工程力学A参考习题之组合变形解题指导
第十二章工程力学之组合变形方案
将T分解为沿AC杆轴线的分量Tx和垂直于轴线的分量Ty
Tx T cos 30 40
3 34.6KN 2
Ty
T
sin 30
40
1 2
20KN
可见， Tx和Fcx使AC产生轴向压缩，而Ty、P和Fcy产生弯曲变 形，所以AC杆实际发生的是轴向压缩与弯曲的组合变形。
32 M
d 3
4 15 103
d 2
32 6 103
d 3
根据强度条件 t max [ ]
有
4 15 103
d 2
32
6 103
d 3
35 106
由上式可求得立柱的直径 d≥122mm
例12-3：如图12-6（a）所示，电动机的功率为9kW，转速为 715r/m，皮带轮直径D=250mm，电动机主轴外伸部分长度为 l=120mm，直径d=40mm。求外伸部分根部截面A、B两点的应力。
二、叠加原理
杆在组合变形下的应力和变形分析，一般可利用叠加原理。
叠加原理： 实践证明，在小变形和材料服从虎克定律的前提下， 杆在几个载荷共同作用下所产生的应力和变形，等于每个载荷 单独作用下所产生的应力和变形的总和。
当杆在外力作用下发生几种基本变形时，只要将载荷简化为一 系列发生基本变形的相当载荷，分别计算杆在各个基本变形下 所产生的应力和变形，然后进行叠加，就得到杆在组合变形下 的应力和变形。
M
M max Wy
35 103 2 152 106
115106
115MPa
截面上的弯曲正应力分布如图12-4（c）所示。 （4） 组合变形下的最大正应力
工程力学之组 合 变 形
工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。
10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。
又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。
此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。
再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。
10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。
研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。
(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。
(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。
(4)判断危险点的位置，建立强度条件。
10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。
斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。
图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。
建筑力学14-组合变形
图11.2
11.2.4 强度条件
进行强度计算，首先要确定危险截面和 危险点的位置。危险点在危险截面上离中性 轴最远的点处，对于工程上常用具有棱角的 截面，危险点一定在棱角上。图11.2(a)所示 的悬臂梁，固定端截面的弯矩值最大，为危 险截面，该截面上的B、C两点为危险点，B 点产生最大拉应力，C点产生最大压应力。
Mzmax= Pyl/4 = 29×4/4kN·m=29kN·m
该截面上由Pz在xOz平面内产生的最大弯矩为
Mymax= Pzl/4 = 7.76×4/4 kN·m=7.76kN·m
(3) 强度校核
由型钢表查得32a号工字钢的抗弯截面系数Wy和Wz分别为
Wy=70.8cm3=70.8×103mm3
mz=Pey，my=Pez
可见，双向偏心压缩就是轴向压缩和两个相互垂
直的平面弯曲的组合。
由截面法可求得任一截面ABCD上的内力为
(3) 选择截面尺寸
根据式(12.4)，檩条的强度条件为
Mzmax/Wz + Mymax/Wy ≤［σ］
上式中包含有Wz和Wy两个未知数。现设 Wz/Wy = h/b=1.5，
代入上式，得
3.76×106/1.5Wy + 1.36×106/Wy ≤10
Wy≥387×103mm3
由 Wy= hb2/6 = 1.5b3/6 ≥387×103
(2) 欲使柱截面不产生拉应力，截面高度h应为多少?在确定的h尺 寸下，柱截面中的最大压应力为多少?
【解】(1)
将荷载向截面形心简化，柱的轴向压力为
N=P1+P2=(100+50)kN=150kN
图11.8
截面的弯矩为
Mz=P2e=50×0.2kN·m=10kN·m
工程力学组合变形
取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程
y
O
z
中性轴
*
可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。
求出中性轴在y、z两轴上的截距
对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。
添加标题
01
弯矩Mz=Mez 引起的正应力
添加标题
03
A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。
添加标题
05
弯矩My=Mey 引起的正应力
添加标题
02
按叠加法，得C点的正应力
添加标题
04
在任一横截面n-n上任一点 C(y,z) 处的正应力分别为
添加标题
06
*
利用惯性矩与惯性半径间的关系
*
*
危险点：m-m截面上
角点 B 有最大拉应力，D 有最大压应力； E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。 可见B、D点就是危险点，离中性轴最远
中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程
强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为
边长为h和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。
得
若中性轴与AB 边重合，则中兴轴在坐标轴上的截距分别为
b
6
6
h
C
z
y
b
h
B
A
D
h
6
6
b
工程力学 第11章组合变形
第三节
偏心压缩
三.截面核心的概念 ——若外力作用在截面形心附近的某一个区域，使 得杆件整个截面上全为压应力而无拉应力，这个 外力作用的区域称为截面核心。
第三节
偏心压缩
例2. 起重机支架的轴线通过基础的中心。 起重机自重180kN，其作用线通过基础 底面QZ轴，且有偏心距e=0.6m.已知基 础混凝土的容重等于22kN/m3，若矩形 基础的短边长3m。 试计算：（1）其长边的尺寸为 多少时使基础底面不产生拉应力？ （2）在所选的值之下，基础底面上的 最大压应力为多少？
Mzy M cosy Iz Iz
Myz Iy
M sin z Iy
（4）应力叠加——危险点应力
Mz y Myz cos sin M ( y z) IZ Iy IZ Iy
第二节
危险点的应力为：
max
斜弯曲
工程力学
第十一章 组合变形
主要内容
第一节 组合变形的概念 第二节 斜弯曲 第三节 偏心压缩
第一节
组合变形的概念
牛腿柱
第一节
组合变形的概念
F F F
试分析受压立柱的变形形式
压缩-弯曲变形
压缩变形
压缩-弯曲变形
第一节
组合变形的概念
一.组合变形的概念 1.组合变形——由两种或两种以上的基本变形组合 而成的变形称为组合变形 。 2.组合变形杆件的强度计算方法——叠加原理。 二.叠加原理解题步骤： （1）分解：将作用于组合变形杆件上的外力分解或简化 为基本变形的受力方式； （2）叠加：对各基本变形进行应力计算后，将各基本变形 同一点处的应力进行叠加，以确定组合变形时各点的应力； （3）强度条件：分析确定危险点的应力，建立强度条件。
第章工程力学之组合变形方案 (一)
第章工程力学之组合变形方案 (一)第章工程力学之组合变形方案在工程力学中，力学的变形问题是一个重要的研究领域。
组合变形是其中的一个重要问题，也是工程实践中常见的一个问题。
组合变形是指材料为了适应外界的力和变形条件，而发生的各种形式的变形行为的总和。
为了更好地理解组合变形的概念和机理，我们需要了解组合变形的方案。
组合变形方案包括：弹性变形、塑性变形和刚性变形。
弹性变形是指材料在受到外界作用后，发生形变，但它发生的瞬间是可逆的、恢复原状的。
弹性变形依赖于材料的弹性模量，其大小与材料的质量、压力和温度等因素有关。
如果外部力的作用在材料的强度范围之内，那么弹性变形可以在外力消失后恢复到原来的形状，这被称为可逆弹性变形。
塑性变形是指材料在受到外界作用后，发生形变，并且它的恢复是不完全的。
塑性变形的大小与材料的强度、初始形状、应力状态等因素有关。
当外部力的作用超过材料的强度时，材料会发生塑性变形，而且它是不可逆的，材料的形状将保持在变形后的状态，这就是所谓的永久塑性变形。
刚性变形是指材料在受到外界作用后，形状发生改变，但变形量非常小，可以忽略不计。
这种变形可以在应变能够被视为无限小时得到。
我们可以把刚性变形看成是弹性变形的极限情况。
总之，组合变形是材料为了适应外界的力和变形条件而发生的符合弹性、塑性、刚性三种形式的变形行为的总和。
掌握组合变形方案对于解决工程实践中的相关问题非常有意义，能够帮助工程师把握有效控制材料的应力、应变来对材料进行设计和选择。
同时，掌握和运用组合变形方案也是学习工程力学的入门难度，希望学生们在理解基本概念的基础上，更深入的探究其机理和应用。
工程力学力 08章组合变形-1
中性轴
Z y
z y
Z y
斜弯曲
3.横截面为园形或椭圆形（无棱角），则先合成弯矩后计算应力： 先用双箭头矢量表示绕两个轴的弯矩，然后按照矢量合成法则
确定合弯矩，然后确定最大拉、压正应力点，根据材料进行强
度校核。
例题：结构如图，在端部Py过形心且与沿y轴方向，在中部Pz过形 心且与沿z轴方向。尺寸如图。 求此梁的最大应力。
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
或者
偏心拉伸时，中性轴不再过截面形 心，甚至没有中性轴。
或者
max
N Mz (拉，在最上沿的各点) A Wz
强度条件：
注意：偏心拉伸时，无论什么材料，只有一个危险点即：最大 拉应力点。
基本工作： ①安全校核 ②பைடு நூலகம்面设计 ③确定承载力
•根据截面应力的分布规律，可以找到危险点，然 后进行强度校核。
2.两种组合变形应力计算：
•拉压与弯曲—在危险点处：
（弯曲应力） （拉、压应力）
•偏心拉压—在危险点处：
(拉、压应力) ( y向弯曲应力) ( z向弯曲应力)
3.斜弯曲变形的应力处理方法： （1）矩形或工字形截面：
x
Pz z y L H Py
解：对于园截面杆，在危险截面的形心处，分解出与基本变形对
应的载荷，将绕Y轴和Z轴的弯矩My、Mz用双箭头矢量表示， 然后按照矢量合成的方法，计算出合弯矩M，根据弯曲应力的 分布规律，可以找到危险点。 Mz=PyL
M
My=PzH
x
2 M y M z2
最大拉应力σT
（假设：各个基本变形互不影响）
③叠加。
建筑力学—组合变形及答案讲解
第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。
通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。
本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。
其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。
第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。
这种形式的变形称为弯曲变形。
工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。
图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。
例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。
一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。
图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。
梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。
图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。
本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。
从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。
二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。
梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。
1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。
因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。
例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。
组合变形(习题解答
10-3 试求图示[16a 简支梁由于自重作用所产生的最大正应力及同一截面上AB 两点的正应力。
q解：(1)查表可矩[16a 的理论重量为17.24kg/m ，故该梁重均布载荷的集度为172.4N/m 。
截面关于z 轴对称，而不关于y 轴称，查表可得：364640108cm 10810,73.3cm 0.73310m ,63mm =0.063m , 1.8cm =0.018mz y W I b z --==⨯==⨯==⑴外力分析：cos 172.4cos 20162.003/sin 172.4sin 2058.964/y z q q N m q q N mϕϕ======⑵内力分析：跨中为危险面。
32,max 32,max 11162.003 4.2357.217881158.964 4.2130.01688z y y z M q l N mM q l N m==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：A 、B 点应力分析如图所示。
A 点具有最大正应力。
,max,max max 66,max,max max 066357.217130.016(0.0630.018)11.29MPa 108100.73310357.217130.0160.018 6.50MPa108100.73310y z A A z y y z B zyM M z W I M M z W I σσσσ---+--==--⋅=--⨯-=-⨯⨯==++⋅=+⨯=⨯⨯max 11.29MPa A σσ==-10-4 试求图示简支梁的最大正应力，及跨中的总挠度。
已知弹性模量100Pa E G =。
解：(1) 外力分析：由于集中力在横截面内与轴线垂直，故梁将发生斜弯曲。
cos 10cos159.66kN sin 10sin15 2.59kNy z P P P P ϕϕ======⑵内力分析：集中力作用在跨中，故跨中横截面为危险面。
,max ,max119.6637.245kN m 44112.593 1.943kN m 44z y y z M P l M P l ==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：跨中横截面D 2、D 1点分别具有最大的拉压应力，应力分析如图所示。
组合变形习题PPT课件
一个袋子中有5个红球和5个白球，从中随 机抽取5个球，求取出5个球中颜色相同的 概率。
高难度习题解析
总结词
这些习题难度较大，需要学 生具备较强的逻辑思维和分 析能力。
题目1
一个袋子中有10个不同颜色 的球，从中随机抽取3个球， 求取出3个球中颜色种类最 多的概率。
题目2
题目3
一个班级有20名学生，从中 选出5名学生代表，要求男 女比例相等且来自不同宿舍， 问共有多少种不同的选法。
04
组合变形的注意事项
力的作用点与方向
力的作用点
力的作用点是确定物体运动状态的依据，在分析受力时，必须明确力的作用点。
力的方向
在分析受力时，要明确力的方向，特别是对于作用在刚体上的力，其方向通常由 箭头的指向表示。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
力的大小与单位
力的大小
在分析受力时，要明确力的大小，通常用实线段表示力的大小，并在其旁边标注相应的 数值。
组合变形的实例解析
平面力系的组合变形
总结词
平面力系中，力的方向和作用点对确定刚体运动 状态十分重要。
总结词
平面力系中，力的合成与分解是解决复杂问题的 关键。
详细描述
在平面力系中，力的方向和作用点发生变化时， 刚体的运动状态也会随之改变。例如，当一个水 平推力作用在静止的木箱上时，木箱会沿推力方 向移动；而当这个推力作用点改变时，木箱的运 动轨迹也会发生变化。
组合变形的分类
线性组合变形
将多个简单形按照线性关系组合在一起，形成新 的复杂形。
对称组合变形
将多个简单形按照对称关系组合在一起，形成新 的复杂形。
非线性组合变形
将多个简单形按照非线性关系组合在一起，形成 新的复杂形。
工程力学组合变形习题
工程力学组合变形习题引言在工程力学中，组合变形是指由于受到多种力的作用，导致物体的形状和尺寸发生变化的现象。
组合变形是一种重要的力学现象，它在工程设计和分析中具有广泛的应用。
本文将介绍一些工程力学中常见的组合变形习题，并通过使用Markdown文本格式进行解答。
习题一一块钢板的初始长度为L0，厚度为L0，宽度为L0。
当向该钢板施加拉力L，使其同时拉伸和压缩时，钢板的最终长度L，厚度L和宽度L如何变化？解答：根据弹性原理，钢板的变形量与施加在它上面的力成正比。
设长度、厚度和宽度的变形比例分别为$\\epsilon_L$、$\\epsilon_t$和$\\epsilon_w$。
则钢板的最终长度、厚度和宽度为： $L = L_0(1 +\\epsilon_L)$ $t = t_0(1 + \\epsilon_t)$ $w = w_0(1 +\\epsilon_w)$施加拉力L对应的变形量为： $\\epsilon_L =\\frac{F}{AE}$，其中L为钢板的横截面积，L为钢的弹性模量。
同时，根据材料的体积不变原则，可得到如下关系：L0L0L0=LL0L综上所述，可以得到钢板的最终长度变化关系： $L = L_0(1 + \\frac{F}{AE})$钢板的最终厚度变化关系： $t = t_0(1 - \\frac{F}{AE})$钢板的最终宽度变化关系： $w = w_0(1 - \\frac{F}{AE})$习题二一根悬臂梁的初始长度为L0，弯曲刚度为L。
当在悬臂梁上施加一个集中力L时，悬臂梁的最大挠度L如何计算？解答：根据悬臂梁的弯曲理论，悬臂梁的挠度与施加在它上面的力成正比。
设最大挠度为L。
则悬臂梁的最大挠度与施加力的关系为：$δ =\\frac{F\\times L_0^3}{3Ek}$，其中L为悬臂梁的材料弹性模量。
习题三一根弹性绳的初始长度为L0，弹性系数为L。
当对该绳施加一个拉力L时，绳的最大伸长量L如何计算？解答：根据弹性绳的特性，绳的伸长量与施加在它上面的力成正比。
工程力学课后习题答案第十二章组合变形
第十二章 组合变形习 题12.1 矩形截面杆受力如图所示。
已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ，mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。
Oxyz1F 2F 1m 1mbh题12.1图解：危险点在固定端max yz z yM M W W σ=+max 6.69[]10MPa MPa σσ=<=12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为030=α，如图所示。
已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ，mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150lw =。
试校核梁的强度和刚度。
题12.2图22zmax 11cos3088y M q l q l ==⋅解：22ymax 11sin 3088z M q l q l ==⋅22ymaxzmax 2211cos30sin 308866z yq l q l M M bh bh W W σ⋅⋅=+=+26cos30sin 30()8ql bh h b=+32616210422 ()8120160100.1600.120-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ []6 11.971012.0,Pa MPa σ=⨯==强度安全 44z 35512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ⨯==4435512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ⨯==22maxcos30sin 30)()W ==+ =[]40.0202150m w m =<=刚度安全。
12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ，30=ϕ，如图所示。
檩条跨长m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。
14 kN/mq =题12.3图解：cos ,sin y z q q q q ϕϕ==22max max,88y z z y q l q l M M ==max max max[]y z z yM M W W σσ=+≤对工字钢，zyW W 大约在6～10之间，现设为8，由上式得 max 6max max16010/8y z z z M M Pa W W σ=+≤⨯330.85110z W m -≥⨯查40C 号钢，有，331190,99.6z y W cm W cm ==验算max maxmax 6616111901099.610y z M M MPa σ--=+=⨯⨯ 最大应力略大于许用应力，但不超过许用应力的5%，工程上允许，故可选40C 号钢12.4 图示构架的立柱AB 用25号工字钢制成，已知kN 20=F ，[]M Pa 160=σ，试校核立柱的强度。
《工程力学》组合变形
轴力 弯矩
ＦＮ= 100KN（拉）；
My=5 KN.m ; Mz=10 KN.m
z
Ｆ
x
合成弯矩
2 M My M z2 102 5 2 11.2KNm
1、在矩形截面杆的中间截面挖去t/2=5mm的槽。 P＝10KN， 杆件的许用应力[σ]＝160MPａ。 校核杆件的强度。
P 10
10
2、直角拐的边长为ａ＝60毫米，P＝10KN，力P 的作用线过AB截面的形心，求杆件内的最大正 应力。
4m B 3m P A
§８-3
弯扭组合变形
杆件同时受到横截面平面内的外力偶矩和横向力作用时， 将产生弯扭组合变形； 是扭转和平面弯曲两种基本变形的组合。 弯扭组合是机械工程中较常见的情况；
b
P1
P2
m
m
z
e
y
h
1、外力向轴线简化，判定基本变形
P1 P2
P1 +P2 M z=P2e
m
m
m
m
压弯组合变形； 黑板面内发生平面弯曲
轴向压力 弯矩
FN P1 P2
Mz P 2 e
2、分析横截面上的应力 _ _
z 轴力产生压应力 _
+ +
-
P P1 P 2 σ ' A A
3、组合变形下横截面上的应力
F c A
t ,max
c ,max
+
t ,max
=
Fl F t ,max Wy A Fl F c ,max Wy A
c ,max
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
工程力学第10章 组合变形
28
10.3 图示悬臂木梁，在自由端受集中力 F =2 kN，F 与 y轴夹角 φ =10°，木材的许用正应力［σ］=10 MPa， 若矩形截面 h/b=3，试确定截面尺寸。
29
30
10.4 承受均布荷载的矩形截面简支梁如图所示，q 的作用线通过截面形心且与 y轴成15°角，已知l=4m， b=80mm，h=120mm，材料的许用正应力［σ］=10MPa。 试求梁容许承受的最大荷载qmax。
2
3
10.1.2 组合变形的求解方法 在小变形、线弹性材料的前提下，杆件同时存在的 几种基本变形，它们的每一种基本变形都是彼此独立的， 即在组合变形中的任一种基本变形都不会改变另外一种 基本变形相应的应力和变形。这样，对于组合变形问题 就能够用叠加原理来进行计算。具体的方法及步骤是： （1）找出构成组合变形的所有基本变形，将荷载 化简为只引起这些基本变形的相当力系。 （2）按构件原始形状和尺寸，计算每一组基本变 形的应力和变形。 （3）叠加各基本变形的解（矢量和），得组合变 形问题的解，然后进行强度和刚度校核。
22
23
10.5 弯曲与扭转的组合变形
一般机械传动轴，大多同时受到扭转力偶和横向力 的作用，而发生弯曲与扭转的组合变形。下面以图10.14 （a）所示的圆形截面杆件为例，说明弯、扭组合变形 时的强度计算方法。 10.5.1 内力与应力分析 图10.14（a）中，Me使杆件受扭，扭矩图如图10.14 （b）所示；F1使杆件在Oxz平面内发生平面弯曲，弯矩 图My如图10.14（c）所示；F2使杆件在Oxy平面内发生平 面弯曲，弯矩图Mz如图10.14（d）所示。
19
20
21
10.4.2 截面核心 从式（10.10）看到，对偏心受压杆来说，当偏心压 力F的作用点变化时，中性轴在坐标轴上的截距也随之 变化。可见只要偏心压力F的作用点在截面形心附近的 某一区域时，中性轴就与截面相切或相离，这样，在偏 心压力作用下，截面上只产生压应力，而不出现拉应力。 通常将该区域称为截面核心（coreofacrosssection）。
工程力学22c14a
z
y
y
33
实际上，圆形、正多边形截面均有 Iz I y I =常数 ， 故总是平面弯曲！
F
z
F
F
z
y
y
M总
Mz
压应力 危险点
My 故圆形、正多边形截面双向弯曲时：
M总
M
2 y
M
2 z
z
拉应力 危险点
max
M总 W
y
34
（2）中性轴把截面划分为拉应力区和压应力区
（3）斜弯曲梁的强度计算
正确找出危险截面，在危险截面上正确找出危险点 外凸尖角处
当 时转化为第三强度理论。 11
第一强度理论的强度条件为： 第二强度理论的强度条件为：
r1 1 (14.1)
r2 1 ( 2 3 ) (14.2)
第三强度理论的强度条件为：
r3 1 3 (14.3)
第四强度理论的强度条件为：
r4
1 2
[(
z
D
F
沿 B+ 截面切开：
剪力 FSxB F
FSxB+ B TB+
D
F
MyB+
2Fa C
扭矩 TB 2Fa Fa Fa
弯矩例题
例 题 14-1
§I4 组合变形
A
B
沿 C+ 截面切开：
y 2Fa C
剪力
FSxc F
z
x
D
F
弯矩
M zC Fa MzC+
FSxC+ C
单压、二向压缩无法使用。 8
1.第二强度理论（最大拉应变理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应变（即某点的第一主应变 1 ） 是破坏的原因。当 1 b 时破坏发生。
组合变形习题解答
（2）弯曲与扭转组合变形的强度计算。
Aa”、““aAA%FMeBBCB2.若在正方形截面短柱的中间处开一个槽， 原截面面积的一半。
试求最大正应力比不开槽时增大儿倍 解：正方形短柱截面不开槽时最大正应力5）=字=厶 正方形短柱截而开槽时，BC 段受偏心压缩，偏心距卢0・5⑦ 抗弯截而系数出=//3,最大正应力，naxA 出 2於 疋 a 2如图所示，使横截面面积减少为6命/5）=8,所以开槽后最大正应力比不开槽时增大7倍。
7/ /z aa3•如图所示的支架，已知载荷斥45kN,作用在C 处，支架材料的许用应 力[cr]=160MP ,试选择横梁AC 的工字钢型号。
解：（1）外力分析作ABC 梁的受力图，如图12-3a 所示。
平衡方程t M A （斥）=0,心sin30° xAB —FBDb)图 12-1答：如图12-la 所示，将力F 平移到B 点，可知图中杆AB 产生弯曲变形；如图12-lb 所示，将力F 平移到C 点，可知杆BC 产生 压缩和弯曲组合变形；如图12-lc 所示，杆CD 产生（横力）弯曲变形。
D F1 •试判断图中杆AB 、BC 和CD 各产生哪些基本变形a)lm3m第12章组合变形的强度计算主要知识点：（1）弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算;z/Z解得心=120kAL 变形。
(2) 内力分析，确定危险截面的位置AB 段受到拉力，F v = F R cos30° = 104RN ,作出图12-3b 所示轴力图。
梁的AB 段、BC 段剪力均为常数，弯矩图均为斜直线，算得M l{ = -45kN ・m,作出图12-3c 所示弯矩图。
故危险截而是B-截而，即B 截而左侧。
危险截而上的轴力F v = 1(MRN 、弯矩M” = -45kN-m(3) 应力分析，确定危险点的位置危险截而上拉伸正应力6= 乌,弯曲正应力6=纬竺)，(见图12-3d)。
根据危险截A而上的应力分布规律可知，危险点在危险截而的上侧边缘。
工程力学-组合变形
10 组合变形1、 斜弯曲，弯扭，拉（压)弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念;2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为p p o o 22yzz y 1z y 0ii++⋅=3、危险点的应力计算,强度计算，变形计算、。
4、截面核心.10.1、定性分析图10。
1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?图 10.1［解］（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发生变形.（b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。
（c ）AB 是压缩弯曲组合变形,BC 是压弯组合变形。
（d ）CD 是弯曲变形，BD 发生压缩变形，AB 发生弯伸变形，BC 发生拉弯组合变形。
10。
2 分析图10。
2中各杆的受力和变形情况。
解题范例图 10.2［解］（a)力可分解成水平和竖直方向的分力，为压弯变形. (b）所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。
（c）该杆受竖向集中荷载，产生弯曲变形.（d)该杆受水平集中荷载,偏心受压，产生压缩和弯曲变形.（e）AB段：受弯，弯曲变形,BC段：弯曲。
（f）AB段:受弯,弯曲变形，BC段：压弯组合。
（g）AB段：斜弯曲，BC段:弯纽扭合.10.3分析图10.3 示构件中（AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形？图10。
3［解] AB 段发生弯曲变形，BC 段发生弯曲、扭转变形；CD 段发生拉伸、双向弯曲变形。
10。
4一悬臂滑车架如图 10。
4 所示，杆AB 为18号工字钢(截面面积30.6cm 2，Wz=185cm 3）,其长度为l =2.6m.试求当荷载F=25kN 作用在AB 的中点处时，杆内的最大正应力。
设工字钢的自重可略去不计。
Bl /2F 20kN 300CDAl图 10。
4［解］ 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 3225==NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴力图和弯矩图：kNll /23225FlkN 。
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组合变形
1试分别求出图示不等截面杆的绝对值最大的正应力，并作比较。
解题思路：
（1）图（a ）下部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中
的弯曲截面系数；
（2）图（b ）是轴向压缩，按式（8-1）计算其最大正应力值；
（3）图（a ）中部属偏心压缩，按式（12-5）计算其绝对值最大的正应力，要正确计算式中
的弯曲截面系数。
答案：2a 34)(a F =σ，2
b )(a F =σ，2
c 8)(a F =σ
2某厂房一矩形截面的柱子受轴向压力1F 和偏心荷载2F 作用。
已知kN 1001=F ，
kN 452=F ，偏心距mm 200=e ，截面尺寸mm 300,mm 180==h b 。
（1）求柱内的最大拉、压应力；（2）如要求截面内不出现拉应力，且截面尺寸b 保持不变，此时h 应为多少？柱内的最大压应力为多大？
解题思路：
（1）立柱发生偏心压缩变形（压弯组合变形）；
（2）计算立柱I-I 截面上的内力（轴力和弯矩）；
（3）按式（12-5）计算立柱截面上的最大拉应力和最大压应力，要正确计算式中的弯曲截
面系数；
（4）将b 视为未知数，令立柱截面上的最大拉应力等于零，求解b 并计算此时的最大压应
力。
答案：（1）MPa 648.0max t =σ，MPa 018.6max c =σ
（2）cm 2.37=h ，MPa 33.4max c =σ
3旋转式起重机由工字钢梁AB 及拉杆BC 组成，A 、B 、C 三处均可简化为铰链约束。
起重
荷载kN 22P =F ，m 2=l 。
已知MPa 100][=σ，试选择AB 梁的工字钢型号。
解题思路：
（1）起重荷载移动到AB 跨中时是最不利情况；
（2）研究AB 梁，求BC 杆的受力和A 支座的约束力。
AB 梁发生压弯组合变形；
（3）分析内力（轴力和弯矩），确定危险截面；
（4）先按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，选择AB 梁的工字钢型号；
（5）再按式（10-2）计算危险截面的最大应力值，作强度校核。
答案：选16.No 工字钢
4图示圆截面悬臂梁中，集中力P1F 和P 2F 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内，并且垂直
于梁的轴线。
已知N 800P1=F ，kN 6.1P2=F ，m 1=l ，许用应力MPa 160][=σ，试确定截面直径d 。
解题思路：
（1）圆截面悬臂梁发生在两个互相垂直平面上的平面弯曲的组合变形；
（2）分析弯矩y M 和z M ，确定危险截面及计算危险截面上的y M 和z M 值；
（3）由式（10-15）计算危险截面的总弯矩值；
（4）按弯曲正应力强度条件（12-27）设计截面，确定悬臂梁截面直径d 。
答案：mm 5.59≥d
5功率kW 8.8=P 的电动机轴以转速min /r 800=n 转动，胶带传动轮的直径mm
250=D
，胶带轮重量N 700=G ，轴可以看成长度为mm 120=l 的悬臂梁，其许用应力
MPa 100][=σ。
试按最大切应力理论设计轴的直径d 。
解题思路：
（1）由式（6-1）计算电动机轴所受的扭转外力偶矩，并由扭转外力偶矩与传动轮胶带拉力
的关系求拉力F T ；
（2）将电动机轴简化为在自由端受集中力G 和大小为3F T 的集中力以及扭转外力偶矩作用
的悬臂梁。
梁发生扭转与在两个互相垂直平面内的平面弯曲的组合变形；
（3）分析内力（扭矩和弯矩），确定危险截面，求危险截面上的扭矩、弯矩y M 和z M 、总
弯矩M ；
（4）按最大切应力理论（10-16）设计轴的直径d 。
答案：mm 8.33≥d
6如图所示，手摇绞车车轴直径cm 3=d 。
已知许用应力MPa 80][=σ，试根据第三强度理
论计算最大的许可起吊重量F 。
解题思路：
（1）受力分析，将力F 向轮心平移，得一集中力和一力偶，车轴发生弯扭组合变形；
（2）分析内力（扭矩和弯矩），确定危险截面及危险截面上的扭矩、弯矩；
（3）按第三强度理论（10-13）计算最大的许可起吊重量F 。
答案：N 788max =F
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
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