我尽量将公式安排的紧凑, 因此看似页数虽少, 但内容颇多. 不仅如此, 证明大多比较简略, 一来启发大家思考, 二来缩短篇幅. 水平有限, 如有谬误, 还望批评指正.
本课程的另两位助教: 徐恒博士和葛霖硕士, 他们也在讲解习题课之后将所讲内容加入进来, 特此感谢两位 助教为习题课讲义提供的内容!
ii
6 二阶偏微分方程的基本方法
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6.1 二阶半线性方程的分类与标准型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程理论的归纳与总结偏微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是含有多个未知函数的方程，其中的未知函数是关于多个自变量的函数。
偏微分方程的研究对于理解自然界中的现象和发展科学技术具有重要意义。
在过去的几个世纪里，人们通过总结和归纳，逐渐建立了偏微分方程的理论体系。
偏微分方程的研究始于19世纪，著名的数学家欧拉、拉普拉斯、傅里叶等为偏微分方程的理论奠定了基础。
他们研究了常见的偏微分方程类型，如波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程等，并给出了一些基本的解法。
随后，泊松、高斯等学者继续发展了偏微分方程的理论和解法，为后来的研究提供了重要的参考。
随着工业、天文学、物理学等学科的快速发展，人们遇到了更加复杂和多样的问题，已有的偏微分方程理论有时不能很好地解决这些问题。
于是，数学家们开始探索新的偏微分方程类型和解法。
20世纪是偏微分方程研究的重要时期，很多杰出的数学家为此做出了巨大贡献。
他们提出了更加复杂的偏微分方程模型，研究了抽象的偏微分方程理论，发展了更加高级和深奥的解法。
总结起来，偏微分方程的理论可以归纳为以下几个方面。
首先是分类。
根据方程的形式、性质和应用领域，偏微分方程可以被划分为多个类型。
常见的类型包括椭圆型、双曲型和抛物型方程。
椭圆型方程描述静态问题，如拉普拉斯方程；双曲型方程描述波动问题，如波动方程；抛物型方程描述演化问题，如热传导方程。
每种类型的方程都有其特定的性质和解法。
其次是解法。
偏微分方程的解法可以归为分析解法和数值解法两大类。
分析解法是通过推导公式或利用已知解的性质来求得方程的解。
数值解法则是通过将偏微分方程离散化，转化为代数方程组，然后利用计算机进行求解。
数值解法的发展使得人们能够处理更加复杂和现实的问题，对于科学和工程领域的发展起到了巨大的推动作用。
再次是理论。
偏微分方程的理论研究主要包括存在性、唯一性和稳定性等方面。
针对不同的方程类型，数学家们通过选择适当的函数空间、利用分析和几何的方法，研究了方程解的存在性和唯一性。
高等数学中的偏微分方程理论
高等数学是现代数学的重要分支之一，其中偏微分方程理论是高等数学的核心内容之一。
偏微分方程是描述自然界中各种变量之间关系的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、经济学等各个领域。
偏微分方程理论主要研究的是偏微分方程的求解方法、解的存在性与唯一性以及解的性质等问题。
在实际应用中，我们往往需要解决各种复杂的物理问题，而偏微分方程理论为我们提供了一种强大的数学工具，可以通过数学分析的方法来研究和求解这些问题。
偏微分方程的求解方法有很多种，其中最基本的方法是分离变量法。
通过假设解可以表示为各个变量的乘积形式，再将方程代入，得到一系列常微分方程，进而可以求解得到解的表达式。
此外，还有变换法、特征线法、格林函数法等求解方法。
解的存在性与唯一性是偏微分方程理论中的一个重要问题。
偏微分方程往往是由物理规律所确定的，我们希望通过数学方法验证解的存在性，即是否存在一个满足方程的解。
同时，我们也关注解的唯一性，即是否存在多个满足方程的解。
对于线性偏微分方程，可以通过利用简化的方法，利用矩阵的特征值和特征向量来确定解的存在性与唯一性。
解的性质是偏微分方程理论中的另一个重要问题。
解的性质包括解的连续性、解的光滑性以及解的稳定性等。
通常情况下，我们希望解是连续的，即变量之间的关系是连续的。
对于某些特殊的问题，我们还需要解的光滑性，即解在某个区域内是无穷次可导的。
此外，解的稳定性也是一个重要的性质，即微小扰动不会改变解的形态。
偏微分方程理论的研究不仅仅是理论的探索，更是为了解决实际问题。
通过偏微分方程理论，我们可以定量地描述各种现象，预测未来的变化趋势，进而制定相应的措施。
例如，在物理学中，通过偏微分方程理论可以研究电磁场的传播、热传导等问题；在经济学中，可以通过偏微分方程研究价格变动、市场供需关系等问题。
总之，高等数学中的偏微分方程理论是现代数学的重要组成部分，对于研究自然界中各种现象、解决实际问题具有重要作用。
它提供了一种强大的数学工具，通过数学分析的方法，可以求解各种复杂的物理问题。
对偏微分方程的理解和认识
对偏微分方程的理解和认识一、引言偏微分方程作为数学的一个重要分支，在科学、工程和技术中有着广泛的应用。
它描述了各种自然现象的变化规律，能够深刻反映事物的内在机制和发展趋势。
偏微分方程涉及到连续可微函数的概念，涉及微积分学的基本概念和方法。
由于它是一个抽象和精炼的数学模型，因此偏微分方程在理论研究和实际应用中都扮演着重要的角色。
二、偏微分方程的基本概念偏微分方程是关于未知函数的偏导数的方程。
在数学上，一个偏微分方程是包含一个或多个未知函数的偏导数的方程，其未知函数通常是多个变量的函数。
偏微分方程的求解通常需要找到满足该方程的未知函数。
在求解过程中，需要运用微积分学的基本概念和方法，如极限、连续性、可微性和积分等。
三、偏微分方程的应用领域偏微分方程在许多领域都有广泛的应用。
例如，在物理学中，它可以用来描述波动、热传导、引力场、电磁场等现象；在化学中，它可以用来描述化学反应的动力学过程；在生物学中，它可以用来描述种群增长、传染病传播等现象；在工程学中，它可以用来模拟流体动力学、结构力学、控制论等领域的问题。
四、偏微分方程的研究方法偏微分方程的研究方法包括解析法、数值法和近似法等。
解析法是通过严格的数学推导来求解偏微分方程的方法，可以得到精确解。
数值法是通过计算机模拟来求解偏微分方程的方法，可以得到近似解。
近似法是通过物理直觉、数学归纳法等非严格方法来求解偏微分方程的方法，可以得到近似解。
这些方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。
五、总结与展望通过对偏微分方程的研究，我们可以深入理解自然现象的本质和变化规律，预测其未来的发展趋势，为实际问题的解决提供重要的理论支持。
随着科学技术的发展和实际需求的增加，偏微分方程的应用范围和重要性也将不断提高。
未来我们需要更加深入地研究偏微分方程的求解方法和应用领域，以期为解决更多的实际问题提供更有效的工具和方案。
同时，我们也需要加强数学与其他学科的交叉融合，推动偏微分方程在各个领域的实际应用和创新发展。
偏微分方程课件 云南财经大学
二阶拟线性偏微分方程 二阶拟线性偏微分方程 三阶拟线性偏微分方程
在拟线性偏微分方程中, 由最高阶偏导数所组成的那一部 分, 称为方程的主部; 若主部内的系数都是常数或是自变量的 已知函数, 这时方程被称为是半线性的。
如果给定一个函数 u (x) , 将它及它对自变量的各阶偏导
数代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成为恒等式, 则称函数是偏微分方 程(1.1.1)的解。
我们知道, 一个常微分方程如果有解, 就必有无穷多个解, 其表现形式是依赖于一个或几个任意常数的通解. 于是自然会 想到偏微分方程的通解也会含有任意元素.
它被称为三维Laplace方程。
利用Laplace算子
2 x2
2 y2
2 z2
，三维Laplace方程写成
u 0
对于函数 u u(x1, x2, , xn ,t) 的n维Laplace方程，利用
Laplace算子
2 x12
2 x22
2 xn2
则偏微分方程的一般形式为
实自变量 未知函数
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《偏微分方程》第一章 绪论 第6页
其中是F自变量x，未知函数u及u的有限多个偏导数的已知函数. 例如关系式
等都是偏微分方程.
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《偏微分方程》第一章 绪论 第7页
1.1.2. 偏微分方程的解
m
偏微分方程基础知识
偏微分方程基础知识偏微分方程（Partial Differential Equation, 简称PDE）是研究多个变量与它们的偏导数之间关系的方程。
它在数学、物理、工程、经济等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍偏微分方程的基础知识，包括定义、分类和基本解法。
一、定义偏微分方程是含有多个未知函数及其偏导数的方程。
一般形式为：F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn, ∂2u/∂x1^2,∂2u/∂x1∂x2, ..., ∂^2u/∂xn^2) = 0其中，u是未知函数，F是已知函数。
偏微分方程的求解即是找到满足该方程的函数u。
二、分类根据方程中各阶导数的最高次数以及未知函数的个数，偏微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
1. 常微分方程：当未知函数只含有一个变量，且方程中只出现一阶导数时，称为常微分方程。
常微分方程的一般形式为：F(x, u, du/dx) = 0常微分方程主要用于描述变化率与状态之间的关系，如物体的运动、电路中的电流等。
2. 偏微分方程：当未知函数含有多个变量，或者方程中含有高阶导数时，称为偏微分方程。
偏微分方程的一般形式为：F(x1, x2, ..., xn, u, ∂u/∂x1, ∂u/∂x2, ..., ∂u/∂xn, ∂^2u/∂x1^2,∂^2u/∂x1∂x2, ..., ∂^2u/∂xn^2) = 0偏微分方程主要用于描述多变量之间的关系，如传热、波动方程等。
三、基本解法解偏微分方程的方法有很多种，以下介绍几种常见的基本解法。
1. 分离变量法：分离变量法适用于具有可分离变量形式的偏微分方程。
其核心思想是将未知函数分解为各个变量的乘积，再将方程变为对各个变量的常微分方程。
这种方法常用于求解热传导方程、波动方程等。
2. 特征线法：特征线法适用于具有特殊的特征线形式的偏微分方程。
其思想是将偏微分方程转化为常微分方程沿特征线方向的方程，并通过求解常微分方程来得到解。
偏微分方程基本理论
偏微分方程基本理论
，关于微分方程的
偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是一种重要的数学工具，用来解决多元函数的微分方程。
它与常微分方程的区别在于：偏微分方程涉及多变量函数，而常微分方程则只涉及单变量函数。
偏微分方程不仅仅是一个数学问题，而是解决实际问题及复杂程序的有力工具。
大部分这类方程都出现在物理学中，例如描述物理系统改变时的行为方程，比如电动势、电磁场、压力、气流和热传导等等。
偏微分方程经常被用于描述物体的运动方程，解决表面在某一条件下的变形问题，也可以用来描述物质的流动和分散的问题。
偏微分方程的基本理论是：求解多变量函数的微分方程，要把它分解成一些单变量函数的微分方程，通过特定的某个角度去看待这个多变量函数系统，再采用特定的分解技术把这个多变量系统分解成一组单变量函数系统。
再根据每个变量函数的独立变化特征，每个变量函数的求解简化成对应的单变量函数的微分方程。
使用偏微分方程解决问题的过程是：首先，根据物理原理，得出系统的偏微分方程式；其次，根据偏微分方程的类型，采用不同的解法解出解析解；最后，应力数值计算法，应用计算机技
术，将偏微分方程转换为相应的数值问题，然后采用特定的数值计算方法，求解导数及各种函数值，最终得出解析解或近似解。
偏微分方程是一种数学模型，它用来描述物理系统的变化的行为，它的应用范围非常广泛，在解决现实科学问题时有着重要的作用。
它不仅用于物理模型，而且在生物、经济、化学、声学等生物模型中也有着应用。
使用偏微分方程可以帮助人们对现实世界的行为建立一种模型，并且通过这种模型中的关系，帮助人们更好的理解和解决问题。
第5章 偏微分方程.
注意， L 的矩阵形式
这个格式在 Δt 的最低阶上和显式格式等价，但是这个格式比显 式格式要好得多，好在它可以用大的时间步长，这是因为该隐 式差分格式是无条件稳定的。
对隐式格式而言，每个时间步的计算都需要将矩阵 (1+ Δt L) 的逆矩阵作用在 фn 上。由于逆矩阵本身与时间无关，我们 可以只在计算开始时求它一次，然后在所有时刻都用。
差分格式为
具体的为 当点数不太多时，我们可以利用矩阵求逆的方法来求解
例子
精确解为
松弛法
当格点取得非常密时，选择矩阵求逆的方法来求解计算量是 非常大的，需要寻求一种适用于更高维数的、效率更高的算 法。由于对 Laplace 算符的离散近似只包含相邻的点，A为 稀疏矩阵，可以用松弛法高效的求解。 以一维问题为例，其差分方程为
也可以用经验方法来决定。分析表明，松弛参数的最佳 选择依赖于格子大小和问题的几何条件。它通常大于1， 接近2。最佳值可以由经验方式决定，这只要考察解在头 几次迭代中的收敛情况就可以了。
3. 在几次迭代中，把松驰过程集中在网格的一子区域（已 知试验解在这个区域中特别不好）中进行， 这样就不会 在解的已松驰的部分上浪费力量
首先将上式改写为“解出”фi 的形式
Jacobi法 Jacobi法的思想就是：先猜测一个初始解 ф0 ，然后根据下 面的递推关系生成一系列的解，直到收敛为止。
但是这个方法收敛很慢，一个改进的算法是 damped Jacobi 方法
Gauss-Seidel 迭代法 另外一种不同的迭代格式是Gauss-Seidel 迭代法：先猜测一 个初始解 ф0，然后对格子进行系统的扫描（比如从左到右）， 相继的把每一点的 ф 换成一个经过改进的值
5.1 椭圆型方程
偏微分方程的一些基本概念和应用
偏微分方程的一些基本概念和应用偏微分方程是数学中的一个分支，涉及到一些物理现象，例如热传导、流体力学、电子学等等。
偏微分方程中的“偏”指的是方程中包含多个变量，而“微分”指的是对这些变量进行求导。
在本文中，我们将介绍一些偏微分方程的基本概念以及它们在科学和工程中的应用。
基本概念偏微分方程可以分为两类：线性和非线性。
线性偏微分方程的一般形式如下：$$L(u)=\sum_{|\alpha|\leq m}a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}u=f(x)$$其中 $u=u(x)$ 是待求函数，$\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n)$ 是一个 $n$ 维非负整数向量，$|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+...+\alpha_n$ 是它的范数。
$\partial^{\alpha}=\frac{\partial^{|\alpha|}}{\partialx_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}...\partial x_n^{\alpha_n}}$ 是一个多元偏导数算子。
$L(u)$ 是一个线性微分算子，它可以表示成一个多项式：$$L(u)=\sum_{|\alpha|\leqm}a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}u=a_{00}(x)u+\sum_{|\alpha|=1}a_{\ alpha}(x)\partial^{\alpha}u+\sum_{|\alpha|=2}a_{\alpha}(x)\partial^{\ alpha}u+...+\sum_{|\alpha|=m}a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}u$$其中 $m$ 是一个非负整数，$a_{\alpha}(x)$ 是一个与 $x$ 有关的系数函数。
$f(x)$ 是一个已知函数，它称为右端源项。
偏微分方程：一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学
偏微分方程：一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学偏微分方程这门数学学科，对于广大中学生来说，恐怕是完全陌生的，难免会感到高不可攀；至于说它是一门揭示宇宙奥秘、改变世界面貌的科学，恐怕更显得匪夷所思了。
尽管如此，这篇短文仍希望能对此做一个简单的说明和介绍。
1.什么是偏微分方程？中学里的数学，已讲过函数，并涉及到一点简单的微积分。
说是自变量的一个函数，记为，是指当自变量在一给定的范围中变动时，函数的值也按一定的规则相应地变动。
例如，以匀速运动的物体，其位移是时间的一次函数：, 而自由落体的位移则是时间的二次函数：（其中为重力加速度），等等。
函数的变化率，表示函数值随着自变量变化的速率，则用其对的导数来表示。
在匀速运动的情形，位移对时间的导数就是速度；而在自由落体运动的情形，位移对时间的导数是 ,它也是一个的函数。
上面这些函数都只有一个自变量，统称为一元函数，是比较简单的情形。
在众多的实际应用中，一个函数所依赖的自变量往往不止一个。
例如，一个矩形的面积等于其长与宽的乘积，即。
当或变动时，的值都要相应的变化，就是及的一个二元函数。
当自变量的个数更多时，类似地有多元函数。
对一个多元函数，可以相应地考虑其对某个自变量的变化率，即当其他自变量暂时固定时、该函数对此自变量的变化率，称为该函数对此自变量的偏导数(在经济学中,称之为边际效益!),它一般也是已有一切自变量的函数。
例如，矩形的面积对其长的偏导数，记为，其值为；而对其宽的偏导数，则记为，其值为。
对于一个多元函数而言，不仅可以有一阶的偏导数及，而且由于一阶偏导数仍是一个多元函数，还可以继续求偏导数，从而还有二阶的偏导数，及，等等。
由于多元函数在应用中的重要性，对其研究必然会引起极大的重视。
这比研究一元函数要困难得多，对数学也提出了新的发展机遇与挑战。
在一元函数的情形，如果在决定未知函数的方程中包括其某些导数，则称其为常微分方程。
求解相应的常微分方程得到其解，即得到所求的未知函数，已经对解决很多应用问题带来了极大的推动与帮助。
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偏微分方程理论学习一． 偏微分方程发展简介1. 常微分方程十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。
结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。
2. 偏微分方程偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。
J.达朗贝尔（D’Alembert ）（1717-1783）、L.欧拉（Euler ）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli )（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange )（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace )（1749-1827）、S.泊松(Poisson )（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier )（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。
它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。
十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。
傅里叶研究的主要是吸热或放热物体内部任何点处的温度随空间和时间的变化规律。
在对物体的物理性状作出一定的限制（如均匀、各向同性）后，他根据物理原理推导出了三维空间的热传导方程其中k 是一个参数，其值依赖于物体的质料。
傅里叶当时解决的是如下特殊的热传导问题：设所考虑的物体为两端保持在温度0度、表面绝热且无热流通过的柱轴。
在此情形下求解上述热传导方程，因为柱轴只涉及一维空间，所以这个问题也就是求解偏微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=>==∂∂=∂∂,0),()0,(,0,0),(,0),0(T T 222l x x f x T t t l T t T x k x ，其中后面两项分别是边界条件和初始条件。
傅里叶为解这个方程用了分离变量法，他得到满足方程和边界条件的级数解为为了满足初始条件，必须有这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数，能否将它表示成三角级数的问题。
傅里叶得出的结论是：每个函数都可以表示成这样，每个n b 可由上式乘以,...)2,1(sin =n nx ，再从0到π积分而得到。
他还指出这个程序可以应用于表达式接着，他考虑了任何函数)(x f 在区间),(ππ-的表达式，利用对称区间上的任何函数可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和这一事实，傅里叶可以将区间),(ππ-上的任何函数)(x f 表示为其系数由确定，这就是我们通常所称的傅里叶级数。
为了处理无穷区域上的热传导问题，傅里叶同时还导出了现在所谓的“傅里叶积分”：需要指出的是，傅里叶从没有对“任意”函数可以展成傅里叶级数这一断言给出过任何完全的证明，它也没有说出一个函数可以展开为三角级数必须满足的条件。
然而傅里叶本人对此充满信心，因为他的信念有几何上的根据。
傅里叶的工作不仅发展了偏微分方程的理论，而且使函数概念得以改进，同时也标志着人们从解析函数或可展成泰勒级数的函数中解放出来。
傅里叶的前辈都曾坚持一个函数必须是可用单个式子表示的，而傅里叶级数却可以表示那些在区间),0(π或),(ππ-的不同部分有不同解析式的函数，不论这些表示式相互是否连续地接合着。
特别是，一个傅里叶级数是在一整段区间上表示一个函数的，而一个泰勒级数仅在函数的解析点附近表示该函数。
事实上，傅里叶的主要思想早在1807年他提交巴黎科学院的一篇关于热传导的论文中就出现了，但是这篇论文在拉格朗日等人评审后遭到拒绝。
1811年，他又提交了经过修改的论文，以争取科学院为热传导问题所设立的高额奖金。
这次他虽然获了奖，但仍因受到缺乏严格性的批评而未能将论文发表在当时科学院的《报告》里。
1824年，傅里叶成为科学院的秘书，这回他终于能够把他1811年的论文原封不动地发表在《报告》里，而这已经是在他的名著《热的解析理论》出版两年以后的事情了。
十九世纪偏微分方程的另一个重要发展是围绕着位势方程来进行的，这方面的代表人物格林(G .. Green)是一位磨坊工出身、自学成才的英国数学家。
位势方程也称拉普拉斯方程：拉普拉斯曾采用球面调和函数法解这个方程，不过他得到一个错误的结论，认为这个方程当被吸引的点(x,y,z)位于物体内部时也成立。
这个错误由泊松加以更正。
泊松指出，如果点(x,y,z)在吸引体内部，则满足方程πρ4V -=∆，其中ρ是吸引体密度，它也是x,y,z 的一个函数。
拉普拉斯和泊松的方法都只适用于特殊的几何体，格林则认识到函数V 的重要性，并赋予它“位势”(potential)的名称，与前人不同的是，格林发展了函数V 的一般理论。
他求解位势方程的方法与用特殊函数的级数方法相反，称为奇异点方法。
他在1828年私人印刷出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中，建立了许多推动位势论的进一步发展极为关键的定理与概念，其中以格林公式⎰⎰⎰⎰⎰∂∂-∂∂=∆-∆σd nU V n V U dv U V V U )()( （n 为物体表面指向外部的法向，dv 是体积元，d σ是面积元）和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远。
格林是剑桥数学物理学派的开山祖师，他的工作培育了汤姆逊(W.Thomson)、斯托克斯(G.Stokes)、麦克斯韦(J.C.Maxwell)等强有力的后继者，他们是十九世纪典型的数学物理学家。
他们的主要目标，是发展求解重要物理问题的一般数学方法，而他们手中的主要武器就是偏微分方程，以至于在十九世纪，偏微分方程几乎变成了数学物理的同义词。
剑桥数学物理学派的贡献使经历了一个多世纪沉寂后英国数学在十九世纪得以复兴，麦克斯韦1864年导出的电磁场方程,)(1rot tE c H ∂∂=ε ,)(1rot tH c E ∂∂-=μ ,)(ρε=E div0)(=H div μ是十九世纪数学物理最壮观的胜利，正是根据对这组方程的研究，麦克斯韦预言了电磁波的存在，不仅给科学和技术带来巨大的冲击，同时也是偏微分方程威名大振。
爱因斯坦在一次纪念麦克斯韦的演讲中说：“偏微分方程进入理论物理学时是婢女，但逐渐变成了主妇，”他认为这是从十九世纪开始的，而剑桥数学物理学派尤其是麦克斯韦在这一转变中起了重要的作用。
除了麦克斯韦方程，十九世纪导出的著名偏微分方程组还有粘性流体运动的纳维(C.L.M.H. Navier)-斯托克斯和弹性介质的柯西方程等。
所有这些方程都不存在普遍解法。
不过，十九世纪的数学家们已经逐渐认识到在偏微分方程的情形，无论是单个方程还是方程组，通解实际上不如初始条件和边界条件已给出的特殊问题的解有用。
因此他们在求解定结问题方面作了大量工作。
对18、19世纪建立起来类型众多的微分方程，数学家们求显式解的努力往往归于失败，这种情况促使他们转而证明解的存在性。
最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西。
他指出：在求显式解无效的场合常常可以证明解的存在性。
他在19世纪20年代对形如y)y' 的常微分方程给出了第一个存在性f(x,定理，这方面的工作被德国数学家李普希茨(R. Lipschitz)、法国数学家刘维尔(J.Liouville)和皮卡(C.E. Picard)等追随。
柯西也是讨论偏微分方程解的存在性的第一人，他在1848年的一系列论文中论述了如何将任意阶数大于1的偏微分方程化为偏微分方程组，然后讨论了偏微分方程组解的存在性并提出了证明存在性的强函数方法。
柯西的工作后来被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅(C.B. Ковалевская)独立地发展为包括拟线性方程和高阶组在内非常一般的形式。
有关偏微分方程解的存在唯一性定理在现代文献中就称为“柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理”。
柯瓦列夫斯卡娅是历史上为数不多的杰出女数学家之一。
她出生于莫斯科一个贵族家庭，17岁时就在彼得堡一位海军学校教师指导下掌握了微积分。
然而当时俄国的大学拒收女生，为了求学深造，他只好出走德国，先在海德堡大学学习一年，后来慕名到柏林求见威尔斯特拉斯。
初次见面，威尔斯特拉斯出了一堆难题考她，估计她多半做不出来，但一周以后，当柯瓦列夫斯卡娅如期带着完满的答卷回来见他时，这位名重一时的数学家对她的数学才能不再怀疑。
当时的柏林大学跟俄国的大学一样不收女生，威尔斯特拉斯决定为柯瓦列夫斯卡娅单独授课，每星期日下午一次，四年不曾中断。
在这四年时间里，柯瓦列夫斯卡娅不仅学完了大学的全部数学课程，而且还写出了三篇重要论文，其中一篇就是前面提到的关于偏微分方程解存在性的研究。
这些工作是那么出色，以至于哥廷根大学在没有经过考试和答辩的情况下破格授予她博士学位，使她成为历史上第一位女数学博士。
由于18世纪的大量开发，常微分方程的求解在19世纪反而局限于用分离变量法解偏微分方程时所得到的那些方程，并且多半使用级数解，这引导出一串特殊函数，如贝塞尔(Bessel)函数、高斯(Gauss)超几何函数等等。
在十九世纪后半叶，对常微分方程研究的理论方面变得突出，并且在常微分方程解析理论和定性理论两个大的方向上开拓了常微分研究的新局面，其中重大发展都与庞加莱(H. Poincare)的名字联系着。
庞加莱从27岁起任巴黎大学教授，直到他去世。
他是欧拉、柯西之后最多产的数学家，并且在研究领域的广泛方面很少有人能与他相比。
每年他在巴黎大学讲授一门不同的科目，而在每一门科目中，他都留着他自己的创造印记。
庞加莱、克莱因和希尔伯特，是在19和20世纪数学交界线上高耸着的三个巨大身影。
他们放射着19世纪数学的光辉，同时照耀着通往20世纪数学的道路。
在19世纪末，数学发展呈现出一派生机勃勃的景象，这与18世纪形成了鲜明的对比。
无论从内部需要还是外部应用看，数学家们似乎都有做不完的问题。
1900年8月5日，庞加莱宣布巴黎国际数学家大会开幕，正是在这次会议期间，希尔伯特充满信心地走上讲台，以他著名的23个问题揭开了20世纪数学的序幕。
当研究在解决物理问题的过程中出现的具体微分方程时，往往会产生一些极具普遍性、起初并没有严格的数学根据而应用于范围广泛物理问题的方法。
例如，傅里叶方法、里茨（Ritz）方法、伽辽金（Галёркин）方法、摄动理论方法等就是这一类方法。
这些方法应用的有效性成为试图对它们进行严格论证的原因之一。
这就导致新的数学理论、新的研究方向的建立（傅里叶积分理论、本证函数展开理论和广义函数论等等）。
二、偏微分方程理论的两个特点1. 偏微分方程理论与应用、与物理问题的直接联系偏微分方程理论产生于那些归结为考察某些具体偏微分方程的具体物理问题的研究，这些方程便得到数学物理方程的称谓。