积分变换的认识与应用

积分变换的一些应用

积分变换

积分变换是数学中对于函数的作用子，理论上用以处理微分方程等问题。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。最常见的积分变换有两种：傅里叶变换和拉普拉斯变换，其他的还包括梅林变换和汉克尔变换等。积分变换法凭借着它灵活方便的特点在理工科方面有很大的应用，本文将会讲述关于傅里叶变换和拉普拉斯变换的一些应用。

傅里叶变换

定义

傅里叶其实是一种分析信号的方法，既可以分析信号的成分，也可以利用这些成分合成信号。设f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在下一个周期内具有有限个间断点，并且在这些间断点上函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则函数满足傅里叶变换：

它存在逆变换，则傅里叶逆变换：

有一种特殊的变换叫离散傅里叶变换，它是对一个序列进行的变换，为：

傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅里叶变换算法的意义，首先要了解傅里叶原理的意义。傅里叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅里叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

个别应用

傅里叶变换最常见于图像处理跟数学信号处理中，而现在现在我介绍其中一种比较不错的应用：加密、解密图像。

根据Candan等人提出的离散分数傅里叶变换的定义为，X（n）是带有N个矢量元素的输入信号，是变换核矩阵，是分数阶。Soo-Chang Pei 等人将离散分数傅里叶变换核矩阵定义为，当N为奇数时，矩阵

，当N为偶数时，，是一个对角矩阵，其对角线上的元素是V中年每列特征向量的特征根。我们将NXN DFT矩阵定义为：

，进而可以将阶DFRFT矩阵定义为：

。

基于离散分数傅里叶变换的特征向量和特征值方法产生的定义不是唯一的，对特征值和特征向量的不同选择，导致了离散傅里叶变换的不同定义形式。如果

用不同的分数次幂代替DFT矩阵的特征值=，则将FRFT推广到了MPDFRFT。N点NXN MPDFRFT矩阵定义为：

在MPDFRFT域中采用双自由度编码进行数字图像加密解密，两个过程分别如下图：

图像加密过程

图像解密过程

在以上加密过程中，参数矢量和自由相位码构成了MPDFRFT域中双自由相位编码加密的密钥。

拉普拉斯变换

定义

拉普拉斯变换是一个线性变换，可将一个有引数实数t（t>=0）的函数转换为一个引数为复数s的函数。拉普拉斯变换是对在t<0时函数值为零的连续时间函数x（t）通过变换式：

进行变换为复变量s的函数X（s）。它也是时间函数x（t）的“复频域”表示方式。

个别应用

在物理学中有很多物理系统，如电路系统、自动控制系统、振动系统等的研究，可以归结为求常数系数线性微分方程的初值问题。而拉普拉斯变换提供了求

解初值问题的一种简便方法。下面我们介绍拉普拉斯变换在分析高阶动态电路的应用。

拉普拉斯变换将用时域分析法描述电路动态过程的常数线性微分方程转换为复频域的线性多项式方程，在复频域内求解代数方程，得出复频域函数，再利用拉普拉斯变换，变为时域原函数，最后求得时域响应。

在S域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函数表示。通常时域激励函数通过查拉普拉斯变换表可得出它们的象函数。电阻元件R:VAR 的S域形式为U(s)=RI(s)，或I(s)=GU(s)；电感元件R:VAR的S域形式为

或；电容元件C:VAR 的S域形式为：

或；

S域方法分析电路过程的基本步骤为：1.作出时域电路时电路的S域模型。

2.根据S域模型，以KVL,KCL和元件的VAR的S域形式为依据，应用等效化简、节点分析法、网孔分析法、叠加定律和戴维南定律应用等基本分析方法进行分析计算，得出待求响应的象函数。

3.将待求响应的象函数展开为部分分式。

4.对待求响应的象函数逐项进行拉普拉斯反变换，即得时域响应。

结论

总言之，积分变换换这一种为数理简化计算提供巨大方便的方法，在各方面都能得到有效利用，其应用领域自然也就会很广阔。傅里叶变换跟拉普拉斯变换作为最常见应用最广的两种积分变换，其研究价值自然就很大，于是仍有不少人对其不停进行研究，以求开发其更多应用。

参考文献

周美丽，白宗文，刘生春。多参数离散分数傅里叶变换的应用，电子科技，2008/3/15，第21卷第3期（60~61）

张守平，吴波英。浅谈拉普拉斯变换的应用，动力与电气工程，2010 NO.26（133）