《等腰直角三角形中的常用模型》

1 / 6等腰直角三角形中的常用模型一【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。

2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。

熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。

（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。

（1）求证：M 为BE 的中点 （2）若PC=2PB ，求MBPC 的值(2)(3)(1)D DEECE CABBAAB(2)F ED C B AAB C DE F (1)2 / 6 （2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC交AD 的延长线与于点F 。

（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。

变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，求证：∠1=∠2。

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形例1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上一D EFFED(2)(1)CCABBAABCDEF(2)(1)FED CBAGGBACDEF (2)(1)FE DCBA3 / 6点，过C 作CD ⊥BE 于D ，连接AD ，求证：∠ADB ＝45°。

变式1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上一点，点D 为BE 延长线上一点，且∠ADC ＝135°求证：BD ⊥DC 。

变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D ，DM ⊥AB 交BA 的延长线于点M ，（1）求BC AB BM +的值；（2）求AB BC AM -的值。

模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形： 例1、如图1，△ABC 、△BEF 都是等腰直角三角形，∠ABC =∠BEF =90º，连接AF 、CF ，M 是AF 的中点，连ME ，将△BEF 绕点B 旋转。

猜想CF 与EM 的数量关系并证明；（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：ABC DE A B C DEEDCBA(1)(2)(3)EDCA(3)FEDC BA(2)FF(1)ABCDE图（1）MFEBCAA D E(2)AB E EDB A(1)4 / 6A FBDEC如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠BED =90º。

把DE 平移到CF ，使E 与C 重合，连接AE 、AF ，则△AEB 与△AFC 全等（关键是利用平行证明∠ABE =∠ACF ）例.如图：两个直角三角形ABC 、ADE 的顶点A 重合，P 是线段BD 的中点，连PC 、PE 。

（1）如图1，若∠BAC =∠DAE =45°，当A 、C 、D 在同一直线上时，线段PC 、PE 的关系是；（2）如图2、3，将⊿BAC 绕A 旋转α度，（1）中的结论是否仍然成立？任意选择一个证明你的结论。

三【巩固练习】1．如图，在ABC Rt ∆中，AC AB =,∠︒=90BAC ,D 、E 为BC 上两点，∠︒=45DAE ，F 为ABC ∆外一点，且FB ⊥BC ,AE FA ⊥,则下列结论：①BF CE =;②222DE CE BD =+;③EF AD S ADE ⋅=∆41;④2222AE BE CE =+,其中正确的是A 、①②③④B 、①②④C 、①③④D 、②③2．已知：Rt ⊿ABC 中，AB=AC ，∠BAC =90°，若O 是BC 的中点，以O 为顶点作∠MON ，交AB 、AC 于点M 、N 。

（1）若∠MON =90°（如图1），求证：①OM=ON ；②BM 2+CN 2=MN 2；图1NMO CBA图1PED C BA A BC D EP 图2ABCDEP 图35 / 6（2）若∠MON =45°（如图2），求证：①AM+MN =CN ；3、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）。

（1）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°，连OD ，求∠AOD 的度数；（2）过A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式1=-OFFMAM 是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。

4.在△ABC 和△DCE 中，AB =AC ，DC =DE ,∠BAC =∠EDC =90°，点E 在AB 上，连AD ，DF ⊥AC 于点F 。

试探索AE 、AF 、AC 的数量关系；并求出∠DAC 的度数。

5．如图：等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB ，AC=BC ，DE=BD ，∠ACB＝∠EDB ＝90°，E 为AB 是一点，P 为AE 的中点。

⑴连接PC ，PD ；则PC ，PD 的位置关系是；数量关系是；并证明你的结论。

⑵当E 在线段AB 上变化时，其它条件不变，作EF ⊥BC 于F ，连接PF ，试判断△PCF 的形状；在点E 运动过程中，△PCF图2NMO CBAFADBCE(2)6 / 6是否可为等边三角形？若可以，试求△ACB 与△EDB 的两直角边之比。

6（2013年湖南常德10分）已知两个共一个顶点的等腰Rt △ABC ，Rt △CEF ，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME ．（1）如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：MB ∥CF ； （2）如图1，若CB=a ，CE=2a ，求BM ，ME 的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME ．7、如图，在平面直角坐标系中，A (4，0)，B (0，4)。

点N 为OA 上一点，OM ⊥BN 于M ，且∠ONB=45°+∠MON 。

（1）求证：BN 平分∠OBA ； （2）求BNMNOM 的值； （3）若点P 为第四象限内一动点，且∠APO =135°，问AP 与BP 是否存在某种确定的位置关系？请证明你的结论。

8．已知：PA =2，PB =4，以AB 为直角边作等腰直角三角形ABD ，且P 、D 两点在直线AB 的两侧.(1)如图，当∠APB =45°时，求AB 及PD 的长;(2)当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应∠APB 的大小.。