二次函数中几何的最值问题

二次函数中几何的最值问题

一、解答题

1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B （6，0）、C（0，－2），抛物线y=a+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。

（1）求直线AC的解析式；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若抛物线的顶点为D，试探究在直线AC上是否存在一点P，使得△BPD的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，已知抛物线y=-+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）。

（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；

（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。

3、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．

（1）求a，b的值；

（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。

4、如图，抛物线y=+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q 一共有几个并请求出其中某一个点Q的坐标．

5、如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；

（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得△BDM的周长为最小，并求△BDM周长的最小值及此时点M的坐标；

（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得△PAD的面积最大若存在，请求出△PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

6、如图，抛物线y=-3x+与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E

（1）求直线BC的解析式；

（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标。

7、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值；

（3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC 为等腰三角形且△MQB为直角三角形若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

8、如图1，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）．

（1）写出D的坐标和直线l的解析式；

（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；

（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否

存在点Q，使得M′恰好落在y轴上若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数中几何的最值问题的答案和解析

一、解答题

1、答案：

（1）y＝x2

（2）y＝-x-2

（3）存在，（，-）

试题分析：

（1）设出一次函数解析式，代入A、C两点的坐标即可解决问题；

（2）把A、B、C三点代入抛物线y=ax2+bx+c，列出三元一次方程组解答即可；

（3）利用轴对称图形的性质，找出点B关于直线AC的对称点，进一步利用直角三角形的性质以及待定系数法与两直线的相交的关系求得答案。

解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（-2，0），C（0，-2）代入解析式得，

，

解得k＝，b＝2，

∴y＝x2；

（2）把A（-2，0），B（6，0），C（0，-2）三点代入抛物线y=a+bx+c得，

，

解得：a=，b＝，c＝2，

∴所求抛物线方程为y＝-x-2；

（3）存在满足条件的点P．

∵抛物线方程为y＝，

∴顶点D的坐标为(2，)，

要使△BDP的周长最小，只需DP+PB最小，

延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′D交直线AC于点P，∵=16，=48，=64，

∴=+，

∴BC⊥AC，

∴B'P=BP，

∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小，

则此时△BDP的周长最小，

∴点P就是所求的点，

过点B′作B′H⊥AB于点H，

∵B（6，0），C（0，2），

∴在Rt△BOC中，BC=4，

∵OC∥B′H，B′C=BC，

∴OH=BO=6，

B′H＝2OC＝4，

∴B′(6，4)，

设直线B′D的解析式为y=mx+n，

∵D(2，)，B′(6，4)在直线B′D上，

∴，

∴m＝，n＝3，

∴y＝x-3，

∵，

∴x＝，y＝，

∴P(，)，

∴在直线AC上存在点P，使得△BDP的周长最小，此时P(，)．

2、答案：

（1）m=2，（1，4）

（2）（1，2）

试题分析：

（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；

（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．

解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣+mx+3得：0=﹣+3m+3，

解得：m=2，

∴y=﹣+2x+3=﹣+4，

∴顶点坐标为：（1，4）．

（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，