高中数学排列组合典型例题精讲

概念形成

1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素

2、排列：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．

序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．

。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同

合作探究二 排列数的定义及公式

3、排列数：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出

m 元素的排列数，用符号m n A 表示

议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？

4、排列数公式推导

探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m

A n 呢？ )1()2)(1(+-⋯--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个

因数是1n m -+，共有m 个因数；

（2）,,m n N m n *∈≤

即学即练:

1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷

2.已知101095m A =⨯⨯⨯，那么m =

3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( )

A ．5079k k A --

B ．2979k A -

C ．3079k A -

D ．3050k A -

例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。

5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。

此时在排列数公式中， m = n

全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）.

即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）44A （3）)!1(-⋅n n

排列数公式的另一种形式：

)!

(!m n n A m n -= 另外，我们规定 0! =1 .

例2．求证：m n m n m n A mA A 11+-=+．

解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。

解：

左边=

右边）！

）！！）（（！）！（！==+-+=+-⋅++=+-⋅+-+m

1n A 1()!1(1(n!m n 1m -n )!1m n n m m n n m n n m n 点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。

变式训练：已知89557=-n

n n A A A ，求n 的值。（n =15） 1．若!3!

n x =，则x = （ ） ()A 3n

A ()

B 3n n A - ()

C 3n A ()

D 33n A - 2．若532m m A A =，则m 的值为 （ ）

()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7

3． 已知256n A =，那么n = ；

4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1

列火车）？

1.计算 (1）410A ； (2）25A ；(3)3355A A ÷

2.已知101095m A =⨯⨯⨯，那么m =

3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----用排列数符号表示为( )

A ．5079k k A --

B ．2979k A -

C ．3079k A -

D ．3050k A -

例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。

1．若!3!

n x =，则x = （ ） ()A 3n A ()B 3n n A - ()C 3n A ()D 33n A -

2．若532m m A A =，则m 的值为 （ ）

()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 7

3． 已知256n A =，那么n = ；

4．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1

列火车）？

1．下列各式中与排列数m

n A 相等的是（ ） （A ）!(1)!

-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A -- 2．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n)(28－n)……(34－n)等于（ ）

（A ）827n A - （B ）2734n n A -- （C ）734n A - （D ）8

34n A -

3．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（ ） （A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）8

4.已知25-n 2n A 6A =，则n= 。

5.计算=-+59

884858A A A 7A 2 。 6．解不等式：2＜42A A 1n 1

n 1n

1n ≤--++ 1．用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）

（A ）24个 （B ）30个 （C ）40个 （D ）60个

2．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ）

（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）96种

3．某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ）

（A ）6种 （B ）9种 （C ）18种 （D ）24种

4．五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种．

例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多

少场比赛？

解：

(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？

(2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？

例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？

（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方

案共有（ ）

（A ）88A 种 （B ）48A 种 （C ）44A ·44A 种 （D ）4

4A 种

例4、三个女生和五个男生排成一排．

（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？

（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？

（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？