2013年全国硕士研究生入学统一考试(数二)试题及答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（ ）（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小 （C ）与x 同阶但不等价的无穷小 （D ）与x 等价的无穷小 （2）设函数()y f x =由方程c o s ()l n x y y x +-=确定，则2l i m ()1n n f n →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- （3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x π=处可导（4）设函数111,1(1)()=1,ln x e x f x x e x xα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<<（5）设()yz f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂（ ） （A ）2()yf xy ' （B ）2()yf xy '- （C ）2()f xy x （D ）2()f xy x- （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(1,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰，则（ ）（A ）10I > （B ）20I > （C ）30I > （D ）40I > （7）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价（8）矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与2000b 0000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a（D ）为任意常数b a ,2=二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 1ln(1)lim(2)x x x x→∞+-= ． (10) 设函数()xf x dt -=⎰，则()y f x =的反函数1()x f y -=在0y =处的导数y dx dy== ．(11)设封闭曲线L 的极坐标方程为cos3()66r ππθθ=-≤≤，则L 所围成的平面图形的面积为 ．(12)曲线a r c t a nl x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩上对应于1t =的点处的法线方程为 ．(13)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程满足条件00x y==01x y ='=的解为y = ．（14）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）当0x →时，1cos cos 2cos3x x x -⋅⋅与nax 为等价无穷小，求n 与a 的值。

（16）（本题满分10分）设D 是由曲线13y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。

（17）（本题满分10分）设平面内区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成.计算2Dx dxdy ⎰⎰。

（18）（本题满分10分）设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =.证明：（I ）存在0,1ξ∈（），使得()1f ξ'=；（II ）存在0,1η∈（），使得()()1f f ηη'''+=。

（19）（本题满分11分）求曲线331(0,0)x xy y x y -+=≥≥上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。

（20）（本题满分11分） 设函数1()ln f x x x=+， （I ）求()f x 的最小值 （II ）设数列{}n x 满足1ln 1n nx x +<，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.（21）（本题满分11分） 设曲线L 的方程为211ln (1)42y x x x e =-≤≤，（1）求L 的弧长；（2）设D 是由曲线L ，直线1,x x e ==及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。

（22）（本题满分11分） 设101,101a A B b ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得A C C A B -=，并求所有矩阵C 。

（23）（本题满分11分）设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2TT ααββ+；（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22122y y +。

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是( )(A) 比x 高阶的无穷小 (B) 比x 低阶的无穷小 (C) 与x 同阶但不等价的无穷小 (D) 与x 等价的无穷小 【答案】(C)【解析】cos 1sin ()x x x α-=⋅，21cos 1~2x x --21sin ()~2x x x α∴⋅- 1s i n ()~2x x α∴-又sin ()~()x x αα 1()~2x x α∴-∴()x α与x 同阶但不等价的无穷小. 所以选（C ）.(2) 设函数()y f x =由方程c o s ()l n x y y x +-=确定，则2lim [()1]n n f n→∞-= ( ) （A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【答案】（A ）【解析】因为01x y ==时，即(0)1f =.02()(0)2lim ()1lim 22'(0)2'20x n n f f n n f f y n n=→∞→∞-⎡⎤-=⋅==⎢⎥⎣⎦- 又cos()ln 1xy y x +-=两边对x 求导得：1sin()'10xy y y y-⋅+⋅-=， 将0,1x y ==，代入上式得'1y =.∴选（A ）.(3) 设函数sin ,0()2,2x x f x x πππ≤<⎧=⎨≤≤⎩，0()()xF x f t dt =⎰，则（ ）（A ）x π=是函数()F x 的跳跃间断点 （B ）x π=是函数()F x 的可去间断点 （C ）()F x 在x π=处连续但不可导 （D ）()F x 在x=π处可导 【答案】（C ）【解析】因x π=是()f x 在[]0,2π唯一的第一类间断点，即()f x 在[]0,2π可积，故0()()xF x f t dt =⎰在[]0,2π连续.因x π=是()f x 的第一类间断点，故()F x 在x π=不可导. 所以选（C ）.(4) 设函数111,1(1)()1,ln x e x f x x e x xαα-+⎧<<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩，若反常积分1()f x dx +∞⎰收敛，则（ ）（A ）2α<- （B ）2α> （C ）20α-<< （D ）02α<< 【答案】（D ） 【解析】111111()(1)ln ee f x dx dx dx x x x αα+∞+∞-+=+-⎰⎰⎰111(1)edx x α--⎰，1x =是瑕点，故11α-<时，瑕积分收敛.111(ln )ln e dx x e x x ααα+∞-++∞=-⎰，要使其收敛，需0α>. 综上所述02α<<∴选（D ）.（5）设()y z f xy x =，其中函数f 可微，则x z z y x y∂∂+=∂∂ ( )(A) '2()yf xy (B) '2()yf xy - (C)2()f xy x(D) 2()f xy x-【答案】（A ） 【解析】222=(())'=-()+'()=-()+'()z y y y y y f xy f xy f xy y f xy f xy x x x x x x∂⋅∂ 1-()+'()x z f xy yf xy y x x ∂⋅=∂11()'()=()+'()z y f xy f xy x f xy yf xy y x x x ∂=+⋅∂ +=2'()x z zy f x y y x y∂∂∴⋅∂∂ ∴选（A ）. （6）设k D 是圆域{}22(,)|1D x y x y =+≤在第k 象限的部分，记()(2,2,3,4)kk D I y x dxdy k =-=⎰⎰则（ ）(A) 10I > (B)20I > (C) 30I > (D) 40I >【答案】（B ）【解析】第二象限中0y >，0x <，始终y x > 即 0y x ->∴2>0I ∴选（B ）.(7) 设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且B 可逆，则 （ ）(A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量等价 (B) 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量等价 (C) 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量等价 (D) 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量等价 【答案】（B ） 【解析】将A C 、按列分块，11(,...,),(,...,)n n A C ααγγ== 由于AB C =，故111111...(,...,).....(,...,)...n n n n nn b b b b ααγγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭即1111111...,...,...n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++ 即C 的列向量组可由A 的列向量线性表示由于B 可逆，故1A CB -=，A 的列向量组可由C 的列向量组线性表示 ∴选（B ）.(8) 矩阵1111a a b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与20000000b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似的充分必要条件为（ ）(A)0,2a b == (B)0,a b =为任意实数 (C) 2,0a b == (D)0,b a =为任意实数 【答案】(B)【解析】令1111a A a b a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，20000000B b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=，因为A 为实对称矩阵，B 为对角阵，则A 与B 相似的充要条件是A 的特征值分别为2,,0bA 的特征方程1110111a a A E a ba ba a aλλλλλλλλ------=--=-------- 11aba aλλλ--=----=()()222b a λλλ⎡⎤---⎣⎦， 因为2λ=是A 的特征值，所以20A E -=所以220a -=，即0a =.当0a =时，()()2A E b λλλλ-=--，A 的特征值分别为2,,0b 所以b 为任意常数即可. 故选(B).文章资料由经济学金融考研网 整理发布。