高中数学必修五练习题
(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4B ．[)0,4C ．()0,2D ．[)0,22．已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．53．已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤4．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．275B ．245C ．5D ．65．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b=+，则m n +的最小值是（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．已知变量,x y 满足不等式组22003x y x y y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．3-B ．23-C ．1D ．27．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( ) A ．36B ．42C ．49D ．608．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） ABCD9．已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A ．5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭10．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1a <1bB ．a 2>b 2C ．21a c +>21b c + D ．a |c |>b |c |11．设,,a b c ∈R ，且a b >，则（ ） A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b >12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若0x >，0y >，若()()144x y --=则x y +的最小值为_________. 14．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则11a b a b+--的最小值为____________. 15．已知实数x ，y 满足约束条件010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪⎩，则23x y z +=的最大值__________.16．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．17．若x ，y 满足约束条件0202x y x y y -≤⎧⎪-≥⎨⎪⎩，则32z x y =+的最大值是_________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________.20．若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，则a 的取值范围是________．三、解答题21．（1）若0x >，0y >，1x y +=，求证：114x y+≥.（2）已知实数0a >，0b >，且1ab =，若不等式()a bx y m x y+⋅+>（），对任意的正实数,x y 恒成立，求实数m 的取值范围．22．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.23．已知函数2()12af x x x =-+ （1）若()0f x ≥，在R 上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立，求实数a 的取值范围. 24．已知函数2()3f x x x m =++. （1）当m =-4时，解不等式()0f x ≤； （2）若m >0，()0f x ＜的解集为(b ，a )，求14a b+的最大値. 25．已知a R ∈，若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-．(1)求a 的值；(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立，求实数b 的取值范围. 26．已知定义域在()0,∞+上的函数()f x 满足对于任意的(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+，当且仅当1x >时，()0f x <成立.（1）设(),0,x y ∈+∞，求证()()y f f y f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； （2）设()12,0,x x ∈+∞，若()()12f x f x <，试比较x 1与x 2的大小； （3）若13a -<<，解关于x 的不等式()2110f x a x a ⎡⎤-+++>⎣⎦.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】()22log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，当0a ≠时，则240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立. 2．C解析：C 【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2y x z =-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，因此，解出A 点坐标，代入目标函数，即可得到最大值. 【详解】画出满足约束条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩的目标区域，如图所示:由2z x y =+,得2y x z =-+，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大， 联立20350x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A ，所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=， 故选:：C.方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．D解析：D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得：关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解，等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解，设()1f x x x =+，则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2f f f x ≤=≤，所以实数a 的取值范围为52a ≤， 故选：D. 【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()m f x >有解⇔()min m f x >，()m f x <有解⇔()max m f x <. 4．A解析：A 【解析】正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x+=，()13492743433355555x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．5．B【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值． 【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1b a++1a b +=a b a b ab +++ =2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ． 【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．6．B解析：B 【分析】画出不等式组表示的区域，将目标函数2z x y =-转化为22x zy =-，表示斜率为12截距为2z-平行直线系，当截距最小时，z 取最大值，由图即可求解. 【详解】解：画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示：故将目标函数2z x y =-转化为22x z y =-， 表示斜率为12截距为2z -平行直线系， 所以当截距最小时，z 取最大值，由图可知，使得直线22x zy =-经过可行域且截距最小时的解为22,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时242333max z =-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了线性规划的应用，注意将目标函数化成斜截式，从而由截距的最值确定目标函数的最值.7．C解析：C 【分析】由已知可得2294(3)(8)(4)(9)37b a b aa b a b a b++=++=++，然后结合基本不等式即可求解．【详解】解：因为正数a ，b 满足2a b +=，所以22949(3)(8)(4)(9)3737249b a b a a b a b a b a b++=++=+++=， 当且仅当65a =，45b =时取等号． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．8．C解析：C 【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值． 【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点， 可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b +-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b 156-=，a 54=，上式取得最小值， 故选：C ．本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题．9．D解析：D 【分析】画出可行域，根据目标函数的截距，利用数形结合，即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下：由221z x y =--得12zy x +=-， 平移直线12zy x +=-， 由平移可知当直线12zy x +=-，经过点C 时， 直线12zy x +=-的截距最小，此时z 取得最大值， 由210x x y =⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=-⎩，即(2,1)C -，此时2214215z x y =--=+-=， 可知当直线12zy x +=-，经过点A 时， 直线12zy y x +==-的截距最大，此时z 取得最小值， 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1(3A ，2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-，故5[3z ∈-，5)故选：D ．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于中档题．10．C解析：C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项，利用不等式的性质可确定C 项是正确的，再举出反例判断D 项是错误的，从而得到答案. 【详解】当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但11a b>，a 2<b 2，排除A 、B ； 因为211c +>0，a >b ⇒2211a b c c >++，故C 是正确的；当c ＝0时，a |c |>b |c |不成立，排除D ， 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小，利用特值法排除不正确的选项，坚持做到小题小做的思想，属于简单题目.11．D解析：D 【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项，利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项，当0c ≤ 时，由a b >不能得到ac bc >，故不正确；B 选项，当0a >，0b <（如1a =，2b =-）时，由a b >不能得到11a b<，故不正确； C 选项，由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时（如2a =-，3b =-或2a =，3b =-）均不能得到22a b >，故不正确；D 选项，()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为,a b 不同时为0，所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以可由a b >知330a b ->，即33a b >，故正确.故选：D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法，属于中档题.12．D【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．【分析】先整理已知条件得则再利用基本不等式求解即可【详解】由得又得则当且仅当即时取等号故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项解析：【分析】先整理已知条件得411y x +=，则()41y x x y x y +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求解即可. 【详解】由()()144x y --=， 得40xy x y --=， 又0x >，0y >，得411y x+=， 则()455941x y x y x y y x x y +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x yy x=即3,6x y ==时取等号. 故答案为：9. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其12【分析】将所求代数式变形为1121121a ba b b b+=+----，将所求代数式与()1b b+-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得11a ba b+--的最小值.【详解】已知正实数a、b满足21a b+=，则1211112112121a b b ba b b b b b--++=+=+-----()111111122112222b bb bb b b b-⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭.当且仅当1b-=时，即当1b=时，等号成立，因此，11a ba b+--12.12.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】先作出不等式组对应的可行域再通过数形结合求出的最大值即得解【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域设它表示斜率为纵截距为的直线系要求的最大值即求的最大值当直线经过点时直线解析：9【分析】先作出不等式组对应的可行域，再通过数形结合求出2x y +的最大值即得解. 【详解】由题得不等式组对应的可行域是如图所示的阴影三角形区域，设12,22m m x y y x =+∴=-+，它表示斜率为12-，纵截距为2m的直线系， 要求23x y z +=的最大值即求m 的最大值.当直线122m y x =-+经过点(0,1)A 时，直线的纵截距2m最大，m 最大. 此时max 022m =+=， 所以23x y z +=的最大值为239=. 故答案为：9 【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数）；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数）在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案。
(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3923．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，4．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n - 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ） A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 6．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910C ．89D ．27．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（ ） A ．18B ．19C ．20D ．219．若n S 是等比数列{}n a 的前项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，且82a =，则25a a +=（ ） A ．12-B ．4-C ．4D ．1210．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．27,8⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11．在1和19之间插入个n 数，使这2n +个数成等差数列，若这n 个数中第一个为a ，第n 个为b ，当116a b+取最小值时，n 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．712．已知数列{}n a 中，11a =，又()1,1n a a +=，()21,1n b a =+，若//a b ，则4a =（ ） A ．7B ．9C ．15D ．17二、填空题13．设数列{}n a 中12a =，若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=，且10101b =，则2020a =__. 14．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则10S =______. 16．已知等差数列{}n a 中，48a =，84a =，则其通项公式n a =__________17．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．18．若数列{}n a 满足12a =，141n n a a +=+，则使得22020n a ≥成立的最小正整数n 的值是______.19．已知数列{}n a 与{}n b 满足11222n n a a a ++++=-，1(1)(1)nn n n a b a a +=--，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，若n S M ≤恒成立，则M 的最小值为_________.20．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n n n S a a =+，1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，则k 的最小值是__________．三、解答题21．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .()*22n n S a n N =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）从下面两个条件中选择一个填在横线上，并完成下面的问题.①24b =，48b =；②2b 是1b 和4b 的等比中项，872T =.若公差不为0的等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且______，求数列n n T na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A . 23．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知23S =，()*11n n a S n +=+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.24．已知正项等比数列{}n a ，首项13a =，且13213,,22a a a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}nb 满足3321log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．25．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈.26．已知数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）设2nn n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求2n n S S -的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为2132123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=, ()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n nS n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=⎪++⎝⎭， 由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭的n 的最大值为5.故选：C. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.2．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.3．C解析：C 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围． 【详解】当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=， 12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----，所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．4．D解析：D 【分析】 根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果.由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.5．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S =∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩ ∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n kk n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.6．A【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【分析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列， 由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a S a -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式可得()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =，又由5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，变形可得21775n a -=，结合等差数列的性质分析可得答案. 【详解】根据题意，等差数列{}n a 中，523S =，则()155355232a a S a+⨯===，变形可得3235a =， 又由360n S =，5183n S -=，则5432125360183177n n n n n n n n S S a a a a a a ------++-=+===+-，则21775n a -=， 又由360n S =，则()()()13223177203602210n n n a a n a a n n S n -+⨯+⨯+⨯=====，解可得18n =. 故选：A. 【点睛】本题考查利用等差数列求和公式求参数，同时也考查了等差数列基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】当公比q=1时，易推断不符合题意，故q 1≠，然后利用等比数列的前n 项和的公式和等差数列的性质得方程，再利用等比数列的性质求解. 【详解】设数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，2n a =，则36S =，612S =，918S =，此时396,,S S S 不成等差数列，不符合题意，舍去；当1q ≠时，∵396,,S S S 成等差数列，∴3692S S S +=， 即()()()3691111112?111a q a q a q qq q---+=---，即96320q q q --=，解得312q =-或31q =（舍去）或30q =（舍去）， ∴8268a a q ==，8534a a q==-，∴254a a +=，故选C. 【点睛】本题综合考查了等比数列与等差数列；在应用等比数列的前n 项和公式时，公比不能为1，故在解题过程中，应注意公比为1的这种特殊的等比数列，以防造成漏解.10．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94， 当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936，……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列， 所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥，所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题11．B解析：B 【分析】设等差数列公差为d ,可得20a b +=,再利用基本不等式求最值,从而求出答案. 【详解】设等差数列公差为d ,则119a d b d =+=-，,从而20a b +=, 此时0d >,故0,0a b >>,所以11616()()1161725b a a b a b a b ++=+++≥+=, 即116255204a b +=,当且仅当16b aa b =,即4b a =时取“=”, 又1,19a d b d =+=-,解得3d =,所以191(1)3n =++⨯,所以5n =, 故选:B . 【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.12．C解析：C 【分析】利用向量平行的坐标运算公式得出121n n a a +=+，可得出1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列，然后求解4a . 【详解】因为//a b ，所以121n n a a +=+，则()112221n n n a a a ++=+=+，即1121n n a a ++=+， 又11a =，所以112a +=，所以数列{}1n a +是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以441216a +==，得415a =. 故选：C. 【点睛】本题考查向量的平行，考查数列的通项公式求解及应用，难度一般. 一般地，若{}n a 满足()10,1,0n n a pa q p p q +=+≠≠≠，则只需构造()1n n a x p a x ++=+，其中1q x p =-，然后转化为等比数列求通项.二、填空题13．【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为：2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析：【分析】由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=，进而由累乘法可得202020192018201711a b b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列{}n b 满足1n n n a a b +=，即1n n na b a +=， 则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而数列{}n b 为等比数列，则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==，则202011a a =， 又由12a =，则20202a =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.14．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--， ∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15．【分析】先利用求出再利用时可知是首项为1公差为1的等差数列即可求出【详解】当时解得当时整理可得是首项为1公差为1的等差数列是正项数列故答案为：【点睛】本题考查等差数列的判断考查和的关系属于中档题【分析】先利用11a S =求出1S ，再利用2n ≥时1n n n a S S -=-可知{}2n S 是首项为1，公差为1的等差数列，即可求出10S . 【详解】 当1n =时，1111112S a a a ，解得11a =，11S = 当2n ≥时，11112nn n n nS S S S S ，整理可得2211n n S S --=，2n S 是首项为1，公差为1的等差数列， 2111n S n n ，{}n a 是正项数列，n S ∴=1010S .【点睛】本题考查等差数列的判断，考查n a 和n S 的关系，属于中档题.16．【解析】∵等差数列{an}中a4=8a8=4∴解得a1=11d=−1∴通项公式an=11+(n−1)×(−1)=12−n 解析：12n -【解析】∵等差数列{a n }中,a 4=8,a 8=4， ∴41813874a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得a 1=11，d =−1，∴通项公式a n =11+(n −1)×(−1)=12−n .17．32【分析】利用数列的递推公式推导出由此能求出数列的前6项和【详解】∵数列中∴解得∴数列的前6项和为：故答案为：32【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法考查递推公式递推思想等基础知识考查运算求解解析：32 【分析】利用数列的递推公式推导出11a =，由此能求出数列{}n a 的前6项和. 【详解】∵数列{}n a 中，22a =，21n n n a a a ++=+，834a =， ∴32112a a a a =+=+，43211224a a a a a =+=++=+，543162a a a a =+=+，6541103a a a a =+=+， 7651165a a a a =+=+，876126834a a a a =+=+=，解得11a =，∴数列{}n a 的前6项和为：()()()()61111112246210324832S a a a a a a =+++++++++=+=，故答案为：32. 【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法，考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.18．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关 解析：11【分析】根据递推关系式可证得数列}1，代入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】()21411n n a a +=+=，1=，)121=，∴数列}111=为首项，2为公比的等比数列， )1112n -+=⨯，)1121n -=⨯-，由22020n a ≥2020≥，即)1220211837n -≥=⨯≈，92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.故答案为：11. 【点睛】本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.19．【分析】由已知式写出为的式子相减求得检验是否相符求得用裂项相消法求得和由表达式得的范围从而得最小值【详解】∵所以时两式相减得又所以有从而显然所以的最小值为1故答案为：1【点睛】方法点睛：本题主要考查 解析：1【分析】由已知式写出n 为1n -的式子，相减求得n a ，检验1a 是否相符，求得n b ，用裂项相消法求得和n S ，由n S 表达式得M 的范围，从而得最小值． 【详解】 ∵11222n n a a a ++++=-，所以2n ≥时，12122n n a a a -+++=-，两式相减得1222n n nn a +=-=，又21222a =-=，所以*n N ∈，有2nn a =，从而11211(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，122231111111212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11121n +=--，显然1n S <，所以1M ≥，M 的最小值为1．故答案为：1． 【点睛】方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，（5）倒序相加法．20．【分析】首先利用与的关系式求数列的通项公式再利用裂项相消法求再利用的最值求的最小值【详解】当时解得或当两式相减后可得整理后得：所以数列是公差为1的等差数列即数列单调递增当时对任意的恒成立即的最小值是解析：13【分析】首先利用n S 与n a 的关系式，求数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消法求n T ，再利用n T 的最值求k 的最小值. 【详解】当1n =时，2111122S a a a =+=，解得10a =或11a =，0n a >，11a ∴=，当2n ≥，2211122n n nn n n S a a S a a ---⎧=+⎨=+⎩，两式相减后可得()()()221112n n n n n n S S a a a a ----=-+-，整理后得：()()1110n n n n a a a a --+--=，所以11n n a a --=，∴数列{}n a 是公差为1的等差数列，即n a n =，()()112111221221n n n n n n b n n n n +++==-++++++，2231111111...21222223221n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112121n n +=-+++ 111321n n +=-++， 数列{}n T 单调递增，当n →+∞时，13n T → 对任意的*n N ∈，n k T >，恒成立，()max n k T ∴>，即13k ≥,k 的最小值是13.故答案为：13【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n na a n n+=+，得到{}n b 为等比数列， （2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.22．（1）2nn a =；（2）选择①：332n n +-；选择②：332nn +-. 【分析】（1）由数列n a 与n S 的关系转化条件为()122n n a a n -=≥，结合等比数列的性质即可得解；（2）设数列{}n b 的公差为d ，若选择①，由等差数列的通项公式列方程可得12b d ==，进而可得2n T n n =+，再结合错位相减法即可得解；若选择②，由等比中项的性质结合等差数列的通项公式、前n 项和公式可得12b d ==，再结合错位相减法即可得解. 【详解】（1）当1n =时，11122a S a ==-，可得12a =；当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，即()122n n a a n -=≥， 因为120a =≠，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1222n nn a -=⋅=；（2）设数列{}n b 的公差为d ， 若选择①，由题意11438b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b d ==；所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+， 由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅， 所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯， ()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯， 两式相减得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--， 所以332n nn A +=-； 若选择②，有2214b b b =⋅，即()()21113b d b b d +=⋅+，即21b d d =，因为0d ≠，所以1b d =， 所以8187728362T b d d ⨯==+=，解得12b d ==， 所以()21222n n n T n n n -=⨯+⨯=+， 由（1）得，2nn a =，所以()2111222n n n nn T n n n n na n ++===+⨯⋅， 所以()12111112312222n n nA n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯， ()231111123122222n n n A n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯++⨯. 两式相减，得()23411111111222222n n n A n +⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-+⨯ ⎪⎝⎭()1111114213311122212n n n n n -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=+-+⨯=--， 所以332n n n A +=-. 【点睛】 关键点点睛：（1）当条件中同时出现n a 与n S ，要注意n a 与n S 关系的应用； （2）要明确错位相减法的适用条件和使用方法，细心运算. 23．（1）12n n a ；（2）证明见解析.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-消去n S ，得到{}n a 为等比数列，公式法求通项公式； （2）把12n n a 代入()()111n n n n a b a a +=++，用裂项相消法求出n T ，再证明12n T <.【详解】解：（1）∵11n n a S +=+，∴11(2)n n a S n -=+≥ ∴1n n n a a a +-=，即∴12(2)n n a a n +=≥. 又21111a S a =+=+，2123S a a =+=∴11a =，22a =，∴212a a =也满足12(2)n n a a n +=≥. ∴{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n na（2）由（1）知()()()()11112111121212121n n nn n n n n n a b a a ---+===-++++++.∴1201121111111212121212121n n n nT b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭01111121212212n n =-=-<+++. 【点睛】 (1)证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；(2)数列求和的方法：公式法、分组求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法．24．（1）3nn a =；（2）13112212n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭． 【分析】（1）由已知13213,,22a a a 成等差数列求出公比q 后可得通项公式； （2）用裂项相消法求和n S ．【详解】（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 由题意得：31212322a a a ⨯=+， 即211132a q a a q =+，即232q q =+，所以3q =或1q =-（舍），所以1333n nn a -=⋅=．（2）由（1）知233233111log log log 3log 3(2)n n n n n b a a n n ++===⋅⋅+，则11122n b n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=， 所以1111111112324112n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭13112212n n ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭【点睛】本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法： 设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．25．（1）()*1(1)2nn a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈，化简可得11212222n n n n a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）. （2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-， 综上说述：()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和 （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.26．（1）2nn a n =⋅；（2）()1122n n T n +=-⋅+；（3）12. 【分析】（1）利用累乘法可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用错位相减法可求得数列{}n a 的前n 项和n T ；（3）令2n n n c S S =-，分析数列{}n c 的单调性，由此可求得2n n S S -的最小值. 【详解】（1）数列{}n a 满足：12a =，()*112n n n a a n N n ++⎛⎫=∈⎪⎝⎭，则2140a a =>，323202a a =⨯>，，以此类推，对任意的n *∈N ，0n a >， 由已知条件可得()121n n n a a n++=， 3211212223222121n n n n a a a n a a n a a a n -⨯⨯=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=⋅-； （2）1231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式-下式得()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=-⋅--， 因此，()1122n n T n +=-⋅+；（3）21n n n b a n ==，则111123n S n =++++， 令2n n n c S S =-，则()()()()122122221n n n n n n n n n n c c S S S S S S S S +++++-=---=---()()11111102221121222122n n n n n n n =+-=-=>+++++++，则1n n c c +>， 则数列{}n c 为单调递增数列，所以，数列{}n c 的最小值为12112c S S =-=. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(简答题：较难)
基本不等式（简答题：较难）1、（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．2、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是，且1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2.（n∈N*）（1）求数列{}的通项公式（2）设四边形的面积是，求（3）在（2）条件下，求证： .3、在平面直角坐标系中，已知椭圆，如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（1）求的最小值；（2）若，求证：直线过定点.4、如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画面所用纸张面积最小？5、设函数的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数.（1）求的解析式，并证明：当时，；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．6、已知关于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（m∈R）的解集为M．（1）当M为空集时，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，求的最大值；（3）当M不为空集，且M [1，4]时，求实数m的取值范围．7、已知直线l经过点P（2，2）且分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A、B两点，O为坐标原点.(1)求面积的最小值及此时直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.8、. 问：是否存在正数m，使得对于任意正数，可使为三角形的三边构成三角形？如果存在：①试写出一组x,y,m的值，②求出所有m的值；如果不存在，请说明理由.9、若，，且|k＋b|＝|－kb|(k＞0)．（Ⅰ）用k表示数量积；（Ⅱ）求的最小值.10、已知曲线上有一点列过点在x轴上的射影是，且1＋2＋3＋…＋n＝2n+1－n－2.（n∈N*）（1）求数列{}的通项公式（2）设四边形的面积是，求（3）在（2）条件下，求证： .11、已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）对任意，恒成立，求整数的最大值.12、已知函数，.（1）求证：（）；（2）设，若时，，求实数的取值范围.13、（2011年苏州B19）某企业有员工共100名，平均每人每年创造利润10万元．为了进一步提高经济效益，该企业决定优化产业结构，调整部分员工从事第三产业．经测算，若x（20≤x≤50，x∈）名员工从事第三产业，则剩下的员工平均每人每年创造的利润可提高20%，而从事第三产业的员工平均每人每年创造利润为万元．（1）如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润，至少比原来的年总利润多150万元，求可从事第三产业员工的最少人数与最多人数；（2）如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大，求从事第三产业的员工人数．14、（2014年苏州B18）如图，在中，，，（1）求的长和的值；（2）延长到，延长到，连结，若四边形的面积为，求的最大值．15、在中，内角、、所对的边分别是、、，不等式对一切实数恒成立.(1)求的取值范围；(2)当取最大值，且的周长为9时，求面积的最大值，并指出面积取最大值时的形状.16、已知数列满足：.（1）求证：；（2）求证：.17、已知函数，（为常数）.（1）函数的图象在点处的切线与函数的图象相切，求实数的值；（2）若函数在定义域上存在单调减区间，求实数的取值范围；（3）若，，且，都有成立，求实数的取值范围.18、宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值.19、（本小题满分10分）已知正数满足：，若对任意满足条件的:恒成立，求实数的取值范围．20、（1）已知x<，求函数y＝4x－2＋的最大值；（2）已知x>0，y>0且＝1，求x＋y的最小值．21、已知实数，且，若恒成立.（1）求实数m的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数x的取值范围.22、（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知正实数满足：.（1）求的最小值;（2）设函数,对于（1）中求得的,是否存在实数,使得成立,说明理由.23、选修4—5：不等式选讲设，求证：．24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数,（1）当时，求不等式的解集;（2）若的解集包含，求的取值范围．25、给定数列(1)判断是否为有理数,证明你的结论;(2)是否存在常数.使对都成立? 若存在,找出的一个值, 并加以证明; 若不存在,说明理由.26、已知a，b是正常数，，求证：，指出等号成立的条件；（2）利用（1）的结论求函数的最小值，指出取最小值时x的值.27、已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．28、已知,证明：，并利用上述结论求的最小值(其中．29、如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．30、已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，有成立，求实数的取值范围.31、某工厂建一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800m3,深度为3m。
(完整版)高中数学必修五综合测试题 含答案
.绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I 卷（选择题）一、单选题1．数列的一个通项公式是（ ）0,23,45,67⋯A ．B ． a n =n -1n +1（n ∈N *)a n =n -12n +1（n ∈N *)C ．D ．a n =2（n -1）2n -1（n ∈N *)a n =2n2n +1（n ∈N *)2．不等式的解集是（ ）x -12-x ≥0A ．B ．C ．D ． [1,2](-∞,1]∪[2,+∞)[1,2)(-∞,1]∪(2,+∞)3．若变量满足 ，则的最小值是（ ）x,y {x +y ≥0x -y +1≥00≤x ≤1x -3y A ．B ．C ．D ． 4-5-314．在实数等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( )A ． 8B ． －8C ． ±8D ． 以上都不对5．己知数列为正项等比数列，且，则（ ）{a n }a 1a 3+2a 3a 5+a 5a 7=4a 2+a 6=A ． 1B ． 2C ． 3D ． 46．数列前项的和为（ ）11111,2,3,4,24816n A ． B ． C ．D ．2122nn n ++21122n n n +-++2122n n n +-+21122n n n +--+7．若的三边长成公差为的 等差数列，最大角的正弦值为ΔABC a,b,c 232的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．1541534213435348．在△ABC 中，已知,则B 等于( )a =2,b =2,A =450A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ． 60°或120°9．下列命题中正确的是( )A ． a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ． a ＞b ⇒a 2＞b 2C ． a ＞b ⇒a 3＞b 3D ． a 2＞b 2⇒a ＞b.10．满足条件，的的个数是 ( )a =4,b =32,A =45∘A ． 1个B ． 2个C ． 无数个D ． 不存在11．已知函数满足：则应满足（ ）f(x)=ax 2-c -4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5.f(3)A ．B ．C ．D ．-7≤f(3)≤26-4≤f(3)≤15-1≤f(3)≤20-283≤f(3)≤35312．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（ ）a 1,a 2,a 5a2A ． -2B ． -3C ． 2D ． 313．等差数列的前10项和，则等于（）{a n }S 10=15a 4+a 7A ． 3B ． 6C ． 9D ． 1014．等差数列的前项和分别为，若，则的值为（ ）{a n },{b n }n S n ,T nS nT n=2n3n +1a 3b 3A ．B ．C ．D ． 3547581219第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知为等差数列，且－2＝－1,＝0,则公差={a n }a 7a 4a3d 16．在中，，，面积为，则边长=_________.△ABC A =60∘b =13c 17．已知中，，， ，则面积为_________.ΔABC c =3a =1acosB =bcosA ΔABC 18．若数列的前n 项和，则的通项公式____________{a n }S n =23a n +13{a n }19．直线下方的平面区域用不等式表示为________________．x -4y +9=020．函数的最小值是 _____________．y =x +4x -1(x >1)21．已知，且，则的最小值是______．x ，y ∈R +4x +y =11x +1y三、解答题22．解一元二次不等式（1） （2）-x 2-2x +3>0x 2-3x +5>0.（1）求边上的中线的长；BC AD （2）求△的面积。
高中数学必修五测试题 高二文科数学(必修五)
2014—2015学年度第一学期期中考试高二文科数学试题（A ）（必修五）一、选择题（每题5分，共10小题）1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） A ．a+c ＞b+dB ．a-c ＞b-dC ．ac ＞bdD ．a d ＞b c211两数的等比中项是（ ） A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）A ．103B ．11088C ．11038D ．1085．若△ABC 的周长等于20，面积是BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） A ．1516B ．158C ．34 D ．387．在△ABC 中，角A ，B 均为锐角，且cosA ＞sinB ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1569．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n-B ．211n+C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 10．已知不等式（x + y ）（1x + ay）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题（每题5分，共5小题） 11．数列{a n }的通项公式a n =1n n ++,则103-是此数列的第 项．12． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________．13． 已知点（x,y ）满足x 0y 0x y 1≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩,则u=y-x 的取值范围是_______．14．如图，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC 的长为______． 15．在△ABC 中，给出下列结论：①若a 2>b 2+c 2,则△ABC 为钝角三角形; ②若a 2=b 2+c 2+bc,则角A 为60°; ③若a 2+b 2>c 2,则△ABC 为锐角三角形； ④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3． 其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知不等式ax 2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}． （1）求a,b ．（2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝3a cos B．（1）求角B的大小；（2）若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n-2n．（1）求a3，a4; （2）证明：{a n+1-2a n}是等比数列；（3）求{a n}的通项公式．19．（12分）设函数()cosfθθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且0≤θ≤π．（1）若点P的坐标为12⎛⎝⎭，求f（θ）的值;（2）若点P（x,y）为平面区域Ω:1,1,1x yxy+≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．20．（13分）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的 利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ （2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（1）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值； （2）设122111n n n nT S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ．参考答案1．设a 、b 、c 、d∈R,且a ＞b,c ＞d,则下列结论正确的是（ ） （A ）a+c ＞b+d （B ）a-c ＞b-d （C ）ac ＞bd （D ）a d ＞b c1．【解析】选A ．由不等式的可加性可知a+c ＞b+d, 而当a=2,b=1,c=-2,d=-3时，B 不一定成立， C ，D 中a 、b 、c 、d 符号不定，不一定成立． 2．11两数的等比中项是（ ）A ．2B ．-2C ．±2D ．以上均不是2．【解析】设等比中项为x ，则x 2=1）1）=4．所以x=±2．故应选C ．答案:C3．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是（ ） （A ）90° （B ）120° （C ）135° （D ）150°3．【解析】选B ．设三边长为5x,7x,8x ，最大的角为C ，最小的角为A ．由余弦定理得：()()()2225x 8x 7x 1cosB ,25x 8x2+-==⨯⨯所以B=60°,所以A+C=180°-60°=120°．4．数列{a n }中，2n a 2n 29n 3=-++，则此数列最大项的值是（ ）（A ）103 （B ）11088 （C ）11038（D ）108 4．【解析】选D ．根据题意结合二次函数的性质可得：22n 229a 2n 29n 32(n n)322929292(n )3.48=-++=--+⨯=--++∴n=7时，a n =108为最大值．5．若△ABC 的周长等于20，面积是103,A=60°,则BC 边的长是 （ ） A ．5B ．6C ．7D ．85．解析：由1sin 2ABC S bc A ∆=得1103sin 602bc =︒，则bc=40．又a+b+c=20,所以b+c=20-a ．由余弦定理得()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-, 所以()2220120a a =--,解得a=7．答案：C6．在数列{a n }中，a 1=1,a n a n-1=a n-1+（-1）n（n≥2,n∈N *）,则35a a 的值是（ ） （A ）1516 （B ）158 （C ）34 （D ）386．【解析】选C ．当n=2时，a 2·a 1=a 1+（-1）2，∴a 2=2； 当n=3时，a 3a 2=a 2+（-1）3，∴a 3=12； 当n=4时，a 4a 3=a 3+（-1）4，∴a 4=3；当n=5时，()5354455a 23a a a 1a .3a 4=+-∴=∴=，， 7．在△ABC 中，角,A B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 7．解析：cos sin()sin ,,22A AB A B ππ=->-都是锐角，则,,222A B A B C πππ->+<>，选C ．答案：C8．在等差数列{a n }中，2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=24,则此数列的前13项之和等于（ ） （A ）13 （B ）26 （C ）52 （D ）1568．【解析】选B ．∵2（a 1+a 4+a 7）+3（a 9+a 11）=6a 4+6a 10=24,∴a 4+a 10=4．()()1134101313a a 13a a S 26.22++∴===9．数列222222235721,,,,122334(1)n n n +⋅⋅⋅⨯⨯⨯+的前n 项的和是 （ ）A ． 211n -B ． 211n +C ． 211(1)n ++D ． 211(1)n -+9．解析：因为22222111,(1)(1)n n a n n n n +==-++所以数列的前n项和2222222221111111111.1223(1)1(1)(1)n S n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=-+++ 答案：D10．已知不等式（x + y ）（1x + ay ）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．解析：不等式（x +y ）（1ax y+）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1y axa x y+++≥1a +≥24（舍去），所以正实数a 的最小值为4，选B ． 答案：B11．数列{a n }的通项公式a n是此数列的第 项．解析：因为a n ，所以n=9． 答案:91 4，则sin B＝________12．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝．12．15 4[解析] 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋4－2×1×2×14＝4，解得c＝2，所以b＝c，B＝C，所以sin B＝sin C＝1－cos2C＝154．13．已知点（x,y）满足x0y0x+y1≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩,则u=y-x的取值范围是_______．13．【解析】作出可行域如图,作出y-x=0,由A（1,0）,B （0,1）,故过B时u最大，u max=1,过A点时u最小，u min=-1．答案：[-1,1]14．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为______．14．【解析】在△ABD中，设BD＝x，则BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，即142＝x2＋102－2·10x·cos60°，整理得x2－10x－96＝0，解之得x1＝16，x2＝－6（舍去）．由正弦定理得BC BDsin CDB sin BCD ∠∠＝,∴BC＝16sin135︒·sin30°＝．答案：15．在△ABC中，给出下列结论：①若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;②若a2=b2+c2+bc,则角A为60°;③若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3．其中正确结论的序号为．解析：在①中，cos A=2222b c abc+-<0,所以A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①正确;在②中，b2+c2-a2=-bc,所以cos A=2222b c abc+-=-2bcbc=-12,所以A=120°,故②不正确；在③中，cos C=2222a b cab+->0,故C为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故③不正确;在④中A∶B∶C=1∶2∶3，故A=30°,B=60°,C=90°,所以确．答案:①16．已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}．（1）求a,b．（2）解不等式ax2-（ac+b）x+bc<0．【解】（1）因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b>1．由根与系数的关系得31,21,b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ （2）解不等式ax 2-（ac+b ）x+bc<0,即x 2-（2+c ）x+2c<0,即（x-2）（x-c ）<0,所以①当c>2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|2<x<c};②当c<2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为{x|c<x<2};③当c=2时，不等式（x-2）（x-c ）<0的解集为∅．17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B ．（1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．17．解：（1）由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得 sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3． （2）由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C，得c ＝2a ． 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，将c ＝2a 代入得， a ＝3，c ＝23．18．（12分）设数列{a n }的前n 项和为S n =2a n -2n．（1）求a 3,a 4;（2）证明：{a n+1-2a n }是等比数列；（3）求{a n }的通项公式．（1）解:因为a 1=S 1,2a 1=S 1+2,所以a 1=2,S 1=2,由2a n =S n +2n 知：2a n+1=S n+1+2n+1=a n+1+S n +2n+1,得a n+1=S n+2n+1, ①所以a 2=S 1+22=2+22=6，S 2=8，a 3=S 2+23=8+23=16,S 3=24,a 4=S 3+24=40．（2）证明:由题设和①式得：a n+1-2a n =（S n +2n+1）-（S n +2n ）=2n+1-2n =2n ,所以{a n+1-2a n }是首项为a 2-2a 1=2,公比为2的等比数列．（3）解:a n =（a n -2a n-1）+2（a n-1-2a n-2）+…+2n-2（a 2-2a 1）+2n-1a 1=（n+1）·2n-1．19． （12分）设函数()3sin cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x,y ），且0≤θ≤π．（1）若点P 的坐标为13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求f （θ）的值;（2）若点P （x,y ）为平面区域Ω: 1,1,1x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f （θ）的最小值和最大值．解：（1）由点P 的坐标和三角函数的定义可得3sin ,21cos ,2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以31()3sin cos 3 2.2f θθθ=+=⨯+= （2）作出平面区域（即三角形区域ABC ）如图，其中A （1,0）,B （1,1）,C （0,1），则0≤θ≤2π．又()cos 2sin .6f πθθθθ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭． 故当62ππθ+=,即3πθ=时, max ()2f θ=; 当66ππθ+=,即θ=0时, min ()1f θ=．20．某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15-0．1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价-供货价格，问：（1）每套丛书定价为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？（2）每套丛书定价为多少元时，单套丛书的利润最大？20． 【解析】（1）每套丛书定价为100元时，销售量为15-0．1×100=5（万套），此时每套供货价格为30+105=32（元），故书商所获得的总利润为5×（100-32） =340（万元）． （2）每套丛书售价定为x 元时，由150.1x 0x 0-⎧⎨⎩＞＞，得0＜x ＜150． 依题意，单套丛书利润 P=x-（30+10150.1x -）=x-100150x--30, ∴P=-[（150-x ）+100150x -]+120, ∵0＜x ＜150,∴150-x ＞0,由（150-x ）+100150x-≥)150x -=2×10=20, 当且仅当150-x ＝100150x-，即x=140时等号成立，此时P max =-20+120=100．答：（1）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（2）每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润取得最大值100元．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数1247,,,,a a a a ⋅⋅⋅构成等差数列{}n b ,n S 是{}n b 的前n 项和，且1151,15b a S ===（ I ）若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知916a =，求50a 的值；（Ⅱ）设122111n n n n T S S S ++=++⋅⋅⋅+，求n T ． 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）{}n b 为等差数列，设公差为155,1,15,51015,1d b S S d d ==∴=+== 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= …………………………………………………………………………2分 设从第3行起，每行的公比都是q ，且0q >，2294,416,2,a b q q q ===……………………4分 1+2+3+…+9=45，故50a 是数阵中第10行第5个数，而445010102160.a b q ==⨯=……………………………………………………………………7分 （Ⅱ）12n S =++…(1),2n n n ++=…………………………………………………………8分 1211n n n T S S ++∴=++…21n S + 22(1)(2)(2)(3)n n n n =++++++…22(21)n n ++ 11112(1223n n n n =-+-+++++…11)221n n +-+ 1122().121(1)(21)n n n n n =-=++++友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
人教版高中数学必修五综合测试题
人教版高中数学必修五综合测试题一、选择题1．不等式x 2≤3x 的解集是：2．不等式的解集是：3. 设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。
4. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .5. 在约束条件0024x y y x sy x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围（）A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]6.已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。
若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。
7.在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（） A.2228.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是（）A.80B. 85C. 90D.959．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( )A ．M >NB ．M ≥NC ．M <ND ．M ≤N10．若关于x 的函数y ＝2x ＋m 2x在(0，＋∞)的值恒大于4，则( )11．已知定义域在实数集R 上的函数y ＝f (x )不恒为零，同时满足f (x ·y )＝f (x )+f (y )，且当x >1时，f (x )>0，那么当x <1时，一定有( )A ．f (x )<－1B ．0<f (x )<1C ．f (x )>-1D ．-1<f (x )<012．不等式log 12(x 2－2x －15)>log 12(x ＋13)的解集是_________．。
高中数学人教版必修5课时练习：第三章 不等式3-2 一元二次不等式及其解法
∴M∩N＝{x|0≤x≤2}，故选 D．
3．若{x|2<x<3}为 x2＋ax＋b<0 的解集，则 bx2＋ax＋1>0 的解集为( )
A．{x|x<2 或 x>3}
B．{x|2<x<3}
C．{x|31<x<12}
D．{x|x<31或 x>21}
[答案] D
[解析] 由 x2＋ax＋b<0 的解集为{x|2<x<3}，知方程 x2＋ax＋b＝0 的根分别为 x1＝2，x2 ＝3.
则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________．
[答案] {x|x＜－2 或 x＞3}
[解析] 由表知 x＝－2 时 y＝0，x＝3 时，y＝0. ∴二次函数 y＝ax2＋bx＋c 可化为 y＝a(x＋2)(x－3)，又当 x＝1 时，y＝－6，∴a＝1. ∴不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集为{x|x<－2 或 x>3}． 三、解答题
<x<1}，选 D．
2．设集合 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{x|x2－2x－3<0}，则 M∩N 等于( )
A．{x|0≤x<1}
B．{x|0≤x≤2}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0≤x≤2}
[答案] D
[解析] ∵N＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，M＝{x|0≤x≤2}，
C．{x|x＜1t 或 x＞t}
D．{x|t＜x＜1t }
[答案] D
[解析] 化为(x－t)(x－1t )＜0，
∵0＜t＜1，∴1t ＞1＞t，∴t＜x＜1t .
6．已知不等式 x2＋ax＋4＜0 的解集为空集，则 a 的取值范围是( )
高中数学必修五基本不等式练习题
（1）求y关于x的表达式；（2）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？
基本不等式练习题
一、单项选择
1.已知 ，函数 的最小值是（）
A．4 B．5 C．6 D．8
3.在下列函数中，最小值为2的是（）
A B
C D
4.已知 ，则 的最小值是（）
A．15B．6C．60D．1
5.已知 且 ，则 （）
A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4
6.若 ，且 ，则下列不等式中恒成立的是（）
A．a+bB．2 C．a2+b2D．2ab
12.知 ，且 成等比数列，则 有( )
A、最小值 B、最小值 C、最大值 D、最大值
13. 的最大值为（）
A．9 B． C． D．
14. ，则 取最小值时 的值为（）
A． B． C． D．
15.知 ，且 ，则下列不等式中不正确的是（）
A． B． C． D．
22. 是在直线 上移动，则 的最小值为
24.知 ，则 的最小值是__________．
25. 的最大值是_________.
26.＞ ，则 的最大值是___________.
27.实数 满足 ,则 的取值范围是________
28.知 都是正实数，函数 的图像过点（0,1），则 的最小值是.
29.实数 满足 且 ，恒成立，则 的取值范围是____________．
30.若 、 为正整数，且满足 ，则 的最小值为_________；
人教A版高中数学必修五必修五 综合测试题 (第三套).docx
必修五 综合测试题 (第三套)一．选择题:1. 已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )A . 15B . 30 C. 31 D. 642. 若全集U=R,集合M ＝{}24x x >，S ＝301x xx ⎧-⎫>⎨⎬+⎩⎭，则()U M S I ð=( ) A.{2}x x <- B. {23}x x x <-≥或 C. {3}x x ≥ D. {23}x x -≤<3. 若1＋2＋22＋ (2)>128，n ÎN*，则n 的最小值为( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 在ABC V 中，60B =o ，2b ac =，则ABC V 一定是( )A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、锐角三角形D 、钝角三角形 5. 若不等式022>++bx ax的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 值是( )A.－10B.－14C. 10D. 14 6. 在等比数列{a n }中，4S =1，8S =3，则20191817a a a a +++的值是( )A ．14B ．16C ．18D ．207．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．22 D ．238. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是( ) A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9. 已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，目标函数是y x z +=2，则有( )A ．3,12min max ==z zB ．,12max=z z 无最小值C ．z z ,3min=无最大值 D ．z 既无最大值，也无最小值10．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<< B ．02a << C ．1322a -<< D ．3122a -<< 二填空题： 11. 在数列{}n a 中，11a =，且对于任意正整数n ，都有1n n a a n +=+，则100a ＝______第1个 第2个 第3个12．在⊿ABC 中，5:4:21sin :sin :sin=C B A ，则角A =13．某校要建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元，那么水池的最低总造价为 元。
高中数学必修五同步练习题库：基本不等式(选择题：较难)
基本不等式（选择题：较难）1、若正数满足，且的最小值为18，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．92、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点(异于点)，则的最大值为A． B． C． D．3、若函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．4、若，，，则的最小值是A． B． C． D．5、如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（）A．2 B． C． D．6、若，，，则的最小值是A． B． C． D．7、已知实数满足，则的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48、如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（）A． B． C． D．9、已知，则的最小值为（）A． B． C． D．10、已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A．3 B．4 C． D．11、半圆的直径AB＝4, O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是（）A．2 B．0 C． D．12、抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最大值为（）A．1 B． C．2 D．13、抛物线的焦点为F，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（）A． B． C． D．14、已知，且满足，那么的最小值为（）A．3﹣ B．3+2 C．3+ D．415、曲线（）在点处的切线的斜率为2，则的最小值是（）A．10 B．9 C．8 D．16、函数的值域为（）A． B． C． D．17、，动直线过定点A，动直线过定点，若与交于点 (异于点)，则的最大值为A． B． C． D．18、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．19、已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．20、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．21、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．22、设且，则的最小值是A． B． C． D．23、已知，则的最小值是A．6 B．5 C． D．24、设正实数满足.则当取得最大值时，的最大值为() A．0 B． C．1 D．325、已知函数，若，，使得，则实数的取值范围是()A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，2] D．[2，＋∞)26、已知等差数列的等差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（）A． B． C． D．27、已知偶函数是定义在上的可导函数，其导函数为.当时，恒成立.设，记，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．28、已知函数，则不等式成立的概率是（）A． B． C． D．29、在中,角所对的边分别为，若，则当角取得最大值时，的周长为（）A． B． C． D．30、锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．（6，7]31、若，，，则的最小值为（）A． B． C． D．32、在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是抛物线上位于第一象限内的任意一点，是线段上的点，且满足，则直线的斜率的最大值为（）A． B． C． D．33、已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．34、正项等比数列｛a n｝中，存在两项a m，a n（m，n）使得a m a n=16a12，且a7=a6+2a5，则+的最小值为（）A．5 B．6 C．7 D．835、已知圆的半径为1，为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（）A．2 B．1 C． D．36、长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是( )A． B． C．8 D．37、若直线过点，则的最小值等于（）A．6 B．3 C．7 D．438、若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（）A． B． C． D．39、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A． B． C． D．40、若正数满足则的最小值是（）A． B． C． D．41、已知函数，对任意的，恒成立，则的最小值为（）A．3 B．2 C．1 D．042、已知为双曲线上不同三点，且满足（为坐标原点），直线的斜率记为，则的最小值为（）A．8 B．4 C．2 D．143、中，为的中点，点在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为（）A． B． C．6 D．844、圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（）A．1 B．3 C．4 D．545、在中，角，，的对边分别为，，，且，则角的最大值为（）A． B． C． D．46、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．47、抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（）A． B． C． D．48、设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为（）A． B． C． D．49、定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如：，，，依此类推，可得：，其中，设，，则的最小值为（）A． B． C． D．50、已知函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（）A．3 B．C．4 D．851、若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．52、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．53、已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为（）A．1 B． C．2 D．54、设均为正实数，且，则的最小值为（）A．4 B． C．9 D．1655、已知是内的一点，且，若的面积分别为，则的最小值为（）A． B． C． D．56、已知直线ax+by=1（其中a，b为非零实数），与圆x+y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB为直角三角形，则+的最小值为（）A．4 B．2 C．5 D．857、设，则的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58、设，对于使成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做的上确界．若，且，则的上确界为（）A． B． C． D．59、已知x＞0，由不等式x+≥2=2，x+=≥3=3，…，可以推出结论：x+≥n+1（n∈N*），则a=（）.A．2n B．3n C．n2 D．n n60、已知关于的不等式的解集是，且，则的最小值是（）A． B．2 C． D．161、下列推理正确的是()A．如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B．因为a>b，a>c，所以a－b>a－cC．若a>0，b>0，则＋≥D．若a>0，b<0，则62、对任意正数x，y不等式恒成立，则实数的最小值是 ()A．1 B．2 C．3 D．463、已知,且,成等比数列,则xy( )A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值64、对于函数y=f(x)(x∈I),y=g(x)(x∈I),若对任意x∈I,存在x0使得f(x)≥f(x0),g(x)≥g(x0)且f(x0)=g(x0),则称f(x),g(x)为“兄弟函数”,已知f(x)=x2+px+q,g(x)=是定义在区间上的“兄弟函数”,那么函数f(x)在区间上的最大值为()A． B．2 C．4 D．65、已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为()A．5 B．7 C．8 D．966、设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数的最大值为40，则的最小值为（）A． B． C．1 D．467、定义域为的函数的图象的两个端点为,是图象上任意一点，其中，向量，若不等式恒成立，则称函数在上“阶线性近似”. 若函数上“阶线性近似”，则实数的取值范围为( ) A． B． C． D．68、不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是( )A．(－2,0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－4,2) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)69、已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC外接的球表面积等于()．A．8π B．16π C．48π D．不确定的实数70、在直角坐标系中，定义两点之间的“直角距离”为，现给出四个命题：①已知，则为定值；②用表示两点间的“直线距离”，那么；③已知为直线上任一点，为坐标原点，则的最小值为；④已知三点不共线，则必有.A．②③ B．①④ C．①② D．①②④参考答案1、B2、B3、D4、B5、C6、B7、B8、B9、C10、B11、D12、D13、D14、B15、B16、C17、B18、D19、B20、B21、D22、A23、C24、C25、A26、B27、B28、B29、C30、C31、A32、D33、D34、B35、B36、B37、A38、C39、B40、D41、A42、B43、D44、A45、A46、D47、D48、C49、D50、D51、B52、D53、D54、D55、B56、A57、C58、D59、D.60、A61、D62、A63、C64、B65、B66、B67、C68、C69、B70、C【解析】1、由题意，应用基本不等式可得令则方程，所以是方程的根，所以选B.点睛：（1）应用基本不等式构造关于的不等式.(2)换元法将不等式转化为一元二次不等式.(3)结合二次函数图像知是一元二次方程的根.2、由题意可得：A（1，0），B（2，3），且两直线斜率之积等于﹣1，∴直线x+my﹣1=0和直线mx﹣y﹣2m+3=0垂直，则|PA|2+|PB|2=|AB|2=10≥．即.故选B.点睛：含参的动直线一般都隐含着过定点的条件，动直线，动直线l2分别过A（1，0），B（2，3），同时两条动直线保持垂直，从而易得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10，然后借助重要不等式，得到结果.3、函数的定义域为，，由已知有，所以对于恒成立，恒成立，所以，而，当且仅当时等号成立，所以，选D.点睛：本题主要考查用导数研究函数的单调性，基本不等式等，属于中档题。
(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知正数x ，y 满足1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53B ．2C ．73D ．62．设实数x ，y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是（ ）A ．2B ．-2C ．1D ．-13．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1BC ．2D．4．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．2D5．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．107．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B．⎤⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D．([)2,⋃+∞8．已知函数()32f x x ax bx c =+++，且()()()01233f f f <-=-=-≤，则( )A ．c 3≤B ．3c 6<≤C ．6c 9<≤D ．c 9>9．设x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，则1z x y =-+的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．在ABC 中，BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=，4AB AC +=，则AD 长度的最大值为（ ） AB ．2C ．3D．11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <5712．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．若正实数x 、y 、z ，满足3z x y +=，4z y x +=，则x y x y z++-的最小值为_______.14．已知x ，y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则11x z y -=+，则z 的最大值为________.15．若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ，则+a b 的值是__________．16．若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立，则实数m 的最小值为________ 17．在下列函数中， ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18．若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19．若实数x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最小值为__________．20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足570a a ，1122S =，则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21．2020年受疫情影响，全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产，2月11日晚，郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知，并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场，计划生产某种热销产品，经调查，该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动，该产品的年销售量为28万件，若举行促销活动，年销售量y (单位；万件)与年促销费用()0x x ≥(单位；万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元，每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本，不包括促销成本). （1）求k 的值，并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ （2）该工厂计划投入促销费用多少万元，才能获得最大利润?22．已知m R ∈，命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得m ax ≤成立．（1）若p 为真命题，求m 的取值范围；（2）当1a =时，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围． 23．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()2f x g x x x +=+-. （1）求()f x 和()g x 的解析式；（2）设2()33h x mx mx =+-（其中m R ∈），解不等式()()h x g x <.24．已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩，其中 0a >． （1）若()()01ff =，求a 的值．（2）若函数()f x 的图象在x 轴的上方，求a 的取值范围． 25．已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈，且()10f -=，对任意实数x ，()0f x ≥成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0c ≥，解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26．某单位计划建造一间背面靠墙的小屋，其地面面积为12m 2，墙面的高度为3m ，经测算，屋顶的造价为5800元，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，设房屋正面地面长方形的边长为x m ，房屋背面和地面的费用不计. （1）用含x 的表达式表示出房屋的总造价； （2）当x 为多少时，总造价最低？最低造价是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+，再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选：B 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.2．C解析：C 【分析】先作出约束条件对应的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示：移动直线x y z +=，可知当其过点A 时取得最小值， 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩，求得10x y =⎧⎨=⎩，即(1,0)A ，代入求得101=+=z ，所以x y +的最小值是1， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解题方法如下： （1）根据题中所给的约束条件画出可行域； （2）根据目标函数的意义找到最优解； （3）解方程组求得最优解的坐标； （4）代入求得最小值，得到结果.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=， 即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．C解析：C 【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y +=的距离为22d ==，所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+（或y kx b ≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5．C解析：C【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【详解】由实数x，y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝32x﹣2z，由24yx y=⎧⎨-=⎩，解得B（2，0）当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；故选C．【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6．B解析：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得y x z =-+，当取到点(3,1)A 时得到最小值，即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法7．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ，的值，代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-，()013f <-≤所以0c 63-≤＜，解得6c 9≤＜， 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质，运用待定系数法求出参量的值，然后结合题意求出取值范围，较为基础．9．C解析：C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入求解，即可得到答案. 【详解】作出x ，y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩，所对应的可行域，如图所示，目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-，当直线1y x z =+-过点A 时， 此时直线在y 轴上的截距最大值，此时目标函数取得最小值，又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(2,2)A ， 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选：C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．10．A解析：A 【分析】根据题意，设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系，进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。
(必考题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________． 三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ， 将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅， 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-． 【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =， 所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =． 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-． 即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =． （2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-． 所以332n nn T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。
高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(填空题：一般)
一元二次不等式及其解法（填空题：一般）1、设的解集为，则实数的取值范围是______.2、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.3、已知关于的不等式的解集为，则等于．4、设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是 .5、不等式组的解集是 .6、若关于的不等式的解集，则的值为_________．7、已知关于的方程有两根，且，求实数的取值范围__________．8、在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则__________9、关于x的方程x2－2tx＋t－1＝0的两个根中的一个根在(－2,0)内，另一根在(1,2)内，则实数t的取值范围是________.10、不等式的解集为________.11、设关于的不等式的解集为，已知，则实数的取值范围是________.12、已知，，若，则的值是___________13、下列命题正确命题的序号是：___________.①三角形中，若,则；②的解集是；③是数列的前项和，若，则；④是数列的前项和，若,则数列是等比数列.14、不等式的解集为__________．15、若不等式对一切恒成立，则的取值范围是_______.16、若关于的不等式的解集为，则的值为__________．17、不等式的解集为________.18、若不等式的解集为｛x|2<x<3｝，则不等式的解集为________。
19、若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．20、关于的不等式的解集是，则的取值范围是__________.21、已知不等式的解是，则=________，=________。
22、关于的不等式的解集，则的值为_________.23、已知函数（）的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为__________．24、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.25、若关于的不等式的解集为，则的取值范围为__________．26、已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集为___________.27、在中，三内角所对的边分别是，若依次成等比，则的取值范围是________.28、已知关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则有( )A．B．C．D．29、若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为(0,1)，则实数a的取值范围是_________。
高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题含答案
高中数学必修五第三章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<03．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．PMC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0)C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0)D ．(－4,0]10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C．4 D.1 211．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－312．设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( )A．8 B．4C．1 D.1 4二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．14．函数y＝13－2x－x2的定义域是________．15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm，左右空白各1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝144v(v>0)．v2－58v＋1 225(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)和g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f(0)＝10，g(0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？高中数学必修五第三章单元测试题《不等式》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③答案 B2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0 答案 C解析 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，故选C.3．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅答案 C4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵x －1x －4<0⇔(x －1)(x －4)<0，∴1<x <4，即B ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝(3,4)，故选B.5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0) C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x 答案 D解析 y ＝x 2＋2x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；y ＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1>2(x >0)；y ＝sin x ＋csc x ＝sin x ＋1sin x>2(0<sin x <1)；y ＝7x ＋7－x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)答案 B7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]答案 C解析 画可行域如图：当直线y ＝x －z 过A 点时，z min ＝－1. 当直线y ＝x －z 过B 点时，z max ＝2. ∴z ∈[－1,2]．8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )答案 C9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0) D ．(－4,0]答案 D10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C ．4D.12答案 D 11．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3答案 D 12．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1D.14 答案 B解析 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．答案 (23，＋∞) 14．函数y ＝13－2x －x2的定义域是________． 答案 {x |－3<x <1}15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm ，左右空白各1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.答案 56解析 设阴影部分的高为x dm ，宽为72xdm ，则四周空白部分面积是y dm 2，由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x )≥8＋2×2x ×144x ＝56.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 由题意得当x >0时，恒有m <x ＋4x 成立．设f (x )＝x ＋4x，x >0，则有f (x )＝x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x ，x >0的最小值是4.所以实数m 的取值范围是(－∞，4)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．答案 (1)(2，＋∞) (2)[1,2]18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 答案 16解析 由于x >0，y >0，1x ＋9y＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9x y＋10 ≥2y x ·9x y ＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y 时，等号成立，又由于1x ＋9y＝1. 所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1－a ＝b ＋c ≥2bc >0，1－b ＝a ＋c ≥2ac >0，1－c ＝a ＋b ≥2ab >0.∴(1－a )(1－b )(1－c )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .∴原不等式成立．20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？解析 设A 厂工作x 小时，B 厂工作y 小时，总工作时数为t 小时，则目标函数t ＝x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥20，x ≥0，y ≥0.可行域如图所示，而符合题意的解为此内的整点，于是问题变为要在此可行域内，找出整点(x ，y )，使t ＝x ＋y 的值最小．由图知当直线l ：y ＝－x ＋t 过Q 点时，纵截距t 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝20，得Q (4,12)．答：A 厂工作4小时，B 厂工作12小时，可使所费的总工时最少．21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝144v v 2－58v ＋1 225(v >0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？思路分析 (1)利用基本不等式求最大车流量，(2)转化为解不等式．解析 (1)依题意，有y ＝144v ＋1 225v－58≤1442 1 225－58＝12， 当且仅当v ＝1 225v，即v ＝35时等号成立， ∴y max ＝12，即当汽车的平均速度v 为35千米/时，车流量最大为12.(2)由题意，得y ＝144v v 2－58v ＋1225>9. ∵v 2－58v ＋1225＝(v －29)2＋384>0，∴144v >9(v 2－58v ＋1225)．∴v 2－74v ＋1225<0.解得25<v <49.即汽车的平均速度应在(25,49)内．22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x )和g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f (0)＝10，g (0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解析 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥f x ＝14x ＋10， ①x ≥g y ＝y ＋20， ②成立，双方均无失败的风险．由①②得y ≥14(y ＋20)＋10⇒4y －y －60≥0， ∴(y －4)(4y ＋15)≥0.∵4y ＋15>0，∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y ＋20≥4＋20＝24.∴x min ＝24，y min ＝16.即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．。
高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(填空题：较易)
一元二次不等式及其解法（填空题：较易）1、已知关于x的不等式x2－（4a+2）x+3a2+2a≤0（a＞－1）的解集中恰好含有3个整数解，则a的取值范围是．2、不等式的解集是_________．3、已知关于的不等式的解集为（2，），则的解集为．4、函数的定义域为___________.5、若关于x的不等式x2+ax-2＜0的解集{x|-2＜x＜1}，则a =_____．6、已知函数，则不等式的解集是__________．7、已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是.8、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________。
9、若函数的两个零点是－2和3，则不等式的解集是________．10、已知不等式的解集为，则_______．11、不等式的解集是_______________12、若不等式的解集为，则不等式的解集为__________．13、若方程的两根分别为和1，则不等式的解集为__________．14、若关于x的不等式ax2﹣6x+a2＜0的解集是（1，m），则m= ．15、不等式的解集为________16、不等式的解集为_____17、不等式的解为_____________18、不等式的解集是_____________.19、如果关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是___.20、集合，，则___________．21、不等式的解集是______．22、不等式的解集是___________.23、已知不等式组的解集是不等式的解集的子集，则实数的取值范围是．24、不等式的解集是 .25、若关于的不等式解集不是空集，则实数的取值范围是________．26、设关于的一元二次不等式的解集为，则．27、二次不等式的解集是全体实数，则的取值范围是 .28、已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 .29、若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是．30、不等式的解集是 .31、若对任意实数恒成立，求x的取值范围_________32、不等式＜a的解集是{x|a＜x＜0}，则a＝____．33、若不等式的解集为，则__________ .34、已知不等式的解集为,则不等式的解集为 .35、对任意不等式恒成立, 则实数的取值范围是．36、不等式的解集为______.37、不等式ax2+4x+a＞1﹣2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．38、（1）的解集是；（2）的解集是 .39、关于的不等式的解集为，则的取值范围为_________.40、二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集为_________.41、关于的不等式的解集是，则的取值范围是______．42、已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为________．43、关于的不等式的解集为，则．44、若不等式的解集为，则_______.45、已知，不等式恒成立，则的取值范围为__________.46、已知函数，如果不等式的解集是，则不等式的解集是 .47、已知函数,如果不等式的解集是则不等式的解集是___________48、不等式的解集为．49、不等式的解集为，则。
高中数学必修五综合练习
高二数学《必修5》测试题一、选择题1. 在等差数列}{n a 中，若,2951π=++a a a 则)sin(64a a +=A ．23B ．22 C ．21 D ．12．已知等比数列{}n a ，若1a +2a =20，3a +4a =80，则5a +6a 等于 A ．480B ．320C ．240D ．1203．已知等差数列{}n a 的通项公式为n a n 25-= , 则它的公差是 A. 5- B. 2- C. 2 D. 54．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，若,tan )(222ac B b c a =-+，则角B 的值是A ．3π B ．6πC ．3π或32πD ．6π或65π5. 在△ABC 中，3=a ，3=b ，A=120°，则B 等于A. 30°B. 60°C. 150°D. 30°或150° 6. 在等比数列{}n a 中，524a a a ⋅=，则3a 等于A ．－1B ．0C ．1D ．37．在△ABC 中，C bacos 2=，则这个三角形的形状一定是A. 等边三角形B.等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 8．甲、乙二人同时从A 点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B 点时，两人距离恰好为3千米，那么这时甲走的距离是A. 32千米 B ．2千米 C ．3千米 D ．1千米 9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2、a+1、c 成等差数列，则 B sin :A sin 等于 A ．2:1 B ．2:1 C ．1:1 D ．1:210．对一切正整数n 规定运算：①1*1=2，②1*(n +1)=3(1*n )，则1*2010的值是A ．20093B ．20103C ．2×20093D ．2×20103 二、填空题11．在等比数列{}n a 中，若=1a 2，3=q ，则=3a . 12．在数列{}n a 中，1a =1，12n n a a +-=，则51a 的值为____________ 13．在等差数列{}n a 中，若1491=+a a ，则5a = .14．在ABC ∆中，若︒===30,2,1C b a ，则ABC ∆的面积是 .东西15．已知数列的12++=n n S n ，则12111098a a a a a ++++=_____________ . 16. 如图，画一个边长为4cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，这样一共画了5个 正方形，则这5个正方形的面积的和是 cm 2.17.已知数列2008，2009，1，－2008，－2009，……这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和2009S 等于 .18. 已知数列{}n a 是一个公差不为0等差数列，且22a =，并且3,6,12a a a 成等比数列，则13243521111...n n a a a a a a a a +++++=________．三、解答题(本大题共5小题，共60分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19． 某工厂第n 年的生产总值n a 的信息如图所示：（1）写出21,a a 的值；（2）求n a ；（3）求前n 年的生产总值n S .20. 三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，求这三个数．21. 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 又060A ∠=，sin B :sin C =2:3.(1)求bc的值; (2)若ABC ∆的边AB上的高为求a 的值.22. 已知数列{}n a 满足12,111+==+n n a a a ，*N n ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设)1(+=n n a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．(第16题图)(第19题图)。
高中数学必修五同步练习题库：一元二次不等式及其解法(选择题：较易)
一元二次不等式及其解法（选择题：较易）1、已知集合，则（）A． B． C． D．2、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求当时，不等式整数解的个数为（）A．4 B．3C．2 D．13、不等式的解集是，则的值等于（）A． B．C． D．4、若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A． B． C． D．5、不等式的解集是空集，则实数的范围为（）A． B．C． D．6、若对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是( ）A．m＞1 B．m＜－1 C． D．m＞1或7、已知关于的不等式和的解集分别为，若，，则（）A．7 B．-7 C．12 D．-128、不等式的解集是（）A． B．C． D．9、不等式的解集是（）A．{} B．{}C．{或} D．{或}10、若不等式和不等式的解集相同，则、的值为A．=﹣8=﹣10 B．=﹣4=﹣9C．=﹣1=9 D．=﹣1=211、若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．12、不等式的解集为（）A．B．C．D．13、若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．14、若方程的一根小于-2，另一根大于-2，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．15、不等式的解集是（）A． B．C． D．16、已知对任意的恒成立，则实数a的取值范围是A． B． C． D．17、关于的不等式的解集为，则的值是（）A． B． C．12 D．1418、关于的一元二次不等式的解集为,则的值为（）A．-6 B．-5 C．6 D．519、已知不等式的解集为,则的值为（____）A．-14 B．-10 C．14 D．1020、不等式的解集是( )A． B．C． D．21、不等式的解集为（）A． B．或 C． D．或22、不等式的解集是（）A．{x|-1＜x＜3} B．{x|x＞3或x＜-1}C．{x|-3＜x＜1} D．{x|x>1或x＜-3}23、不等式组的解集为（）A． B．C． D．24、若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．25、为使命题为真命题，则的取值范围是（）．A． B．或 C． D．或26、若不等式的解集为或，则A．1 B．2 C．3 D．427、不等式的解集为（）A．或 B．C． D．或28、在上运算：，若不等式对任意实数成立，则（）．A． B． C． D．29、不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或30、不等式的解集是（）A． B． C．或 D．或31、不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．或 B． C． D．或32、不等式的解集为,则不等式的解集为（）A． B． C． D．33、已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁U B）=（）A. （0，+∞）B. （﹣∞，1）C. （﹣∞，2）D. （0，1）34、已知不等式的解集为,则的值为（____）A．-14 B．-10 C．14 D．1035、不等式的解集是,则的值是( )A．-2 B．-1 C．1 D．236、若对任意的x∈[﹣1，2]，都有x2﹣2x+a≤0（a为常数），则a的取值范围是A．（﹣∞，﹣3] B．（﹣∞，0] C．[1，+∞） D．（﹣∞，1]37、设函数，则不等式的解集是（）A． B． C． D．38、关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A． B． C． D．39、若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．40、下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（）A． B． C． D．41、下列选项中，使不等式成立的的取值范围是（）A． B． C． D．42、某公司每个月的利润（单位：万元）关于月份的关系式为，则该公司12个月中，利润大于100万元的月份共有（）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个43、在R上定义运算为：x y=x(1－y)，若不等式(x－a)(x+a)<1对任意实数x成立，则A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a<44、若对任意的，都有为常数），则实数的取值范围是（）A． B． C． D．45、若对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[-6，-2] B．[2，6] C．（2，6） D．（-6，-2）46、不等式的解集是，则的值等于（）A．－14 B．14 C．－10 D．1047、若，，则的大小关系是（）A． B． C． D．由的取值确定48、不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是A． B． C． D．49、已知不等式的解集为,则 ( )A．-6 B．6 C．-25 D．2550、若，则的大小关系为()A．. B． C． D．由的取值确定51、设函数，则不等式的解集是 ()A． B．C． D．52、不等式的解集是（）A． B．C． D．53、若不等式的解集为，则的值是( )A．10 B．－10 C．14 D．－1454、不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B． C． D．55、不等式，对一切恒成立，则的取值范围是A． B．C． D．56、二次不等式的解集为，则的值为( )A． B． C．2 D．57、若对任意的，都有为常数），则的取值范围是（）A． B． C． D．58、设集合，，则下列关系中正确的是（）A． B． C． D．59、设，则的一个必要而不充分的条件是（）A． B． C． D．60、若对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．61、已知“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（）A． B． C． D．62、不等式的解集为__________．63、若对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．64、若，则的取值范围是（）A． B．C． D．65、对任意，函数的值恒大于零，则的取值范围是（）A． B．或C． D．66、若不等式有唯一解，则的值是（）A．2或-1 B．C． D．267、若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0]68、设函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是( )A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)69、若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( ) A．(－3,0) B．[－3,0)C．[－3,0] D．(－3,0]70、不等式的解集为，那么（）A． B．C． D．参考答案1、A2、A3、C4、D5、B6、C7、B8、A9、A10、B11、A12、A13、B14、A15、B16、B17、A18、C19、C20、D21、A22、A23、C24、D25、A26、C27、C28、B29、A30、A31、B32、A33、C34、C35、A36、A37、D38、B39、B40、B41、B42、C43、C44、A45、B46、C47、C48、B49、A50、C51、C52、B53、D54、B55、B56、C57、A58、C59、C60、C61、C62、63、C64、C65、B66、A67、D68、A69、D70、A【解析】1、，,,=．2、试题分析：因为函数是定义在上的奇函数，所以当时，，函数的对称轴为，开口向上，由解得（舍去），当时，函数的开口向下，对称轴为，由，解得（舍去），又函数为奇函数，可得，当时，不等式，不等式的解集为，当时，不等式整数解的个数为个，故选A.考点：根的存在性及根的个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了根的存在性与根的个数的判定问题，其中解答中涉及到一元二次函数的开口方向、对称轴的方程，以及函数的奇偶性的判定与应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与分类思想的应用，本题的解答中熟记一元二次函数的图象与性质是解答的关键，试题比较基础属于基础题.3、试题分析：将代入，求得.考点：一元二次不等式.4、试题分析：根据不等式的解集为，所以方程的两个实数跟分别为和，且，解得，故选D.考点：一元二次不等式与对应方程的关系.5、试题分析：由题意得，不等式的解集是空集，当，解得或，（1）当时，不等式可化为，所以解集不是空集，不符合题意（舍去）；（2）当时，不等式可化为不成立，所以解集为空集；当，要使的不等式的解集为空集，则，解得，综上所述，实数的范围为，故选B.考点：一元二次不等式问题.6、试题分析：由题意可知需满足，解不等式得考点：三个二次关系7、试题分析：由题意得，不等式，解得或，因为，，则，即不等式的解集为，所以是方程的两个实数根，所以，解得，所以，故选B．考点：一元二次不等式问题．【方法点晴】本题主要考查了一元二次不等式问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，三个二次式的关系，集合的运算，一元二次方程中根与系数的关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，此类问题中准确掌握三个二次式之间的关系和一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键，属于中档试题．8、试题分析：，所以不等式的解集为考点：不等式解法9、试题分析：不等式化简为，解得：，故选A.考点：一元二次不等式的解法10、试题分析：不等式的解集为，所以不等式的解集为，二次方程的两个根为考点：三个二次关系11、试题分析：设，因为存在，使不等式成立，可知，所以，故选A．考点：不等式恒成立问题．12、试题分析：由求解集，先求；则解集为；考点：一元二次不等式的解法.13、试题分析：不等式的解集为，假设的解集为空集，则不等式的解集的为集合的子集，因为函数的对称轴为，所以必有，则使的解集不为空集的的取值范围是为，故本题的正确选项为B.考点：解不等式组，集合的运算.14、由一元二次方程根的分布结论可得，满足题意时有：，求解不等式组有：，据此可得：实数的取值范围是.本题选择A选项.15、，即，解得或，即不等式的解集是，故选B.16、∵对任意的恒成立，∴，解得，∴实数a的取值范围是。
高中数学练习册必修五答案
高中数学练习册必修五答案【练习一：函数的基本概念】1. 判断下列函数的定义域：- 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的定义域是 \( x \geq 0 \)。
- 函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \) 的定义域是 \( x \neq 0 \)。
2. 确定下列函数的值域：- 函数 \( f(x) = x^2 \) 的值域是 \( [0, +\infty) \)。
- 函数 \( g(x) = 2x + 3 \) 的值域是 \( (-\infty, +\infty) \)。
【练习二：指数函数与对数函数】1. 计算下列指数函数的值：- \( 2^3 = 8 \)- \( 3^2 = 9 \)2. 求解下列对数函数的值：- \( \log_{10} 100 = 2 \)- \( \log_{2} 8 = 3 \)【练习三：三角函数】1. 根据给定角度求三角函数值：- \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \)- \( \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)2. 利用三角恒等式简化表达式：- \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)【练习四：不等式的解法】1. 解下列一元二次不等式：- \( x^2 - 4x + 3 > 0 \) 的解集是 \( x < 1 \) 或 \( x > 3 \)。
2. 解下列绝对值不等式：- \( |x - 2| < 1 \) 的解集是 \( 1 < x < 3 \)。
【练习五：数列】1. 根据数列的前几项求通项公式：- 数列 2, 4, 6, 8, ... 的通项公式是 \( a_n = 2n \)。
2. 计算等差数列的前 \( n \) 项和：- 等差数列 \( a_1 = 3, d = 2 \) 的前 5 项和是 \( 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 35 \)。
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高二数学必修五解三角形与数列练习题
一、选择题
1、△ABC 中，若60A =
，a =sin sin sin a b c
A B C +-+-等于 （ ） A 2 B 1
2
D
2、在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,则此三角形解的情况是 （ ） A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解
3、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）
2A.
3 2B.-3 1C.-3 1D.-4
4、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南
偏东60°,则A,B 之间的相距
（ ）
A ．a (km)
B ．3a(km)
C ．2a(km)
D ．2a (km)
5、一个等比数列}{n a 的前n 项和为48，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ） A 、63 B 、108 C 、75 D 、83
6、设数列{}n a 的前n 项和3S n n =，则4a 的值为( ) （A ） 15 (B) 37 (C) 27 （D ）64
7、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( ) （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 8、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则
4
2
S a =（ ）
A ．2
B ．4
C ．
2
15 D ．
2
17 9、已知}{n a 是等比数列，22a =，51
4
a =
，则12231n n a a a a a a ++++=（ ）
A ．
32(12)3n -- B ．16(14)n -- C ．16(12)n -- D ．32
(14)3
n -- 10、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,
n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1
n ≥时，2123221log log log n a a a -++
+= ( )
A. (21)n n -
B. 2(1)n +
C. 2n
D. 2(1)n - 11、在锐角三角形ABC 中，有
（ ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA
B ．cosA<sinB 且cosB<sinA
C ．cosA>sinB 且cosB<sinA
D ．cosA<sinB 且cosB>sinA
12、若数列}{n a 的通项公式是(1)(32)n n a n =--，则1220a a a ++⋅⋅⋅+= ( )
（A ）30 （B ）29
（C ）-30
（D ）-29
二、填空题
13、已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为__-______ .
14、已知数列{}n a 满足23123222241n n n a a a a ++++=- 则{}n a 的通项公式 。
15、在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
16、 已知数列{}n a 的首项12a =，122
n
n n a a a +=+，1,2,3,n =…,则 2012a = ________.
三、解答题
17、在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足：2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积。
18、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcos C －ccos （A+C ）
=3a cos B . （I ）求cos B 的值；
（II ）若2=⋅BC BA ，且6=a ，求b 的值.
19、在ABC 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+， （1）求A 的大小；（2
）若9a b c =+=，求b 和c 的值。
20、设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+.
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{(21)}n n a +的前n 项和S n . 21、等差数列{}n a 满足145=a ，207=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且
22n n b S =-.
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 证明数列{}n b 是等比数列.
22、（选作题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n
⎛⎫
⎪
⎝
⎭
在直线11122y x =+上. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设13
(211)(211)
n n n b a a +=
--，求数列{}n b 的前n 项和为n T ，并求使不等式
20
n k
T >
对一切*n ∈N 都成立的最大正整数k 的值．。