历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答
最新全国自考04184线性代数(经管类)答案
2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 97.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2315 8.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13.()()T T 1,1,1311,1,131---或14. -1 15.a ＞1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D=40200320115011315111141111121131------=- （5分） =74402032115=-- （9分） 17.解 由于21=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11*12212)2(---+=+A A A A A （6分） =2923232112111=⎪⎭⎫ ⎝⎛==+----A A A A （9分） 18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E （7分） 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=11021335021111012312031X （9分） 19.解 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα （5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有214213717,511αααααα-=+-= （9分）注：极大线性无关组不唯一。
20. 解 方程组的系数行列式 D=()()()b c a c a b c c b b a a ---=222111因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。
自考4184线性代数(经管类)历年真题及答案
全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A 为三阶方阵且2||-=A 则=|3|A A T （ D ） A ．-108B ．-12C ．12D ．108108)2(27||3|3|223=-⨯==A A A T ．2．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．20)1(1241434014013=+=-=--k kkk ，1-=k ．3．设A 、B 为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ D ） A ．BA AB =B ．111)(---+=+B A B AC ．||||||B A B A +=+D ．T T T B A B A +=+)(4．设A 为四阶矩阵，且2||=A ，则=*||A （ C ） A ．2B ．4C ．8D ．12=*||A 82||||331===-A A n ．5．设β可由向量)0,0,1(1=α，)1,0,0(2=α线性表示，则下列向量中β只能是（ B ） A ．)1,1,2(B ．)2,0,3(-C ．)0,1,1(D ．)0,1,0(-),0,(212211k k k k =+=ααβ．6．向量组s ααα,,,21 的秩不为s （2≥s ）的充分必要条件是（ C ） A ．s ααα,,,21 全是非零向量 B ．s ααα,,,21 全是零向量C ．s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其它向量线性表出D ．s ααα,,,21 中至少有一个零向量s ααα,,,21 的秩不为s ⇔s ααα,,,21 线性相关．7．设A 为m n ⨯矩阵，方程AX =0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A ．A 的行向量组线性无关 B ．A 的行向量组线性相关 C ．A 的列向量组线性无关D ．A 的列向量组线性相关AX =0仅有零解⇔n A r =)(⇔A 的列向量组线性无关．8．设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ D ） A ．||||B A =B ．秩(A )=秩(B)C ．存在可逆阵P ，使B AP P =-1D ．BE A E -=-λλ9．与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ A ）A ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001B ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011C ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001D ．⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似．10．设有二次型232221321),,(x x x x x x f +-=，则),,(321x x x f （ C ） A ．正定 B ．负定 C ．不定 D ．半正定当0,0,1321===x x x 时，0>f ；当0,1,0321===x x x 时0<f ．总之，f 有正有负． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．若0211=k ，则k =21． 012211=-=k k ，21=k ．12．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023，B =⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201，则AB =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623． AB =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023⎢⎣⎡⎥⎦⎤010201=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡241010623． 13．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤220010002，则=-1A ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1． ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001220010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-120010001200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-2/110010002/1100010001． 14．设A 为33⨯矩阵，且方程组Ax =0的基础解系含有两个解向量，则秩(A )= __1__． 秩(A )=123=-=-r n ．15．已知A 有一个特征值2-，则E A B 22+=必有一个特征值__6__．2-=λ是A 的特征值，则62)2(222=+-=+λ是E A B 22+=的特征值．16．方程组0321=-+x x x 的通解是T T k k )1,0,1()0,1,1(21+-．⎪⎩⎪⎨⎧==+-=3322321x x x x x x x ，通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10101121k k ． 17．向量组)0,0,1(1=α，)0,1,1(2=α，)0,2,5(3-=α的秩是__2__．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000010001025011001，秩是2． 18．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200020002的全部特征向量是T T T k k k )1,0,0()0,1,0()0,0,1(321++不全为零）（321,,k k k ．2321===λλλ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000000000A E λ，⎪⎩⎪⎨⎧===332211x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100． 19．设三阶方阵A 的特征值分别为1,1,2-，且B 与A 相似，则=|2|B __-16__．=|2|B 16)2(810001000223-=-⨯=-．20．矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是3121232221321243),,(x x x x x x x x x x f +++-=． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算四阶行列式1002210002100021的值．解：1515000210002100021180021000210002110402100021000211002************-=-==-=．22．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤101111123，求1-A ．解：⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100010001101111123→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤001010100123111101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---301110100220010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110100200010101→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----121110200200010202→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-----121110121200010002→⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1100010001，1-A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤---2/112/11102/112/1．23．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011，B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011，且A ，B ，X 满足E X B A B E T T =--)(1，求X ，1-X ．解：由E X B A B E T T =--)(1，得E X A B E B T =--)]([1，即E X A BB BE T =--)(1，E X A B T =-)(，=-1X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-100020002100020002)(TT A B ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10002/10002/1X ． 24．求向量组)4,2,1,1(1-=α，)2,1,3,0(2=α，)14,7,0,3(3=α，)6,5,1,2(4=α，)0,2,1,1(5-=α 的一个极大线性无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--021165121470321304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---40021********304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4004000000021304211→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0004000000021304211， 421,,ααα是一个极大线性无关组．25．求非齐次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=+++-=-+++=++++12334523622232375432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12133452362210231123711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------236281023622102362210711111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0006000000002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------0000000006002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362210711111→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001002362010711011→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000000010023620101651001， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===--=++-=5544354254106223516x x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1006501021000231621k k ． 26．设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤----020212022，求P 使AP P 1-为对角矩阵．解：λλλλλλλλλ4)2(4)2)(1(2021222||-----=--=-A E 86323+--=λλλ )2(3)42)(2()2(3)8(23+-+-+=+-+=λλλλλλλλ)4)(1)(2()45)(2(2--+=+-+=λλλλλλ，特征值21-=λ，12=λ，43=λ．对于21-=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-220220012220232012220232024A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000220012→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000110012→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000110102→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0001102/101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===33323121x x x x xx ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112/11α； 对于12=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-120120021120101021120202021A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000120021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000120101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0002/110101，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=33323121x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12/112α；对于43=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000210022420210022420232022A E λ→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000210011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000210201，⎪⎩⎪⎨⎧=-==33323122xx x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1223α． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=11122/11212/1P ，则P 是可逆矩阵，使=-AP P 1⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-400010002． 四、证明题（本大题6分）27．设321,,ααα是齐次方程组Ax =0的基础解系，证明1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系． 证：（1）Ax =0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．（2）321,,ααα是Ax =0的解向量，则1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的解向量． （3）设0)()(321321211=+++++ααααααk k k ，则0)()(332321321=+++++αααk k k k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ，系数行列式01100110111≠=，只有零解0321===k k k ，所以1α,21αα+,321ααα++线性无关．由（1）（2）（3）可知，1α,21αα+,321ααα++也是Ax =0的基础解系．全国2008年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案课程代码：04184一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a =3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ C ） A ．-15B ．-6C ．6D ．15D 1=620222555333231232221131211333131232121131111=+=+D a a a a a a a a a a a a a a a a a a ． 2．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+d ba 04=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-32c b a ，则（ C ） A ．3,1,1,3==-==d c b a B ．3,1,3,1===-=d c b a C ．3,0,1,3==-==d c b aD ．3,0,3,1===-=d c b a3,0,4,2===-=+d c b a b a ⇒3,0,1,3==-==d c b a ． 3．设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为（ B ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000111B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000222111D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3332221114．设A 为n 阶方阵，2≥n ，则=-|5|A （ A ） A ．||)5(A n -B ．||5A -C ．||5AD ．||5A n5．设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，则=*||A （ B ） A ．-4B ．-2C ．2D ．424321||||||121-====--*A A A n ． 6．向量组s ααα,,,21 （2>s ）线性无关的充分必要条件是（ D ） A ．s ααα,,,21 均不为零向量B ．s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例C ．s ααα,,,21 中任意1-s 个向量线性无关D ．s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表示7．设3元线性方程组b Ax =，A 的秩为2，1η,2η,3η为方程组的解，T )4,0,2(21=+ηη，T )1,2,1(31-=+ηη，则对任意常数k ，方程组b Ax =的通解为（ D ）A ．T T k )1,2,1()2,0,1(-+B ．T T k )4,0,2()1,2,1(+-C ．T T k )1,2,1()4,0,2(-+D ．T T k )3,2,1()2,0,1(+取b Ax =的特解：T )2,0,1()(2121=+=ηηη； 0=Ax 的基础解系含一个解向量：T )3,2,1()()(312132=+-+=-=ηηηηηηα．8．设3阶方阵A 的特征值为2,1,1-，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ D ） A ．A E -B ．A E --C ．A E -2D ．AE --22-不是A 的特征值，所以0|2|≠--A E ，A E --2可逆．9．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵12)(-A 必有一个特征值等于（ A ） A ．41 B ．21 C ．2 D ．42=λ是A 的特征值，则41)(12=-λ是12)(-A 的特征值． 10．二次型432423222143212),,,(x x x x x x x x x x f ++++=的秩为（ C ）A ．1B ．2C ．3D ．4⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00001100001000011100110000100001A ，秩为3． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =__0__． 行成比例值为零．12．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则=TAP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4723． =T AP ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101=⎪⎪⎭⎫⎝⎛4723．13．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111110100，则=-1A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001011110．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001111110100→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100100110111→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--001011101100010011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--001011110100010001． 14．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax =0有非零解，则数t =__2__．02121412014022154332221||=-=----=----==t t t t A ，2=t ．15．已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1212α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113t α的秩为2，则数t =__-2__．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11212111t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--123013011t t t →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--20013011t t t ，秩为2，则2-=t ． 16．已知向量T )3,0,1,2(=α，T k ),1,2,1(-=β，α与β的内积为2，则数k =32． 2),(=βα，即23022=++-k ，3/2=k ．17．设向量Tb ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,α为单位向量，则数b =__0__． 112121||22=+=++=b b α，0=b ． 18．已知λ=0为矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222222220的2重特征值，则A 的另一特征值为__4__．021==λλ，220321++=++λλλ，所以43=λ．19．二次型32212322213212452),,(x x x x x x x x x x f +--+=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---510122021． 20．已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为2>k ． ⎪⎩⎪⎨⎧>->->+020101k k k ，⎪⎩⎪⎨⎧>>->211k k k ，2>k ． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式D =4001030100211111的值． 解：22000210011101111220021001110111131101210111011114001030100211111-=----=----=------=．22．已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103，（1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）解矩阵方程B AX =．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001210011101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100011001210110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111011001100110101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112100010001，1-A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112；（2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111122112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410011103=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----322234225．23．设向量)1,1,1,1(--=α，)1,1,1,1(--=β，求（1）矩阵βαT A =；（2）2A ．解：（1）βαT A ===--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--)1,1,1,1(1111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------111111*********1； （2）2A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------111111*********1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1111111111111111=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------4444444444444444． 24．设向量组T )4,2,1,1(1-=α，T )2,1,3,0(2=α，T )14,7,0,3(3=α，T )0,2,1,1(4-=α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=01424271210311301),,,(4321αααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4220011003301301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2110011001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2000000001101301→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000000110131→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000100001101301， 向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组，=3α42103ααα++．25．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+ax x x x x x x x 32132131522312 ，（1）求当a 为何值时，方程组无解、有解；（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 51223111201→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---211011101201a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--300011101201a ．（1）3-≠a 时，方程组无解，3-=a 时，方程组有解；（2）3-=a 时，),(b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000011101201，⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333231121x x x x x x ，全部解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112011k ．26．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛2178，（1）求矩阵A 的特征值与对应的全部特征向量； （2）判定A 是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵P 和对角阵Λ，使得Λ=-AP P 1． 解：)9)(1(9102178||2--=+-=----=-λλλλλλλA E ，特征值11=λ，92=λ．对于11=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-00111177A E λ，⎩⎨⎧=-=2221x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=111α，对应的全部特征向量为11αk （1k 是任意非零常数）；对于92=λ，解齐次线性方程组0)(=-x A E λ：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00717171A E λ，⎩⎨⎧==22217x x x x ，基础解系为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=172α，对应的全部特征向量为22αk （2k 是任意非零常数）．令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1171P ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ9001，则P 是可逆矩阵，使得Λ=-AP P 1． 四、证明题（本题6分）27．设n 阶矩阵A 满足A A =2，证明A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．证：由A A =2，得E A A E A A E A E A E =+-=+-=--4444)2)(2(2，所以A E 2-可逆，且A E A E 2)2(1-=--．全国自考2008年7月线性代数（经管类）试卷答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A=[321,,ααα]，其中i α（i=1, 2, 3）为A 的列向量，且|A|=2，则|B|=|[3221,,3ααα+α]|=（ C ） A.-2 B.0 C.2 D.62.若方程组⎩⎨⎧=-=+0x kx 0x x 2121有非零解，则k=（ A ）A.-1B.0C.1D.23.设A ，B 为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ） A.|AB|=|A| |B|B. (AB)-1=B-1A-1C. (A+B)-1=A-1+B-1D. (AB)T=BTA T4.设A 为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ D ）A.41B.1C.2D.45.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ B ） A. 4321,,,αααα线性无关B. 4321,,,αααα线性相关C. 1α可由432,,ααα线性表示D. 43,αα线性无关 6.向量组s 21,,ααα 的秩为r ，且r<s ，则（ C ）A. s 21,,ααα 线性无关B. s 21,,ααα 中任意r 个向量线性无关C. s 21,,ααα 中任意r+1个向量线性相关D. s 21,,ααα 中任意r-1个向量线性无关 7.若A 与B 相似，则（ D ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量C.A-λE=B-λED.|A|=|B|8.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ B ） A. η+1α是Ax=0的解B. η+（1α-2α）是Ax=0的解C. 1α+2α是Ax=b 的解D. 1α-2α是Ax=b 的解 9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ D ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）10.设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111，则二次型f(x1，x2)=xTAx 是（ B ） A.正定 B.负定 C.半正定D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11.设A 为三阶方阵且|A|=3，则|2A|=__24_________.12.已知α=（1，2，3），则|αT α|=____0_______.13.设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200030021，则A*=640020003-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣14.设A 为4×5的矩阵，且秩（A ）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是______3_____.15.设有向量1α=（1，0，-2），2α=（3，0，7），3α=（2，0，6）. 则321,,ααα的秩是_____2______.16.方程x1+x2-x3=1的通解是12(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)T T Tk k η=+-+17.设A 满足3E+A-A2=0，则11()3A A E -=-18.设三阶方阵A 的三个特征值为1，2，3. 则|A+E|=_24__________.19. 设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___-8________.20.矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--221201113所对应的二次型是221312132332224x x x x x x x x +-++ 三、计算题21．计算6阶行列式1002000100000010*********00003000021=1822．已知A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3152，B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3421，C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2512，X 满足AX+B=C ，求X. 2813X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦23．求向量组1α=（1，2，1，3），2α=（4，-1，-5，-6），3α=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关组.141141213095154000367000⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ 秩为2，极大无关组为1α，2α24．当a, b 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=-=++3b x )2a (x 3x 21x x 1x x x 32132321 有无穷多解？并求出其通解.1,0a b =-=时有无穷多解。
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
2022年04月04184线性代数真题及答案
2022年4月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设f(x)=|−110x02−321|=ax−2，则a=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B 【解析】2.设A=(a11a12a21a22)，A ij为元素a ij(i,j=1,2)的代数余子式，若A11=1，A12=2，A21=3，A22=4，A=（）A.(4−3−21)B.(4−2−31)C.(42 31)D.(43 21)【答案】A【解析】∵A=(a11a12 a21a22)∴A11=a22−1A12=−a21=2∴a21=−2A21=−a12=3∴a12=−3 A22=a11=4∴A=(4−3−21)3.对于向量组α1=(α11,α21)T，α2=(α12,α22)T与向量组β1=(α11,α21,α31)T，β2=(α12,α22,α32)T，下列结论中正确的是（）A.若α1,α2线性相关，则β1,β2线性无关B.若α1,α2线性相关，则β1,β2线性相关C.若β1,β2线性相关，则α1,α2线性无关D.若β1,β2线性相关，则α1,α2线性相关【答案】D【解析】若线性相关，则存在不为零的，满足：β1=λβ2∴(α11,α21,α31)=λ(α12,α22,α32)∴(α11,α12)=λ(α12,α22)即α1=λα2故α1,α2线性相关.4.设2阶矩阵A与B相似，若B的特征值λ1=−2，λ2=3，则A−E的迹为（）A.-6B.-1C.1D.6【答案】B【解析】A、B相似，特征值相同，故A的特征值也为λ1=−2，λ2=3，∴A−E的特征值为−2−1=−3，3−1=2∴A−E的迹为：−3+2=−15.设矩阵A=(001010100)，下列矩阵中与A合同的是（）A.(100 010 001)B.(100 0−10 00−1)C.(100 010 00−1)D.(−100 0−10 00−1)【答案】C【解析】都为对称矩阵，故合同⇔ 正，负特征值数量一样A =(001010100)，特征值1，1，-1（两正一负） 选项A ：单位矩阵，特征为1，选项B ：单位矩阵，特征为1，-1，-1（两负一正） 选项C ：单位矩阵，特征为1，-1，1（为两正一负） 选项D ：同A 为-E ，特征值皆为-1第二部分 非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
《线性代数(经管类)》(课程代码04184)校考试题答案
=0 为矩阵 A=
的2重特征值，则A的另一特征值为____4____ 17、已知二次型
正定，则数 k 的取值范围为___k>2____ 18、设A为三阶方阵且|A|=3 则 |2A| = ___24__ 19、已知 =（1，2，3），则 | T | = ___0___ 20、设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程 =0的基础解系所含向量的个数是__3__ 21、设有向量 =(1，0，—2）， =(3，0，7）， =(2，0，6），则 ， ， 的秩是 __2____ 22、设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则 |A+E| = __24__ 23、设 与 的内积（ ， ）=2 ，‖ ‖=2 ，则内积（2 + ，— ）= ___-8___ 24、已知3阶行列式
4、设A为2阶可逆矩阵，且已知 =
，则A=（ D ） A.
B.
C.
D.
5、设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组 =0仅有零解的充分必要条件是（ A ）
A.A的列向量组线性无关 B.A的列向量组线性相关 C.A的行向量组线性无关 D.A的行向量组线性相关 6、已知 ， 是非齐次线性方程组 =b的两个不同的解， ， 是其导出组 =0的一个基础解系， ， 为任意常数，则方程组 =b的通解可以表为（ A ） A.
,
,
,
的秩为（ C ） A.1 B.2 C.3 D.4
45、设向量组
线性相关，则向量组中（ A ） A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B.必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C.必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D.每一个向量都可以表为其余向量的线性组合
46、设
是齐次线性方程组
=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的 是（ B ）
2020年08月04184线性代数真题及答案
2020年8月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设α1,α2,β1,β2是三维列向量，且行列式|α1,α2,β1|=m，|α1,β2,α2|=n，则行列式|α1,α2,β1+β2|=（）A.m−nB.n−mC.m+nD.mn【答案】A【解析】|α1,α2,β1+β2|=|α1α2β1|+|α1α2β2|=m+(−1)×n=m−n.2.设A为3阶矩阵，将A的第2列与第3列互换得到矩阵B，再将B的第1列的(−2)倍加到第3列得到单位矩阵E，则A−1=（）。
A.(120 001 010)B.(1−20 001 010)C.(10−2 001 010)D.(102 001 010)【答案】C【解析】A(100001010)=BB(10−2010001)=EA(100001010)(10−2010001)=EA−1=(100001010)(10−2010001)=(10−2001010)3.设向量组a1,a2,a3线性无关，而向量组a2,a3,a4线性相关，则（）A.a1必可由a2,a3,a4线性表出B.a2必可由a1,a3,a4线性表出C.a3必可由a1,a2,a4线性表出D.a4必可由a1,a2,a3线性表出【答案】D【解析】因为向量组a1,a2,a3线性无关，所以向量组a1,a2,a3中任意一个均不能由其他两个表示出来，所以就排除了A、B、C三个选项；又因为向量组a2,a3,a4线性相关，所以向量组a2,a3,a4中至少有一个可以由其他两个线性表示，所以D 是正确的。
参见教材P116。
4.若3阶可逆矩阵A的特征值分别是1,−1,2，则|A−1|（）A.-2B.−12C.12D.2【答案】B【解析】因为|A|=1∗−1∗2=−2，所以|A−1|=1|A|=−12.参见教材P160。
《线性代数(经管类)》历年真题及参考答案
20XX年10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试卷(课程代码 04184)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设3阶方阵A的行列式为2，则= 【】A．-1 B．-C． D．12．设，则方程的根的个数为【】A．0 B．1C．2 D．33．设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若|A|≠|B|，则必有A．|A|=0 B．|A+B|≠0C．|A|≠0 D．|A-B|≠04. 设A、B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是【】A． B．C． D．5．设A= ，其中，则矩阵A的秩为【】A．0 B．1C．2 D．36.设6的阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为【】A．0 B．2C．3 D．47.设向量a=（1，-2，3），与=（2，k，6）A．-10 B．-4C．4 D．108．已知线性方程组无解，则数a= 【】A．- B．0C． D．19．设3阶方阵A的特征多项式为，则|A|= 【】10．若3阶实对称矩阵A=( )是正定矩阵，则4的3个特征值可能为【】二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.设行列式D=,其第三行各元素的代数余子式之和为．12设A=，B=,则AB：．13设A是4x3矩阵且r（A）=2，B=，则r（AB）．14.向量组（1,2），（2,3），（3,4）的秩为15设线性无关的向量组可由向量组线性表示，则r与s的关系为16．设方程组有非零解，且数，则= ．17．设4元线性方程组Ax=b的三个解，已知，．则方程组的通解是．19．设矩阵有一个特征值=2，对应的特征向量为，则数20．设实二次型，已知A的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)21．设矩阵，，其中口，均为3维列向量，且 |A|=18，|B|=2．求|A-B|．22．解矩阵方程23．设向量组，，问P为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大无关组．24．设3元线性方程组(1)确定当取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解?(2)当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)25.已知2阶方阵A的特征值为，方阵．(1)求B的特征值；(2)求B的行列式．。
2022年10月自考(04184)线性代数(经管类)试题及答案解析-图文
2022年10月自考(04184)线性代数（经管类）试题及答案解析-图文线性代数(经管类)试卷(课程代码04184)本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。
超出答题区域无效。
T某说明：在本卷中。
A表示矩阵A的转置矩阵。
A表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。
未涂、错涂或多涂均无分。
1．已知2阶行列式A．-2B．-lC．1D．23．设向量组正确的是A．若≤t，则B．若≤t，则C．若必线性相关必线性相关线性无关，则≤tD．若线性无关，则≤t可由向量组线性表出，则下列结论中4．设有非齐次线性方程组A某=b，其中A为m某n矩阵，且r(A)=r1，r(A，b)=r2，则下列结论中正确的是A．若r1=m，则A某=O有非零解B．若r1=n，则A某=0仅有零解线性代数试卷第1页共7页C．若r2=m，则A某=b有无穷多解D．若r2=n，则A某=b有惟一解5.设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值=第二部分非选择题6．设行列式中元素aij的代数余子式为Aij(i,j=1,2)，则a11A21+a12+A22=__________．27．已知矩阵，则A+2A+E=___________．8．设矩阵9．设向量，若矩阵A满足AP=B，则A=________．，线性表出的表示式为=____________．，则由向量组10．设向量组a1=(1，2,1)，a2=(-1，1，0)，a3=(0，2，k)线性无关，则数k的取值应满足__________．11．设3元非齐次线性方程组A某=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为TTT若该方程组无解，则数k=_________．12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________．13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________．14．设向量a1=(1，-l，0)，a2=(4，0，1)，则___．2215．二次型f(某1，某2)=-2某1+某2+4某1某2的规范形为__________．三、计算题(本大题共7小题，每小题9分，共63分)请在答题卡上作答。
全国自考历年线性代数试题及答案
全国20XX 年1月高等教育自学考试 《线性代数（经管类）》试题及答案课程代码：04184试题部分说明：本卷中，A T 表示矩阵A 的转置，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r （A ）表示矩阵A 的秩.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ ） A.32B.1C.2D.38 2.设A ，B ，C 为同阶可逆方阵，则（ABC ）-1=（ ） A. A -1B -1C -1 B. C -1B -1A -1 C. C -1A -1B -1D. A -1C -1B -13.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A =（α1，α2，α3，α4）.如果|A |=2，则|-2A |=（ ） A.-32 B.-4 C.4D.324.设α1，α2，α3，α4 是三维实向量，则（ ） A. α1，α2，α3，α4一定线性无关 B. α1一定可由α2，α3，α4线性表出 C. α1，α2，α3，α4一定线性相关D. α1，α2，α3一定线性无关5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（ ） A.1 B.2 C.3D.46.设A 是4×6矩阵，r （A ）=2，则齐次线性方程组Ax =0的基础解系中所含向量的个数是（ ）A.1B.2C.3D.47.设A 是m ×n 矩阵，已知Ax =0只有零解，则以下结论正确的是（ ） A.m ≥n B.Ax =b （其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C.r （A ）=mD.Ax =0存在基础解系8.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ）A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T9.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 = （ ）A.4B.5C.6D.710.三元二次型f （x 1，x 2，x 3）=233222312121912464x x x x x x x x x +++++的矩阵为（ ）A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963642321 B.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡963640341 C.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡960642621 D.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡9123042321二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数(经管类)试题及答案解析(试卷+答案+解析) (1)
全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题（课程代码：04184）说明：本卷中，A T表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 设101350041A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则TAA=（）A. -49B. -7C. 7D. 492. 设A为3阶方阵，且4A=，则2A-=（）A. -32B. -8C. 8D. 323. 设A，B为n阶方阵，且A T=-A，B T=B，则下列命题正确的是（）A. （A+B）T=A+BB. （AB）T=-ABC. A2是对称矩阵D. B2+A是对称阵4. 设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A. 若A2=0，则A=0B. （AB）2=A2B2C. 若AX=AY，则X=YD. 若A+X=B，则X=B-A5. 设矩阵A =11310214000500⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46. 若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k ≠（ ）A. -2B. -1C. 0D. 27. 实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 38. 若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ）A. 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ B. 110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C. 10001102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D. 10102001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设实二次型2212323(,,)f x xx x x =-，则f （ ）A. 正定B. 不定C. 负定D. 半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2022年10月04184线性代数真题及答案
2022年10月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.已知3阶行列式D第1行的元素依次为1,2,−1，它们的余子式依次为2,−2,1，则D=（）A.-5B.-3C.3D.5【答案】D【解析】2.设A为3阶矩阵，P=(130010001)，则用P右乘A，相当于将A（）A.第1行的3倍加到第2行B.第2行的3倍加到第1行C.第1列的3倍加到第2列D.第2列的3倍加到第1列【答案】C【解析】3.向量组a1=(1,1,0)T，a2=(3,0,−9)T，a3=(1,2,3)T，a4=(1,−1,−6)T的秩是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】4.设线性方程组无解{kx 1+x 2+x 3=1x 1+kx 2+x 3=k x 1+x 2+kx 3=k 2，则数k =（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】A【解析】由克拉默法则无解，则D =|k 111k 111k|=0，解得(k −1)2·(k +2)=0即k =1或-2，若k =1，则方程组{x 1+x 2+x 3=1x 1+x 2+x 3=1x 1+x 2+x 3=1有无数解故k =−25.设矩阵A =(−100022022)，则二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（）A.z 12−z 22−z 32B.z 12+z 22−z 32C.z 12+z 22D.z 12−z 22 【答案】D【解析】|λE −A |=|λ+1000λ−2−20−2λ−2|=(λ+1)(λ−4)·λ=0∴λ=0,−1,4一正一负.第二部分 非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
历年自学考试04184线性代数试题真题和答案解析分析解答
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++221121c a c a b b （ B ）A ．n m -B ．m n -C ．n m +D ．)(n m +-m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++21212121221121．2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACBB ．CABC ．CBAD ．BCABCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(．3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8-B ．2-C ．2D ．88||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ．4．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100013001Q ，则=B （ B ）A ．PAB ．APC ．QAD ．AQ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a AP ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001B a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333． 5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出D ．β必能由321,,ααα线性表出注：321,,ααα是βααα,,,321的一个极大无关组．8．设A 为n m ⨯矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于mB ．等于mC ．小于nD ．等于n注：方程组Ax =0有n 个未知量．9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T AB ．2AC ．1-AD ．*A|||)(|||A E A E A E T T -=-=-λλλ，所以A 与T A 有相同的特征值．10．二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3222123221321)(),,(y y x x x x x x f +=++=，正惯性指数为2．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．行列式2010200920082007的值为_____________． 21098720002000200020002010200920082007-=+=．12．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102311A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，则=B A T_____________． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=130121B A T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1602221002． 13．设T )2,0,1,3(-=α，T )4,1,1,3(-=β，若向量γ满足βγα32=+，则=γ__________．T T T )8,3,5,3()4,0,2,6()12,3,3,9(23-=---=-=αβγ．14．设A 为n 阶可逆矩阵，且nA 1||-=，则|=-||1A _____________． n A A -==-||1||1． 15．设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则=||A _____________．n 个方程、n 个未知量的Ax =0有非零解，则=||A 0．16．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为_____________．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=130111312111A ，基础解系所含解向量的个数为123=-=-r n ．17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 必有一个特征值为_________．A 有特征值3-，则231A 有特征值3)3(312=-，1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 有特征值31．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00202221x A 的特征值为2,1,4-，则数=x _____________．由21401-+=++x ，得=x 2．19．已知⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10002/102/1b a A 是正交矩阵，则=+b a _____________． 由第1、2列正交，即它们的内积0)(21=+b a ，得=+b a 0．20．二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--031302120． 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式333222c c b b a a c b a cb a D +++=的值． 解：222333222333222111c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b aD ==+++= 2222222200111a c a b ac ab abc a c a b a c ab abc ----=----=))()((11))((b c a c a b abc ac a b a c a b abc ---=++--=．22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T；（2）注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T CB ，所以131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963321642．23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==1011130311211112),,,(4321ααααA →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112130311211011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1110233001101011 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000200001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100001101101，向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大无关组，213ααα+-=．24．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=315241B ．（1）求1-A ；（2）解矩阵方程B AX =． 解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100210321),(E A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210301100010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121100010001，1-A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210121； （2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111094315241．25．问a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++63222243232132321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=63222204321),(a b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---23202204321a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03002204321a a ．3≠a 时，3)(),(==A r b A r ，有惟一解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010********a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010********* →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********，⎪⎩⎪⎨⎧===012321x x x ； 3=a 时，n A r b A r <==2)(),(，有无穷多解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000023204321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000023202001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000012/3102001，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==333212312x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12/30012k ，其中k 为任意常数．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000200011AP P ．解：由521)9(23323030002||2⨯⨯=-===a a aa a A ，得42=a ，2=a ．=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----320230002λλλ．对于11=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----220220001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110001，⎪⎩⎪⎨⎧=-==333210x x x x x ，取=1p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110；对于22=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----120210000→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ，取=2p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001；对于53=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--220220003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110001，⎪⎩⎪⎨⎧===333210x x x x x ，取=3p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==101101010),,(321p p p P ，则P 是可逆矩阵，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P ．四、证明题（本题6分）27．设A ，B ，B A +均为n 阶正交矩阵，证明111)(---+=+B A B A ．证：A ，B ，B A +均为n 阶正交阵，则1-=A A T ，1-=B B T ，1)()(-+=+B A B A T ，所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T ．全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵),,(321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i ）为A 的列向量，若=||B 6|),,2(|3221=+αααα，则=||A （ C ） 6|),,2(||),,(|||3221321=+==αααααααA ．A ．12-B ．6-C ．6D ．122．计算行列式=----32320200051020203（ A ）A ．180-B ．120-C ．120D ．18018030)2(310203)2(32005102203332320200051020203-=⨯-⨯=⨯-⨯=--⨯=----． 3．若A 为3阶方阵且2||1=-A ，则=|2|A （ C ） A ．21B ．2C ．4D ．821||=A ，4218||2|2|3=⨯==A A ． 4．设4321,,,αααα都是3维向量，则必有（ B ） A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．1α不可由432,,ααα线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2，则=)(A r （ C ） A ．2B ．3C ．4D ．5由2)(6=-A r ，得=)(A r 4．6．设A 、B 为同阶方阵，且)()(B r A r =，则（ C ） A ．A 与B 相似B ．||||B A =C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同注：A 与B 有相同的等价标准形．7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为0,1,2，则=+|2|E A （ D ） A ．0B ．2C ．3D ．24E A 2+的特征值分别为2,3,4，所以24234|2|=⨯⨯=+E A ．8．若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是（ B ） A ．A 与B 等价B ．A 与B 合同C ．||||B A =D ．A 与B 有相同特征值注：只有正交相似才是合同的．9．若向量)1,2,1(-=α与),3,2(t =β正交，则=t （ D ）A ．2-B ．0C ．2D ．4由内积062=+-t ，得=t 4．10．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2，则（ B ） A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定对应的规范型002232221≥⋅++z z z ，是半正定的． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421023A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010112B ，则=AB ______________．=AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-421023⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--224010356010112． 12．设A 为3阶方阵，且3||=A ，则=-|3|1A ______________．9313||13||3|3|33131=⋅=⋅==--A A A ． 13．三元方程1321=++x x x 的通解是______________．⎪⎩⎪⎨⎧==--=33223211x x x x x x x ，通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101100121k k ． 14．设)2,2,1(-=α，则与α反方向的单位向量是______________．)2,2,1(31||||1--=-αα．15．设A 为5阶方阵，且3)(=A r ，则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________．}0|{==Ax x W 的维数等于0=Ax 基础解系所含向量的个数：235=-=-r n ．16．1251)2/1(25||15|5|331-=⨯⨯-=⋅=-A A ．17．若A 、B 为5阶方阵，且0=Ax 只有零解，且3)(=B r ，则=)(AB r ______________．0=Ax 只有零解，所以A 可逆，从而=)(AB r 3)(=B r ．18．实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________．32212321321222),,(x x x x x x x x x f +-+=．19．设3元非齐次线性方程组b Ax =有解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 2 12α，且2)(=A r ，则b Ax =的通解是______________．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-001)(2121αα是0=Ax 的基础解系，b Ax =的通解是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001321k ． 20．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321α，则T A αα=的非零特征值是______________．由14321)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααT ，可得A A T T T 1414)(2===αααααα，设A 的非零特征值是λ，则λλ142=，14=λ．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算5阶行列式2000102000002000002010002=D ．解：连续3次按第2行展开，243821128201020102420010200002010022=⨯=⨯=⨯=⨯=D ． 22．设矩阵X 满足方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021102341010100001200010002X ，求X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200010002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021102341C ，则C AXB =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2/100010002/11A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-010*******B ，11--=CB A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10002000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---021102341⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=021********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20102443121． 23．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------089514431311311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------176401764011311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001764011311 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000017640441244→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001764053604→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000004/14/72/3104/54/32/301，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=-+=4433432431472341432345x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-104/74/3012/32/3004/14/521k k ，21,k k 都是任意常数． 24．求向量组)4,1,2,1(1-=α，)4,10,100,9(2=α，)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=844210141002291),,(321TT T ααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21121012501291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--08001900410291 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010201，向量组的秩为2，21,αα是一个极大无关组．25．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量T )1,1,1(-=ξ，求b a ,及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设λ是ξ所对应的特征值，则λξξ=A ，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111112135212λb a ，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλλ121b a ，可得3-=a ，0=b ，1-=λ； 对于1-=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---201335212λλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101325213→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213325101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110220101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110101，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，属于1-=λ的全部特征向量为k ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，k 为任意非零实数．26．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A ，试确定a 使2)(=A r ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 12121122211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----233023302211a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a 00023302211，0=a 时2)(=A r ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若321,,ααα是b Ax =（0≠b ）的线性无关解，证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解．证：因为321,,ααα是b Ax =的解，所以12αα-，13αα-是0=Ax 的解；设0)()(132121=-+-ααααk k ，即0)(3221121=++--αααk k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧===--0002121k k k k ，只有零解021==k k ，所以,12αα-13αα-线性无关．全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
(完整版)线性代数(经管类)试题及答案
全国高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A T 表示方阵A 的转置钜阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则T AA =（ ） A ．-49B ．-7C ．7D ．492．设A 为3阶方阵，且4A =，则2A -=（ ）A ．-32B ．-8C ．8D ．323．设A ，B 为n 阶方阵，且A T =-A ，B T =B ，则下列命题正确的是（ ）A ．（A +B ）T =A +BB ．（AB ）T =-ABC ．A 2是对称矩阵D ．B 2+A 是对称阵4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ）A ．若A 2=0，则A =0B ．（AB ）2=A 2B 2C ．若AX =AY ，则X =YD ．若A +X =B ，则X =B -A5．设矩阵A =1131021400050000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则秩（A ）=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若方程组02020kx z x ky z kx y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩仅有零解，则k =（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解，则λ=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ） A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ．110010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10．设实二次型2212323(,,)f x x x x x =-，则f （ ）A ．正定B ．不定C ．负定D ．半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
04184 线性代数(经管类)习题集及答案
西华大学自学考试省考课程习题集课程名称：《线性代数》课程代码：04184专业名称：工商企业管理专业代码：Y020202目录第一部分习题一、选择题 3二、填空题8三、计算题11四、证明题15第二部分标准答案一、选择题16二、填空题16三、计算题16四、证明题31第一部分 习题 一、选择题1、若n 阶方阵A 的秩为r ，则结论（ ）成立。
A. 0||≠A B. 0||=A C. r >n D. n r ≤2、下列结论正确的是( )A. 若AB=0,则A=0或B=0.B. 若AB=AC,则B=CC.两个同阶对角矩阵是可交换的.D. AB=BA 3、下列结论错误的是( )A. n+1个n 维向量一定线性相关.B. n 个n+1维向量一定线性相关C. n 个n 维列向量n ααα,,,21 线性相关,则021=n αααD. n 个n 维列向量n ααα,,,21 ,若021=n ααα 则n ααα,,,21 线性相关,4、若m c c c b b b a a a =321321321，则=321321321333222c c c b b b a a a ( ) A. 6m B.-6m C. m 3332 D. m 3332- 5、设A,B,C 均为n 阶方阵,AB=BA,AC=CA,则ABC=( ) A. ACB B. CAB C. CBA D. BCA6、二次型3221222132124),,(x x x x x x x x x f -++=的秩为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 7、若A 、B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（ ） A 、若A ，B 都是可逆的，则A+B 是可逆的 B 、若A ，B 都是可逆的，则AB 是可逆的 C 、若A+B 是可逆的，则A-B 是可逆的 D 、若A+B 是可逆的，则A ，B 都是可逆的8、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，则=*A （ ） A 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c dC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 9、关于初等矩阵下列结论成立的是（ )A. 都是可逆阵B. 所对应的行列式的值为1C. 相乘仍为初等矩阵D. 相加仍为初等矩阵10、设2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A （ ）A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1324 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1234 C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1234 11、设21,ββ是非齐次线性方程组β=AX 的两个解，则下列向量中仍为方程组β=AX 解的是（ ）A 、21ββ+B 、21ββ-C 、3221ββ+ D 、32321ββ- 12、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关13、向量组)2(,,,21≥m m ααα 线性相关的充要条件是（ ） A 、m ααα,,,21 中至少有一个是零向量 B 、m ααα,,,21 中至少有一个向量可以由其余向量线性表示 C 、m ααα,,,21 中有两个向量成比例 D 、m ααα,,,21 中任何部分组都线性相关14、0=AX 是非齐次方程组β=AX 的对应齐次线性方程组，则有（ ） A 、0=AX 有零解，则β=AX 有唯一解 B 、0=AX 有非零解，则β=AX 有无穷多解 C 、β=AX 有唯一解，则0=AX 只有零解 D 、β=AX 有无穷多解，则0=AX 只有零解15、设A ，B ，C 均为二阶方阵，且AC AB =，则当（ ）时，可以推出B=CA 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101AB 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011AC 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110AD 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111A16、若m c c c b b b a a a =321321321，则=231231231333222c c c b b b a a a ( )A. 6mB.-6mC. m 3332D. m 3332- 17、如果矩阵A 的秩等于r ，则（ ）。
2023年04月04184线性代数真题及答案
2023年4月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设A=(a11a12a21a22)，M ij为元素a ij(i,j=1,2)的余子式，M21=4，M22=5，则A=（）A.(5−4−32)B.(5−3−42)C.(53 42)D.(54 32)【答案】D2.设A=(12−30)，则A∗中位于第1行第2列的元素是（）A.-3B.-2C.2D.3【答案】B3.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则r(A)=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C4.设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0，|E−4|=0，则|A−1+E|=（）A.-lB.−23C.23D.1【答案】A5.二次型f(x1,x2,x3)=2x12−3x22+5x32的正惯性指数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
6.行列式|a1+b1a1+b2a1+b3a2+b1a2+b2a2+b3a3+b1a3+b2a3+b3|=_________。
【答案】07.设矩阵A=(1−4−10)，B=(1024)，则AB=_________。
【答案】(−7−16−10)8.设A为2阶矩阵，若存在矩阵C=(1−201)，使得C T AC=(−1002)，则A=_________。
【答案】(−1−2−2−2)9.设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|−2A −1|=_________。
【答案】-410.已知向量组a 1=(1,k,−3)T ，a 2=(2,4,−6)T ，a 3=(0,0,1)T 的秩为2，则数k =_________。
【答案】211.齐次线性方程组{x 1+2x 2+3x 3 =0x 2−x 3+x 4=0的基础解系所含解向量的个数为__________。
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全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++221121c a c a b b （ B ）A ．n m -B ．m n -C ．n m +D ．)(n m +-2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACBB ．CABC ．CBAD ．BCA3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8-B ．2-C ．2D ．84．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211333a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100030001P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100013001Q ，则=B （ B ）A ．PAB ．APC ．QAD ．AQ5．已知A 是一个43⨯矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关C ．由1个非零向量组成的向量组线性相关D ．2个成比例的向量组成的向量组线性相关 7．已知向量组321,,ααα线性无关，βααα,,,321线性相关，则（ D ） A ．1α必能由βαα,,32线性表出 B ．2α必能由βαα,,31线性表出 C ．3α必能由βαα,,21线性表出D ．β必能由321,,ααα线性表出8．设A 为n m ⨯矩阵，n m ≠，则方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ D ） A ．小于mB ．等于mC ．小于nD ．等于n9．设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ A ） A ．T AB ．2AC ．1-AD ．*A10．二次型212322213212),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．行列式2010200920082007的值为_____________． 12．设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102311A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1002B ，则=B A T_____________．13．设T )2,0,1,3(-=α，T )4,1,1,3(-=β，若向量γ满足βγα32=+，则=γ__________．14．设A 为n 阶可逆矩阵，且nA 1||-=，则|=-||1A _____________．15．设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax =0的解，则=||A _____________．16．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+-=++0320321321x x x x x x 的基础解系所含解向量的个数为_____________．17．设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3-，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A必有一个特征值为_________．18．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=00202221x A 的特征值为2,1,4-，则数=x _____________．19．已知⎪⎪⎪⎪⎫⎛=10002/102/1b a A 是正交矩阵，则=+b a _____________． 20．二次型323121321624),,(x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是_____________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算行列式333222c c b b a a c b a cb a D +++=的值． 解：222333222333222111c b a c b a abc c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b aD ==+++= 2222222200111a c a b ac ab abc a c a b a c ab abc ----=----=))()((11))((b c a c a b abc ac a b a c a b abc ---=++--=．22．已知矩阵)3,1,2(=B ，)3,2,1(=C ，求（1）C B A T =；（2）2A ．解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==963321642)3,2,1(312C B A T；（2）注意到13312)3,2,1(=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T CB ，所以131313)())((2=====A C B C CB B C B C B A T T T T T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛963321642．23．设向量组T 4T 3T 2T 1(1,1,1,1),)0,3,1,1(,(1,2,0,1),(2,1,3,1)=--===αααα，求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--==1011130311211112),,,(4321ααααA →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112130311211011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1110233001101011 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1000200001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000100001101011→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000100001101101，向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大无关组，213ααα+-=．24．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=315241B ．（1）求1-A ；（2）解矩阵方程B AX =． 解：（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001100210321),(E A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210301100010021→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121100010001，1-A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210121； （2）==-B A X 1⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100210121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3111094315241．25．问a 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++63222243232132321x x x ax x x x x 有惟一解？有无穷多解？并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=63222204321),(a b A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---23202204321a →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-03002204321a a ．3≠a 时，3)(),(==A r b A r ，有惟一解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010********a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010********* →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*********，⎪⎩⎪⎨⎧===012321x x x ； 3=a 时，n A r b A r <==2)(),(，有无穷多解，此时→),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000023204321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000023202001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000012/3102001，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==333212312x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12/30012k ，其中k 为任意常数．26．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3030002a a A 的三个特征值分别为5,2,1，求正的常数a 的值及可逆矩阵P ，使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-5000200011AP P ．解：由521)9(23323030002||2⨯⨯=-===a a aa a A ，得42=a ，2=a ．=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----320230002λλλ．对于11=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----220220001→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110001，⎪⎩⎪⎨⎧=-==333210x x x x x ，取=1p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110；对于22=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----120210000→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，⎪⎩⎪⎨⎧===003211x x x x ，取=2p ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001；对于53=λ，解0)(=-x A E λ：=-A E λ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--220220003→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000110001，⎪⎩⎪⎨⎧===333210x x x x x ，取=3p ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110．令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==101101010),,(321p p p P ，则P 是可逆矩阵，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-5000200011AP P ．四、证明题（本题6分）27．设A ，B ，B A +均为n 阶正交矩阵，证明111)(---+=+B A B A ．证：A ，B ，B A +均为n 阶正交阵，则1-=A A T ，1-=B B T ，1)()(-+=+B A B A T ，所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T ．全国2010年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．设3阶方阵),,(321ααα=A ，其中i α（3,2,1=i ）为A 的列向量，若=||B 6|),,2(|3221=+αααα，则=||A （ C ）A ．12-B ．6-C ．6D ．122．计算行列式=----32320200051020203（ A ）A ．180-B ．120-C ．120D ．1803．若A 为3阶方阵且2||1=-A ，则=|2|A （ C ） A ．21B ．2C ．4D ．84．设4321,,,αααα都是3维向量，则必有（ B ） A ．4321,,,αααα线性无关B ．4321,,,αααα线性相关C ．1α可由432,,ααα线性表示D ．1α不可由432,,ααα线性表示5．若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2，则=)(A r （ C ） A ．2B ．3C ．4D ．56．设A 、B 为同阶方阵，且)()(B r A r =，则（ C ） A ．A 与B 相似B ．||||B A =C ．A 与B 等价D ．A 与B 合同7．设A 为3阶方阵，其特征值分别为0,1,2，则=+|2|E A （ D ） A ．0B ．2C ．3D ．24．．A ．A 与B 等价B ．A 与B 合同C ．||||B A =D ．A 与B 有相同特征值9．若向量)1,2,1(-=α与),3,2(t =β正交，则=t （ D ）A ．2-B ．0C ．2D ．410．设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,2，则（ B ） A ．A 正定B ．A 半正定C ．A 负定D ．A 半负定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=421023A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=010112B ，则=AB ______________．12．设A 为3阶方阵，且3||=A ，则=-|3|1A ______________．13．三元方程1321=++x x x 的通解是______________．14．设)2,2,1(-=α，则与α反方向的单位向量是______________．15．设A 为5阶方阵，且3)(=A r ，则线性空间}0|{==Ax x W 的维数是______________．16．17．若A 、B 为5阶方阵，且0=Ax 只有零解，且3)(=B r ，则=)(AB r ______________．18．实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--110101012所对应的二次型=),,(321x x x f ______________．19．设3元非齐次线性方程组b Ax =有解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211α，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3 2 12α，且2)(=A r ，则b Ax =的通解是______________．20．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321α，则T A αα=的非零特征值是______________．三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21．计算5阶行列式2000102000002000002010002=D ．解：连续3次按第2行展开，243821128201020102420010200002010022=⨯=⨯=⨯=⨯=D ． 22．设矩阵X 满足方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021102341010100001200010002X ，求X ．解：记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200010002A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021102341C ，则C AXB =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2/100010002/11A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-010*******B ，11--=CB A X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10002000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---021102341⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=021********⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20102443121． 23．求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解．解：=),(b A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------089514431311311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------176401764011311→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001764011311 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000017640441244→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000001764053604→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000004/14/72/3104/54/32/301，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==++-=-+=4433432431472341432345x x x x x x x x x x ，通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-104/74/3012/32/3004/14/521k k ，21,k k 都是任意常数． 24．求向量组)4,1,2,1(1-=α，)4,10,100,9(2=α，)8,2,4,2(3---=α的秩和一个极大无关组．解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=844210141002291),,(321TT T ααα→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21121012501291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--08001900410291 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010291→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000000010201，向量组的秩为2，21,αα是一个极大无关组．25．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量T )1,1,1(-=ξ，求b a ,及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量．解：设λ是ξ所对应的特征值，则λξξ=A ，即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111112135212λb a ，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-λλλ121b a ，可得3-=a ，0=b ，1-=λ； 对于1-=λ，解齐次方程组0)(=-x A E λ：=-A E λ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+---201335212λλλ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----101325213→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----213325101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110220101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000110101，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333231x x x x x x ，基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，属于1-=λ的全部特征向量为k ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111，k 为任意非零实数．26．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A ，试确定a 使2)(=A r ．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22111212112a A →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----a 12121122211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----233023302211a →⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a 00023302211，0=a 时2)(=A r ． 四、证明题（本大题共1小题，6分）27．若321,,ααα是b Ax =（0≠b ）的线性无关解，证明,12αα-13αα-是对应齐次线性方程组0=Ax 的线性无关解．证：因为321,,ααα是b Ax =的解，所以12αα-，13αα-是0=Ax 的解；设0)()(132121=-+-ααααk k ，即0)(3221121=++--αααk k k k ，由321,,ααα线性无关，得⎪⎩⎪⎨⎧===--0002121k k k k ，只有零解021==k k ，所以,12αα-13αα-线性无关．全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36D.482.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ） A.A -1CB -1B.CA -1B -1C.B -1A -1CD.CB -1A -13.已知A 2+A -E =0，则矩阵A -1=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +ED.-A +E4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）A.54321,,,,ααααα一定线性无关B.54321,,,,ααααα一定线性相关C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出 5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=nD.0<r (A )<(n )6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =0没有解7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解B.21ηη-是Ax =b 的解C.2123ηη-是Ax =b 的解D.2132ηη-是Ax =b 的解8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ）A.20B.24C.28D.309.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ） A.21B.1C.23 D.210.二次型f (x 1,x 2,x 3)=323121232221222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。