(完整版)一元二次方程知识点及其应用

一、相关知识点

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02

=++c bx ax 才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程

3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程

二．解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如n x =2

或)0()(2

≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未

知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2

的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2

)(的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2

)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0

（3）公式法：一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的根a

ac b b x 242-±-=

当042

>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当042

=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a

b x x 221-

==；

当042

<-ac b 时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42

-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042

≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0=ab ，则00==b a 或； ②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 （5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。 （6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。 三、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。 （1）∆=ac b 42

-

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程02

=++c bx ax （0≠a ） ①当⎩⎨

⎧≥∆≠时

00

a ⇔方程有实数根；

（当⎩⎨⎧>∆≠时00a ⇔方程有两个不相等的实数根；当⎩

⎨⎧=∆≠时00a ⇔方程有两个相等的实数根；

） ②当⎩⎨

⎧<∆≠时

00

a ⇔方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围 （3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况

②用配方法将判别式恒等变形； ③判断判别式的符号； ④总结出结论.

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧 （6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合 （7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题

四、一元二次方程的应用

1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a ），增长率（x ），变化的次数（n ），变化后的基数（b ）,这四者之间的关系可以用公式b x a n

=+)1(表示。

4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。

五．实际应用

（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？（36岁）

(3)已知：c b a ,,分别是ABC ∆的三边长，当0>m 时，关于x 的一元二次方程

02)()(22=--++ax m m x b m x c 有两个相等的实数根，求证：ABC ∆是直角三角形。