高等数学习题集[附答案及解析]

合集下载

高等数学2_习题集(含答案)

《高等数学2》课程习题集【说明】：本课程《高等数学2》（编号为01011）共有计算题1,计算题2等多种试题类型，其中，本习题集中有[]等试题类型未进入。

一、计算题11. 计算行列式6142302151032121----=D 的值。

2. 计算行列式5241421318320521------=D 的值。

3.用范德蒙行列式计算4阶行列式12534327641549916573411114--=D 的值。

4. 已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ，计算：333231232221131211101010a a a a a a a a a 的值。

5.计算行列式 0111101111011110=D 的值。

6. 计算行列式199819981997199619951994199319921991 的值．7. 计算行列式50007061102948023---=D 的值． 8. 计算行列式3214214314324321=D 的值。

9. 已知10333222111=c b a c b a c b a ，求222111333c b a c b a c b a 的值． 10. 计算行列式xa a a x a a a xD n=的值。

11.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2100430000350023A ，求1-A 。

12.求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=311121111A 的逆．13.设n 阶方阵A 可逆，试证明A 的伴随矩阵A *可逆，并求1*)(-A 。

14. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100210000120025A 的逆。

15. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=461351341A 的逆矩阵。

16. 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2300120000230014A 的逆。

17. 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=232311111A 的逆矩阵。

18.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=101012211A 的逆．19. 求矩阵112235324-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的逆。

(数一)高等数学习题集(含解答)

第一章函数·极限·连续一. 填空题1．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫⎝⎛+a t axx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e =a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2. 2. ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n 所以 n n n n +++++221 <n n n n n n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =213. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1. 4. )3(lim n n n n n --+∞→=_______.解. nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n5. ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______.解. 616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x6. 已知A n n n k kn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解. A kn n n n n k n k kn =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim 所以 k －1=1990, k = 1991;1991111===k A A k ，二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点解. (a) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例 ⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1(c) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1(d) 反设 g(x ) = )()(x f x ϕ在(－∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(－∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数xex x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案. 3. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 4. 设8)1()1()1(lim 502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为(a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 = 502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→ =5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 5. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对解. (c)为答案.6. 设232)(-+=xxx f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解. x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 7. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. 0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.8. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案. 三. 计算题 1. 求下列极限 (1) xxx e x 1)(lim ++∞→解. e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xxx =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2) x x xx )1cos 2(sinlim +∞→解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee y y y y yy y y y ==+-+→→(3) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)s i n 1(s i nt a n s i nt a n s i n10s i n 1s i n t a n 1lim x x x x x x x x x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==3sin tan limx xx x e -→=3)cos 1(sin limx x x x e-→=212sin 2sin lim32e ex xx x =⋅→.2. 求下列极限 (1) 323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时, 331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换 33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim 解. 方法1：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x x x x x x x x x x →→++- =21122cos 2sin cos 4cos 2lim220+++-→x x x x x x x=2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220c o t 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3232lim 440=→x xx3. 求下列极限 (1) )1(ln lim-∞→nn n nn解. n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2) nxnxn e e --∞→+-11lim解. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3) nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0 解. nnnn b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→2lim a b c n x /,/1== xc xxx x x ae c a 2ln )1ln(lim 10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 1212)(11+-=xxx f解. 11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.( 2 ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π 00>≤x x解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 11s i nlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; )2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x c o s 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e x x x f 1sin )(00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.6. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f ≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.8. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.9. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 10. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0.11. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('x x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xx x x x x320200)c o s 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('x x x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→- 06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x x x x x x 所以 0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导.12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及23)(limxx f x +→. 解. 0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f x x x x x . 所以 0)(3s i n lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为0)(3s i n lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033c o s 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim 3)(lim x x x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→ =2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x由293)(lim 20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章导数与微分一. 填空题 1. xx x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______. 解. 1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f2. 设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12 , 则=22dx d y______.解. t tdx dy 2sin -=, 32'224cos sin 214sin 2cos 22sin t t t t t t t t t dxdt t t dx y d t -=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 3. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy______. 解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y eyx , 所以xyx e e xy y y y x yx sin sin '--=++4. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______. 解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =- 所以 k x f x f =-=)(')('005. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim 000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +6. 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________. 解. )('31)()(lim0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf = 所以 31=k7. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解. x xx f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f 8. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 9. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy eyx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y eyx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为 x y 211=-, 即 x －2y + 2 = 0. 二. 单项选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) nx f n 2)]([!解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以)()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x fn =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入)0()1(,0af f x ==得x f x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim)1('0=ab af xaf x af x ==∆-∆→∆)0(')0()(lim 0, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导. 3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. ⎩⎨⎧=3324)(xx x f 00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x 所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdyy x ∆-∆→∆0lim等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o xdy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax xx x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题1. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=解. )310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x xx y +-=+⋅+-= 2. 已知f(u)可导, ')][ln(2y x a x f y ，求++= 解. ='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a xx a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctan ln22=+确定的, 求'y .解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+=' 4. 已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin , 求22dx yd . 解. tt tt t e t e t e t e dx dy t t t t sin cos sin cos sin cos sin cos +-=+-=,dt dx t t t t t t dx dt t t t t dt d dx y d 1)sin (cos )sin (cos )sin (cos sin cos sin cos 22222⋅+--+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 322)s i n (c o s 2t t e dx y d t +-= 5. 设2/322)(x x u y y x +=+=，, 求dudy解. dy y dx )12(+=, dx x x x du )12()(23212++=dx x x x dxdu dyy )12(23)12(2++=+)12()12(322+++=x x x y d u d y 6. 设函数f(x)二阶可导, 0)0('≠f , 且⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π, 求0=t dx dy , 022=t dx yd . 解. )('3)1('33t fe ef dx dy t t -=, 所以0=t dx dy=3. 3333323322)]('[)('')1(')(')]1('3)(3)1(''[3t f t f e f e t f e f e e e f dx y d t t t t t t ---+-= 所以2322)]0('[)0(''6)0('9)]0('[)0('')0(')0(')]0('3)0(''3[30f f f f f f f f f t dx y d +=-+== 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组⎩⎨⎧=+=e e e te x yt t 2确定. 求该曲线在t = 1处的曲率. 解. ee e e e y t ty t t 2'-=-=. 所以)2)(1(12''e e t te e e e e x y dx dy t t t t tt t -+=+-== 所以et dx dy 211-==.t t tt t ee e t te e e dx dt e e t dt d dx y d 2322)2()1(22)2)(1(1-++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=所以 222811et dx y d -==. 在t = 1的曲率为 2322322232)41(411811)'1(|''|--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+=e e e e t y y k四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时⎩⎨⎧++=cbx ax x f x F 2)()( 00>≤x x二阶可导.解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 0x F x F x x +-→→=, 所以c = f (－0) = f (0);因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b = )0(')0('f f =-, 且 ⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x)0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以)0(''21f a =五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ，求-=. 解. xx x f +⋅+-⋅+-=112111211)( 11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n nn n x x n x f0)0()12(=+k f , k = 0, 1, 2, …!)0(2n fk=, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式 121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n x n n x n x x n x x x f=121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n xn n 所以 )!2()1()1(2)(--=-n f n n七. 已知'.,sin cos 20022y y tdt dt e x y t 求+=⎰⎰解. 两边对x 求导, 2222cos 2cos 2',cos '2cos 2'22yy ex x y y yy x x y e y y -=+=第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1.⎰-+-dx x xx 11ln 112解. =-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 212. c x x x x d x x dx x x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3.⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解. c x x x x d x x dx x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 = c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878 =c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 815．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1 ⎰⎰⎰+++++--=dx x x dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121xd x x x x ⎰++++-=c xx x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121二. 求下列不定积分: 1.⎰+++22)1(22x x x dx解.⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dtsec tan cos 22 =⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 222.⎰+241xxdx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dt xxdx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224=c x x x x+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-23211313.⎰++221)12(xxdx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++t td dt t t t dt t t t xx dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12(=c xx c t ++=+21arctansin arctan4.⎰-222x a dx x (a > 0)解. 令t a x sin =⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dxx 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222=c x a a x a x a +⎪⎭⎫⎝⎛--2222arcsin 25.⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt tt dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432=⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83=c tt t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6.⎰-dx xx 421解. 令tx 1=⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx xx 224224211111u t sin =令⎰-udu u 2cos sin =c x x c u +-=+33233)1(cos 317.⎰-+dx x xx 1122解. 令 tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x xx sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222c xx x+-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1. ⎰+-+dx e e e e x xxx 1243 解. ⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e x x x x x x x x x x x xx x )arctan(1)()(11222243 2.⎰+)41(2x x dx解. 令xt 2=, 2ln t dtdx =c tt dt t t t t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分:1. ⎰-dx x x 1005)2( 解. ⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x x c x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(95969798992345 2.⎰+41xxdx解.⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令c x x c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分: 1.⎰xdx x 2cos 解.⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412c x x x x +++=2cos 812sin 414122.⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec3=⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan secc x x x x xd x +++=⎰|t a n s e c |ln 21tan sec 21sec 3 3. ⎰dx xx 23)(ln 解. ⎰⎰⎰+-=-=dx x x x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln ⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx x x x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(ln c xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 23 4.⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln∴c x x xdx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x xx dx xxx 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434c x x x xd x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分: 1.⎰-++dx x x x x 222)1()1ln(解.⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(xd x x dx x x x x =⎰+⋅---++dx x x x x x 222211112111)1ln(21 t x t a n =令 tdt t t x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰ =dt t t x x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =⎰---++t t d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c t t x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22 =c xx xx x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(22222.⎰+dx xx x 21arctan解.⎰⎰⎰++-+=+=+dx x x x x x xd dx xx x 2222211arctan 11arctan 1arctan=c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 122223. ⎰dx e e xx2arctan解. dx e e e e e de e dx e e x x x xx x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctan dx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x xx )1(121arctan 2122 c x e e e dx e e e e e x x x xx x xx +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-xex x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(.解.⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dxx x dx x f x )32()3)1ln(()(22⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x cx x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以 c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x 八. 设x b x a e f xcos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x). 解. 令t x e t xln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以 ⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)( =c x a b x b a x+-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解. 令t x sin 2=⎰⎰⎰--==-t td t tdt t dx x x cos cos )cos 1(32cos sin 324222323 =c x x c t t +---=++-23225253)4(34)4(51cos 532cos 332 2.⎰>-)0(22a dx xa x解. 令t a x sec =⎰⎰⎰+-===>-c at t a tdt a t t a ta ta a dx x a x tan tan tan sec sec tan )0(222 =c xaa a x +--arccos 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.=-+⎰d ee e xx x 21)1(⎰-dx ee xx 21+dx ee xx ⎰-221=⎰-x x e de 21－dx e e d xx ⎰--221)1(21=c e e x x +--21arcsin 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十. 求下列不定积分:1.⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 342.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin=⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十一. 求下列不定积分: 1.⎰++dx x xx )32(332解.⎰⎰+=+=++++c x d dx x xx xx xx 3ln 3)3(3)32(332332222.⎰-+-dx x x x)13()523(232解. )523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x xc x x ++-=252)523(513.dx xx x ⎰+++221)1ln(解.⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4.⎰+++++)11ln()11(222x x xxdx解.c x x xd x x xxdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十二. 求下列不定积分: 1.⎰+dx x x x )1(arctan 2解.⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x ⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21 dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122 c xxx x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2.⎰+dx x x1arcsin解. 令t x t xx2tan ,1arcsin==+则⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t t d t t t t d t dx xxtan tan tan tan tan 1arcsin2222 c x xx x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3. ⎰-+⋅dx xx x x 22211arcsin解. ⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t t x dx xx x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令 ⎰⎰⎰+++-=+-=c t tdt t t dt t tdt t 221cot cot cot c t t t t +++-=221|sin |ln cot c x x x x x+++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin4.dx x x x ⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰ c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cot c x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十三. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令 c t t t d dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32 c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22 解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x xa x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十四. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin ⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u uu du u u |22|ln 2211)211(22 c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112.⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt=c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin=⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十五. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x+--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e xx 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e xx x x x )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c eee c t t t x xx+-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx xx x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x t tan sec 2,sec ,1tan ,1arctan22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1。

高等数学习题集及解答

高等数学习题集及解答第二章一、填空题1、设()f x 在x a =可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--=。

2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)lim 2h f h f h →--=。

3、设1()xf x e -=，则0_____________(2)(2)limh f h f h→--=。

4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2x f x f x x x π'==<<-，则0_______________________()f x =。

5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dydx =。

6、()x f x xe =，则_______________(ln 2)f '''=。

7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________a =。

8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________()f x '-=。

9、()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则_________________(0)f '=。

10、ln(13)x y -=+，则____________________y '=。

11、设0()1f x '=-，则0___________00lim(2)()x xf x x f x x →=---。

12、设tan x y y +=，则_________________________dy =。

13、设lny =_______________(0)y '''=。

14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是______________________。

专升本高等数学习题集及参考答案

第一章函数一、选择题1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数A. x x y +=tanB. y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】A.33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==C. 1)(,1)(2-=-=x x g x x fD. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==3. A. y C. y4. A. y C. y5. 函数A. C. [6. A. y C. y7. A. (C. (8. A. (C. (9. A. fC.()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x =10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】A. ()cos f x x =B. ()arccos f x x =C. ()tan f x x =D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】A. (,22ππ-B. (0,)πC. (,)-∞+∞D. [1,1]-12. 下列函数是奇函数的是【】A. arcsin y x x =B.arccos y x x =C.arccot y x x = D. 2arctan y x x =13. 函数53sin ln x y=的复合过程为【 A 】A.x w w v v u u y sin ,,ln ,35==== B.x u u y sin ln ,53==C.x u u ysin ,ln 53== D.x v v u u y sin ,ln ,35===二、填空题1. 函数5arctan 5arcsin x x y +=的定义域是___________.2.()arcsin3xf x =的定义域为 ___________.3.函数1()arcsinx f x +=的定义域为 ___________。

大学高等数学习题及答案

高等数学（A）1习题1-11.求下列函数的自然定义域：(3)y =1-1-x 2x⎧1-x 2≥0⎧-1≤x ≤1解：由⎨，所以函数的定义域为：[-1,0)⋃(0,1]⇒⎨⎩x ≠0⎩x ≠0(7)y =arcsin(x -3)解：由-1≤x -3≤1⇒2≤x ≤4，所以函数的定义域为：[2,4]1(8)y =3-x +arctanx⎧3-x ≥0⎧x ≤3解：由⎨x ≠0⇒⎨x ≠0，所以函数的定义域为：(-∞,0)⋃(0,3]⎩⎩9.求下列函数的反函数：（1）y =3x +1解：由y 3=x +1⇒x =y 3-1，所以反函数为：y =x 3-11-xy =（2）1+x解：由y (1+x )=1-x ⇒x =1-x 1-yy =1+x1+y ，所以反函数为：习题1-21.下列各题中，哪些数列收敛？哪些数列发散？1(2){(-1)n }n 收敛.且极限为0.⎧n -1⎫(4)⎨⎬n +1⎩⎭收敛，且极限为12n -1(6){3n }2n -12n 1n收敛.且因为：3n =(3)-(3)，知极限为0.习题1-3x |x |当x →0时的左、右极限，并说明它们在x →0时的极限4.求f (x )=,φ(x )=x x 是否存在.解：x →0lim -f (x )=lim -x →0x →0x x=lim -1=1,lim +f (x )=lim +=lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0∴lim f (x )=1|x |-x |x |x=lim -lim(-1)=-1,lim φ(x )=lim =lim =lim +1=1x →0x →0x x →0x x →0-x →0+x →0+x x →0+x x →0∴lim φ(x )不存在.lim -φ(x )=lim -x →0习题1-44.求下列极限并说明理由.（1）lim x →∞2x +1x2x +1112x +1=2+,而lim =0,由定理1可知：lim =2.解：x x →∞x →∞x x x 1-x 2(2)lim x →∞1-x1-x 2(1-x )(1+x )1-x 2=1+x ，而lim x =0,由定理1可知：lim =1解：1-x =x →0x →01-x1-x 习题1-51.计算下列极限.x 2-32（2）x lim →3x +1解：lim x →x -3x →30===023x +1lim(x 2+1)4x →32lim(x 2-3)x 2-2x +1（3）lim x →1x 2-1x 2-2x +1(x -1)2x -1lim =lim =lim =0解：x →1x 2-1x →1(x +1)(x -1)x →1x +14x 3-2x 2+x （4）lim x →03x 2+2x 解：lim 4x -2x +x 4x -2x +1=lim =x →0x →03x 2+2x 3x +2322lim(4x 2-2x +1)x →0lim(3x +2)x →0=1=02x 2-1（7）lim x →∞2x 2-x -11)2x -11x →∞x lim =lim ==解：x →∞2x 2-x -1x →∞111122--2lim(2--2)x x x →∞x x 21-1x 2lim(1-x 2-6x +8（9）lim x →4x 2-5x +4x 2-6x +8(x -4)(x -2)(x -2)2lim =lim =lim 解：x →4x 2-5x +4x →4(x -4)(x -1)x →4(x -1)=3习题1-61.计算下列极限：1-cos2x lim （5）x →0x sin x 1-cos2x 2sin 2x sin xlim =lim =2lim =2⋅1=2解：x →0x sin x x →0x sin x x →0x 2.计算下列极限.-x )（1）lim(1x →0-1lim(1-x )=lim[(1+(-x ))]=e 解：x →0x →01x1-x -11x+2x )（2）lim(1x →02lim(1+2x )=lim[(1+2x )]=e 解：x →0x →01x12x 21x习题1-75.利用等价无穷小的性质，求下列极限：tan3xlim （1）x →02x tan3x ~3x ,∴lim 解：当x →0时，（3）lim x →0tan3x 3x 33=lim =lim =x →0x →02x x →022x 2tan x -sin xsin 3x 1x ⋅x 2tan x -sin x tan x (1-cos x )2=lim 1=1lim =lim =lim 333x →0x →0x →0x →02sin xsin x x 2解：1(x →0,tan x ~x ,1-cos x ~x 2,sin 3x ~x 3)2习题1-83.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充或改变函数的定义使它连续：x 2-1（1）y =x 2-3x +2，x =1,x =2解：在x =1点，lim y =lim x →1(x -1)(x +1)(x +1)=lim =-2x →1(x -1)(x -2)x →1(x -2)故x =1点为第一类中的可去间断点.如果补充f (1)=-2,则f (x )在x =2点连续。

高等数学习题集及解答

高等数学习题集及解答(总274页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+=6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,07．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( )A ．()+∞∞-,B ．()0,∞-C ．[)+∞,0D ．不存在9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -= 10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．2118．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为，()0f = ，()1f = 。

高等数学基础习题集(含答案)

sin x
,则 f ( x ) 是（
）（C）周期函数（D）单调函数
（B）无界函数
【解题思路】把函数看成三个分函数，该指数函数无奇偶性， x 为非周期函数， tan x 无严格单调性. 【详解】 f ( x ) x tan x e
sin x
中， tan x 无界，另负无穷到正无穷都能取到，故整体无界.
n
7、已知极限 lim
x a
f ( x) f (a) 存在，则 lim f ( x) 是否存在？若存在，为多少？ x a xa f ( x) f (a) 0 中，分母趋向于 0，而此极限存在，故只能为型，因此分 xa 0
x a x a
【解题思路】考虑极限的类型. 2、设 f ( x) 0, 1,
x 1, x 1, g ( x ) e x ，求 f [ g ( x)] 和 g[ f ( x)] ，并作出这两个函数的图形. x 1,
x
x x 【解题思路】求 f [ g ( x)] 时，中间变量为 g ( x ) e ，利用函数 y e 的单调性质，考虑 e
【解题思路】利用数列的单调有界准则. 先求出 a2 , a3 ，易猜测数列是单调递减的，故只需证有下界即可. 【详解】由已知条件易得 an 0 ，利用基本不等式可得， an+1 = (an + 有下界；又因为 an +1 an = 限 lim an 存在. 证毕.
x a
子也以 0 为极限，故 lim f ( x) f (a) 0 ，所以 lim f ( x) 存在，为 f (a) .
1 2 ex sin x 8、极限 lim 2 x 0 1 e x ln(1 x)

高数课后习题答案及其解析

第一章习题习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。

高数练习册答案（完整版）

1 高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A 2、D 3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题1、（1）解函数要有意义，必须满足îíì³-¹0102x x 即îíì££-¹110x x 定义域为]1,0()0,1(È-（2）解函数要有意义，必须满足ïïîïïíì££-¹³-111003x xx 解得1-£x 或31££x 3．（1）解由1-=x e y 得1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解由11+-=x x y 得y yx -+=11交换x 、y 得反函数为xx y -+=114．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为112>+t ，x arcsin 无定义（2）解不能，因为11££-x ，此时121-=x y 无意义5．解（1）12arccos 2-====x w wv vu ey u(2) 令22y y y +=则11ln 21+=+==x u u v vy xw em m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解ïîïíì-£+£<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g 7．解设cbx ax x f ++=2)(所以ïîïíì==++=++41242c c b a c b a 解得25214-===b a c习题二习题二一．单项选择题一．单项选择题1、A 2、B 3、D 二．填空题二．填空题1、>1 2、单调增加、单调增加三．计算题三．计算题1、（1）解）解因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数所以函数是偶函数（2）解）解因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数所以函数是奇函数（3）解）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=ïîïíì>+-=<--=ïîïíì<---=->-+-=- 所以函数是奇函数所以函数是奇函数2．解．解因为因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为p ，所以x y 2sin =是周期函数，周期为p3．解．解由h r V 231p = 得23rvh p =表面积：表面积： )0(919221226224222222³++=++=+×+=r r v r r r rv r r r r h r s p p p p p p p 四证明证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x xxxx-=+-=+-=--- 习题三习题三一．单项选择题一．单项选择题1、C 2、C 3、B 4、C 二．填空题二．填空题1、1 2、a 3、³4、2，0 5、1 三．判断正误三．判断正误1、对；、对；2、对；、对；3、错、错四．（1）证明证明令12+=n nx ne <=<+=-n nn n nx n11022只要e 1>n ，取]1[e=N当N n >时，恒有e <-0n x所以01lim2=+¥®n nn（2）证明）证明因为)0()(lim>=+¥®A A x f x ，对取定的2A=e ，存在M>0，当x>M 时，有时，有2)()(AA x f A x f <-<-故当x>M 时，2)(Ax f >习题四习题四一．单项选择题一．单项选择题1、B 2、B 3、B 4、D 二．填空题二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误三．判断正误 1、错；、错； 2、错；、错； 3、错；、错；四．计算题四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim 11=+--=+---®®x x x x x x x x 2、原式＝01111lim 11lim =++=+++¥®+¥®xxxx x x 3、原式＝2311lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=-+++-®®xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-×+=-++¥®++++¥®n n n n n nn nn 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ×+--++×-+×-+¥®n n n 21)2112121(lim =×+-=¥®n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++¥®+¥® 2132123lim 22=+=¥®nn n n 7、因为、因为 0lim =-+¥®xx e 1s i n £x 所以所以 0s i nl i m =-+¥®x e xx习题五习题五一、1.B ， 2.A, 3. B 二、1.sin tan x x x << 2．０．０三、1. （1）0sin 77lim tan 55x x x ®=解：（2）0lim sin0x x x p ®=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x xxx x x x x x x x x x®®®---===-+++解：（4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x ++®®+=解：原式解：原式==后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e nn n´+®¥®¥®¥=+=++==原式（2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x x x e ---·-®¥®¥éùæö-=-=êúç÷èøêúëû原式原式== （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x xx e x x -++-·---®¥®¥éù-=-=êú++êúëû原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ·®=+=原式(中间思维过程同前) （5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nnn n n n n n n nn n n·®¥®¥®¥®¥+==+=+=+=原式四．四．1.证明：证明：22222111......2n n n n n n n n n ppppp<+++<+++++22limlim 1,,.n n n nn n n p p®¥®¥==++而故由夹逼准则知原式成立 2.证明：证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->> n 即而0<x <1,<1,故故即故数列单调递增且有界故数列单调递增且有界,,极限存在极限存在..22212(21)11(1)1lim 1n nnnn n n n x x x x x x x +®¥=-+=--++=--<\=习题六习题六一、1．B ，2．B ，3．B ，4．B ，5。

高等数学习题集[附答案及解析]

第一章函数与极限§1 函数必作习题P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17必交习题一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、证明函数12+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin)(2= ；(2)1212)(+-=x x x f ；(3))1ln()(2++=x x x f 。

四、证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数必作习题P31－33 1，8，9，10，16，17必交习题一、设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：(1))(x e f ；(2))(ln x f ；(3))(arcsin x f ；(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x ef -；(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；(3)设xx f -=11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。

)1,0(≠≠x x三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。

四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

P42 3 (3) (4)，4，5，6必交习题一、写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =；(2)n n n n x n ++++++=22212111Λ；(3)nx n x n n n)1(1211122-=+++=-，Λ。

《高等应用数学》习题集及参考答案

《高等应用数学》习题集及参考答案编制人：数理化教研室编制单位：素质教育学院编制日期：2022年5月教研室副主任：施建朝学院负责人：陈南苏审核人：第一单元变量之间对应关系的建立判断题：题型（一）函数与表示的是同一个函数。

（）答案:错函数与表示的是同一个函数。

（）答案：错函数与表示的是同一个函数。

（）答案：对函数与表示的是同一个函数。

（）答案：错函数与表示的是同一个函数。

（）答案：错题型（二）函数可由复合而成。

（）答案：对函数可由复合而成。

（）答案：错函数可由复合而成。

（）答案：对函数可由复合而成。

（）答案：对选择题：题型（一）1.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：B2.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：A3.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：B4.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：A5.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：D6.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：C7.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：D8.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：C9.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：D10.函数的定义域是（）（A）（B）（C）（D）答案：C题型（二）1.若，则（）（A）（B）（C）（D）1 答案：A2.若，则（）（A）（B）（C）（D）1 答案：C3.若，则（）（A）（B）（C）（D）2 答案：C4.若，则（）（A）（B）（C）（D）2 答案：A5.若，则（）（A）（B）（C）（D）2 答案：C6.若，则（）（A）（B）（C）（D）2 答案：B7.若，则（）（A）（B）（C）（D）1 答案：A8.若，则（）（A）（B）（C）（D）1 答案：A9.若，则（）（A）（B）（C）（D）1 答案：B10.若，则（）（A）（B）（C）（D）1 答案：A第二单元变量的变化趋势探讨一、判断题：题型（一）1．极限。

高数练习题及答案解析

高数练习题及答案解析一、填空题1．设f?ax?by,其中a,b为常数，则f)?.axy?abx?b2y 2．函数z?x2?y2在点处，沿从点到点的方向的方向导数是.1?223．设有向量场A?yi?xyj?xzk，则divA? x1x2114．二重积分dxfdy交换积分次序后为?dyfdx0n5．幂级数?的收敛域为 . [0,6) nn3n?16．已知z?e7．三重积分x?2y，而x?sint,y?t，则33dzesint2t dt其中?是由x?0,x?1,y?0,y?1,z?0,z?3dv? ，所围成的立体.二、计算题21．设a?2,b?5,a与b的夹角为?，向量m??a?17b与n?3a?b相互垂直，求?.3222解：由0?m?n?3?a?a?b?17b?122?5?cos??17?253得??40.2x3yz50垂直的平面方程.3x?y?2z?4?0?ijk?解：直线的方向向量为s?2?31??5,7,1131?22．求过点且与直线?取平面的法向量为n?s，则平面方程为5?7?11?0 即5x?7y?11z?8?0.3．曲面xyz?32上哪一点处的法线平行于向量S?{2,8,1}？并求出此法线方程.解：设曲面在点M处的法线平行于s，令F?xyz?32则在点M处曲面的法向量为n?{Fx,Fy,Fz}?{yz,xz,xy}.由于ns,故有yzxzxy.由此解得81x?4y,z?8y，代入曲面方程，解得M的坐标为，用点向式即得所求法线方程为x?4y?1z?881三、计算题1．设z?xy?xF，其中F为可导函数，求xyx?z?z?y. ?x?y解：zyzyFF, xF xxyzzy2xyxFzxy xynd?ex?1?2．将函数f?展成的幂级数，并求的和. xdx?x?n?1!ex?1111xxn1 解：x2!n!并在内收敛。

12n1n2nfxxxn1,x2!3!n!n?1!ex1nfx!n1x?113．求微分方程y1?,y??2dy的通解. dx解：令y??p,则yp?，原方程化为p??1?p2?dpdxptan1p2y??tandx??lncos?c2四、计算题1．求曲线积分I?22233的值，其中L为x?y?R的正向. ydx?dyL解：记L所围成的区域为D，利用格林公式得2?RI?y3dx?dydxdy?3?dd?LD3R22．求微分方程yy?4xex的通解.解：对应的齐次方程为yy?0，它的特征方程为r?1?0，其根为r1?1,r2??1，该齐次方程的通为Y?C1ex?C2e?x。

(数一)高等数学习题集(含解答)

第一章函数·极限·连续一. 填空题1．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a taxx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e =a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2. 2. ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n nn n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n 所以 n n n n +++++221 <n n n n n n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n 212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =213. 已知函数⎩⎨⎧=01)(x f 1||1||>≤x x , 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1.4. )3(lim n n n n n --+∞→=_______.解. nn n n n n n n n n n n n n n n n n -++-++--+=--+∞→∞→3)3)(3(lim)3(lim=233lim=-+++-+∞→nn n n n n n n n5. ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______.解. 616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x 6. 已知A n n n k kn =--∞→)1(lim 1990(≠ 0 ≠ ∞), 则A = ______, k = _______. 解. A kn n n n n k n k kn =+=---∞→∞→119901990lim )1(lim 所以 k －1=1990, k = 1991; 1991111===k A A k ，二. 选择题1. 设f (x )和ϕ(x )在(－∞, +∞)内有定义, f (x )为连续函数, 且f (x ) ≠ 0, ϕ(x )有间断点, 则 (a) ϕ[f (x )]必有间断点 (b) [ ϕ(x )]2必有间断点 (c) f [ϕ(x )]必有间断点 (d))()(x f x ϕ必有间断点解. (a) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则ϕ[f (x )]=1(b) 反例⎩⎨⎧-=11)(x ϕ 1||1||>≤x x , [ ϕ(x )]2 = 1 (c) 反例⎩⎨⎧=01)(x ϕ 1||1||>≤x x , f (x ) = 1, 则f [ϕ(x )]=1 (d) 反设 g(x ) =)()(x f x ϕ在(－∞, +∞)内连续, 则ϕ(x ) = g (x )f (x ) 在(－∞, +∞)内连续, 矛盾. 所以(d)是答案. 2. 设函数xex x x f sin tan )(⋅⋅=, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案. 3. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 4. 设8)1()1()1(lim502595=+++∞→x ax x x , 则a 的值为 (a) 1 (b) 2 (c)58 (d) 均不对解. 8 = 502595)1()1()1(lim +++∞→x ax x x =100502559595/)1(/)1(/)1(lim x x x ax x x x +++∞→=5502595)/11()/1()/11(lim a x x a x x =+++∞→, 58=a , 所以(c)为答案. 5. 设βα=------∞→)23()5)(4)(3)(2)(1(limx x x x x x x , 则α, β的数值为(a) α = 1, β = 31 (b) α = 5, β = 31 (c) α = 5, β = 531(d) 均不对解. (c)为答案.6. 设232)(-+=xxx f , 则当x →0时(a) f(x)是x 的等价无穷小 (b) f(x)是x 的同阶但非等价无穷小(c) f(x)比x 较低价无穷小 (d) f(x)比x 较高价无穷小解. x x x x 232lim 0-+→=3ln 2ln 13ln 32ln 2lim0+=+→x x x , 所以(b)为答案. 7. 设6)31)(21)(1(lim0=++++→xax x x x , 则a 的值为(a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. 0)31)(21)(1(lim 0=++++→a x x x x , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案.8. 设02)1()21ln()cos 1(tan lim2202≠+=-+--+-→c a e d x c x b x a x x ，其中, 则必有(a) b = 4d (b) b =－4d (c) a = 4c (d) a =－4c解. 2 =)1()21ln()cos 1(tan lim 20x x e d x c x b x a -→-+--+=c a xde xc x b x axx 22212sin cos lim 220-=+--+-→, 所以a =－4c, 所以(d)为答案. 三. 计算题 1. 求下列极限 (1) xxx e x 1)(lim ++∞→解. e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xxx =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim(2) x x xx )1cos 2(sinlim +∞→解. 令xy 1=yy x x y y xx 10)cos 2(sin lim )1cos 2(sin lim +=+→∞→=2cos 2sin sin 2cos 2lim)cos 2ln(sin lim 00e ee yy y y yy y y y ==+-+→→(3) 310sin 1tan 1lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛++→解. =⎪⎭⎫ ⎝⎛++→310sin 1tan 1lim x x x x 310sin 1sin tan 1lim x x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+→3)s i n 1(s i nt a n s i nt a n s i n10s i n 1s i n t a n 1lim x xx x x x x x x x x +--+→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==30sin tan lim x x x x e -→ =30)cos 1(sin limxx x x e -→=212sin 2sin lim32e e xx x x =⋅→.2. 求下列极限 (1) 323112arcsin )11ln(lim--+→x x x解. 当x →1时, 331~)11ln(--+x x , 323212~12arcsin --x x . 按照等价无穷小代换33132313231221121lim121lim12arcsin )11ln(lim=+=--=--+→→→x x x x x x x x (2) ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot1lim 解. 方法1：⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x 220cot 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-→32204sin cos )1(2cos 2lim x x x x x x x =3203204sin cos 2lim 42sin cos 2lim x xx x x x x x x x →→++- =21122cos 2sin cos 4cos 2lim220+++-→x x x x x x x =2131242sin 4sin cos 4lim 2131122cos 2cos 2lim 0220++-=+++-→→x x x x x x x x x =322131612131242sin 2lim 0=++-=++-→x x x方法2：⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x 220c o t 1lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x 2220sin cos 1lim =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x x 222220sin cos sin lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→4220cos )1(1lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-→420)12)(cos 1(211lim x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++-→444220)(0!4)2(!2)2(11)(1(211lim x x x x x x =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+--→4442420))(024162222(211lim x x x x x x x =3232lim 440=→x xx3. 求下列极限 (1) )1(ln lim-∞→nn n nn解. n nn n n nn n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x (2) nxnxn e e --∞→+-11lim解. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+---∞→10111limnxnxn e e 000<=>x x x (3) nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim , 其中a > 0, b > 0 解. nnnn b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim a b c n x /,/1== x c xxx x x ae c a 2ln )1ln(lim10021lim -+→+→+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=ab abac a ae aexx x x x c c c x c ====+-++→+→1ln lim2ln )1ln(lim0 4. 求下列函数的间断点并判别类型(1) 1212)(11+-=xxx f解. 11212lim )0(110=+-=+→+xxx f , 11212lim )0(110-=+-=-→-xxx f所以x = 0为第一类间断点.( 2 ) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π 00>≤x x解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点; 11s i nlim )(lim 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; )2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x c o s 2)2(lim2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.5. 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e xx x f 1sin )( 00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin(lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.6. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x 1 < x 2 < … < x n < b, c i (I = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内至少存在一个ξ, 使nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ.证明: 令M =)}({max 1i ni x f ≤≤, m =)}({min 1i ni x f ≤≤ 所以 m ≤nnc c c c x f c x f c ++++++ 212211)()(≤ M所以存在ξ( a < x 1 ≤ ξ ≤ x n < b), 使得nnc c c c x f c x f c f ++++++=212211)()()(ξ7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.8. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 9. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个ξ, 使 f(ξ) = g(ξ).证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 10. 证明方程x 5－3x －2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x 5－3x －2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个ξ, 满足F(ξ) = 0.11. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=⎰0cos 1010)cos 1(2)(022x dt t x x x x x x f x试讨论)(x f 在0=x 处的连续性与可导性.解. 20200200cos lim 1cos 1lim )0()(lim )0('x x dt t x dt t x x f x f f x x x x x -=-=-=⎰⎰+++→→→+ 0221lim 21cos lim 2020=-=-=++→→xx x x x x320200)c o s 1(2lim 1)cos 1(2lim )0()(lim )0('xx x x x x x f x f f x x x --=--=-=++-→→→-06)1(cos 2lim 32sin 2lim 020=-=-=++→→x x xx x x x 所以 0)0('=f , )(x f 在0=x 处连续可导. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及203)(lim x x f x +→. 解. 0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f xx x x x . 所以 0)(3s i n lim 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为0)(3s i n lim 20=+→xx f x x x , 所以03)(33sin lim 20=++-→x x f x xx , 所以 2030202033c o s 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim 3)(lim xx x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→ =2923sin 3lim 0=→x x x02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim )0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x由293)(lim20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得 293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .(本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)第二章导数与微分一. 填空题 1. xx x f +-=11)(, 则)()(x f n = _______. 解. 1112)1(!12)1()1(11)('++⋅-=++---=x x x x x f , 假设1)()1(!2)1(++⋅-=k k k x k f , 则 111)1()1()!1(2)1(++++++⋅-=k k k x k f, 所以1)()1(!2)1(++⋅-=n n n x n f 2. 设⎩⎨⎧=+=ty t x cos 12 , 则=22dx d y______.解. t tdx dy 2sin -=, 32'224cos sin 214sin 2cos 22sin t t t t t t t t t dxdt t t dx y d t -=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3. 设函数y = y(x)由方程0)cos(=++xy e yx 确定, 则=dxdy______. 解. 0sin )'()'1(=+-++xy xy y y eyx , 所以xyx e e xy y y y x yx sin sin '--=++4. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______. 解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =- 所以 k x f x f =-=)(')('005. 设f(x)可导, 则=∆∆--∆+→∆xx n x f x m x f x )()(lim 000_______.解. xx n x f x f x f x m x f x ∆∆--+-∆+→∆)()()()(lim 00000=x m x f x m x f m x ∆-∆+→∆)()(lim 000+x n x f x n x f n x ∆--∆-→∆)()(lim 000=)(')(0x f n m +6. 设)('31)()(lim0000x f x x f x k x f x =∆-∆+→∆, 则k = ________. 解. )('31)()(lim0000x f x k x f x k x f k x =∆-∆+→∆, 所以)('31)('00x f x kf = 所以 31=k7. 已知x x f dx d 112=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛, 则=⎪⎭⎫⎝⎛21'f _______. 解. x x x f 121'32=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-, 所以21'22x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 令x 2 = 2, 所以11'2-=⎪⎭⎫⎝⎛x f8. 设f 为可导函数, )]}([sin sin{x f f y =, 则=dxdy_______. 解.)]}([sin cos{)]([sin ')(cos )('x f f x f f x f x f dxdy= 9. 设y = f(x)由方程1)cos(2-=-+e xy e yx 所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导0)sin()'()'2(2=+-++xy xy y y eyx . 所以切线斜率2)0('-==y k . 法线斜率为21, 法线方程为 x y 211=-, 即 x －2y + 2 = 0. 二. 单项选择题1. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是 (a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) nx f n 2)]([!解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x fk =1)]([!+k x f k , 所以)()1(x f k +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x fn =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入)0()1(,0af f x ==得x f x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim)1('0=ab af xaf x af x ==∆-∆→∆)0(')0()(lim 0, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设)(x f 可导, 不能对于)()1(x af x f =+二边求导. 3. 设||3)(23x x x x f +=, 则使)0()(n f 存在的最高阶导数n 为(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3解. ⎩⎨⎧=3324)(xx x f 00<≥x x . ⎩⎨⎧=x x x f 1224)('' 00<≥x x24024lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=++→→+xx x f x f f x x12012lim 0)0('')(''lim )0('''00=-=--=--→→-xx x f x f f x x所以n = 2, (c)是答案.4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdy y x ∆-∆→∆0lim 等于(a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞ 解. 由微分定义∆y = dy + o (∆x), 所以0)(lim lim00=∆∆=∆-∆→→∆x x o xdy y x x . (b)是答案.5. 设⎪⎩⎪⎨⎧+=bax x x x f 1sin)(200≤>x x 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b 为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b 为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以)(lim 1sinlim 020b ax x x x x +=-+→→, 所以b = 0.)0(')0('-+=f f , x ax xx x x x -+→→=020lim 1sinlim , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题1. ')]310ln[cos(2y x y ，求+=解. )310tan(6)310cos(6)310sin('222x x x xx y +-=+⋅+-=2. 已知f(u)可导, ')][ln(2y x a x f y ，求++=解. ='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++⋅++2222211)][ln('x a xx a x x a x f =22)][ln('xa x a x f +++3. 设y 为x 的函数是由方程xyy x arctan ln22=+确定的, 求'y .解.22222221'2'22xy x y x y y x y x yy x +-=+++ y x y yy x -=+'', 所以yx yx y -+=' 4. 已知⎩⎨⎧==te y t e x tt cos sin , 求22dx yd . 解. tt tt t e t e t e t e dx dy tt t t sin cos sin cos sin cos sin cos +-=+-=, dt dx t t t t t t dx dt t t t t dt d dx y d 1)sin (cos )sin (cos )sin (cos sin cos sin cos 22222⋅+--+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= 322)s i n (c o s 2t t e dx y d t +-= 5. 设2/322)(x x u y y x +=+=，, 求dudy解. dy y dx )12(+=, dx x x x du )12()(23212++=dx x x x dxdu dyy )12(23)12(2++=+)12()12(322+++=x x x y d u d y 6. 设函数f(x)二阶可导, 0)0('≠f , 且⎩⎨⎧-=-=)1()(3te f y t f x π, 求0=t dx dy , 022=t dx yd . 解. )('3)1('33t fe ef dx dy t t -=, 所以0=t dx dy=3. 3333323322)]('[)('')1(')(')]1('3)(3)1(''[3t f t f e f e t f e f e e e f dx y d t t t t t t ---+-= 所以2322)]0('[)0(''6)0('9)]0('[)0('')0(')0(')]0('3)0(''3[30f f f f f f f f f t dx y d +=-+== 7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组⎩⎨⎧=+=ee e te x y t t2确定. 求该曲线在t = 1处的曲率. 解. ee e e e y t ty t t 2'-=-=. 所以)2)(1(12''e e t te e e e e x y dx dy t t t t tt t -+=+-== 所以 et dx dy 211-==. t t tt t ee e t te e e dx dt e e t dt d dx y d 2322)2()1(22)2)(1(1-++--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= 所以 222811e t dx y d -==. 在t = 1的曲率为 2322322232)41(411811)'1(|''|--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+=e e e e t y y k 四. 已知当x ≤ 0时, f (x )有定义且二阶可导, 问a, b, c 为何值时 ⎩⎨⎧++=c bx ax x f x F 2)()( 00>≤x x二阶可导.解. F(x )连续, 所以)(lim )(lim 00x F x F x x +-→→=, 所以c = f (－0) = f (0); 因为F(x )二阶可导, 所以)('x F 连续, 所以b = )0(')0('f f =-, 且⎩⎨⎧+=-)0('2)(')('f ax x f x F 00>≤x x )0(''F 存在, 所以)0('')0(''+-=F F , 所以a xf f ax x f x f x x 2)0(')0('2lim )0(')('lim 00=-+=--→→+-, 所以 )0(''21f a = 五. 已知)0(1)()(22n f xx x f ，求-=. 解. x x x f +⋅+-⋅+-=112111211)( 11)()1()1(21)1(!21)(+++-⋅+-⋅=n n n n x x n x f0)0()12(=+k f, k = 0, 1, 2, … !)0(2n f k =, k = 0, 1, 2, …六. 设x x y ln =, 求)1()(n f .解. 使用莱布尼兹高阶导数公式121)1()()()!2()1()!1()1()(ln )(ln )(------+--=+⋅=n n n n n n n x n n x n x x n x x x f =121121)!2()1()1()!2()1(-------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----n n n n n x n x n x n n 所以 )!2()1()1(2)(--=-n fn n 七. 已知'.,sin cos 20022y y tdt dt e x yt 求+=⎰⎰ 解. 两边对x 求导, 2222cos 2cos 2',cos '2cos 2'22y y e x x y y yy x x y e y y -=+=第三章一元函数积分学(不定积分)一. 求下列不定积分: 1. ⎰-+-dx x x x 11ln 112解. =-+-⎰dx x x x 11ln 112c x x x x d x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+⎰211ln 4111ln 11ln 21 2. c x x x x d x x dx x x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+-+=-++⎰⎰2211arctan 2111arctan 11arctan 11arctan 11 3. ⎰++⋅+++dx x x x x x cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 2解. c x x x x d x x dx x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++++=++⋅+++⎰⎰22cos 1sin 121cos 1sin 1cos 1sin 1cos 1sin 1)cos 1(1sin cos 4. ⎰+)1(8x x dx 解. 方法一: 令t x 1=, c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 = c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 方法二:⎰⎰⎰+--=+=+dx x x x x x dx x x x dx )111()1()1(8878878=c x x x x d x dx ++-=++-⎰⎰)1ln(81||ln 1)1(81888=c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 5．dx xx x x x x dx x x x ⎰⎰+++-+++=+++cos sin 121)cos (sin 21)cos sin 1(21cos sin 1sin 1 ⎰⎰⎰+++++--=dx xx dx x x x x dx cos sin 1121cos sin 1sin cos 2121 dx x x x x x x x d x ⎰⎰++++++-=2cos 22cos 2sin 2121cos sin 1)cos sin 1(212122tan 12tan 121|cos sin 1|ln 2121x d x x x x ⎰++++-= c x x x x +++++-=|12tan |ln 21|cos sin 1|ln 2121 二. 求下列不定积分: 1. ⎰+++22)1(22x x x dx解. ⎰⎰++++=+++1)1()1()1(22)1(2222x x x d x x x dx t x tan 1=+令 ⎰t t t dt sec tan cos 22 =⎰++++-=+-=c x x x c t t tdt 122sin 1sin cos 22 2. ⎰+241x x dx解. 令x = tan t,⎰⎰⎰⎰⎰++-=-===+c t t t t d t t d dt t t t t t dt xx dx sin 1sin 31sin sin sin sin sin cos sec tan cos 1324434224 =c x x x x +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2321131 3. ⎰++221)12(x x dx解. 令t x tan =⎰⎰⎰⎰+=+=+=++t t d dt t t t dt t t t x x dx2222222sin 1sin cos sin 2cos sec )1tan 2(sec 1)12( =c x xc t ++=+21arctan sin arctan4. ⎰-222x a dx x (a > 0) 解. 令t a x sin = ⎰⎰⎰+-=-=⋅=-c t a t a dt t a t a tdt a t a x a dx x 2sin 412122cos 1cos cos sin 22222222 =c x a a x a x a +⎪⎭⎫ ⎝⎛--2222arcsin 25. ⎰-dx x 32)1(解. 令t x sin =⎰⎰⎰⎰++=+==-dt t t dt t tdt dx x 42cos 2cos 214)2cos 1(cos )1(22432 =⎰+++=+++c t t t dt t t t 4sin 3212sin 4183)4cos 1(812sin 4141 =c t t x +++)2cos 411(2sin 41arcsin 83 =c t t t x +-++)4sin 214(cos sin 241arcsin 832 =c x x x x +--+)25(181arcsin 8322 6. ⎰-dx x x 421 解. 令tx 1= ⎰⎰⎰--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-dt t t dt t t t t dx xx 224224211111 u t sin =令⎰-udu u 2cos sin =c x x c u +-=+33233)1(cos 31 7. ⎰-+dx x x x 1122解. 令 tdt t dx t x tan sec ,sec ==⎰⎰⎰++=+=+=-+c t t dt t tdt t tt t dx x x x sin )cos 1(tan sec tan sec 1sec 11222 c xx x +-+=11arccos 2 三. 求下列不定积分:1. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243 解. ⎰⎰⎰+-=+--=+-+=+-+-----c e e e e e e d dx e e e e dx e e e e x x x x x x x x x x x x x x )arctan(1)()(11222243 2. ⎰+)41(2x x dx解. 令x t 2=, 2ln t dt dx = c t t dt t tt t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 1四. 求下列不定积分: 1. ⎰-dx x x 1005)2( 解. ⎰⎰⎰---+--=--=-dx x x x x x d x dx x x 9949959951005)2(995)2(99)2(991)2( =⎰--⋅⋅+-⨯---dx x x x x x x 983984995)2(989945)2(98995)2(99 =962973984995)2(96979899345)2(97989945)2(98995)2(99-⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅---x x x x x x x x c x x x +-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-9495)2(95969798992345)2(95969798992345 2. ⎰+41x x dx 解. ⎰⎰⎰⎰+-=+-=+-=+22244424)(1211111/11t dt t tdt t t t dt t t x x x dx 令 c x x c u u du u u u t ++-=++-=-=⎰24221ln 21|sec tan |ln 21sec sec 21tan 令五. 求下列不定积分:1. ⎰xdx x 2cos 解. ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x xdx x 2sin 4141)2cos 1(21cos 22⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412 c x x x x +++=2cos 812sin 41412 2. ⎰xdx 3sec解.⎰⎰⎰-==xdx x x x x x xd xdx tan sec tan tan sec tan sec sec 3 =⎰⎰-++=--xdx x x x x xdx x x x 32sec |tan sec |ln tan sec sec )1(sec tan sec c x x x x x d x +++=⎰|t a n s e c |ln 21tan sec 21sec 3 3. ⎰dx x x 23)(ln 解. ⎰⎰⎰+-=-=dx xx x x x d x dx x x 223323)(ln 3)(ln 11)(ln )(ln ⎰+--=dx x x x x x x 223ln 6)(ln 3)(ln ⎰+---=dx xx x x x x x 2236ln 6)(ln 3)(ln c xx x x x x x +----=6ln 6)(ln 3)(ln 23 4. ⎰dx x )cos(ln解.⎰⎰⎰-+=+=dx x x x x dx x x x dx x )cos(ln )]sin(ln )[cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln ∴c x x x dx x ++=⎰)]sin(ln )[cos(ln 2)cos(ln 5.⎰⎰⎰⎰---+-=-==dx x x x x xd dx x x x x dx x x x 2sin 812sin 812sin 812cos 2sin 2cos 81sin 2cos 22233434 c x x x x d x x x +--=+-=---⎰2cot 412sin 8122sin 412sin 81222 六. 求下列不定积分: 1. ⎰-++dx x x x x 222)1()1ln( 解. ⎰⎰-++=-++2222211)1ln(21)1()1ln(x d x x dx x x x x =⎰+⋅---++dx x x x x x 222211112111)1ln(21 t x t a n =令 tdt tt x x x 2222sec sec 1tan 1121)1(2)1ln(⋅⋅---++⎰=dt tt x x x ⎰---++222sin 21cos 21)1(2)1ln( =⎰---++tt d x x x 222sin 21sin 2221)1(2)1ln( =c tt x x x +-+--++sin 21sin 21ln 241)1(2)1ln(22 =c xx x x x x x +-+++--++2121ln 241)1(2)1ln(2222 2. ⎰+dx x xx 21arctan解. ⎰⎰⎰++-+=+=+dx x x x x x xd dx xxx 2222211arctan 11arctan 1arctan =c x x x x dx x x x +++-+=+-+⎰)1ln(arctan 111arctan 12222 3. ⎰dx ee x x2arctan 解. dx e e e e e de e dx e e xx x x x x x x x ⎰⎰⎰++-=-=---22222121arctan 21arctan 21arctan dx e e e e x x x x ⎰++-=--22121arctan 21⎰++-=-dx e e e e x x x x )1(121arctan 2122 c x e e e dx e e e e e x x x x x x x x +++-=+-+-=---⎰)arctan arctan (21)11(21arctan 21222 七. 设⎩⎨⎧-+-+=-x ex x x x x f )32(3)1ln()(22 00<≥x x , 求⎰dx x f )(. 解. ⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-⎰⎰⎰dx e x x dx x x dx x f x )32()3)1ln(()(22 ⎪⎩⎪⎨⎧+++-+-+--+=-122222)14(3)]1ln([21)1ln(21c e x x c x x x x x x 00<≥x x 考虑连续性, 所以 c =－1+ c 1, c 1 = 1 + c⎰dx x f )(⎪⎩⎪⎨⎧++++-+-+--+=-c e x x c x x x x x x 1)14(3)]1ln([21)1ln(2122222 00<≥x x八. 设x b x a e f x cos sin )('+=, (a, b 为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令t x e t x ln ==，, )cos(ln )sin(ln )('t b t a t f +=, 所以⎰+=dx x b x a x f )]cos(ln )sin(ln [)(=c x a b x b a x +-++)]cos(ln )()sin(ln )[(2九. 求下列不定积分: 1. ⎰-dx x x 234解. 令t x sin 2=⎰⎰⎰--==-t td t tdt t dx x x cos cos )cos 1(32cos sin 324222323 =c x x c t t +---=++-23225253)4(34)4(51cos 532cos 332 2. ⎰>-)0(22a dx x a x 解. 令t a x sec = ⎰⎰⎰+-===>-c at t a tdt a t t a ta t a a dx x a x tan tan tan sec sec tan )0(222 =c xaa a x +--arccos 22 3. dx e e e x x x ⎰-+21)1(解. =-+⎰d e e e x x x 21)1(⎰-dx e e x x21+dx e e x x⎰-221=⎰-x xe de 21－dx e e d xx ⎰--221)1(21=c e e x x +--21arcsin 4. ⎰-dx xa x x 2 (a > 0) 解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8 =⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222 =c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222=c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222=c a x a a x ax a a x a a x a a x a +----2222222232arcsin 3222 =c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin 32十. 求下列不定积分: 1.⎰+-dx x x cos 2sin 2解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2 t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt=c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 34 2.⎰+dx x x x x cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx x x x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin =⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212 =⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十一. 求下列不定积分: 1. ⎰++dx x x x )32(332解. ⎰⎰+=+=++++c x d dx x xx x x x x 3ln 3)3(3)32(332332222. ⎰-+-dx x x x )13()523(232解. )523()523(21)13()523(2232232+-+-=-+-⎰⎰x x d x x dx x x x c x x ++-=252)523(513. dx x x x ⎰+++221)1ln(解. ⎰⎰+++=++++=+++c x x x x d x x dx x x x )1(ln 21)1ln()1ln(1)1ln(222222 4. ⎰+++++)11ln()11(222x x x xdx 解. c x x x d x x x xdx+++=++++=+++++⎰⎰|)11ln(|ln )11ln()11ln()11ln()11(222222十二. 求下列不定积分: 1. ⎰+dx x x x )1(arctan 2解. ⎰⎰⎰-+-=++=+1222222)1(arctan 21)1()1(arctan 21)1(arctan x xd x d x x dx x x x ⎰⎰+++-=+++-=dx x x x x d x x x 22222)1(1211arctan 21arctan 11211arctan 21 dt t x x tdt x x t x ⎰⎰+++-=++-=22cos 1211arctan 21cos 211arctan 21tan 222令 c t t x x x aex c t t x x ++++-=++++-=cos sin 41arctan 411tan 212sin 81411arctan 2122 c x x x x x aex +++++-=22141arctan 411tan 21 2. ⎰+dx xx 1arcsin 解. 令t x t x x 2tan ,1arcsin==+则 ⎰⎰⎰++-=-==+c t t t t t d t t t t d t dx xx tan tan tan tan tan 1arcsin 2222 c x x x x c x x x x x x +-++=+++-+=1arcsin )1(1arcsin 1arcsin3. ⎰-+⋅dx xx x x 22211arcsin 解. ⎰⎰⎰+=+⋅=-+⋅dt t t tdt t t t t t x dx x x x x )1(csc cos cos sin 1sin sin 11arcsin 222222令 ⎰⎰⎰+++-=+-=c t t d tt t dt t tdt t 221cot cot cot c t t t t +++-=221|sin |ln cotc x x x x x+++--=22)(arcsin 21||ln 1arcsin 4.dx x x x⎰+)1(arctan 22解.⎰⎰⎰-==+dt t t dt t t t t tx dx x x x)1(csc sec sec tan tan )1(arctan 222222令22221cot cot 21cot csc t dt t t t t d t dt t dt t t -+-=--=-=⎰⎰⎰⎰ c x x x x x c t t t t +-++-=+-+-=222)(arctan 21|1|ln arctan 21|sin |ln cot c x x x x x +-++-=222)(arctan 211ln 21arctan 十三. 求下列不定积分: 1.⎰-dx x x234解.⎰⎰⎰==-dt t t dt t t t t x dx x x 23323cos sin 32cos 2cos 2sin 8sin 24令 c t t t d dt t t ++-=-=⎰5322cos 532cos 332cos cos )cos 1(32 c x x +-+--=252232)4(51)4(342.⎰-xa x 22 解.⎰⎰⎰-==-dt t t a dt t t a t a t a t a x xa x 2222cos cos 1tan sec sec tan sec 令c xaa a x c at t a +--=+-=arccos tan 223.dx ee e xx x ⎰-+21)1(解.udu u uu t dt t t t dt t t t te dx e e e x xx x cos cos sin 1sin 111)1(1)1(222⎰⎰⎰⎰+=-+=-+=-+令令c e e c u u x x +--=+-=21arcsin cos 4.⎰-dx xa xx2 (a > 0)解. ⎰-dx x a x x 2 x u =令 ⎰-du u a u 2422 t a u sin 2=令 ⎰tdt a 42sin 8=⎰⎰+-=-dt t t a dt t a )2cos 2cos 21(24)2cos 1(82222=c t a t a t a dt t a t a t a ++-=++-⎰4sin 42sin 2324cos 122sin 22422222=c t t t a t t a t a +-+-)sin 21(cos sin cos sin 432222 =c t t a t t a t a +--cos sin 2cos sin 333222 =c axa a x a xa a x a a x a a x a +----2222222232arcsin3222=c x a x x a a x a +-+-)2(232arcsin32十四. 求下列不定积分: 1.⎰+xxdx cos 1sin解.⎰⎰⎰⎰-+-=++-=+=+xxd xx x d xx dx x xxdx 222cos 1cos 12cos 1sin )cos 1(cos 1sin sin cos 1sin ⎰⎰--=---=+)2(2)1(12cos 12222u u duu du u x 令⎰+-++=-+-=c u uu du u u |22|ln 2211)211(22 c xx x++-++++=|cos 12cos 12|ln 221cos 112. ⎰+-dx x xcos 2sin 2 解. ⎰⎰⎰++++=+-xx d dx x dx x x cos 2)cos 2(cos 212cos 2sin 2 t x =2t a n 令 ⎰⎰+++=+++-++|cos 2|ln 322|cos 2|ln 1121222222x t dt x t t t dt =c x x c x t +++=+++|cos 2|ln )2(tan 31arctan 34|cos 2|ln 3arctan 343.⎰+dx x x xx cos sin cos sin解. ⎰⎰+-+=+dx xx x x dx x x x x cos sin 1cos sin 2121cos sin cos sin =⎰⎰⎰+-+=+-+dx xx dx x x dx x x x cos sin 121)cos (sin 21cos sin 1cos)(sin 212=⎰++--)4sin()4(42)cos (sin 21ππx x d x x =c x x x ++--|)82tan(|ln 42)cos (sin 21π 十五. 求下列不定积分: 1.dx xx x ⎰-1解.c t t td dt t t tx dx xx x +--=---=-=-⎰⎰⎰333321341)1(32121令c x +--=231342.⎰+-dx e e xx 11解.⎰⎰⎰⎰-=-=--=+-dt t dt t t t t e dx e e dx e e xx x x x )1(sec tan tan 1sec sec 11112令c eee c t t t x xx+-++=+--=1arccos )1ln(|tan sec |ln 23.dx xx x ⎰--1arctan 1解. 令t t dx t x x t x t tan sec 2,sec ,1tan ,1arctan22==-=-=⎰⎰⎰⎰-===--dt tt t dt t t dt t t t t t dx x x x 22222cos cos 12tan 2tan sec 2sec tan 1arctan 1 ⎰⎰⎰⎰--=-=-=222tan 2tan 2tan 22cos 2t dt t t t t t d t dt t dt t t c t t t t +-+=2|cos |ln 2tan 2 c x x x x +-----=2)1(arctan ||ln 1arctan12第三章一元函数积分学(定积分)一．若f(x)在[a ，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数Φ(x), 均有0)()(=Φ⎰badx x x f , 则f(x) ≡ 0.证明: 假设f(ξ)≠ 0, a < ξ < b, 不妨假设f(ξ) > 0. 因为f(x)在[a ，b]上连续, 所以存在δ > 0, 使得在[ξ－δ, ξ + δ]上f(x) > 0. 令m =)(minx f x δξδξ+≤≤-. 按以下方法定义[a ，b]上Φ(x): 在[ξ－δ, ξ + δ]上Φ(x) =22)(ξδ--x , 其它地方Φ(x) = 0. 所以02)()()()(2>≥Φ=Φ⎰⎰+-πδδξδξmdx x x f dx x x f ba.和0)()(=Φ⎰badx x x f 矛盾. 所以f(x) ≡ 0.二. 设λ为任意实数, 证明: ⎰+=20)(tan 11πλdx x I =4)(cot 1120ππλ=+⎰dx x . 证明: 先证:4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+20)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f令 t =x -2π, 所以=+⎰2)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰-+02)()(sin )(cos )(cos πt d t f t f t f= =+⎰20)(sin )(cos )(cos πdt t f t f t f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f于是=+⎰20)(cos )(sin )(sin 2πdx x f x f x f ++⎰20)(cos )(sin )(sin πdx x f x f x f ⎰+20)(sin )(cos )(cos πdx x f x f x f=2)(cos )(sin )(cos )(sin 2020πππ==++⎰⎰dx dx x f x f x f x f所以4)(cos )(sin )(sin 2ππ=+⎰dx x f x f x f =⎰+20)(cos )(sin )(cos πdx x f x f x f .所以 ⎰+=2)(tan 11πλdx x I 4)(sin )(cos )(cos cos sin 11220ππλλλπλ=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰x x x dx x x 同理 4)(cot 1120ππλ=+=⎰dx x I .三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y 都有|f(x)－f(y)| < M |x －y|, 证明nMn k f n dx x f n k 21)(110≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎰=证明:∑⎰⎰=-=nk n kn k dx x f dx x f 111)()(, =∑=n k nkf n 1)(1dx nk f nk n k n k ∑⎰=-11)( n MnM dx x n k M dxn kx M dx n k f x f dx n k f x f n k f n dx x f nk nk n knk nk n knk nk n kn k nk n kn k n k 212)()()(|)()(|)(1)(1211111111110==⎪⎭⎫⎝⎛-=-≤-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∑∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰==-=-=-=-=四. 设⎰=4tan πxdx I n n , n 为大于1的正整数, 证明:)1(21)1(21-<<+n I n n .。

专升本高等数学习题集和答案解析

第一章函数一、选择题1. 下列函数中，【 C 】不是奇函数A. x x y +=tanB. y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】A. 33)(,)(x x g x x f ==B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-==C. 11)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】A. +arctan y x x =B. cos y x =C. arcsin y x =D. sin y x x =⋅4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x =5. 函数arctan y x =的定义域是【】A. (0,)πB. (,)ππ-C. [,]22ππ-D. (,+)-∞∞6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]-9. 下列各组函数中，【 A 】是相同的函数A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x =B. ()f x x =和()g x =C. ()f x x =和()2g x =D. ()sin f x x =和()arcsin g x x =10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】A. ()cos f x x =B. ()arccos f x x =C. ()tan f x x =D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】A. (,)22ππ-B. (0,)πC. (,)-∞+∞D. [1,1]-12. 下列函数是奇函数的是【】A. arcsin y x x =B. arccos y x x =C. arccot y x x =D. 2arctan y x x =13. 函数53sin ln x y =的复合过程为【 A 】A.x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B.x u u y sin ln ,53==C.x u u y sin ,ln 53==D.x v v u u y sin ,ln ,35===二、填空题1. 函数5arctan 5arcsinxx y +=的定义域是___________.2. ()arcsin 3xf x =的定义域为 ___________.3. 函数1()arcsin3x f x +=的定义域为 ___________。