《等腰直角三角形中的常用模型》

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等腰直角三角形中的常用模型

一【知识精析】

1、等腰直角三角形的特征：

①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º） ②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。 2、等腰直角三角形与全等三角形：

以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。

模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点 （1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一

对全等的直角三角形：

例1．如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。

（1）求证：BE-CF=EF ；

（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立

吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

如图1，等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△PAQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。 （1）求证：M 为BE 的中点 （2）若PC=2PB ，求MB

PC 的值

(2)

(3)

(1)D D

E

E

C

E C

A

B

B

A

A

B

(2)F E

D C B A

A

B C D

E F (1)

2 / 6 （2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：

3、如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC

交AD 的延长线与于点F 。 （1）求证：BG=AF ；

（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。

变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC

，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD 于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .

变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC

的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。

变式3：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 、E 是

AC 上两点且AD=CE ，AF ⊥BD 于点G ，交BC 于点F 连接DF ，

求证：∠1=∠2。

模型二：等腰直角三角形与另一个直角三角形共斜边

等腰直角三角形与另一个直角三角形有公共斜边，一定可以以两腰为对应边构造全等三角形

例1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上一

D E

F

F

E

D

(2)

(1)

C

C

A

B

B

A

A

B

C

D

E

F

(2)

(1)

F

E

D C

B

A

G

G

B

A

C

D

E

F (2)(1)

F

E D

C

B

A

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点，过C 作CD ⊥BE 于D ，连接AD ，求证：∠ADB ＝45°。 变式1：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，E 是AC 上

一点，点D 为BE 延长线上一点，且∠ADC ＝135°求证：

BD ⊥DC 。

变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，BE 平分∠

ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D ，DM ⊥AB 交BA 的

延长线于点M ，

（1）求BC AB BM +的值；（2）求AB BC AM -的值。

模型三：两个等腰直角三角形共一个顶点

（1）两个等腰直角三角形共直角顶点，必定含一对全等三角形： 例1、如图1，△ABC 、△BEF 都是等腰直角三角形，∠ABC =

∠BEF =90º，连接AF 、CF ，M 是AF 的中点，连ME ，将△BEF 绕点B 旋转。猜想CF 与EM 的数量关系并证明；

（2）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相同，必定含一对相似三角形：

（3）两个等腰直角三角形共锐角顶点且直角开口方向相反，必定可利用平移构造含一对全等三角形：

A

B

C D

E A B C D

E

E

D

C

B

A

(1)(2)(3)

E

D

C

A

(3)

F

E

D

C B

A

(2)

F

F

(1)

A

B

C

D

E

图（1）

M

F

E

B

C

A

A D E

(2)

A

B E E

D

B A

(1)