初中圆专题

圆

一、知识点梳理

知识点1：圆的定义：

1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .

2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ； 圆又是 对称图形， 是它的对称中心.

知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念

1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做

2. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .

3. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 .

例1 P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．

例2 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90度．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP 交AC 于点D ，若半圆弧的圆心为O ，点D 、点E 关于圆心O 对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1，S 2之间的关系是（ ）

A ．S 1＜S 2

B ．S 1＞S 2

C ．S 1=S 2

D ．不确定

例3 如图，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）

A ．πa 2-a 2

B ．2πa 2-a

2

C ．

21

πa 2-a 2 D ．a 2-4

1πa 2 例4 车轮半径为0.3m 的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/

分，则自行车的行驶速度（ ）

A ．3.6π千米/时

B ．1.8π千米/时

C ．30千米/时

D ．15千米/时

例5 如图，⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ） A ．2条 B ．3条 C ．4条 D ．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理

垂直于弦的直径平分，并且平分；

平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 .

例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．

（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

例2在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（）

A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米

例3 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一

块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）

A．2 B．5 C．22 D．3

例4如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（）

A．10平方米 B．10π平方米 C．100平方米 D．100π平方米

例5为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（）

A．8.8cm B．8cm C．9cm D．10cm

1圆周，C点是弧BE上的任意一点，△ABD是等边三例6 如图，BE⌒是半径为6的圆D的

4

角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）

A．12＜P≤18 B．18＜P≤24 C．18＜P≤18+62 D．12＜P≤12+62

知识点5：确定圆的条件及内切圆

三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的、这个三角形是圆的 .

切线的判定与性质

判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有的直线是圆的切线。

②到圆心的距离等于的直线是圆的切线。

③经过半径的外端点并且于这条半径的直线是圆的

切线。

切线的五个性质：①切线与圆只有公共点；

②切线到圆心的距离等于圆的；

③切线垂直于经过切点的；

④经过圆心垂直于切线的直线必过；

⑤经过切点垂直于切线的直线必过。

三角形内切圆

和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，三角形内切圆的圆心叫三角形的 .

切线长定理

经过圆外一点作圆的切线，这点与 之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .

例1 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于D 点，且AC=5，CD=3，AB=42，则⊙O 的直径等于（ ）

A ．22

5 B ．32 C ．52 D ．7

例2 如图，在坐标平面上，Rt △ABC 为直角三角形，∠ABC=90°，AB 垂直x 轴，M 为Rt △ABC 的外心．若A 点坐标为（3，4），M 点坐标为（-1，1），则B 点坐标为何（ ） A ．（3，-1） B ．（3，-2） C ．（3，-3） D ．（3，-4）

例3 如图所示，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若AD=3，AC=2，则cosD 的值为（ ） A ．

23 B ．35 C ．25 D ．3

2

知识点6：点与圆的位置关系

(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 其中r 为圆的半径，d 为点到圆心的距离， 位置关系 点在圆内

点在圆上 点在圆外 数量(d 与r)的大小关系 d r

d r

d r

例1 如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，

以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．