数值计算方法期末复习答案终结版

一、 名词解释

1．误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差，简称误差。

2．有效数字：有效数字是近似值的一种表示方法，它既能表示近似值的大小，又能表示其精确程度。如果近似值*x 的误差限是1

102

n -⨯，则称*x 准确到小数点后n 位，

并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。

3. 算法：是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题，需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序，这就是算法。

4. 向量范数：设对任意向量n x R ∈，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||x ，若||||x 满足

（1）||||0x ≥，且||||0x =当且仅当0x =； （2）对任意实数α，都有||||||x αα=||||x ； （3）对任意,n x y R ∈，都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。

5. 插值法：给出函数()f x 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分段

线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ϕ作为()f x 的近似的方法。

6相对误差：设*x 为准确值x 的一个近似值，称绝对误差与准确值之比为近似值*

x 的相对误

差，记为*

()r e x ，即**

()

()r e x e x x

=

7. 矩阵范数：对任意n 阶方阵A ，按一定的规则有一实数与之对应，记为||||A 。若||||A 满足

（1）||||0A ≥，且||||0A =当且仅当0A =； （2）对任意实数α，都有||||||A αα=||||A ；

（3）对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+； （4）||||||||AB A =||||B 称||||A 为矩阵A 的范数。

8． 算子范数：设A 为n 阶方阵，||||•是n R 中的向量范数，则0

||||

||||||||

max

x Ax A x ≠=是一种矩阵范数，称其为由向量范数||||•诱导出的矩阵范数，也称算子范数。

9. 矩阵范数与向量范数的相容性：对任意n 维向量x ，都有

||||||||Ax A ≤ ||||x

这一性质称为矩阵范数与向量范数的相容性。

10. 1-范数，∞-范数和2-范数： （1）1-范数 11||||||n

i i x x ==∑

（2）∞-范数 1||||max{||}i i n

x x ∞≤≤=

（3）2-范数 22

21||||n x x x =+++

二、简答题

1．高斯消元法的思想是：先逐次消去变量，将方程组化成同解的上三角形方程组，此过程称为消元过程。然后按方程相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解，此过程称为回代过程。

2. 迭代法的基本思想是：构造一串收敛到解的序列，即建立一种从已有近似解计算新的近似解得规则，由不同的计算规则得到不同的迭代法。

3. 雅可比（Jacobi ）迭代法的计算过程（算法）： （1）输入()ij A a =，1(,,)n b b b =，维数n ，(0)(0)(0)(0)12(,,,)n x x x x =，ε，最大容许迭代次

数N 。 （2）置1k = （3）对1,2,

,i n = (0)1()/n

i i ij j ii j j i x b a x a =≠=-∑

（4）若(0)x x ε-<，输出x 停机；否则转5。 （5）k N <，置(0)1,(1,2,,)i i k k x x i n +⇒⇒=，转3，否则，输出失败信息，停机。

4. 插值多项式的误差估计：（P102）

由(1)(1)101()()

()()()()()(1)!(1)!

n n n n n f f R x x x x x x x x n n ξξω+++=

=---++

当(0,1,

,)i x x i n ==时，上式自然成立，因此，上式对[,]a b 上的任意点都成立，这就叫插值

多项式的误差估计。

5. 反幂法的基本思想：设A 为阶非奇异矩阵，λ，u 为A 的特征值和相应的特征向量，

则1A - 的特征值是A 的特征值的倒数，而相应的特征向量不变，即

11

A u u λ

-=

因此，若对矩阵1A -用幂法，，即可计算出1A -的按模最大的特征值，其倒数恰为A 的按模最小的特征值。

6. 雅可比（Jacobi ）迭代法是：选取初始向量(0)x 代入迭代公式

(1)()k k i x Bx g +=+ (0,1,2,)k =

产生向量序列(){}k x ，由上述计算过程所给出的迭代法。 7. 数值计算中应注意的问题是：

（1）避免两个相近的数相减 （2）避免大数“吃”小数的现象

（3）避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 （4）要简化计算，减少运算次数，提高效率 （5）选用数值稳定性好的算法

8. 高斯消去法的计算量：由消去法步骤知，在进行第k 次消元时，需作除法n k -次，乘法

()n k -(1)n k -+次，故消元过程中乘除运算总量为

乘法次数1

21()(1)(1)3n k n n k n k n -=--+=-∑ 除法次数1

1

()(1)2n k n

n k n -=-=-∑

在回代过程中，计算k x 需要(1)n k -+次乘除法，整个回代过程需要乘除运算的总量为

1

(1)(1)2

n

k n

n k n =-+=

+∑，所以，高斯消去法的乘除总运算量为 322(1)(1)(1)32233

n n n n n N n n n n =-+-++=+-

9. 迭代法的收敛条件：对任意初始向量(0)x 和右端项g ，由迭代格式

(1)()k k x Mx g +=+ (0,1,2,)k =

产生的向量序列(){}k x 收敛的充要条件是()1M ρ<。

10. 迭代法的误差估计：设有迭代格式(1)()k k x Mx g +=+，若||||1M <，(){}k x 收敛于*x ，则有误差估计式()

*

(1)(0)||||||||||||1||||

K

k M x x x x M -≤--。