2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末考试数学试题(含答案解析)

15．已知F为双曲线 的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且 （O为坐标原点），则C的离心率为________.
【答案】2
【解析】求出焦点到渐近线的距离就可得到 的等式，从而可求得离心率．
【详解】
由题意 ，一条渐近线方程为 ，即 ，
∴ ，由 得 ，
∴ ， ，∴ ．
故答案为：2.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于 的等式．
18．已知等比数列 满足 成等差数列，且 ；等差数列 的前n项和 .求：
（1） ；
（2）数列 的前项和 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】（1）由 成等差数列，得 .从而可求得公比 ，再由 求得 ，从而可得通项公式 ，然后求出 后，利用 求出 ，从而得公差后得 ．
（2）用错位相减法求数列 的和．
【详解】
A．1B．-1C． D．
【答案】D
【解析】把题中图象变换过程反过来，求得 的表达式即可．
【详解】
把 的图象向左平移 个单位长度，得 的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得图象的函数式为 ，
，∴ ，
∴ ．
故选：D.
【点睛】
本题考查三角函数的图象变换，考查变换前后的函数解析式．同时还考查二倍角公式．变换时要注意相位变换是自变量 加（减）平移单位．
【详解】
共线，即 交于点 ，共面，因此 共面，A错误；
记 ，则 ，
，又 ，
， ，即 ．B正确；
由于正方体中， ， 平面 ，则 ， ，可得 平面 ， 平面 ，从而可得平面 平面 ，C正确；
取 中点 ，连接 ，易知 ，又正方体中， ，∴ ， 共面， 就是过P，A，C三点的正方体的截面，它是等腰梯形．D正确．
故选：AB.
【点睛】
本题考查茎叶图，考查学生的数据处理能力．掌握样本数据特征如极差、方差、均值、中位数是解题基础．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的焦点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E， 的外角平分线交x轴于点Q，过Q作 交 的延长线于 ，作 交线段 于点 ，则（）
得 .
即 .将 代入，
解得 .
所以 .
【点睛】
本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积时，
①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
4．已知 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】先求出命题 为真时 的取值范围，然后再根据充分必要条件的定义判断．
【详解】
∵ ，∴ 或 ，即 或 ，∴ ．∴“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：A.
【点睛】
本题考查充分必要条件，解题关键是掌握充分必要条件与集合包含之间的关系．命题 对应集合 ，命题 对应集合 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件， 是 的充要条件．
．
故答案为： ； ．
【点睛】
本题考查直线与平面所成的角，考查球的表面积．解题关键是找到平面的垂线，作出直线与平面所成的角．
四、解答题
17．在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________， ，求 的面积.
本题考查函数的零点，考查函数的对称性与值域．数形结合是解决这类问题的常用方法．函数零点个数常常转化为函数图象与直线的交点个数．
8．已知直线 与直线 相交于点A，点B是圆 上的动点，则 的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】求出点 的轨迹方程，确定 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值．
得 ，
即 .将 代入，解得 .
所以 .
在横线上填写“ ”.
解：由 及正弦定理，得
.
又 ，
所以有 .
因为 ，所以 .
从而有 .又 ，
所以
由余弦定理及 ，
得
即 .将 代入，
解得 .
所以 .
在横线上填写“ ”
解：由正弦定理，得 .
由 ，得 ，
所以
由二倍角公式，得 .
由 ，得 ，所以 .
所以 ，即 .
由余弦定理及 ，
【详解】
如图，作平行四边形 ，连接 ，由 ，则平行四边形 是矩形．
由 ， ， ，∴ 平面 ，而 平面 ，∴ ，同理可得 ，又 ，∴ 平面 ． ， 是PA与平面ABC所成角．
由 得 ，又 ，∴ ．
∴PA与平面ABC所成角是 ．
由 知 的中点到 的距离相等， 是三棱锥P-ABC外接球的直径．
由 平面 得 ， ，
【详解】
由 ，消去参数 得 ，
所以 在以 为圆心， 为半径的圆上，
又点B是圆 上的动点，此圆圆心为 ，半径为 ，
，
∴ 的最大值为 ．
故选：C.
【点睛】
本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和．
二、多选题
9．某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）
【点睛】
本题考查抛物线的定义与性质，掌握抛物线的定义是解题基础．
11．在正方体 中，N为底面ABCD的中心，P为线段 上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则（）
A．CM与PN是异面直线B．
C．平面 平面 D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形
【答案】BCD
【解析】由 交于点 得共面，可判断A，利用余弦定理把 都用 表示后可比较大小，证明 与平面 后可得面面垂直，可判断C，作出过P，A，C三点的截面后可判断D．
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据抛物线的定义进行推理判断．
【详解】
由抛物线的定义， ，A正确；
∵ ， 是 的平分线，∴ ，∴ ，B正确；
若 ，由 是外角平分线， ， 得 ，从而有 ，于是有 ，这样就有 ， 为等边三角形， ，也即有 ，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；
连接 ，由A、B知 ，又 ， 是平行四边形，∴ ，显然 ，∴ ，D正确．
A．女生身高的极差为12B．男生身高的均值较大
C．女生身高的中位数为165D．男生身高的方差较小
【答案】AB
【解析】从茎叶图上计算极差，中位数，而均值和方差可通过茎叶图估计即可（当做也可计算实际值）．
【详解】
女生的极差是173-161=12，A正确；由茎叶图数据，女生数据偏小，男生平均值大于女生值，B正确；女生身高中位数是166，C错误；女生数据较集中，男生数据分散，应该是男生方差大，女生方差小，D错．（也可实际计算均值和方差比较）．
【答案】
【解析】三个埃及分数和为1，从最大的一个数的可能性出发推导．得出最大的一个数后，再考虑第2个数，便可得出结论．
【详解】
三个埃及分数和为1，一定有一个是 ，否则和不可能为1，剩下2个和为 ，都小于 也不合题意，否则两个埃及分数的和 ，因此第2个是 ，第3个只能是 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查合情推理．属于基础题．
故选：BCD.
【点睛】
本题考查共面，面面垂直，正方体的截面等问题，需根据各个知识点进行推理证明判断．难度较大．
12．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km，从P点沿海岸正东12km处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为 ，步行的速度为 ，时间t（单位：h）表示他从小岛到城镇的时间，x（单位：km）表示此人将船停在海岸处距P点的距离.设 ，则（）
5．已知向量 ，且 ，则 （）
A．3B．-3C． D．
【答案】C
【解析】由向量共线有坐标表示计算．
【详解】
由题意 ，∵ ，∴ ，解得 ．
故选：C.
【点睛】
本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题．
6．将曲线 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线 ，则 （）
2020届山东省枣庄、滕州市高三上学期期末考试数学试题
一、单选题
1．已知集合 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据交集定义求解．
【详解】
由题意 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查交集运算，解题关键是确定集合中的元素．
2．已知i是虚数单位， ，复数 ，则 （）
A． B．5C． D．
【答案】C
14．在平面直角坐标系xOy中，角 的顶点是O，始边是x轴的非负半轴， ，点 是 终边上一点，则 的值是________.
【答案】
【解析】由 点坐标确定 所在象限（范围），再求出 的一个三角函数值，就可确定 ．
【详解】
因为 ，即 点在第一象限，所以 ，
又 ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三角函数的定义，考查特殊角的三角函数值．解题时需确定角的范围，再求出这个角的某个三角函数值即可确定这个角．
16．如图，在三棱锥P-ABC中， ， ，则PA与平面ABC所成角的大小为________；三棱锥P-ABC外接球的表面积是________.
【答案】
【解析】关键要找平面 的垂线，根据题中的垂直关系，作平行四边形 ，连接 ，可证 平面 ．从而可得直线 与平面ABC所成角，解之即可，而 就是三棱锥P-ABC外接球的直径，这个易求．