综合测试卷(一)

A ．直角梯形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形 【答案】C
7．已知某个几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是( )
A.13cm 3
B.23cm 3
C.43cm 3
D.83cm 3 【答案】C
8．按如下图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是63，则判断框中的整数H 的值是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】B
9．已知数列{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )
A ．21
B ．20
C ．19
D ．18 【答案】B
10．如图所示，在公路MN 的两侧有四个村镇：A 1，B 1，C 1，D 1，它们通过小路和公路相连，各路口分别是A ，B ，C ，D ，某燃气公司要在公路旁建一个调压站，并从调压站出发沿公路和各小路通过低压输配干管(每个村镇单独一条管道)将燃气送到各村镇，为使低压输配干管总长度最小，调压站应建在( )
A ．A 旁
B ．D 旁
C ．BC(含B ，C)段公路旁的任一处
D ．AB(含A ，B)段公路旁的任一处 【答案】C
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．为了测算某一椭圆的面积，作一个边长为2的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷1 000个点。

如果恰有200个点落在椭圆内，那么可估计椭圆的面积是________．
【答案】4
5
12．已知△ABC 的三边a ，b ，c 和面积S 满足条件S ＝c 2－(a －b )2
4，则∠C ＝________________.
【答案】π
2
13．已知椭圆的左、右焦点为F 1，F 2，以F 2为圆心作圆过椭圆中心并交椭圆于点M ，N ，若直线MF 1是⊙F 2的切线，则椭圆的离心率为____________．
【答案】3－1
▲选做题：在下面两道小题选做一题．
14．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，已知直线
l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2t －1，
y ＝4－2t
(参数t ∈R )，以平面直角坐标系的原点
为极点、x 轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系，在此极坐标系中，
若圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，则圆心C 到直线l 的距离为______________．
【答案】 2
15．(几何证明选讲选做题)如右图所示，已知点P 是圆O 外的一点，PD 为切线，D 为切点，割线PEF 经过圆点O ，PF ＝6，PD ＝23，则∠DFP ＝_____________.
【答案】30°
三、解答题(共6小题，共80分)
16．(12分)已知函数f (x )＝Asin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫A>0，ω>0，|φ|<π2
的部分图象如下图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α2＋π6＝8
5，求cos 2α的值．
【解析】(1)由图象，知A ＝2，
函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12－π6＝π，ω＝2π
T ＝2.(3分)
将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ，2代入函数f (x )的解析式，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又|φ|<π2，则φ＝π6，
故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π6.(6分) (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos α＝8
5，得(9分)
cos α＝4
5.(10分)
∴cos 2α＝2cos 2
α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.(12分)
17．(12分)某校从参加高二年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)且在区间[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100)上的部分频率分布表和部分频率分布直方图如下图所示．
(1)填充频率分布表的空格(直接填写)并补全频率分布直方图； (2)估计成绩在85分以上学生的比例；
(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立一个“二帮一”实验小组，即从成绩区间[90,100)中选两位同学，共同帮助区间[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被选为这个实验小组成员的概率.
分组 频数 频率 [40,50) 2 0.04
[50,60) [60,70) 14 [70,80) 15 0.30 [80,90) 12 0.24 [90,100) 0.08 合计 50 1
【解析】(1)样本的频率分布表如下表所示，(4分)
分 组 频 数 频 率 [40,50) 2 0.04 [50,60) 3 0.06 [60,70) 14 0.28 [70,80) 15 0.30 [80,90) 12 0.24 [90,100) 4 0.08 合 计
50
1
频率分布直方图如下图所示；(6分)
(2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10(人)，所以估计成绩在85
分以上的学生比例为1050＝1
5.(8分)
(3)区间[40,50)内有2人，记为甲、A ，区间[90,100)内有4人，记为乙、B 、C 、D.则“二帮一”实验小组成员有以下12种选法：甲乙B ，甲乙C ，甲乙D ，甲BC ，甲BD ，甲CD ，A 乙B ，A 乙C ，A 乙D ，ABC ，ABD ，ACD.(10分)
其中甲、乙两同学被选为实验小组成员有3种办法：甲乙B ，甲乙C ，甲乙D.(11分)
所以甲、乙两同学恰好被选为实验小组成员的概率为312＝1
4.(12分)
18．(14分)如图所示，在直角梯形ABEF 中，将DCEF 沿CD 折起，使∠FDA ＝60°，得到一个空间几何体，
(1)求证：BE ∥平面ADF ； (2)求证：AF ⊥平面ABCD ； (3)求三棱锥E —BCD 的体积．
【解析】(1)由已知条件，可知BC ∥AD ，CE ∥DE.折叠之后平行关系不变，
∵BC ⊄平面ADF ，AD ⊂平面ADF ， ∴BC ∥平面ADF.同理CE ∥平面ADF. ∵BC ∩CE ＝C ，BC ，CE ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ∥平面ADF.∵BE ⊂平面BCE ， ∴BE ∥平面ADF.(4分)
(2)∵∠FDA ＝60°，FD ＝2，AD ＝1，
∴AF 2
＝FD 2
＝AD 2
－2FD·ADcos ∠FDA ＝4＋1－2×12×1×12＝3，
即AF ＝ 3.
∴AF 2＋AD 2＝FD 2.∴AF ⊥AD.
∵DC ⊥FD ，DC ⊥AD ，AD ∩FD ＝D ，AD ，DF ⊂平面ADF ， ∴DC ⊥平面ADE.∵AF ⊂平面ADF ，∴DC ⊥AF. ∵AD ∩DC ＝D ，AD ，DC ⊂平面ABCD. ∴AF ⊥平面ABCD.(9分)
(3)∵DC ⊥EC ，DC ⊥BC ，EC ，BC ⊂平面EBC ，EC ∩BC ＝C. ∴DC ⊥平面EBC.∵DF ∥EC ，AD ∥BC ，∠FDA ＝60°， ∴∠ECB ＝60°.∵EC ＝1，BC ＝1，
∴S △ECB ＝12×1×1×32＝34.
∴V E －BCD ＝V D －EBC ＝13·DC·S △ECB ＝13×1×34＝3
12.(14分) 19．(14分)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【解析】设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，
由题意，知⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≤10，
0.3x ＋0.1y ≤1.8，
x ≥0，y ≥0，
目标函数z ＝x ＋0.5y .(4分) 上述不等式组表示的平面区域如下图所示，阴影部分(含边界)即
可行域．(7分)
作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于l 0的一组直线x ＋0.5y ＝z (z ∈R )，与可行域相交，其中一条直线经过可行域上的M 点且与直线l 0：x ＋0.5y ＝0的距离最大．(10分)。