第六章图与网络规划课件
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的子图中不再含回路为止，该子图就是N的最小支撑树。
第三节 最短路问题
最短路问题是图与网络规划中的一个基本问题。许多管理问题 与最短路问题有关。
图6.6 有一批货物要从v1运到v6。这两点间的通路线如图6.5所示，每 条弧旁边的数字表示该弧的长度。总路径最短，那么运输费用也就 越小。为节省运输费用，应该怎样选择运输路线呢？ 类似的问题在通信、石油管线铺设、公路网等实际问题中都普 遍存在，有时还要求计算任意两点间的最短距离。
树
图6.4
2.1基本概念 ❖ 树——无回路且连通的无向图G称为树，树中的边成为枝。 ❖ 生成树——若T是无向图G的生成子图，且T又是树，则称T是G的生成树。 ❖ 根树——给有向图T，若顶点x至T中其他顶点u都恰有一条初等链，则称T
为以x为根的根树。 ❖ 有向树——给有向图T，若顶点x至T中其他顶点u都恰有一条初等链，则
称T为以x为根的根树。
树
树的性质： 作为树T的定义，下列定义是等价的： 1）T连通且无回路； 2）T无回路且有n-1条边； 3）T连通且有n-1条边； 4） T无回路，但不相邻的两个顶点之间连以一边，恰得一个回路； 5）T连通，但去掉T的任一条初等链，T就不连通； 6）T的任两顶点间恰有一条初等链。
G={V，E}
❖ 边：两点之间的不带箭头的连线； ❖ 弧：两点之间带箭头的连线； ❖ 无向图：由点和边构成； ❖ 有向图：由点和弧构成； ❖ 混合图：既有边又有弧的图； ❖ 自回路：一条边的两端重合； ❖ 定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有
向图D，称D为的G定向图；G为D的基本图； ❖ 简单图：无平行边的图； ❖ 多重图：一个无环但有多重边的图； ❖ 完全图：图中任意两个顶点之间恰有一条边相关联；
第二节 树
在各式各样的图中，有一类图是极其简单然而却是很有用的， 这就是树图。树图的定义是无圈的连通图。这类图与大自然中树 的特征相似，因而得名树图。管理组织机构、学科分类和一些决 策过程往往都可以用树图的形式表示。
举一个现实生活中的例子，五个城市，要在它们之间架设电 话线，要求任何两个城市都可以互相通话，并且电话线的根数最 少。
图6.1
图6.2
当问题被提到的数学教授Euler面前，它把每块地用一个点代替，把每
座桥用连接对应点的一条边代替，把问题抽象为图6.2中的图。提出了 判断一般图存在这种走法的充要条件，并给出了必要性的证明。
图的基本概念
1.2基本概念 ❖ 如果用V点表示研究对象，用E边表示这些对象之间的联系，则图G
可பைடு நூலகம்定义为点和边的集合，记作
2.2 最小支撑树 如果G1是G2的部分图，又是树图，则称是的支撑树。图6.4（b）是（a） 的一个支撑树。树图的各条边称为树枝，（假定各边都又权重），一般图 含有多个支撑树，设T是G的一棵支撑子树，称T中所有边的权之和为支撑 树T的权，记为w(T)，如果支撑树T*权W(T*)是G所有支撑树的权中最小的， 则T*称为G的最小支撑树(简称为最小树minimum spanning tree）。
图的基本概念
❖ 若存在经过每条边恰好一次的一个圈，则称此图为欧拉圈。若在图 中只含有一个欧拉圈，则称此图为欧拉图。
❖ 如果图中存在一条通过各个顶点一次且仅一次的回路，则称此回路 为图的哈密尔顿回路；具有哈密顿回路的图称为哈密尔顿图。 图6.3（a）、（b）分别是欧拉图和哈密尔图。
（a） 图6.3
（b）
最短路问题
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短 距离的狄克斯屈拉（Dijkstra）算法；另一种是求网络图上任意 两点之间最短距离的矩阵算法 ❖ 3.1 Dijkstra算法 此算法仅适用于所有的情形。
内容提要
第一节 图的基本概念 第二节 树 第三节 最短路问题 第四节 最大流问题 第五节 最小费用最大流问题 习题
第一节 图论的基本概念
1.1图的导引 在哥尼斯堡城中有一条河叫普雷格尔河，河上有七座桥连接两岸及河中 的两个岛（如图6.1所示）。当时困扰当地居民的一个问题是：是否存 在一种走法，使走过桥每座桥恰好一次。虽然当时有许多人相信不存在 这种走法，但没有人能解释其原因。
图的基本概念
❖ 权：在图的点或边上表明某种信息的数； ❖ 赋权图：每条边都赋上了值； ❖ 网络图：给点和边（弧）赋以具体的含义和权数的图；
❖ 出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数（度数为零的定点称 为孤立点，度数为一的点为悬挂点），以该定点为始边的边数为 出度；
❖ 入度：以该定点为终边的边数为入度； ❖ 子图：删去一条边或一点剩下的图。； ❖ 生成子图：只删边不删点； ❖ 主子图：图中删去一点所得的子图； ❖ 连通图：在无向图中如果任意两点是可达的，否则是不连通图； ❖ 强连通图：在有向图中如果任意两点是互可达的；
用五个点代表五个城市，如果在某两个城市之间架设电话 线，则在相应的两个点之间连一条边，这样一个电话线网就可以 用一个图来表示了。为了使任何两个城市都可以通话，这样的图 必须使连通的。其次，若图中由圈的话，从圈上任意去掉一条边， 余下的图仍是连通的，这样可以省去一条电话线。因而，满足要 求的电话线网所对应的图必定是不含圈的连通图。图6.4代表了 满足要求的一个电话线网。
树
图6.4（b）是（a）的一个支撑树。
（a）
（b）
图6.5
很显然，图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通图。
求一个赋权连通图G的最小支撑树问题称为最小树问题。求最小树的方法有两种： ❖ 破圈法
在图G中任去一个圈,去掉圈上权最大的一条边,反复进行,直到没有圈为止。 ❖ 避圈法
从网络图N任取一回路，去掉这个回路中权数最大的一条边，得一子网络图N1，在 N1中再取任一回路，在去掉回路中权数最大的一条边，如此继续下去，一直到剩下
第六章 图与网络规划
上海工程技术大学——管理学院
引言
图论是应用十分广泛的运筹学分支， 它已广泛地应用在物理学、化学、控制论、 信息论、科学管理、电子计算机等各个领 域。在实际生活、生产科学研究中，有很 多问题可以用图论的理论和方法来解决。 图论的概念和结果来源非常广泛，既有来 自生产实践的问题，也有来自理论研究的 问题。我们把图论在系统管理决策中卓有 成效的一些理论和方法称之为网络规划。
第三节 最短路问题
最短路问题是图与网络规划中的一个基本问题。许多管理问题 与最短路问题有关。
图6.6 有一批货物要从v1运到v6。这两点间的通路线如图6.5所示，每 条弧旁边的数字表示该弧的长度。总路径最短，那么运输费用也就 越小。为节省运输费用，应该怎样选择运输路线呢？ 类似的问题在通信、石油管线铺设、公路网等实际问题中都普 遍存在，有时还要求计算任意两点间的最短距离。
树
图6.4
2.1基本概念 ❖ 树——无回路且连通的无向图G称为树，树中的边成为枝。 ❖ 生成树——若T是无向图G的生成子图，且T又是树，则称T是G的生成树。 ❖ 根树——给有向图T，若顶点x至T中其他顶点u都恰有一条初等链，则称T
为以x为根的根树。 ❖ 有向树——给有向图T，若顶点x至T中其他顶点u都恰有一条初等链，则
称T为以x为根的根树。
树
树的性质： 作为树T的定义，下列定义是等价的： 1）T连通且无回路； 2）T无回路且有n-1条边； 3）T连通且有n-1条边； 4） T无回路，但不相邻的两个顶点之间连以一边，恰得一个回路； 5）T连通，但去掉T的任一条初等链，T就不连通； 6）T的任两顶点间恰有一条初等链。
G={V，E}
❖ 边：两点之间的不带箭头的连线； ❖ 弧：两点之间带箭头的连线； ❖ 无向图：由点和边构成； ❖ 有向图：由点和弧构成； ❖ 混合图：既有边又有弧的图； ❖ 自回路：一条边的两端重合； ❖ 定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有
向图D，称D为的G定向图；G为D的基本图； ❖ 简单图：无平行边的图； ❖ 多重图：一个无环但有多重边的图； ❖ 完全图：图中任意两个顶点之间恰有一条边相关联；
第二节 树
在各式各样的图中，有一类图是极其简单然而却是很有用的， 这就是树图。树图的定义是无圈的连通图。这类图与大自然中树 的特征相似，因而得名树图。管理组织机构、学科分类和一些决 策过程往往都可以用树图的形式表示。
举一个现实生活中的例子，五个城市，要在它们之间架设电 话线，要求任何两个城市都可以互相通话，并且电话线的根数最 少。
图6.1
图6.2
当问题被提到的数学教授Euler面前，它把每块地用一个点代替，把每
座桥用连接对应点的一条边代替，把问题抽象为图6.2中的图。提出了 判断一般图存在这种走法的充要条件，并给出了必要性的证明。
图的基本概念
1.2基本概念 ❖ 如果用V点表示研究对象，用E边表示这些对象之间的联系，则图G
可பைடு நூலகம்定义为点和边的集合，记作
2.2 最小支撑树 如果G1是G2的部分图，又是树图，则称是的支撑树。图6.4（b）是（a） 的一个支撑树。树图的各条边称为树枝，（假定各边都又权重），一般图 含有多个支撑树，设T是G的一棵支撑子树，称T中所有边的权之和为支撑 树T的权，记为w(T)，如果支撑树T*权W(T*)是G所有支撑树的权中最小的， 则T*称为G的最小支撑树(简称为最小树minimum spanning tree）。
图的基本概念
❖ 若存在经过每条边恰好一次的一个圈，则称此图为欧拉圈。若在图 中只含有一个欧拉圈，则称此图为欧拉图。
❖ 如果图中存在一条通过各个顶点一次且仅一次的回路，则称此回路 为图的哈密尔顿回路；具有哈密顿回路的图称为哈密尔顿图。 图6.3（a）、（b）分别是欧拉图和哈密尔图。
（a） 图6.3
（b）
最短路问题
求最短路有两种算法，一是求从某一点至其他各点之间最短 距离的狄克斯屈拉（Dijkstra）算法；另一种是求网络图上任意 两点之间最短距离的矩阵算法 ❖ 3.1 Dijkstra算法 此算法仅适用于所有的情形。
内容提要
第一节 图的基本概念 第二节 树 第三节 最短路问题 第四节 最大流问题 第五节 最小费用最大流问题 习题
第一节 图论的基本概念
1.1图的导引 在哥尼斯堡城中有一条河叫普雷格尔河，河上有七座桥连接两岸及河中 的两个岛（如图6.1所示）。当时困扰当地居民的一个问题是：是否存 在一种走法，使走过桥每座桥恰好一次。虽然当时有许多人相信不存在 这种走法，但没有人能解释其原因。
图的基本概念
❖ 权：在图的点或边上表明某种信息的数； ❖ 赋权图：每条边都赋上了值； ❖ 网络图：给点和边（弧）赋以具体的含义和权数的图；
❖ 出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数（度数为零的定点称 为孤立点，度数为一的点为悬挂点），以该定点为始边的边数为 出度；
❖ 入度：以该定点为终边的边数为入度； ❖ 子图：删去一条边或一点剩下的图。； ❖ 生成子图：只删边不删点； ❖ 主子图：图中删去一点所得的子图； ❖ 连通图：在无向图中如果任意两点是可达的，否则是不连通图； ❖ 强连通图：在有向图中如果任意两点是互可达的；
用五个点代表五个城市，如果在某两个城市之间架设电话 线，则在相应的两个点之间连一条边，这样一个电话线网就可以 用一个图来表示了。为了使任何两个城市都可以通话，这样的图 必须使连通的。其次，若图中由圈的话，从圈上任意去掉一条边， 余下的图仍是连通的，这样可以省去一条电话线。因而，满足要 求的电话线网所对应的图必定是不含圈的连通图。图6.4代表了 满足要求的一个电话线网。
树
图6.4（b）是（a）的一个支撑树。
（a）
（b）
图6.5
很显然，图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通图。
求一个赋权连通图G的最小支撑树问题称为最小树问题。求最小树的方法有两种： ❖ 破圈法
在图G中任去一个圈,去掉圈上权最大的一条边,反复进行,直到没有圈为止。 ❖ 避圈法
从网络图N任取一回路，去掉这个回路中权数最大的一条边，得一子网络图N1，在 N1中再取任一回路，在去掉回路中权数最大的一条边，如此继续下去，一直到剩下
第六章 图与网络规划
上海工程技术大学——管理学院
引言
图论是应用十分广泛的运筹学分支， 它已广泛地应用在物理学、化学、控制论、 信息论、科学管理、电子计算机等各个领 域。在实际生活、生产科学研究中，有很 多问题可以用图论的理论和方法来解决。 图论的概念和结果来源非常广泛，既有来 自生产实践的问题，也有来自理论研究的 问题。我们把图论在系统管理决策中卓有 成效的一些理论和方法称之为网络规划。