排列组合专题各方法题型及其答案

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排列组合的题型与方法

解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成 10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10 个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为 C96 84 种。
（二）分组分配问题 5.限制条件的分配问题分类法: 例6.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
A 60 种。 A
5 5 2 2
（一）排序问题 4.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例4.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？
解析：老师在中间三个位置上选一个有 A1 种 ,
3
种，4名同学在其余4个位置上有 A4 种方法； 4
解析、(1)先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务， 2 1 1 不同的选法共有 C10 C8C7 2520 种
（二）分组分配问题 2.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.
例3、(2)12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有( A )
（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为( B ) A、480种 B、240种 C、120种 D、96种
2 4 C5 A4 240
（二）分组分配问题
4.名额分配问题隔板法(无差别物品分配问题隔板法): 例5：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

排列组合难题二十一种方法(含答案详解)

排列组合难题二十一种方法解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,. 先排末位共有13C然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法443解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。

排列组合专题各方法题型及其答案

排列组合题型总结一．直接法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法七．染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．561432八．递推法例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有多少种十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。

排列组合经典题型

排列一、优先法例1（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7个元素的全排列77A ＝5040．（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列——66A =720．（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理：第一步甲、乙站在两端有22A 种；第二步余下的5名同学进行全排列有55A 种，所以，共有22A 55A ⋅=240种排列方法（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有55A 种方法，所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法解法2：（排除法）若甲站在排头有66A 种方法；若乙站在排尾有66A 种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有77A －662A ＋55A =2400种．说明：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑二、捆绑法：例2． 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有66A 种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有62621440A A ⋅=种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有55A 33A ＝720种（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有25A 种方法；将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法．所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有255A 种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以，这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法．（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有2个元素，∴一共有排法种数：342342288A A A =（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．三、插空法例3．7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法）3600226677=⋅-A A A ；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有55A 种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧），再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A 种方法，所以一共有36002655=A A 种方法．（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有44A 种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法，所以一共有44A 35A ＝1440种．说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．四、倍除法5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列解：（1）先将男生排好，有55A 种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空挡”（包括两端）中，（2）方法1：10510105530240A N A A ===；方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有510A 种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法故本题的结论为510130240NA =⨯=（种）强化练习1．（2007年天津卷）如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．用2色涂格子有C 62×2=30种方法，用3色涂格子，第一步选色有C 63，第二步涂色，共有3×2（1×1+1×2）=18种，所以涂色方法18×C 63=360种方法，故总共有390种方法．故答案为：3902．（2007年江苏卷）某校开设9门课程供学生选修，其中,,A B C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有 75 种不同选修方案。

排列组合典型题大全含答案

排列组合典型题大全一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？（2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34（3）34【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案.【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、3C8【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

所以选A1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？3、4个同学参加3项不同的比赛（1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？（2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少？5、甲乙丙分10瓶汽水的方法有多少种？6、（全国II 文）5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共(A)10种 (B) 20种 (C) 25种 (D) 32种7、5位同学报名参加并负责两个课外活动小组，每个兴趣小组只能有一个人来负责，负责人可以兼职，则不同的负责方法有多少种？8、4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，不同的分法有多少种？思考：4名不同科目的实习教师被分配到3个班级，每班至少一个人的不同的分法有多少种？二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

排列组合经典题型及解析

排列组合经典题型及解析1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（） A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A 、1440种 B 、3600种 C 、4820种 D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.`例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（） A 、24种 B 、60种 C 、90种 D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B . 5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种， … 选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（） A 、4441284C C C 种 B 、44412843C C C 种C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种，答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（） A 、210种 B 、300种 C 、464种 D 、600种 ]解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B. （2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A =共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A =共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种解析：将{}1,2,3,100I =分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A =；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B =，能被4除余2的数集{}2,6,,98C =，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D =，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

排列组合专题各方法题型及其答案

二．例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？三．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？四．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。

例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？五．阁板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共多少种?六．平均分堆问题例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？七．染色问题例7 某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分，现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．561432例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种?十．先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．十二．转化命题法例 11.圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。

高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法(含答案)

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动好玩，但题型多样，思路敏捷，因此解决排列组合问题，首先要仔细审题，弄清晰是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采纳合理恰当的方法来处理。

教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2.驾驭解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简洁的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的实力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类方法，在第1类方法中有m种不同的方法，在第2类方法1中有m种不同的方法，…，在第n类方法中有n m种不同的方法，那么完成这件2事共有：种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，须要分成n个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有2m种1不同的方法，…，做第n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区分分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事务的一个阶段，不能完成整个事务．解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.仔细审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即实行分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必需驾驭一些常用的解题策略一.特别元素和特别位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特别要求,应当优先支配,位置.先排末位共有1C3然后排首位共有1C4最终排其它位置共有3A4434由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

高二数学难点《排列组合》题型大全

高二数学难点《排列组合》题型大全1.排队问题1.你帅，你帅，你天下最帅，头顶一窝白菜，身披一条麻袋，腰缠一根海带，你以为你是东方不败，其实你是傻瓜二代。

2你的一笑，狼都上吊，你的一叫，鸡飞狗跳，你的一站，臭味弥漫，你一出汗，虱子灾难，你不打扮，比鬼难看，你一打扮，鬼吓瘫痪7人站成一排拍照，共有______种排法.答案：(1)甲必须站在中间的排法_______种. 答案：(2)甲、乙两人必须站在两端的排法_______种. 答案：(3)甲、乙两人必须相邻的排法_______种. 答案：(4)甲、乙不能相邻的排法_______种. 答案：(5)若甲、乙、丙三人必须相邻的排法______种. 答案：(6)其中3人站在前排，4人站在后排的排法_______种. 答案：(7)其中甲、乙、丙站前排，其余4人站后排的排法_______种. 答案：(8)甲、乙不能站两端的排法_______种. 答案：(9)甲、乙均不与丙相邻的排法_______种. 答案：，即分丙站两端和丙不站两端计算(10)最高者站中间，其余6人按从中间到两端依次降低站在两边的排法_______种. 答案：(11)若甲、乙、丙顺序一定，则共有_______种排法. 答案：3377A A (12)若7人站成一圈，有_______种站法. 答案：（固定起点）或777A 2.几何问题直线、线段、有向线段、射线、弦问题、平面个数、交线条数、交点个数、对角线条数、四面体个数(1)从-11,-7,0,1,2,3,5这七个数中每次选三个作为直线的系数，，C ，且斜率小于0的直线有_______条.答案：70(2)平面内有10个点，可确定_______条线段，_______条有向线段. 答案：(3)空间八个点最多确定_______个平面，_______个四面体. 答案：(4)平面内n 条线段最多有_______个交点. 答案：(5)空间n 个平面最多有_______条交线. 答案：(6)以正方体的八个顶点为顶点的三棱锥有_______个. 答案：(7)以正方形的四个顶点、四边中点、中心共九个点中的三个点可作_______个三角形. 答案：76，即(8)四面体的一个顶点为A ，从其它顶点与各棱中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同取法有_______个. 答案：33，即(9)正方体有_______对异面的棱;棱与对角线异面的有_______对；_______对异面的面对角线；面对角线与体对角线异面的有_______对. 答案：24；24；30；24（10）如果∠AOB 的两边上分别有3个点和4个点，则过这八个点(含点)可作_______个三角形. 答案：42，即，先算不含的，再算含的，（11）从正方体的六个面中选三个面，其中有两个面不相邻的选法_______个. 答案：12（12）过圆周上的2n 个等分点可作_______个直角三角形. 答案：（13）从正四面体的四个顶点及各棱中点共10个点中，任取4个不共面的点的取法有_______种. 答案：141，即3.概率问题（去序法）（1）5名运动员参加100米跑，如每人到达终点的顺序各不同，则甲比乙先到达终点的可有 ________种. 答案：60，即255A （2） A 、B 、C 、D 、E 五人站在一排，若A 必须站在B 的左边（A 、B 可以不相邻），那么不同的排法有_______种. 答案：60，即255A （3）用1、2、3、4、5可以组成_______个无重复数字的三位数，偶数有_______个. 答案：60；24，即4.人民币币值:（通法1：按最大币值考虑;通法2：按每种币值的的拿法考虑）（1）现有壹元、贰元、伍元、拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：15，即（2）有1角硬币3枚，贰元币6张，百元币6张，共组成_______种币值. 答案：195，（3）有壹元、贰元、拾元人民币数张，现要支付20元，有_______种支付方法. 答案：18（4）有壹元硬币6枚，伍元币3张，拾元币3张，伍拾元币3张，可组成_______种不同的币值. 答案：201（5）现有壹元币一张、贰元币两张、伍元和拾元人民币各一张，可组成_______种币值. 答案：205.集合映射个数问题（1）集合有个元素，则集合的子集中含有3个元素的集合有_______个；集合共有_______个子集；_______个真子集. 答案：（2）集合，集合，则从→的映射有_______个，从→的映射有_______个. 答案：（3）若集合，，则从A →B 的映射有_______个. 答案：（4）若集合,，若中不同的元素在中有不同的象，则这样从A →B 的映射有_______个. 答案：60，即（5）集合，，则中的元素在中都有原象的映射有_______个. 答案：（6）,映射:→，则使的映射有_______个. 答案：7（7），，对中任意元素x ，使均为偶数，则从→映射有_______个. 答案：126.多面手问题(1)9名翻译中，6人懂英语，4人懂日语，既懂英语又懂日语的1人，从中选3名英语，2名日语，有多少种不同选法. 答案：90，即按多面手分类：；按英语翻译分类：(2)11名工人，5人只会排版，4人只会印刷，2人都会，选出4人排版，4人印刷，有多少种不同选法. 答案：185，即按排版工人情况：7.约数问题(1)12有______个约数，60有______个约数（含1和其本身）. 答案：6；12(2)一个正整数的最大约数为24，则它有______个约数. 答案：8(3)数2n ×3m ×有____________个约数. 答案：8.分组分配问题（平均分组、部分均匀分组、非均匀分组）6本不同的书分给3个人，按以下要求有多少种不同的分法？（1）平均分给甲、乙、丙三人；答案：（2）分成三份，每份两本；答案：33222426A C C C（3）分给甲一本，乙两本，丙三本；答案：（4）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本；答案：（5）分给三个人，一人一本，一人两本，一人三本；答案：（6）分给甲四本，乙、丙各一本；（7）分成三份，一份四本，其余两份各一本; 答案：22111246A C C C 或（8）分给三个人，一人四本，其余两人各一本；答案：或或2233111246A A C C C （9）分给甲乙丙三人，每人至少一本. 答案：++9.空位连续问题(1)一人射击8枪，4枪命中，其中3枪连在一起的方法有______种. 答案：20，即(2)停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需停放，要求空位连在一起，则停车方法______.答案：9(3)马路上有8盏路灯，为省电，可熄灭其中的3盏，但不能连续熄灭两盏，两头的灯不能熄灭，则熄灭的方法有______种. 答案：4，即(4)在一块并排10垄的田地种，选择两垄分别种植2种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物之间的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有______种. 答案：1210.贺卡问题（1）标号为1、2、3的卡片放入标号为1、2、3的三个盒子里，且每个盒子的标号与卡片标号均不同的放法有______种. 答案：2（2）室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿出一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有______种. 答案：9，即（3）数字为1、2、3、4、5填到标号为1、2、3、4、5的格子里，且所填数字与其格子的标号均不同的填法有______种. 答案：44，即递推式D （n ）=(n-1)[D(n-1)+D(n-2)](4)某团支部进行换届选举，从甲、乙、丙、丁中选出三人分别担任班长、书记和宣传委员，规定上届任职的甲、乙、丙不能连任原职，则不同的任职方案______种. 答案：1111.巧插“隔板”问题（特点：要分配的元素是没有差别的）(1)要从6个班选出10个人参加校篮球比赛，每班都要有人参加的选法有______种. 答案：(2)方程的正整数解的个数，自然数解的个数各多少？答案：（）(3)将10个相同的球放入9个不同的盒子，且每盒都不空的放法有_____种，放入6个不同盒子有_____种. 答案：(4)将10个相同的球放入3个不同的盒子，盒子的编号为1、2、3，要使放入的球输不小于编号数的放法有_____种. 答案：12.数字问题常识：最高次位不能为0；奇数、偶数取决于末位是否被2整除；若一个正整数每一位上的数字之和能被3整除，则此数能被3整除；末位数为0和5的整数可被5整除.用0、1、2、3、4、5这六个数，（1）可以组成多少个五位数；答案：（2）可以组成多少个无重复数字的五位数；答案：（3）可以组成多少个无重复数字的五位奇数；答案：（4）可以组成多少个无重复数字的五位偶数；答案：（5）可以组成多少个比32000大的无重复数字的五位数；答案：（6）可以组成多少个比32451大的无重复数字的五位数；答案：（7）可以组成多少个能被5整除的无重复数字的五位数；答案：（8）可以组成多少个能被25整除的无重复数字的五位数；答案：（9）可以组成多少个能被3整除的无重复数字的五位数；答案：（10）可以组成多少个能被6整除的无重复数字的五位数；答案：（11）可以组成多少个能被4整除的无重复数字的五位数；答案：（12）求组成的无重复数字的五位数的个位数字之和；答案：（13）求组成的无重复数字的五位数的和. 13. 鞋子成双、单只问题（技巧：先取“双”，再取“只”） 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任取4只，求满足下列要求的情况数 (1)4只没有成双；答案：，即 (2)4只恰成两双；答案：45，即 (3)4只鞋子2只成双，2只不成双；答案：1440， 14.球队比赛问题双循环赛（排列）、单循环赛（组合）、淘汰赛、对抗赛 (1)4支队进行淘汰赛以决出冠军共举行______场比赛. 答案：3 (2)现有8支球队，平均分成2个小组，每组4支队分别举行双循环赛决出前两名，再由他们举行淘汰赛决出冠军，共举行______场比赛. 答案：27，即 15.涂色问题（技巧：先涂相邻区域多的，该分类时再分类）(1)将3种颜色涂在如图方格中，相邻不涂相同颜色。

排列组合问题经典题型解析含答案(最新整理)

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，则不同的排法有（）,,,,A B C D E ,A B B A A 、60种 B 、48种 C 、36种 D 、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E 五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法有B A ,A B （）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A 、种B 、种C 、种D 、种4441284C C C 44412843C C C 4431283C C A 444128433C C C A 6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

数量关系：排列组合的多种方法

在事业单位的考试中，排列组合问题是常考题型之一，也是大家感觉比较难的部分。

之所以感觉难就是没有掌握做这类题的解题方法，这里就给大家介绍解排列组合问题常用的几种方法。

一、优限法：1、题型特征：有绝对位置要求的元素2、操作方式：优先排有绝对位置要求的元素，再排其他元素;【例题1】两个三口之家在列车上相对的两排3人座位上就座，如果孩子必须靠窗或靠过道就座，而每个家庭都必须坐在同一排，问有多少种不同的就座方式?A.16B.32C.48D.64【答案】B【解析】优限法。

两个家庭的相对位置有两种情况，确定相对位置之后，每个家庭有4种坐法，则就座方式共有2×4×4=32种，故本题答案为B选项。

二、捆绑法：1、题型特征：有“相邻”要求的元素2、操作方式：将相邻元素看作整体，与其他元素排序，然后再考虑相邻元素内部排序;【例题2】四对情侣排成一队买演唱会门票，已知每对情侣必须排在一起，问共有多少种不同的排队顺序?A.24种B.96种C.384种D.40320种【答案】C【解析】捆绑法。

每对情侣必须排在一起，则每对情侣看成一个整体，四对情侣的排队方式有A(4,4)=24种，每对情侣又有2种排列方式，因此共有24×24=384种排队方式，故本题答案为C选项。

三、插空法：1、题型特征：有“不相邻”要求的元素2、操作方式：先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入空隙或两端的位置;【例题3】某条道路一侧共有20盏路灯。

为了节约用电，计划只打开其中的10盏。

但为了不影响行路安全，要求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有( )种开灯方案。

A.2B.6C.11D.13【答案】C【解析】插空法。

要求20盏路灯必须打开其中10盏，且相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，说明不开的两盏路灯不能相邻。

则在10盏打开的路灯形成的11个空中，随机插入10盏不开的路灯，开灯方案有C(10,11)=C(1,11)=1 1种，故本题答案为C选项。

排列组合问题常用的解题方法含答案

排列组合问题常用的解题方法含答案高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边(A、B可不相邻).那么不同的排法种数有。

四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上.可先把某个元素按规定排入.第二步再排另一个元素.如此继续下去.依次即可完成．例4：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里.每格填一个数.则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 .组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7：从…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法(不计顺序)共有多少种例8：从.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式=+-?。

n A B n A n B n A B()()()()例 9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法八、定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置.可先排这个(几个)元素.再排其他元素。

排列组合问题常用的解题方法含答案

高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组<当作一个元素>参与排列．例1:五人并排站成一排.如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边.那么不同的排法种数有种。

二、相离问题插空法元素相离<即不相邻>问题.可先把无位置要求的几个元素全排列.再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端．例2：七个人并排站成一行.如果甲乙两个必须不相邻.那么不同排法的种数是。

三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序.可用缩小倍数的方法．例3：A、B、C、D、E五个人并排站成一排.如果 B必须站A的右边<A、B可不相邻>.那么不同的排法种数有。

五、有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组.可用逐步下量分组法。

例5：有甲、乙、丙三项任务.甲需2人承担.乙丙各需1人承担.从10人中选出4人承担这三项任务.不同的选法总数有。

六、多元问题分类法元素多.取出的情况也有多种.可按结果要求.分成不相容的几类情况分别计算.最后总计。

例6：由数字 0.1.2.3.4.5组成且没有重复数字的六位数.其中个位数字小于十位数字的共有个。

例7：从1.2.3.…100这100个数中.任取两个数.使它们的乘积能被7整除.这两个数的取法<不计顺序>共有多少种？例8：从1.2.…100这100个数中.任取两个数.使其和能被4整除的取法<不计顺序>有多少种？七、交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集.可用集合中求元素个数公式⋃=+-⋂。

n A B n A n B n A B()()()()例9：从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛.如果甲不跑第一棒.乙不跑第四棒.共有多少种不同参赛方法？八、定位问题优先法某个<或几个>元素要排在指定位置.可先排这个<几个>元素.再排其他元素。

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

排列组合试题及答案

排列组合试题及答案一、选择题1. 有5个人站成一排，其中甲乙两人必须相邻，有多少种不同的排法？A. 120B. 240C. 480D. 720答案：B2. 从6个不同的球中选3个球排成一排，有多少种不同的排法？A. 20B. 30C. 60D. 120答案：C二、填空题1. 将5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，共有______种不同的放法。

答案：1502. 有4个不同的球和4个不同的盒子，每个盒子放一个球，共有______种不同的放法。

答案：4^4 = 256三、简答题1. 某班有50名学生，现在要选出5名学生代表参加学校活动，有多少种不同的选法？答案：从50名学生中选出5名学生代表，这是一个组合问题。

根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，其中 n=50, m=5，计算得 C_50^5 = 50! / [5!(50-5)!]。

2. 某公司有10名员工，需要选出3名员工组成一个团队，有多少种不同的团队组合？答案：这是另一个组合问题，根据组合公式 C_n^m = n! / [m!(n-m)!]，其中 n=10, m=3，计算得 C_10^3 = 10! / [3!(10-3)!]。

四、计算题1. 一个班级有30名学生，现在要选出一个由5名学生组成的委员会。

如果甲和乙两名学生必须同时被选中，那么有多少种不同的委员会组成方式？答案：首先，甲和乙两名学生已经被选中，剩下3个位置需要从28名学生中选出3名学生，这是一个组合问题。

根据组合公式，C_28^3 =28! / [3!(28-3)!]。

2. 有7个不同的字母，需要组成一个3个字母的单词，有多少种不同的单词可以组成？答案：组成一个3个字母的单词，这是一个排列问题。

根据排列公式P_n^m = n! / (n-m)!，其中 n=7, m=3，计算得 P_7^3 = 7! / (7-3)!。

五、应用题1. 某公司有5个部门，需要选出3个部门进行合作。

排列组合常见题型及解答

一．可重复的摆列求幂法：重复摆列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不可以重复，把不能重复的元素看作“客” ，能重复的元素看作“店” ，则经过“住店法”可顺利解题，在这种问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个是底数，哪个是指数【例 1】（ 1）有 4 名学生报名参加数学、物理、化学比赛，每人限报一科，有多少种不一样的报名方法（2）有 4 名学生参加抢夺数学、物理、化学比赛冠军，有多少种不一样的结果（3）将 3 封不一样的信投入 4 个不一样的邮筒，则有多少种不一样投法【分析】：（1）（ 2）（ 3）【例 2】把6名实习生疏派到7 个车间实习共有多少种不一样方法【分析】：达成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生疏派到车间有7 种不一样方案，第二步：将第二名实习生疏派到车间也有7 种不一样方案，挨次类推，由分步计数原理知共有种不一样方案 .【例 3】 8 名同学抢夺 3 项冠军，获取冠军的可能性有（）A、B、C、D、【分析】：冠军不可以重复，但同一个学生可获取多项冠军，把8 名学生看作8 家“店”， 3 项冠军看作 3 个“客”，他们都可能住进随意一家“店” ，每个“客”有 8 种可能，所以共有种不一样的结果。

所以选 A二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加摆列.【例 1】 A,B,C,D,E五人并排站成一排，假如A,B 一定相邻且 B 在 A 的右侧，那么不一样的排法种数有【分析】：把 A,B 视为一人，且 B 固定在 A 的右侧，则此题相当于 4 人的全摆列，种【例 2】（ 2009 四川卷理） 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两头， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不一样排法的种数是（）A. 360B. 188C. 216D. 96【分析】：间接法 6位同学站成一排， 3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，，此中男生甲站两头的有，切合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.【例 1】七人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样的排法种数是【分析】：除甲乙外，其余 5 个摆列数为种，再用甲乙去插 6 个空位有种，不一样的排法数是【例 2】书架上某层有 6 本书，新买 3 本插进去，要保持原有 6 本书的次序，有种不一样的插法（数字作答）【分析】：【例 3】高三（一）班学要安排毕业晚会的 4 各音乐节目， 2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不一样排法的种数是【分析】：不一样排法的种数为＝3600【例 4】某工程队有 6 项工程需要独自达成，此中工程乙一定在工程甲达成后才能进行，工程丙必须在工程乙达成后才能进行，有工程丁一定在工程丙达成后立刻进行。

排列组合

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，则不同的排法有（）A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法有（）A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B .4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（）A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种. 9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计. 例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有55A 个，1131131131343333323333,,,A A A A A A A A A A A 个，合并总计300个,选B.（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100A = 共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从A 中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种. （3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种. 10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂ 例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。

(完整版)排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型解析含答案

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有〔〕A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离〔即不相邻〕问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是〔〕A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边〔,A B可以不相邻〕那么不同的排法有〔〕A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有〔〕A、6种B、9种C、11种D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成假设干组，可用逐步下量分组法.例5.〔1〕有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是〔〕A、1260种B、2025种C、2520种D、5040种〔2〕12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，假设每个路口4人，则不同的分配方案有〔〕A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.〔1〕4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？〔2〕5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为〔〕A、480种 B、240种 C、120种 D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。