几种常见的曲面及其方程共25页文档
常用曲线和曲面的方程及其性质
常用曲线和曲面的方程及其性质曲线和曲面在三维空间中是常见的数学对象。
它们的方程可以通过几何性质描述它们的性质。
本文将介绍一些常用的曲线和曲面方程及其性质。
一、曲线方程1. 直线方程直线是一种最基本的曲线，它的方程可以写成一般式和斜截式两种形式。
一般式：$Ax+By+C=0$；斜截式：$y=kx+b$，其中$k$是直线的斜率，$b$是截距。
直线的斜率表示的是直线倾斜的程度，斜率越大表示直线越陡峭。
斜率等于零表示直线水平，而无限大则表示直线垂直于$x$轴。
2. 圆的方程圆是一种具有球面对称性质的曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心坐标，$r$为半径长度。
一般式：$x^2+y^2+Ax+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
圆的标准式方程可以通过圆心和半径来描述圆的几何性质；而一般式方程则可以通过求圆的中心和半径来转化为标准式方程。
3. 椭圆的方程椭圆是一种内离于两个焦点的平面曲线，它的方程可以写成一般式和标准式两种形式。
标准式：$\frac{(x-a)^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1$，其中$(a,b)$为椭圆中心坐标，$a$是横轴半径，$b$是纵轴半径。
一般式：$Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$，其中$A,B,C,D,E$是常数。
椭圆的标准式方程中的$a$和$b$决定了椭圆的形状和大小。
当$a=b$时，椭圆变成了圆。
4. 抛物线的方程抛物线是一种开口朝上或朝下的U形曲线，它的方程可以写成两种形式：标准式和一般式。
标准式：$y=ax^2$，其中$a$是抛物线的参数。
一般式：$Ax^2+By+C=0$，其中$A,B,C$是常数。
抛物线的标准式方程中的参数$a$可以决定抛物线的开口方向，当$a>0$时开口向上，$a<0$时则开口向下。
5. 双曲线的方程双曲线是一种形状类似于抛物线的曲线，但它却有两个分支。
几种常见的曲面及其方程(精)
y2
z
z 4 x2 y2 yx0
z
oo
2y
1
x
o
2y
x
(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z
a
oa
y
x
P324 题2 (1)
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 o
y
x2 y2 1 49 y3
z
2
3y
x
z
z
x xz20y2 ax
(2) 将第二方程变形为
故所求为
3、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
a2 c2
x2 (c2
z12
)
b2 c2
y2 (c2
z12
)
1
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b ) 及
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
如,曲面F(x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
高数九大曲面方程总结
高数九大曲面方程总结1. 一次曲面方程一次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数均为1。
一次曲面方程的一般形式可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C和D为常数。
一次曲面方程描述了一个平面，可以通过平面上的一点和法向量来确定。
平面的法向量可以通过将x,y和z的系数标准化得到。
2. 二次曲面方程二次曲面方程是指一个关于x,y和z的方程，其中x,y和z的最高次数为2。
二次曲面方程的一般形式可以表示为：Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0其中A,B,C,D,E,F,G,H,I和J为常数。
二次曲面方程可以描述各种曲面，例如椭球面、双曲面和抛物面。
通过适当选择系数，可以调整曲面的形状和方向。
3. 椭球面方程椭球面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之和相等。
椭球面方程的一般形式可以表示为：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$其中a,b和c是椭球面的半轴。
椭球面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转椭球面、长轴与x轴平行的旋转椭球面和长轴与y轴平行的旋转椭球面。
通过合适选择系数，可以调整椭球面的大小和形状。
4. 双曲面方程双曲面是一个光滑的曲面，其所有点到两个固定点（焦点）的距离之差相等。
双曲面方程的一般形式可以表示为：$$\\frac{x^2}{a^2} + \\frac{y^2}{b^2} - \\frac{z^2}{c^2} = 1$$或$$\\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} + \\frac{z^2}{c^2} = 1$$其中a,b和c是双曲面的半轴。
双曲面可以分为三种类型：长轴与z轴平行的旋转双曲面、长轴与x轴平行的旋转双曲面和长轴与y轴平行的旋转双曲面。
通过合适选择系数，可以调整双曲面的大小和形状。
曲面及其方程
02
曲面的方程
曲面方程的定义
曲面方程是描述曲面上的点与三维空间中某点的关系，它可以通过几何图形或方程的形式来表示。
曲面方程的概念与性质
曲面方程的性质
曲面方程的性质取决于曲面的形状和特性，例如对称性、连续性、光滑性等。
曲面方程的变量
曲面方程通常由两个或三个变量构成，这些变量可以是坐标系中的x、y、z值或其他参数。
曲面在航空航天中的应用
THANKS
谢谢您的观看
短程线
曲面上的测地线与短程线
04
曲面的分类与性质
定义
性质
方程
平面的性质与特征
定义
球面是一种以定点为中心，半径为定长的封闭曲面。
性质
球面的法线与半径垂直，且通过球心的法线有两个。
方程
球面的方程通常采用球心坐标和半径表示，即(x - h)2 + (y - k)2 + (z - l)2 = r2，其中(h, k, l)是球心的坐标，r是球的半径。
在机械设计中，曲面可以用来创建平滑、流线型的形状，同时还可以实现功能性的要求，例如引导气流、提供结构强度等。
曲面可以由专业的CAD软件创建，这些软件通常提供了丰富的曲面功能，例如拉伸、旋转、扫描等操作。
03
曲面在建筑设计中还可以用来解决物理问题，例如引导光线、遮阳、排水等。
曲面在建筑设计中的应用
01
在建筑设计中，曲面被广泛应用于创造富有艺术感和流动感的建筑外形。
02
通过使用曲面，建筑师可以创造出平滑的建筑立面，以及具有自然形态的室内空间。
在航空航天领域，曲面被广泛应用于飞机和火箭的设计中。
曲面可以用来创建平滑、符合空气动力学的机身外形，同时还可以实现高效的空气动力学性能。
大学数学_7_4 曲面与曲线
O
x 图7-34
y
例 6 一动点 M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角速度 绕 z 轴旋转时，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方 向上升，( , v都是常数) ， 则点 M 的几何轨迹叫做螺旋线 （7-35） ，试建立其参数方程. z 解 取时间 t 为参数，设t 0 时动 点在点 A( a,0,0) 处，在 t 时刻，动点在 点 M ( x, y , z ) 处.过点 M 作 xOy 面的 ' 垂线，则垂足为 M ( x, y,0) .由于 O My AOM ' t , MM ' vt , M’ x 故 x a cos AOM ' a cos t , 图7-35 y a sin AOM ' a sin t , z MM ' vt , x a cos t , 所以螺旋线的参数方程为： y a sin t , z vt.
求曲线： 2 2 z x y 2 2 z x y 在 xOy 面上的投影方程. 例7
从曲线 的方程中消去 z，得 x2 y 2 x2 y 2 , 化简后，得 ( x 2 y 2 )( x 2 y 2 1) 0, 因为 x 2 y 2 0 ，所在曲线 关于 xOy 面的投影柱面方程为 x2 y2 1 （是圆柱面） ，在 xOy 面的投影方程为 1 2 2 x y 2 z 0 （是 xOy 面上的圆）. 解
Hale Waihona Puke y2 z2 例 2 将 yOz 面上的椭圆 2 2 1分别绕 z 轴和 y 轴 a b 旋转，求所形成的旋转曲面方程. 解 绕 z 轴旋转而形成的旋转曲面（图 7-28）方程 为 x2 y 2 z 2 z 1 ， a2 b2 b x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 a a b a 绕 y 轴旋转而形成的旋转曲面方程为 y y 2 x2 z 2 a 1， 2 2 x a b 图7-28 x2 y 2 z 2 2 2 1. 即 2 b a b
高等数学-曲面及其方程
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z c
2 2
1分别绕x
轴和z 轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
y2 z2 （2）椭圆 a 2 c2 1绕y 轴和z 轴；
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 // x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 // z轴
x2 2 pz 抛物柱面 // y 轴
四、小结
曲面方程的概念 F ( x, y, z) 0. 旋转曲面的概念及求法. 柱面的概念(母线、准线).
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0 绕 y 轴旋转一周的旋转曲面方程为
f y, x2 z2 0.
平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根。
例 5 直线L绕另一条与L 相交的直线旋转一周，
这条定曲线 C 叫柱面的准线 ，动直线 L 叫
柱面的母线.
观察柱面的形
成过程:ห้องสมุดไป่ตู้
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
x
抛物柱面
平面
y
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
曲面及其方程总结
曲面及其方程总结引言曲面在数学和物理学中有着重要的应用。
它们广泛出现在几何、工程和科学领域中，并且用于描述物体的形状和特征。
本文将介绍曲面的基本概念以及常见的曲面方程。
曲面的定义曲面可以被认为是三维空间中的一个二维对象。
它可以用数学方程来表示，并且可以具有不同的形状和特性。
常见的曲面包括平面、球面、圆柱面、抛物面等。
曲面的定义可以采用不同的方式，其中一种常见的方式是使用参数方程。
参数方程使用参数来表示曲面上的点的坐标。
例如，球面可以用以下参数方程表示：x = r * sin(θ) * cos(φ)y = r * sin(θ) * sin(φ)z = r * cos(θ)在这个参数方程中，r是球的半径，θ是极角，φ是方位角。
通过改变r、θ和φ的取值，我们可以得到球面上的不同点的坐标。
常见的曲面方程平面平面是最简单的曲面之一，可以用一般方程Ax + By + Cz + D = 0来表示。
其中A、B、C和D是常数，表示平面的方向和位置。
球面球面是由距离一个固定点(球心)相同距离的所有点组成的曲面。
球面方程可以用以下形式表示：(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2其中(a, b, c)是球心的坐标，r是球的半径。
圆柱面圆柱面是与一个给定曲线(母线)平行并沿着该曲线移动而形成的曲面。
圆柱面可以用以下参数方程表示：x = a + r * cos(θ)y = b + r * sin(θ)z = ct其中(a, b, c)是曲线上的一点的坐标，r是母线的半径，θ是角度。
抛物面抛物面是由一个平面绕一个确定线段旋转形成的曲面。
抛物面可以用以下方程表示：z = Ax^2 + By^2其中A和B是常数，形状和大小决定了抛物面的特征。
曲面的性质和应用曲面具有许多有趣的性质和应用。
其中一些性质包括曲率、法向量和切平面。
在工程和科学领域中，曲面的性质对于设计和模拟物体的形状和行为非常重要。
常见的九种二次曲面方程
常见的九种二次曲面方程九种二次曲面方程是指在三维空间中，常见的九种二次曲面的方程。
这些曲面在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
下面我们来逐一介绍这九种二次曲面方程。
1. 球面方程：$x^2+y^2+z^2=r^2$球面是一种最简单的二次曲面，它的方程表示了所有到原点距离为$r$的点的集合。
球面在几何学中有着广泛的应用，例如在计算球体的体积、表面积等方面。
2. 椭球面方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$椭球面是一种形状类似于椭圆的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。
椭球面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述行星、卫星、分子等的运动轨迹时。
3. 椭柱面方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$椭柱面是一种形状类似于椭圆的二次曲面，但它在$z$轴方向上是无限延伸的。
椭柱面在工程学中有着广泛的应用，例如在设计汽车、飞机等的外形时。
4. 双曲面方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$双曲面是一种形状类似于双曲线的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。
双曲面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述电磁场、引力场等的分布时。
5. 抛物面方程：$z=ax^2+by^2+c$抛物面是一种形状类似于抛物线的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。
抛物面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述自由落体、抛体等的运动轨迹时。
6. 锥面方程：$z=\sqrt{x^2+y^2}$锥面是一种形状类似于圆锥的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。
锥面在物理学中有着广泛的应用，例如在描述光线、声波等的传播时。
7. 圆锥面方程：$x^2+y^2=z^2$圆锥面是一种形状类似于圆锥的二次曲面，它的方程表示了所有满足上述条件的点的集合。
常见的九种二次曲面方程
常见的九种二次曲面方程二次曲面方程是解析几何的重点内容，它被广泛涉及于数学、物理、工程、计算机等多个学科中。
本文将介绍九种常见的二次曲面方程，以帮助读者更好的理解和应用。
一、圆锥面方程圆锥面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为锥面三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度，这种圆锥面称为椭圆锥面。
当a=b时，圆锥面变成圆锥面；当a=b=c时，称为圆锥体。
二、双曲面方程双曲面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度，这种双曲面称为双曲抛物面或椭圆双曲面。
当a=b时，双曲面变成双曲抛物面；当a=b=c时，称为双曲球面。
三、抛物面方程抛物面方程可以表示为 F(x,y,z)=0，其中 F(x,y,z)是二次型方程，或表示为 z=ax^2+by^2+c，这种抛物面被称为旋转抛物面。
四、球面方程球面方程可以表示为 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2，其中(a,b,c)是球中心坐标，r是球半径。
球面是最常见的几何形体，可以在多个方面得到应用。
五、椭球面方程椭球面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为椭圆三个坐标轴上椭圆截面的半轴长度。
与圆锥体类似，当a=b=c时，椭球面变成球面。
六、单叶双曲面方程单叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。
单叶双曲面只有一个部分，并非所有双曲面都是单叶的。
七、双叶双曲面方程双叶双曲面方程可以表示为 (x/a)^2+(y/b)^2-(z/c)^2=-1，其中a、b、c分别为双曲面三个坐标轴上双曲截面的半轴长度。
几种常见的曲面及其方程二次曲面曲线
x y z 2 2 1 2 a a b
y 2 x2 z 2 1 2 2 a b
222aFra biblioteka y
绕 y轴旋转而成的旋转曲面方程为 即
x
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b a b
例3 求
旋转所形成的旋转抛物面（图7-28）的方程。 解 方程 便得到旋转抛物线的方程为
就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
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1. 椭球面 x2 y 2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
(1)范围： x a,
y b,
z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y 2 2 2 1 , 黄a b z0
xoy 面上的抛物线 x ay 2 (a 0) 绕x轴
x ay 2 中的x 不变， 换成 y 2 z 2
x a( y z )
2 2
例4 求 yoz 面上的直线 z ky(k 0) 绕z轴 z 旋转一周而成的圆锥面的方程。
解 所求圆锥面的方程为
即
y
z k x2 y 2
x
l1
y
z
l2
y
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H ( z, x) 0 表示 柱面,
z
x
l3
x
母线 平行于 y 轴;
y
准线 xoz 面上的曲线 l3.
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3.旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
高等数学几种常见的曲面及其方程
一、二次曲面
1-1球面
(X-X0)2+(Y-Y0)2+(Z-Z0)2=R2
球心为M0(X0,Y0,Z0)
1-2椭圆锥面
1-3椭球面
其中，表示xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成的椭球面。
1-4单叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕z轴旋转而成的单叶双曲面。
1-5双叶双曲面
其中，表示xOz平面上的双曲线绕x轴旋转而成的双叶双曲面。
1-6椭圆抛物面
1-7双曲抛物面（马鞍面）
二、柱面
2-1圆柱面
X2+Y2=R2
2-2椭圆柱面
2-3双曲柱面
2-4抛物柱面
y2=2px
注：形如二、柱面只含x,y而缺少z的方程F(x,y)=0在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面，其准线为xOy平面上的曲线C：F(x,y)=0
特别地，
1.球x2+y2+z2=R2
2.圆柱面x2+y2=R2
3.旋转抛物面X2+Y2=z(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的抛物线旋转而成的图形)
4.X2+Y2=z2(以原点为顶点，上下两个开口分别向上向下的圆锥，锥顶角为90。
)。
曲面及其方程
y
绕 y 轴一周
得 :旋转单叶双曲面
o
a
x
x2 + z2 y2 − 2 =1 2 a b
z
.
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
x
绕 x 轴一周
z
.
0
y
⎧ x2 y2 ⎪ 2 − 2 =1 双曲线 ⎨ a b ⎪z = 0 ⎩
yoz 面上直线方程为 z = y cot α
x
α
圆锥面方程
o
y
z = ± x 2 + y 2 cot α
例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
x y （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 y 轴和 x轴； a b
绕 y 轴旋转,得
x2 + z2 a2 − y2 b2 = 1 旋转单叶双曲面
⎧ f ( y, z ) = 0 绕 z 轴 曲线 C : ⎨ ⎩x = 0
z
旋转一周得旋转曲面 S
P M
N ( 0, y 1 , z 1 )
.
∀ M(x,y,z) ∈ S
f (y1, z1)=0
z1 = z
.
S
z o
z1
C
| y1 |= MP =
x +y
2
2
y1
y
y1 = ± x 2 + y 2
∴ S： f ( ± x + y , z ) = 0
4⎞ 116 2⎞ ⎛ 2 ⎛ ⎜ x + ⎟ + ( y + 1) + ⎜ z + ⎟ = 3⎠ 9 3⎠ ⎝ ⎝
空间解析几何常见的曲面
O x
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b 时
截线为双曲线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
②当 h b 时
x
截线为双曲线
z
o
y
用平行于坐标面的平面截割
3 图形的范围
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
z
由方程 x2 y2 1 知，即曲面存在于椭圆柱面
a2 b2
x2 a2
y2 b2
1
之外，从而曲面与z轴无交点，
并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.
o
y
x
4 主截线
与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
x2
a
2
y2 b2
4.主截线：
平行截割用法坐：标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察
其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面 的全貌。
截口是曲面与平面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与三个坐标面的交线
x2
xOy面
:
a
2
y2 b2
1
z 0
x2
xOz面
:
a2
z2 c2
1
y 0
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
第七章第四节常见曲面及其方程
z 2 3x 绕 z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为：_________
z 2 3 x y
2
2
3y
2
2
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
反过来， 已知旋转曲面的方程，
可以看出它的旋转轴及它是由哪条曲线旋转得来的？
如： 已知旋转曲面的方程为： 3 x 2 3 y 2 z 2 , 则
所以，在空间中方程(1)就表示以C为准线，母线平行于z轴的柱 面.
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
同理，
方程
G( y , z ) 0 在空间中表示柱面，
zl 2
y
其母线平行于 x 轴，准线为 yoz 面上的曲线 l2. 方程
H ( z, x) 0
在空间中表示柱面，
则所求的旋转曲面方程为
x 2 y 2 ( z 4)2 (4z 12)2
即
x y 17z 104z 160 0 .
2 2 2
若由方程 x 1 y z 3
1
4
1
解出
2
y 4 x 4, z x 4,
则
y z ( 4 x 4) ( x 4)
高等数学 第七章 向量代数与空间解析几何
7.4 常见曲面及方程
建立 yoz 面上曲线 C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: 设
F ( y, z ) 0 ,ห้องสมุดไป่ตู้
则有
M ( x, y, z )
z
M1 (0, y1 , z1 ) C ,
常见曲线曲面方程与图形
结束
伯努利双纽线
或 • 结点(同拐点) : 在该点的切线斜率为±1 •顶 点:
B
y O
A x
• 双纽面积:
结束
三叶玫瑰线
a
O
a x
O
x
结束
圆锥面:
椭圆锥面:
2 2
z x y
2
z
x y 2 2 z 2 a b
z
2
2
O
y
O
x
x
y
结束
单叶双曲面:
双叶双曲面:
x y z 2 2 1 2 a b c
三次抛物线
y
半立方抛物线
y
O
x
O
x
• 拐点: (0, 0) • 关于原点对称
• 尖点: (0, 0) • 在尖点处与 x 轴相切 • 关于 x 轴对称
结束
x a( sin ) y a(1 cos )摆线
y
• 轨迹:
M
O
a
x
8a
半径为 a 的圆周沿直线 无滑动地滚动时 , 其上
y
x
结束
圆柱面：
z
2 2
x y R
2
O
y
x
结束
椭球面：
x2 y2 z 2 2 2 1 ( a, b, c 为正数 ) 2 a b c
O
结束
椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
结束
两个曲面的交线：
z 1 x2 y2 1 2 1 2 2 ( x ) y ( ) 2 2