工程力学A参考习题之组合变形解题指导
第十二章工程力学之组合变形方案
将T分解为沿AC杆轴线的分量Tx和垂直于轴线的分量Ty
Tx T cos 30 40
3 34.6KN 2
Ty
T
sin 30
40
1 2
20KN
可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变 形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。
32 M
d 3
4 15 103
d 2
32 6 103
d 3
根据强度条件 t max [ ]
有
4 15 103
d 2
32
6 103
d 3
35 106
由上式可求得立柱的直径 d≥122mm
例12-3：如图12-6（a）所示，电动机的功率为9kW，转速为 715r/m，皮带轮直径D=250mm，电动机主轴外伸部分长度为 l=120mm，直径d=40mm。求外伸部分根部截面A、B两点的应力。
二、叠加原理
杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理： 实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下， 杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷 单独作用下所产生的应力和变形的总和。
当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一 系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下 所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下 的应力和变形。
M
M max Wy
35 103 2 152 106
115106
115MPa
截面上的弯曲正应力分布如图12-4（c）所示。 （4） 组合变形下的最大正应力
工程力学之组 合 变 形
工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。
10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。
又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。
此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。
再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。
10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。
研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。
(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。
(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。
(4)判断危险点的位置，建立强度条件。
10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。
斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。
图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。
建筑力学14-组合变形
图11.2
11.2.4 强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和 危险点的位置。危险点在危险截面上离中性 轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的 截面，危险点一定在棱角上。图11.2(a)所示 的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危 险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B 点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。
Mzmax= Pyl/4 = 29×4/4kN·m=29kN·m
该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为
Mymax= Pzl/4 = 7.76×4/4 kN·m=7.76kN·m
(3) 强度校核
由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz分别为
Wy=70.8cm3=70.8×103mm3
mz=Pey，my=Pez
可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂
直的平面弯曲的组合。
由截面法可求得任一截面ABCD上的内力为
(3) 选择截面尺寸
根据式(12.4)，檩条的强度条件为
Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］
上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5，
代入上式，得
3.76×106/1.5Wy + 1.36×106/Wy ≤10
Wy≥387×103mm3
由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 ≥387×103
(2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确定的h尺 寸下，柱截面中的最大压应力为多少?
【解】(1)
将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为
N=P1+P2=(100+50)kN=150kN
图11.8
截面的弯矩为
Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m
工程力学组合变形
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
添加标题
01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
添加标题
04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b
工程力学 第11章组合变形
第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使 得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个 外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。 起重机自重180kN，其作用线通过基础 底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基 础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形 基础的短边长3m。 试计算：（1）其长边的尺寸为 多少时使基础底面不产生拉应力？ （2）在所选的值之下，基础底面上的 最大压应力为多少？
Mzy M cosy Iz Iz
Myz Iy
M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力
Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章 组合变形
主要内容
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合 而成的变形称为组合变形 。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。 二.叠加原理解题步骤： （1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化 为基本变形的受力方式； （2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形 同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力； （3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。
第章工程力学之组合变形方案 (一)
第章工程力学之组合变形方案 (一)第章工程力学之组合变形方案在工程力学中，力学的变形问题是一个重要的研究领域。
组合变形是其中的一个重要问题，也是工程实践中常见的一个问题。
组合变形是指材料为了适应外界的力和变形条件，而发生的各种形式的变形行为的总和。
为了更好地理解组合变形的概念和机理，我们需要了解组合变形的方案。
组合变形方案包括：弹性变形、塑性变形和刚性变形。
弹性变形是指材料在受到外界作用后，发生形变，但它发生的瞬间是可逆的、恢复原状的。
弹性变形依赖于材料的弹性模量，其大小与材料的质量、压力和温度等因素有关。
如果外部力的作用在材料的强度范围之内，那么弹性变形可以在外力消失后恢复到原来的形状，这被称为可逆弹性变形。
塑性变形是指材料在受到外界作用后，发生形变，并且它的恢复是不完全的。
塑性变形的大小与材料的强度、初始形状、应力状态等因素有关。
当外部力的作用超过材料的强度时，材料会发生塑性变形，而且它是不可逆的，材料的形状将保持在变形后的状态，这就是所谓的永久塑性变形。
刚性变形是指材料在受到外界作用后，形状发生改变，但变形量非常小，可以忽略不计。
这种变形可以在应变能够被视为无限小时得到。
我们可以把刚性变形看成是弹性变形的极限情况。
总之，组合变形是材料为了适应外界的力和变形条件而发生的符合弹性、塑性、刚性三种形式的变形行为的总和。
掌握组合变形方案对于解决工程实践中的相关问题非常有意义，能够帮助工程师把握有效控制材料的应力、应变来对材料进行设计和选择。
同时，掌握和运用组合变形方案也是学习工程力学的入门难度，希望学生们在理解基本概念的基础上，更深入的探究其机理和应用。
工程力学力 08章组合变形-1
中性轴
Z y
z y
Z y
斜弯曲
3.横截面为园形或椭圆形（无棱角），则先合成弯矩后计算应力： 先用双箭头矢量表示绕两个轴的弯矩，然后按照矢量合成法则
确定合弯矩，然后确定最大拉、压正应力点，根据材料进行强
度校核。
例题：结构如图，在端部Py过形心且与沿y轴方向，在中部Pz过形 心且与沿z轴方向。尺寸如图。 求此梁的最大应力。
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
或者
偏心拉伸时，中性轴不再过截面形 心，甚至没有中性轴。
或者
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
强度条件：
注意：偏心拉伸时，无论什么材料，只有一个危险点即：最大 拉应力点。
基本工作： ①安全校核 ②பைடு நூலகம்面设计 ③确定承载力
•根据截面应力的分布规律，可以找到危险点，然 后进行强度校核。
2.两种组合变形应力计算：
•拉压与弯曲—在危险点处：
（弯曲应力） （拉、压应力）
•偏心拉压—在危险点处：
(拉、压应力) ( y向弯曲应力) ( z向弯曲应力)
3.斜弯曲变形的应力处理方法： （1）矩形或工字形截面：
x
Pz z y L H Py
解：对于园截面杆，在危险截面的形心处，分解出与基本变形对
应的载荷，将绕Y轴和Z轴的弯矩My、Mz用双箭头矢量表示， 然后按照矢量合成的方法，计算出合弯矩M，根据弯曲应力的 分布规律，可以找到危险点。 Mz=PyL
M
My=PzH
x
2 M y M z2
最大拉应力σT
（假设：各个基本变形互不影响）
③叠加。
建筑力学—组合变形及答案讲解
第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。
通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。
本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。
其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。
第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。
这种形式的变形称为弯曲变形。
工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。
一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。
梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。
图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。
本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。
从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。
二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。
梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。
1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。
因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。
例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。
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组合变形
1试分别求出图示不等截面杆的绝对值最大的正应力，并作比较。
解题思路：
（1）图（a ）下部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中
的弯曲截面系数；
（2）图（b ）是轴向压缩，按式（8-1）计算其最大正应力值；
（3）图（a ）中部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中
的弯曲截面系数。
答案：2a 34)(a F =σ，2
b )(a F =σ，2
c 8)(a F =σ
2某厂房一矩形截面的柱子受轴向压力1F 和偏心荷载2F 作用。
已知kN 1001=F ，
kN 452=F ，偏心距mm 200=e ，截面尺寸mm 300,mm 180==h b 。
（1）求柱内的最大拉、压应力；（2）如要求截面内不出现拉应力，且截面尺寸b 保持不变，此时h 应为多少？柱内的最大压应力为多大？
解题思路：
（1）立柱发生偏心压缩变形（压弯组合变形）；
（2）计算立柱I-I 截面上的内力（轴力和弯矩）；
（3）按式（12-5）计算立柱截面上的最大拉应力和最大压应力，要正确计算式中的弯曲截
面系数；
（4）将b 视为未知数，令立柱截面上的最大拉应力等于零，求解b 并计算此时的最大压应
力。
答案：（1）MPa 648.0max t =σ，MPa 018.6max c =σ
（2）cm 2.37=h ，MPa 33.4max c =σ
3旋转式起重机由工字钢梁AB 及拉杆BC 组成，A 、B 、C 三处均可简化为铰链约束。
起重
荷载kN 22P =F ，m 2=l 。
已知MPa 100][=σ，试选择AB 梁的工字钢型号。
解题思路：
（1）起重荷载移动到AB 跨中时是最不利情况；
（2）研究AB 梁，求BC 杆的受力和A 支座的约束力。
AB 梁发生压弯组合变形；
（3）分析内力（轴力和弯矩），确定危险截面；
（4）先按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，选择AB 梁的工字钢型号；
（5）再按式（10-2）计算危险截面的最大应力值，作强度校核。
答案：选16.No 工字钢
4图示圆截面悬臂梁中，集中力P1F 和P 2F 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内，并且垂直
于梁的轴线。
已知N 800P1=F ，kN 6.1P2=F ，m 1=l ，许用应力MPa 160][=σ，试确定截面直径d 。
解题思路：
（1）圆截面悬臂梁发生在两个互相垂直平面上的平面弯曲的组合变形；
（2）分析弯矩y M 和z M ，确定危险截面及计算危险截面上的y M 和z M 值；
（3）由式（10-15）计算危险截面的总弯矩值；
（4）按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，确定悬臂梁截面直径d 。
答案：mm 5.59≥d
5功率kW 8.8=P 的电动机轴以转速min /r 800=n 转动，胶带传动轮的直径mm
250=D
，胶带轮重量N 700=G ，轴可以看成长度为mm 120=l 的悬臂梁，其许用应力
MPa 100][=σ。
试按最大切应力理论设计轴的直径d 。
解题思路：
（1）由式（6-1）计算电动机轴所受的扭转外力偶矩，并由扭转外力偶矩与传动轮胶带拉力
的关系求拉力F T ；
（2）将电动机轴简化为在自由端受集中力G 和大小为3F T 的集中力以及扭转外力偶矩作用
的悬臂梁。
梁发生扭转与在两个互相垂直平面内的平面弯曲的组合变形；
（3）分析内力（扭矩和弯矩），确定危险截面，求危险截面上的扭矩、弯矩y M 和z M 、总
弯矩M ；
（4）按最大切应力理论（10-16）设计轴的直径d 。
答案：mm 8.33≥d
6如图所示，手摇绞车车轴直径cm 3=d 。
已知许用应力MPa 80][=σ，试根据第三强度理
论计算最大的许可起吊重量F 。
解题思路：
（1）受力分析，将力F 向轮心平移，得一集中力和一力偶，车轴发生弯扭组合变形；
（2）分析内力（扭矩和弯矩），确定危险截面及危险截面上的扭矩、弯矩；
（3）按第三强度理论（10-13）计算最大的许可起吊重量F 。
答案：N 788max =F
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