正方形专题知识点

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生活中正方形的知识点总结

生活中正方形的知识点总结正方形是一种具有特殊性质的几何图形，在我们日常生活中经常能够见到。

它具有独特的特征和性质，因此我们有必要对正方形的知识点进行总结和学习，以便更好地理解和应用它们。

在这篇文章中，我将对正方形的定义、特征、性质、应用等方面进行详细的总结，希望能给大家带来一些启发和帮助。

正方形的定义:正方形是一种具有四条边和四个角的几何图形，其特点是四条边长度相等，四个角度均为直角。

正方形也可以看做是一种特殊的矩形，因为它具有矩形的所有属性，但是矩形不一定是正方形。

同时，正方形也是一种特殊的菱形，因为它具有菱形的所有属性，但是菱形不一定是正方形。

正方形的特征:1. 四条边长度相等: 正方形的四条边长度相等，这是它和其他几何图形的一个显著区别。

这也是正方形最基本的特征之一。

2. 四个角度均为直角: 正方形的四个角度均为90度，这也是它和其他几何图形的一个显著区别。

这也是正方形最基本的特征之一。

3. 对角线相等且垂直平分: 正方形的对角线相等且互相垂直平分。

这也是它和其他几何图形的一个显著区别。

正方形的对角线相等是它的一个重要特征之一，同时对角线垂直平分也是它的一个重要特征之一。

正方形的性质:1. 正方形的对角线相等且垂直平分: 正方形的对角线相等且互相垂直平分，这是正方形的一个非常重要的性质。

对角线垂直平分能够将正方形分成两个全等的直角三角形，并且对角线的长度等于正方形的边长。

2. 正方形的所有角度均为直角: 正方形的所有角度均为90度，这是它的一个非常重要的性质。

这也意味着正方形的两条相邻边互相垂直，这一性质是正方形在建筑、绘画等领域的应用中发挥着很大的作用。

3. 正方形的对角线长度: 正方形的对角线长度可以用勾股定理来计算，对角线的长度等于正方形的边长乘以根号2，即d = a*√2，其中d为对角线的长度，a为正方形的边长。

4. 正方形的面积和周长: 正方形的面积可以用边长的平方来计算，即A = a^2，其中A为正方形的面积，a为正方形的边长。

三年级上册长方形和正方形的重点知识点

三年级上册长方形和正方形的重点知识点
一、认识长方形和正方形。

掌握长方形、正方形的边与角有什么特点。

长方形对边相等，四个角都是直角。

正方形四条边都相等，四个角都是直角。

通常把长方形的长边叫做长，短边叫做宽。

把正方形的每一条边都叫做边长。

三角形的周长=三条边的和平行四边形的周长=四条边的和长方形的周长=（长+宽）×2
正方形的周长=边长×4长方形的周长÷2 —长 = 宽
长方形的周长÷2 —宽=长正方形的周长÷4=边长。

二、区别：
用10个边长一厘米的小棒拼出一个长方形，长和宽各是几厘米？用10个边长一厘米的正方形拼出一个长方形，长和宽各是几厘米？
三、在一个长方形里剪下一个最大的正方形，正方形的边长是原来长方形的宽。

长方形对边相等，四个角都是直角。

正方形每条边都相等，四个角都是直角。

(完整版)正方形知识点复习总结

(完整版)正方形知识点复习总结正方形知识点复总结1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特点：- 四条边的长度相等。

- 四个内角都是90度。

- 对角线相等且垂直平分。

2. 正方形的性质2.1 逆向性质正方形的逆向性质可以由其定义推导得出：- 如果一个四边形的四条边都相等且四个内角都是90度，则它是正方形。

2.2 边长和对角线的关系在一个正方形中，边长和对角线之间存在以下关系：- 对角线的长度等于边长的根号2倍。

- 边长等于对角线长度的根号2的一半。

2.3 面积和周长正方形的面积和周长计算公式如下：- 面积：边长的平方。

- 周长：边长的四倍。

2.4 正方形与其他几何图形的关系正方形与其他几何图形的关系如下：- 正方形是一个长方形，其中长和宽相等。

- 正方形也是一个菱形，其中每个角都是90度。

3. 判断正方形的方法在解决问题时，我们有时需要判断一个四边形是否是正方形。

以下是几种判断的方法：- 判断边长：检查四条边是否长度相等。

- 判断角度：检查四个内角是否都是90度。

- 判断对角线：检查对角线长度是否相等且垂直平分。

4. 示例题目下面是一些关于正方形的示例题目，帮助巩固对正方形知识的理解：1. 若一个四边形的边长为4cm，是不是正方形？2. 如果一个四边形的边长为6cm，内角都是90度，那它一定是正方形吗？3. 一个四边形的对角线长度为5cm，是不是正方形？5. 结论正方形是一种具有特殊性质的四边形，有着特定的定义和性质。

了解正方形的定义、性质以及判断方法可以帮助我们更好地理解和应用正方形相关的问题。

正方形的性质与技巧

经典结论1：对角线所在直线为对称轴
根据对称性，我们有如下结论： ADE CDE； BAM DAM
对角线或其延长线上的点（对称轴上的点）：
(1)到对角顶点的距离都相等. (2)与正方形的对应边的夹角都相等.
经典结论2：对边中点连线是对称轴
根据对称性，我们有如下结论：
MAB MDC； MAE MDE； MBF MCF
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）当AB=AC= ，BC = 4，AD=6时，求证：四边形BECD是正方形．
练3-2.如图所示，已知在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC 的平分线，交BC于点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
练习：如图正方形ABCD中， DAF= ，AF角对角线BD与E，则 BEC=.
例1.（1）下列关于正方形的说法，错误的有（）
①正方形是轴对称图形； ②正方形有两条对称轴； ③正方形是中心对称图形；
④正方形的对称中心是对角线的交点； ⑤正方形的对角线平分一组内角；
⑥正方形的对角线互相垂直平分．
A：1个B：2个C：3个D：4个
练2-1.如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外作正△ABE，CE与BD相交于点F，则
∠AFD的度数为______．
练2-2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
求证：（1）AP=EF；（2）AP⊥EF．
【知识点三】正方形的判定
笔记：矩形 → （①领边相等；②对角线垂直）→ 正方形
③点A到EF的距离等于正方形的边长.
例4.点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上．若∠EAF= 45 ，证明：EF = BE + DF．

长方形和正方形的知识点

长方形和正方形的知识点长方形和正方形是我们日常生活中常见的几何形状。

它们的特点不仅仅是形状本身，还包括其数学结构和应用等方面。

在本文中，我们将详细探讨长方形和正方形的知识点，包括定义、性质、图形构造、测量方法和应用等。

一、长方形的定义和性质长方形是指四条边都不相等的四边形，其中相对的两边长度相等，各组对边相互平行。

长方形有以下性质：1. 对角线相等：长方形的两条对角线相等。

2. 内角和：长方形的内角和为360°，即四个内角相加等于360度。

3. 面积计算：长方形的面积等于长乘以宽，即S=l×w4. 周长计算：长方形的周长等于两倍的长+两倍的宽，即C=2(l+w)5. 中心对称：长方形的任何一条中心线都可以将其分为两个全等的部分。

二、正方形的定义和性质正方形是指四条边都相等的四边形，其中四个内角均为90度，各组对边相互平行。

正方形有以下性质：1. 对角线相等：正方形的两条对角线相等，且垂直于对方。

2. 内角和：正方形的内角和为360°，即四个内角相加等于360度。

3. 面积计算：正方形的面积等于边长的平方，即S=a×a4. 周长计算：正方形的周长等于4a，即C=4a (a表示正方形的边长)5. 中心对称：正方形的任何一条中心线都可以将其分为两个全等的部分。

三、长方形和正方形的图形构造在几何学中，可以通过直尺和圆规这样的基本书写工具来构造长方形和正方形。

长方形的构造方法如下：首先画好一条较长的线段作为长方形的长，然后在一端向垂直线的方向画一条较短的线段，这条线段就是长方形的宽。

最后，通过连接这两条线段得到长方形。

正方形的构造方法如下：首先画一个正弦角度的线段，然后在一端向垂直线的方向画出与该线段相等的另一条线段。

之后，通过连接这两条线段得到正方形的边。

四、长方形和正方形的测量方法长方形和正方形的测量方法包括计算其面积和周长等。

通常测量其尺寸的工具包括尺子和计算器等。

正方形几何知识点总结

正方形几何知识点总结1. 正方形的定义正方形是一种特殊的四边形，具有以下特征：- 四条边长度相等。

- 四个角都是直角。

- 对角线长度相等。

2. 正方形的性质正方形具有许多特殊的几何性质，以下是其中一些重要的性质：- 对角线相互垂直且相等长。

- 对角线平分彼此，并互相平分的两对角。

- 对角线互相垂直 bisecting 的两对边。

- 正方形的对边平行。

3. 正方形的面积正方形的面积可以通过边长的平方来计算，即S = a^2，其中S表示面积，a表示边长。

这是由于正方形的对角线可以被看做是两个边长为a的等腰直角三角形组成，而这两个三角形的面积为a^2/2，那么正方形的面积就是两个等腰直角三角形的面积之和，即为a^2。

4. 正方形的周长正方形的周长可以通过四条边长之和来计算，即P = 4a，其中P表示周长，a表示边长。

5. 正方形的对角线正方形的对角线是十分重要的特征，对角线可以通过勾股定理来计算，即d = a√2，其中d表示对角线的长度，a表示边长。

6. 正方形的内切圆和外切圆正方形的内切圆和外切圆都具有特殊的性质，内切圆的半径等于正方形的边长一半，外切圆的半径等于正方形的边长。

内切圆和外切圆都具有与正方形相关的角度性质。

7. 正方形的性质应用正方形是一种非常常见的几何形状，在日常生活和工作中都有广泛的应用。

例如，建筑设计中的房间布局、地砖的铺设、织物的裁剪等都离不开对正方形的理解和应用。

另外，正方形也经常作为其他几何形状的构成要素在数学和工程中被广泛使用。

8. 正方形的相关定理在研究正方形的性质和应用中，我们会发现许多与正方形相关的定理。

这些定理有时会涉及到正方形的对角线、内切圆和外切圆等特殊情况，这些定理的理解和应用都对于理解正方形和解决与之相关的问题非常重要。

9. 正方形的拓展正方形是一种特殊的四边形，它有着许多独特的特征和性质。

在对正方形的几何知识有一定了解之后，我们可以对正方形进行拓展，将其与其他几何形状进行比较和联系，从而更好地理解和应用正方形的几何知识。

长方形和正方形的知识要点

长方形和正方形的知识要点长方形和正方形是几何学中常见的两种形状，它们在日常生活中无处不在，具有广泛的应用。

本文将介绍长方形和正方形的定义、特性、应用以及它们在我们生活中的重要性。

一、长方形的定义及特性长方形是指具有四个内角为直角（90度）的四边形。

长方形的特点如下：1. 所有内角都是直角，即90度。

2. 相对的两边长度相等。

3. 相邻的两边互相垂直，即两两成直角。

长方形的应用十分广泛。

在建筑设计中，长方形常用于房屋的平面布局，因其方便分割空间，布置家具。

在家居装饰中，长方形的桌子、书架等家具也是很常见的。

另外，在农田规划中，农田常常被划分为长方形的形状，以便于管理和耕种。

二、正方形的定义及特性正方形是指具有四个内角为直角（90度）且四条边长度相等的四边形。

正方形的特点如下：1. 所有内角都是直角，即90度。

2. 所有边的长度相等。

正方形也有许多应用。

在建筑设计中，正方形常用于设计庭院或公共空间的铺地砖，以创造规整的视觉效果。

在日常生活中，许多物体的形状也是正方形，例如电视机、手机、书本等。

正方形还在数学中经常被用作基本模型，用于教学和研究。

长方形和正方形在我们生活中的重要性不可忽视。

它们的规整形状使得人们更容易理解和应用。

无论是建筑、设计还是数学，长方形和正方形都发挥着重要的作用。

总结：长方形和正方形是几何学中常见的形状，分别具有不同的特性和应用。

长方形是具有四个内角为直角的四边形，而正方形是具有四个内角为直角且四条边长度相等的四边形。

它们在建筑、设计、数学等领域都有重要的应用。

无论是我们的生活空间还是数学问题，长方形和正方形都扮演着重要的角色。

因此，我们应该对长方形和正方形有一定的了解，并学会灵活运用它们。

通过深入了解长方形和正方形的特性和应用，我们可以更好地应对实际问题，并且提高我们的观察和分析能力。

九年级- 正方形知识点典型例题及练习

正方形一、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（2）对角线与边的夹角为︒45；（3）正方形是中心对称和轴对称图形，对称中心在两条对角线交点上；对称轴有四条；（4）正方形内任意一点P 到四个顶点的长也满足下列关系： 2222PD PB PC PA +=+二、正方形的判定（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。

（3）有一个角是直角的菱形是正方形。

（4）对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。

特殊四边的中点四边形：ABCDP等腰梯形的中点四边形是菱形直角梯形的中点四边形是平行四边形梯形的中点四边形是平行四边形平行四边形的中点四边形是平行四边形矩形的中点四边形是菱形菱形的中点四边形是矩形正方形的中点四边形是正方形归纳：特殊四边形的中点四边形：◆平行四边形的中点四边形是平行四边形◆矩形的中点四边形是菱形◆菱形的中点四边形是矩形◆正方形的中点四边形是正方形◆等腰梯形的中点四边形是菱形◆直角梯形的中点四边形是平行四边形◆梯形的中点四边形是平行四边形一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系例题分析例1 下列叙述错误的是（）A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形B.有一组邻边相等的矩形是正方形C.有一个角是直角的菱形是正方形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形例2 如图1-3-1，正方形ABCD 的面积为256，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，EC ⊥FC ，∆CEF 的面积是200，则BF 的长是 .例 3 已知E 为边长是1的正方形ABCD 内一点，且AEB S ∆=0.1999，则CED S ∆= .例4 如图1-3-2，正方形ABCD 的边长AB=20，F 为AD 上的一点，连接CF ，作CE ⊥CF 交AB 的延长线于E ，作DG ⊥CF 交CF 于G ，若BE=15，则DG 的长为 .例5 如图1-3-3，正方形ABCD 中，E ，F 为BC ，CD 上的点，且∠EAF=45°，求证EF=BE+DF .1-3-11-3-21-3-3例6 如图1-3-4，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 上的两个点，且BF=DE=1，从EF 的中点O 作EF 的垂直平分线，交CD 于G ，则OG = .例7 如图1-3-5，正方形ABCD 的边长为a ，E ，F ，G ，H 分别在正方形的四条边上，已知EF//GH ，EF=GH ，（1）若AE=AH=13a ，求四边形EFGH 的周长和面积；（2）求四边形EFGH 的周长的最小值.例8 如图1-3-6，已知E 是正方形ABCD 内一点，且∠ECD=∠EDC=15°，则AEB ∠= .90.DEC D DE A DE A AD AEB ∆︒''∆∆∠分析：利用旋转将以为中心顺时针旋转得到，再将以为轴对称即可得出度数1-3-41-3-61-3-51-3-81.在正方形ABCD 内有点P ，使∆PAB 、 ∆PBC 、∆PCD 、∆PDA 都是等腰三角形，那么具有这样性质的点是个2.已知边长为4的正方形ABCD 中，F 是AD 的中点，E 点在AB 边上，且AE:EB=1:3，那么EFC S ∆= .3.一张边长为6的长方形纸片，按图1-3-7加以折叠，使得一角顶点落在对边上，则折痕长为 .4.若P 是边长为1的正方形ABCD 内一点，且0.31ABP S ∆=，则DCP S ∆= .5.边长为10的正方形，把边长增加同样的长度后，所得面积是625，则边长增加了 .6.如图1-3-8将正方形内接于等腰Rt ABC ∆，如果按照图甲的放法，可求得该正方形的面积是441，如果按照图乙的放法，那么只能放边长为的正方形1-3-77.如图1-3-9，在面积为1的正方形ABCD 内取一点P ，使PBC ∆为等边三角形，求∆BPD 的面积.8.如图1-3-10，正方形OPQR 内接于∆ABC .已知∆AOR 、∆BOP 和∆CRQ 的面积分别是1、3和1.试求正方形OPQR 的面积.9.如图1-3-11，已知正方形AC 、BD 相交于点O ，BE 平分∠OBA ，CF ⊥BE 与F ，交OB 于G ，求证OE=OG.10.如图1-3-12，点P 在正方形ABCD 内，若PA:PB:PC=1：2：3，求∠APB 的度数.1-3-91-3-101-3-111-3-1211.如图1-3-13，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过,A C 作l 的垂线，垂足分别为,E F .若1AE =，3CF =，则AB 的长度为 .练习12（中，折叠与正方形的性质）如图1-3-14，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合。

正方形知识点总结及典型试题

4．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．
5．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是。
6．如图，在边长为6√2的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=。
典型试题
一．选择题
1.如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=1/2BF；②∠CHF=45°；③GH=1/4BC；④DH2=HE•HB．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）
A．（2，10）B．（-2，0）C．（2，10）或（-2，0）D（10，2）或（-2，0）
10．在平面直角坐标系中，第1个正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作第2个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第3个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为（）A．5(3/2)2010B．5(9/4)2011C.5(9/4)2009D.5(3/2)4020
正方形知识点总结及典型试题
知识点一：正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形；正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形。

与正方体有关的知识点总结

与正方体有关的知识点总结1. 正方体的基本特征正方体是一种立体几何体，其特征为六个相等的正方形表面。

因此，正方体具有以下基本特征：(1) 六个面：正方体有六个面，每个面都是一个正方形，且所有的面都相互垂直。

(2) 八个顶点：正方体有八个顶点，每个顶点由三个相邻面的交点组成。

(3) 十二条边：正方体有12条边，每个边连接两个相邻的顶点。

2. 正方体的性质正方体具有许多独特的性质，这些性质在数学和几何中具有重要的应用价值。

以下是正方体的一些重要性质：(1) 所有的面都是相等的正方形：正方体的每个面都是一个相等的正方形，因此具有相等的面积和相等的对角线长度。

(2) 相对的面和边相等：正方体的相对的面和边都是相等的，即对称的面和对称的边长度相等。

(3) 对角线长度相等：正方体的对角线长度相等，即相对的顶点之间的对角线长度相等。

(4) 对角线的长度：正方体的对角线长度可以通过勾股定理求得，即对角线的长度等于边长的平方根乘以3。

3. 正方体的公式正方体具有许多与其相关的公式，这些公式在计算正方体的各种属性时具有重要的作用。

以下是正方体的一些基本公式：(1) 面积公式：正方体的表面积等于6倍的边长的平方。

(2) 体积公式：正方体的体积等于边长的立方。

(3) 对角线长度公式：正方体的对角线的长度等于边长的平方根乘以3。

(4) 对角线长度公式：正方体的对角线的长等于3倍边长。

4. 正方体的应用正方体在数学、几何、建筑和工程等领域都有着重要的应用。

以下是正方体在各个领域的具体应用：(1) 数学和几何：正方体是研究立体几何的重要对象，利用正方体的公式可以求解许多与正方体相关的问题。

(2) 建筑和工程：正方体在建筑和工程中被广泛应用，如建筑结构、立柱和模型等。

(3) 艺术和设计：正方体作为一种立体几何体，在艺术和设计中也有着重要的应用，如雕塑、装饰和摆件等。

综上所述，正方体是一种具有六个相等的正方形表面的立体几何体，具有许多重要的性质和公式，广泛应用于数学、几何、建筑和工程等领域。

专题03正方形的性质与判定(3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法)(原卷版)-初中数学9年级上册

专题03正方形的性质与判定（3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：正方形的定义知识点2：正方形的性质（重难点）知识点3：正方形的判定（重难点）【方法二】实例探索法题型1：由正方形的性质求角的度数题型2：由正方形的性质求线段的长度题型3：由正方形的性质证明线段相等题型4：由正方形的性质解决正方形的周长与面积问题题型5：正方形的判定题型6：正方形的性质与判定综合运用题型7：与正方形有关的动态问题题型8：与正方形有关的存在性问题【方法三】差异对比法易错点1正方形的性质运用不正确导致出错【方法四】仿真实战法考法1：正方形性质考法2：正方形判定【方法五】成果评定法【知识导图】【方法一】脉络梳理法知识点1：正方形的定义有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.知识点2：正方形的性质1.正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．2.正方形四个角都是直角，四条边都相等.3.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.4.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心知识点3：正方形的判定1.从平行四边形出发：有一个内角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。

2.从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形.3.从菱形出发：有一个内角是直角的菱形是正方形.例1.如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BDC．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分【方法二】实例探索法题型1：由正方形的性质求角的度数例2.（1）如图（1），已知P正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则ACP度数是；（2）如图（2），正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB延长线上一点，CE=BD，∠ECB的度数是_______．例3.正方形ABCD被两条分别与边AB、BC平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰好是矩形AGPE 面积的2倍，求∠HAF 的大小．A B CDE F G H P 题型2：由正方形的性质求线段的长度例4.如图，已知有一块面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 上的中点，将点C 折到MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ．求：（1）MP 的长；（2）PQ的长．题型3：由正方形的性质证明线段相等例5.如图，正方形ABCD 的对角线AC 上截取CE =CD ，作EF ⊥AC 交AD 于点F ．求证：AE =EF =FD ．AB CDE F 例6.如图，已知E 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，BF ⊥AE ，垂足为G ，交CD 于点F ．求证：AE =BF ．A B CDE F G例7.已知：Q 为正方形ABCD 的CD 边的中点，P 为CD 上一点，且∠BAP =2∠QAD ．求证：AP =PC +BC ．A BCD P Q 例8.已知：在正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．求证：MD =MN ．A B CD EM N G 题型4：由正方形的性质解决正方形的周长与面积问题例9.已知：如图边长为a 的正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别为DC 、BC 上的点，且=DE CF ．求证：（1）EO FO ⊥．（2）M 、N 分别在OE 、OF 延长线上，OM ON a ==，四边形MONG 与正方形ABCD 重合部分的面积等于214a．题型5：正方形的判定例10.如图所示，已知矩形ABCD的各内角平分线AQ、DF、BE、CH分别交BC、AD于点Q、F、E、H，试证明它们组成的四边形MNPO是正方形．题型6：正方形的性质与判定综合运用例11.如图，在线段AE上取一点B，使AB BE>，以AB、BE为边在AE同侧作正方形ABCD和BEFG，在AB上取AH BE=．=，在BC的延长线上取一点K，使CK BG求证：四边形HFKD为正方形．题型7：与正方形有关的动态问题例12.如图（1）所示，四边形ABCD是由两个全等的等腰直角三角形斜边重合在一起组成的平面图形．如图（2）所示，点P 是边BC 上一点，PH ⊥BC 交BD 于点H ，连接AP 交BD 于点E ，点F 为DH 中点，连接AF ；（1）求证：四边形ABCD 为正方形；（2）当点P 在线段BC 上运动时，∠PAF 的大小是否会发生变化？若不变，请求出∠PAF 的值；若变化，请说明理由；（3）求证：222BE DF EF +=．题型8：与正方形有关的探究问题例13.如图四边形ABCD 是正方形，点E、K 分别在BC，AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作 DEFG．(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．例14.如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG DE⊥，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．（1）由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论．（2）联结DF，如果正方形的边长为2，设AE x=，DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域．（3）如果正方形的边长为2，FG的长为52，求点C到直线DE的距离．【方法三】差异对比法易错点1：正方形的性质运用不正确导致出错例15.如图所示，菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得点P、Q、R、S分别为边AB、BC、CD、DA上的点．已知PB=15，BQ=20，PR=30，QS=40．求矩形ABCD的周长．【方法四】仿真实战法考法1：正方形性质1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B 的对应点B1的坐标为（）A．（﹣，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，2）2．（2022•广州）如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上，且CE＝1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N分别是BE，BF的中点，则MN的长为（）A ．B ．C ．2﹣D ．3．（2022•青岛）如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形．若AB ＝2，则OE 的长度为（）A ．B ．C ．D ．4．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（）A ．B ．2C ．2D ．45．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（）A ．2+2B ．5﹣C ．3﹣D ．+16．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ．E 、F 分别为AC 、BD 上一点，且OE ＝OF ，连接AF ，BE ，EF ．若∠AFE ＝25°，则∠CBE 的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°7．（2022•泸州）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE＝2AE，过点E作DE 的垂线交正方形外角∠CBG的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（）A．B．C．D．18．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是．9．（2022•海南）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE＝AF，∠EAF＝30°，则∠AEB ＝°；若△AEF的面积等于1，则AB的值是．10．（2022•黔东南州）如图，折叠边长为4cm的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C落在点E处，分别延长ME、DE交AB于点F、G，若点M是BC边的中点，则FG＝cm．11．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC 上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH 沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．12．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC 于点H、G，则BG＝．13．（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．（1）求证：△ABE≌△FMN；（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．14．（2022•遵义）将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放，顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B，点E，G分别在AB，BC上．（1）求证：△ADE≌△CDG；（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．15．（2022•恩施州）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF ⊥CE于点F．求证：DF＝BE+EF．16．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．考法2：正方形判定17．（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．18．（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE ＝DF，OE＝OA．求证：四边形AECF是正方形．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·江苏常州·统考二模）如图，把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影面积为（）A ．2B ．4C ．9D ．162．（2023·上海崇明·统考二模）下列命题是真命题的是（）A ．四边都相等的四边形是正方形B ．一组邻边相等的矩形是正方形C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形3．（2023·浙江台州·统考一模）如图，学校为美化校园环境，决定在一个边长为10m 的正方形花坛中，按图中所示的分布方式种植郁金香和雏菊．则种植郁金香的总面积是()A ．232mB ．240mC ．248m D ．250m 4．（2023·辽宁本溪·统考一模）下列命题中，是真命题的有（）①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③对角线互相平分的四边形是平行四边形④对角线相等的菱形是正方形A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④5．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，G 是AD 边中点，F 在AB 边上，且45GCF ∠=︒，则FB 的长是（）A ．43B ．6．（2023·山东威海·统考一模）如图，正方形针旋转45︒得到正方形1OA B 标为(1,0)，则点2023B 的坐标为（A ．()11-，B 7．（2023·山东济宁·统考一模）如图，点角边EF EG ，分别交BC ，（）A ．223n B ．14n 8．（2023·河北承德·统考一模）和OC 上的点（不与点A 、O 、过点F 作IJ AC ⊥分别交CD 、+=始终成立．甲：随着AE长度的变化，GH IJ BD乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．下列选项正确的是（）A．甲、乙、丙都对B．甲、乙对，丙不对C．甲、丙对，乙不对D．甲不对，乙、丙对二、填空题10．（2023·黑龙江齐齐哈尔添加一个条件：11．（2023·北京通州点O与BC边上的中点形，则BE的长度为12．（2023·天津西青·统考一模）如图，点中点，连接DF，若AB=13．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，顶点A 在x 轴的负半轴上，顶点C 在y 轴的正半轴上，若直线2y kx =+与边AB 有公共点，则k 的取值范围是____________．14．（2023·天津和平·统考二模）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 为边BC 上一点，3BE =，在AE 的右侧，以AE 为边作正方形AEFG ，H 为BG 的中点，则AH 的长等于________．15．（2023·吉林长春·校考一模）如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图.连结AC 、FN ，分别交EF 、GH 于点M ，.N 已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为______．16．（2023·河南濮阳·统考一模）将大小不一的正方形纸片甲、乙、丙、丁放置在如图所示的长方形ABCD 内（相同纸片之间不重叠），其中，若正方形“乙”的边长是m ，阴影部分“戊”与阴影部分“己”的周长之差为___________．17．（2023·天津东丽·统考一模）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是BC 边中点，GH 垂直平分DE 且分别交AB 、DE 于点G 、H ，则AG 的长为______.18．（2023·辽宁葫芦岛沿AEAE，将ABE_____________；19．（2023春·安徽宣城·九年级校联考阶段练习）三、解答题20．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在ABC=，点D是边BC的中点．过点A、D分别作BC中，AB AC、．与AB的平行线，并交于点E，连结EC AD(1)求证：四边形ADCE 是矩形．(2)当四边形ADCE 是正方形，8DE =时，BC =______．21．（2023·山东泰安·统考二模）在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，在BC 延长线上取点F ，使EF ED =．过点F 作FG ED ⊥交ED 于点M ，交AB 于点G ，交CD 于点N ．(1)求证：CDE MFE ≌；(2)若E 是BC 的中点，请判断BG 与MG 的数量关系，并说明理由．22．（2023·山西长治·统考一模）综合与实践问题情境：将正方形ABCD 的边BC 绕点B 逆时针旋转得到线段BE ，旋转角为(0180)αα︒<<︒，连接CE ，CBE ∠的平分线交直线AE 于点F ．(2)深入探究：如图2，当①求AFB∠的度数；②求证：2=CE EF(1)操作判断操作一：在正方形纸片ABCD 的AD 边上取一点E ，沿CE 折叠，得到折线CE ，把纸片展平；操作二：对折正方形纸片ABCD ，使点C 和点E 重合，得到折线GF 把纸片展平．根据以上操作，判断线段CE GF ，的大小关系是______，位置关系是______．(2)深入探究如图2，设HE 与AB 交于点I ．小华测量发现IE IB ED =+，经过思考，他连接IC ，并作EIC 的高CK ，尝试证明CKE CDE ≌△△，CBI CKI ≌△△．请你帮助完成证明过程．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形ABCD 的边长为10cm ，当点I 是AB 的三等分点时，请直接写出AE 的长．24．（2023·吉林长春·校考一模）图①、图②均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB 为边画一个平行四边形ABCD．（1）平行四边形ABCD的面积为5．（2）图①、图②所画图形不全等．（3）点C、D均在格点上．25．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图①，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD、、．（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN AM CM，是等边三角形吗？为什么？(1)连接MN BMN(2)求证：AMB ENB△≌△；+的值最小；(3)①当M点在何处时，AM CM②如图②，当M点在何处时，AM BM CM++的值最小，请你画出图形，并说明理由．26．（2023春·江西抚州·九年级临川一中校考期中）如图，E是正方形ABCD的边CD上一点，连接AE．请仅用无刻度的直尺完成画图．（保留画图痕迹，不写作法）(1)在图（1）中，平移线段AE，使E点与C点重合；(2)在图（2）中，将线段AE绕点A顺时针旋转90︒，得到线段AM．27．（2023·北京丰台·统考一模）在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点E在对角线AC上，连接EB，点F在直线AD上（点F与点D不重合），且EF EB=．(1)如图1，当点E在线段AO上（不与端点重合）时．①求证：AFE ABEÐ=Ð；②用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明；(2)如图2，当点E在线段OC上（不与端点重合）时，补全图形，并直接写出线段AB，AE，AF的数量关系．28．（2023·河南南阳·统考一模）综合与实践数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图1．已知矩形纸片ABCD ，其中6AB =，11AD =．(1)操作判断将矩形纸片ABCD 按图1折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，可得到一个45︒的角，请你写出一个45︒的角．(2)探究发现将图1的纸片展平，把四边形EFCD 剪下来如图2，取FC 边的中点M ，将EFM △沿EM 折叠得到EF M '△，延长EF '交CD 于点N ，判断EDN △的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．(3)拓展应用改变图2中点M 的位置，令点M 为射线FC 上一动点，按照（2）中方式将EFM △沿EM 折叠得到EF M '△，EF '所在直线交CD 于点N ，若点N 为CD 的三分点，请直接写出此时NF '的长．29．（2023·北京门头沟·统考一模）已知正方形ABCD 和一动点E ，连接CE ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转90︒得到线段CF ，连接BE ，DF ．(1)如图1，当点E在正方形ABCD内部时，①依题意补全图1；②求证：BE DF；(2)如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE 与DM的数量关系，并证明．30．（2023·河南安阳·统考二模）综合与实践综合与实践课上，老师与同学们以“特殊的三角形”为主题开展数学活动．(1)操作判断：如图1，在ABC，，点∠=︒=ABC AB BC中，90将线段BP绕点P逆时针旋转90︒得到PD，连接DC，如图2．根据以上操作，判断：如图A重合时，则四边形ABCD的形状是；(2)迁移探究：①如图4，当点P与点C重合时，连接DB，判断四边形②当点P与点A，点C都不重合时，试猜想DC与BC的位置关系，并利用图(3)拓展应用：当点P与点A，点C都不重合时，若3，==AB AP。

正方形知识点总结

正方形知识点总结一、正方形的定义。

1. 四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。

- 从平行四边形的角度看，正方形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等）。

- 从矩形的角度看，正方形是特殊的矩形，矩形是四个角为直角的四边形，而正方形在四个角为直角的基础上四条边还相等。

- 从菱形的角度看，正方形是特殊的菱形，菱形是四条边相等的四边形，而正方形在四条边相等的基础上四个角还都是直角。

二、正方形的性质。

1. 边的性质。

- 四条边都相等，设正方形的边长为a，则四条边的长度都为a。

- 对边平行，即AB∥ CD，AD∥ BC（假设正方形ABCD）。

2. 角的性质。

- 四个角都是直角，∠ A=∠ B=∠ C=∠ D = 90^∘。

3. 对角线的性质。

- 对角线相等，若正方形ABCD的对角线AC和BD，则AC = BD。

- 对角线互相垂直平分，AC⊥ BD，且AO=CO，BO = DO（O为对角线交点）。

- 每条对角线平分一组对角，∠ DAC=∠ BAC = 45^∘，∠ ABD=∠CBD=45^∘等。

4. 对称性。

- 正方形是轴对称图形，有四条对称轴，两条对角线所在直线以及两组对边中点连线所在直线都是它的对称轴。

- 正方形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

三、正方形的判定。

1. 定义判定。

- 直接根据定义，四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形。

2. 从平行四边形判定。

- 一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

- 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

3. 从矩形判定。

- 一组邻边相等的矩形是正方形。

- 对角线互相垂直的矩形是正方形。

4. 从菱形判定。

- 有一个角是直角的菱形是正方形。

- 对角线相等的菱形是正方形。

正方形知识点

正方形①对角线互相垂直的矩形。

②有一组邻边相等的矩形是正方形。

③有一个角是直角的菱形是正方形。

④对角线相等的菱形。

⑤有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形。

正方形的性质1、边：两组对边分别平行;四条边都相等;相邻边互相垂直2、内角：四个角都是90°;3、对角线：对角线互相垂直;对角线相等且互相平分;每条对角线平分一组对角;4、对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形(有四条对称轴)。

5、正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。

6、特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°;正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

7、在正方形里面画一个最大的圆，该圆的面积约是正方形面积的78.5%; 正方形外接圆面积大约是正方形面积的157%。

8、正方形是特殊的长方形正方形的判定1：对角线相等的菱形是正方形。

2：有一个角为直角的菱形是正方形。

3：对角线互相垂直的矩形是正方形。

4：一组邻边相等的矩形是正方形。

5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。

8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。

9：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。

有关计算公式若S为正方形的面积，C为正方形的周长，a为正方形的边长，则面积计算公式：S =a×a(即a的2次方或a的平方)，或S=对角线×对角线÷2;周长计算公式: C=4a 。

第十八章正方形的性质及判定知识点梳理及练习

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第十八章正方形的性质及判定知识点梳理及练习
【目标知识点】
1. 正方形的定义：①有一组邻边相等的叫做正方形。

②有一个角是直角的叫做正方形。

2. 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

3. 正方形的判定：根据定义。

【例题精讲】
1、矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是（） A ．邻边相等
B ．四个角都是直角
C ．对角线相等
D ．对角线互相平分
2、如图，正方形ABCD 中，∠DAF=25°，AF 交对角线BD 于点E ，那么∠BEC 等于（）
A ．45°
B ．60°
C ．70°
D ．75°
3、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．
4、如图，延长正方形ABCD的边AB到E，使BE=BD，则∠E= ．
5、已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．
6、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作CE∥BD，DE∥AC．求证：四边形OCED是正方形．
2。

数学知识点正方形和长方形的性质

数学知识点正方形和长方形的性质数学知识点：正方形和长方形的性质正方形和长方形是我们在数学学习中经常遇到的两种形状，它们具有一些特殊的性质和特点，本文将详细介绍正方形和长方形的性质。

1. 正方形正方形是一种有特殊性质的四边形，它的四条边长度相等，且四个内角均为直角（90°）。

下面将介绍正方形的性质：1.1 边长和周长正方形的四条边长度相等，我们用a来表示正方形的边长。

那么正方形的周长C等于4a，即C=4a。

1.2 面积正方形的面积等于边长的平方。

用A表示正方形的面积，那么A=a^2。

1.3 对角线正方形的两条对角线相等，且互相垂直。

如果我们分别用d1和d2来表示正方形的对角线长度，那么d1=d2=a√2。

1.4 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况，当长方形的长度和宽度相等时，就成为了正方形。

2. 长方形长方形也是一种有特殊性质的四边形，它的相邻两条边相等，且四个内角均为直角（90°）。

2.1 边长、周长和面积长方形的两条相邻边的长度分别用l和w表示，那么长方形的周长C=2(l+w)，面积A=lw。

2.2 对角线长方形的两条对角线不相等，但互相垂直。

我们可以分别用d1和d2表示长方形的对角线长度，其中d1=l√2，d2=w√2。

2.3 特殊关系正方形是长方形的一种特殊情况。

当长方形的两条相邻边长度相等时，就成为了正方形。

综上所述，正方形和长方形是常见的几何形状，在数学中具有一些特殊的性质。

正方形的四条边相等、角为直角，且对角线相等且垂直；长方形的两条相邻边相等、角为直角，但对角线不相等且垂直。

理解和掌握这些性质将有助于我们解题和计算几何问题。

除了上述性质外，我们还可以通过应用这些性质来解决一些实际问题，比如计算矩形房间的面积、制作正方形图案等等。

练习和应用这些知识，能够帮助我们更好地理解几何形状，并在实际生活和学习中灵活运用。

通过学习本文所介绍的正方形和长方形的性质，相信读者已经对这两种形状有了更深入的理解。

长方形和正方形知识点归纳总结

长方形和正方形知识点归纳总结：
1.认识长方形和正方形：
①长方形有四条边，对边相等；有四个角，都是直角。

②正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

③通常把长方形长边的长叫作长，短边的长叫作宽；正方形每条边的长叫作边长。

④正方形是长宽相等的长方形；正方形是一种特殊的长方形。

2.认识周长：
围成图形的每条边的总长就是这个图形的周长(图形一周的边线长)所以，周长即为图形围绕一周所得出的长度，无论是什么图形，周长都是各边相加得到的结果。

3.长方形和正方形的周长计算：
长方形的周长=长+宽+长+宽=长x2+宽x2=(长+宽)x2
长方形的长=周长÷2-宽；长方形的宽=周长÷2-长
正方形的周长=边长x4；正方形的边长=周长÷4
篱笆最长=长x2+宽；篱笆最短=宽x2+长
不规则的图形有时可以通过平移转化成长方形或正方形来计算周长。

4.解决问题
①用一个长方形剪(折)一个最大的正方形，正方形的边长是原来长方
形的宽。

②画图题：画一个周长是多少的长方形，先让周长÷2得到长加宽的和，然后再将和分成，确定长和宽。

③两个长方形的周长相等，说明它们长与宽的和相等，但长和宽不一定分别相等。

④正方形的边长扩大几倍，周长也扩大几倍。

正方形知识点总结

正方形知识点总结
性质：
1.四边等长：正方形的四条边长度都相等。

2.四个内角均为90度：正方形的每个内角都是90度。

3.对角线相等：正方形的两条对角线长度相等。

4.相对边平行且相等：正方形的对边是平行且相等的。

周长：
正方形的周长可以通过四条边的长度之和来计算，即周长=4×边长。

面积计算：
正方形的面积可以通过两种方法来计算，一种是利用正方形的边长，另一种是利用对角线
的长度。

1.利用边长计算：正方形的面积等于边长的平方，即面积=边长×边长。

2.利用对角线计算：正方形的面积等于对角线的平方除以2，即面积=（对角线长度）^2/2。

相关定理：
1.垂直平分线定理：正方形的对角线互相垂直且相互平分。

2.对角线长度定理：设正方形的边长为a，则其对角线的长度为sqrt(2)a。

3.角度定理：正方形的每个内角都是90度。

4.对边平行定理：正方形的对边是平行的。

以上就是关于正方形的性质、周长、面积计算和相关定理的知识总结。

正方形是一种简单
却重要的几何形状，它具有许多独特的性质和规律，对于我们理解几何学和应用数学都有
着重要意义。

希望本文对您理解和掌握正方形的知识有所帮助。

长方形和正方形的知识要点

长方形和正方形的知识要点
长方形和正方形是基本的二维图形，具有许多不同的应用领域。

以下是长方形和正方形的知识要点：
1. 定义：
长方形是一种有四个角和四条边的矩形，其中相邻边的长度可以不同。

正方形是一种有四个角和四条相等边的矩形，每个角都是直角。

2. 性质：
长方形和正方形都是平行四边形，也是矩形的一种。

正方形是具有对称性质的，它的对角线相等且垂直，每个角都是90度。

在长方形中，相邻边相等（对边平行），且对角线相等。

长方形和正方形都具有面积和周长的公式。

3. 应用：
长方形和正方形在几何学和工程学中广泛应用。

在建筑和土木工程中，长方形和正方形常常用作建筑物的平面图形和结构设计。

在计算机科学中，长方形和正方形被广泛应用于图像处理和计算机图形学。

在日常生活中，长方形和正方形可以用来计算家具的尺寸、面积等。

总之，长方形和正方形是几何学中最基本的形状之一，具有广泛
的应用。

对其定义、性质和应用的了解对于我们理解几何学和实际应用具有重要的意义。

正方形的历史知识点总结

正方形的历史知识点总结一、正方形的历史正方形作为一个几何形状，其历史可以追溯到古代文明时期。

在埃及和美索不达米亚的古代文明中，人们就已经开始研究几何形状，并且对正方形有着一定的认识。

在古希腊时期，众多著名数学家都曾对正方形进行了研究，其中最著名的要属毕达哥拉斯。

毕达哥拉斯定理是几何学中最基本的定理之一，它指出一个直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

而由毕达哥拉斯定理可知，正方形的对角线和边长之间存在着特定的关系，这也为后人研究正方形提供了重要的线索。

在近代，随着数学和几何学的不断发展，对正方形的研究也日益深入。

正方形在代数、解析几何和拓扑学等数学分支中都有着广泛的应用，并且为人们对几何形状和空间结构的认识提供了重要的范例。

同时，正方形也在建筑、工程、艺术和设计等领域得到了广泛的应用，成为了人们生活中不可或缺的一部分。

二、正方形的定义正方形是指四条边相等、四个角都是直角的四边形，它具有以下几个基本特征：1. 四边相等：正方形的四条边相等，这意味着正方形的周长等于四倍边长，即P=4a，其中P表示周长，a表示边长。

2. 四个角都是直角：正方形的四个角都是直角，即每个角的大小为90度。

3. 对角线相等：正方形的对角线相等且互相垂直，即对角线的长度相等且互相平分。

根据以上定义，我们可以将一个几何图形判断是否为正方形。

如果一个四边形满足上述三个条件，则它是一个正方形；反之，如果一个四边形不满足上述条件之一，则它不是正方形。

三、正方形的性质正方形作为一个基本几何形状，具有多种重要的性质，这些性质对于我们研究和应用正方形都具有重要的意义。

下面我们将具体介绍几个重要性质：1. 对角线的长度和关系正方形的两条对角线长度相等，且互相垂直。

假设正方形的边长为a，则根据毕达哥拉斯定理，对角线的长度为a*√2。

这一性质是正方形的独特特征，也是我们判断一个四边形是否为正方形的重要线索之一。

2. 内角和为360度正方形的四个内角都是直角，因此它们的和为360度。

数学正方形知识点归纳讲解

引言概述：正文内容：一、正方形的基本定义和性质1.正方形的定义：正方形是一种四边相等且四个角都是直角的四边形。

2.正方形的特点：具有对称性、正方形的边长相等等特点。

3.正方形的内角度量性质：讨论正方形内角和等于多少度。

二、正方形的周长和面积计算1.正方形的周长计算公式：如何通过边长求解正方形的周长。

2.正方形的面积计算公式：如何通过边长求解正方形的面积。

3.正方形的周长和面积的关系：探讨正方形的周长和面积之间的数学关系。

三、正方形与其他几何图形的关系和应用1.正方形与矩形的关系：比较正方形和矩形的相似性和区别性。

2.正方形与正三角形的关系：探讨正方形和正三角形的共同性与异同点。

3.正方形在日常生活中的应用：介绍正方形在建筑、绘画和设计中的实际应用。

四、正方形的等腰子正方形和正方形网格1.正方形的等腰子正方形：讲解正方形内部存在等腰子正方形的特点和性质。

2.正方形网格的特点和应用：介绍正方形网格在数学、计算机图形学和艺术设计等领域的应用。

五、正方形在立体几何中的表示和性质1.正方形在平面图形和立体图形之间的关系：讲解正方形在不同维度中的表示方式。

2.正方形在立体几何中的性质和应用：介绍正方形在立方体、正方体等几何图形中的特殊性质和应用。

总结：通过本文，我们全面而深入地了解了数学中与正方形相关的知识点。

从正方形的基本定义和性质开始，我们讨论了正方形的周长和面积计算、正方形与其他几何图形的关系和应用、正方形的等腰子正方形和正方形网格以及正方形在立体几何中的表示和性质。

正方形作为一种常见的几何图形，在数学和其他学科中都有着广泛的应用。

正方形专题知识点

生活中正方形的知识点总结

三年级上册长方形和正方形的重点知识点

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与正方体有关的知识点总结

专题03正方形的性质与判定(3个知识点8种题型1个易错点中考2种考法)(原卷版)-初中数学9年级上册

正方形知识点总结

正方形知识点

第十八章 正方形的性质及判定知识点梳理及练习

数学知识点正方形和长方形的性质

长方形和正方形知识点归纳总结

正方形知识点总结

长方形和正方形的知识要点

正方形的历史知识点总结

数学正方形知识点归纳讲解

第十八章正方形的性质及判定知识点梳理及练习