数学史复习整理

数学史是研究数学的产生、发展过程和发展规律的学科。

数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。

数学史的特点:1、数学以抽象的形式，追求高度精确、可靠的知识.２、与抽象性相联系的数学的另一个特点是在对宇宙世界和人类社会的探索追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向。

3、数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征，这就是对美的追求。学习数学史的意义：1、树立正确的世界观和数学观

2、丰富数学专业必备的知识

3、把握数学科学发展的规律

4、当代数学教育的需要

为什么要从历史的角度谈谈“什么是数学史”

数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化，给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。

公元前６世纪前，数学主要是关于“数”的研究。

亚里士多德：数学是量的科学。

公元前6世纪开始,希腊数学的兴起，突出了对“形”的研究。公元前６世纪～17世纪，数学数学主要是关于数和形的研究.

笛卡尔：数学是以研究顺序和度量为目的的学科。

17世纪数学主要是关于“数、形、运动和变化"的研究。

恩格斯：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的学科。

19世纪后期开始，数学成为研究数与形、运动与变化，以及研究数学自身的学问。

２０世纪80年代开始，美国学者把数学定义为“模式”的科学，其目的是要揭示人们从自然

界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。

三次数学危机：第一次数学危机：（无理数悖论，希帕索斯悖论）

直觉和经验并不可靠,推理证明才是可靠的。

第二次数学危机：(无穷小量悖论,贝克莱悖论）

重建微积分基础：极限理论和实数论。

第三次数学危机（集合悖论，罗素悖论）

公理化集合论，对数学基础的研究。

三种常见的早期计数方法：手指计数、刻痕计数、结绳计数.

除了巴比伦楔形数字采用六十进制、玛雅数字采用二十进制外,其他均属十进制数。

几何学的希腊文意为测地

中国最早的数学经典《周髀算经》事实上是一部讨论西周初年天文测量中所用数学方法（测日法)的著作.

古埃及人在一种纸莎（sｕo）草压制成的草片上书写:莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。

埃及人很早及发明了象形文字记号，这是一种以十进制为基础的系统，但却没有位值的概念。

单位分数的广泛使用成为埃及数学一个重要而有趣的特色。

古巴比伦的普林顿3２2泥书上记录了勾股数。（毕达哥拉斯数）

向理论数学的过渡,是大约公元前6世纪在地中海沿岸开始的，那是一个崭新的、更加开放的文明—历史学家成称“海洋文明”，带来了初等数学的第一个黄金时代—以论证几何为主的希腊数学时代.

把零作为数引入运算，这是印度人的伟大贡献.用符号“0”表示零是印度的重要发明。

超越数：π和e。

最早的希腊数学家是泰勒斯。他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明的先河。（1）圆的直径将圆分为两个相等的部分。

（2）等腰三角形的两底角相等。

（3）两相交直线形成的对顶角相等.

（4）两个三角形，有两个角和一条边对应相等则全等。

（5）内接于半圆的角必是直角。

泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。

“哲学”和“数学"这两个词是毕达哥拉斯本人所创.毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，这里的数仅指整数.

普鲁塔克的面积剖析法证明勾股定理。P36

毕达哥拉斯学派另一项几何成就是正多面体作图。其中正四面体、正六面体、正八面体归功于毕达哥拉斯学派，正十二面体、正二十面体归功于蒂奥泰德。

正五边形的作图与著名的“黄金分割”问题有关。整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比，这就是所谓的“黄金分割”。

三大几何问题：（1)化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形.

（2)倍立方体，即作一立方体，使其面积等于已知立方体的两倍。

（3)三等分角，即分任意角为三等分。

这三大问题实际上是不可解的。

安提丰是古希腊“穷竭法”的始祖.

芝诺四个著名的悖论:（１）两分法

（2)阿基里斯

(３)飞箭

（４）运动场

亚里士多德的哲学思想及对数学的贡献:

(1）提出了物质第一性的认识论

(2）创立了逻辑学,为数学的理论建构奠定了基础。ﻭ提出了思维的三条规律：同一律、矛盾律、排中律.

(3）提出了几种思维基本形式：概念、判断、推理。

(4）特别提出了作为严格推理形式的演绎三段论，为推理的规范化科学化奠定了基础。据载,亚里士多德的逻辑学一直到１9世纪无人能挑出它的毛病.

(5）确定了数学中的公理化方法

(6）将概念分为了不经定义的(基本）概念，和在此基础上定义的(派生)概念两类.

(7）亚里士多德把数学命题也分为两类,基本原理和定理(引申出来的命题）.ﻭ他不把基本原理看作是“明显的、无须证明的、大家公认的命题”，而是“无法论证的知识原理”。(8）他把基本原理分为公理和公设，把公理作为一切科学公有的真理，而把公设作为某一门学科的第一性原理。

(9）并认为基本原理的数目应尽可能地少（不妨碍推出所有结论)。

(10）亚里士多德的形式逻辑被后人奉为演绎推理的圣经,在当时，则为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础.

欧几里得的《原本》

公设：1、假定从任意一点到任意一点可作一直线.

２、一条有限直线可无限延长。

3、以任意中心和直径可以画圆。

4、凡直角都彼此相等.

5、若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，

它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。

公理：1、等于同量的量彼此相等。

2、等量加等量，和相等.

3、等量减等量，差相等。

4、彼此重合的图形是全等的。

5、整体大于部分。

毕达哥拉斯的证明是用面积来证明勾股定理的。P４8

欧几里得《原本》评价:是数学史上的第一座理论丰碑,它最大的功绩是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已经建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理—公设或公理。这就是后来所谓的公理化思想。

缺点：主要在于其逻辑结构不够严密和完整。反映在两个方面：一是对某些概念的定义和运用不当，二是公设和公理不完善。还有一类缺点是对一些需要分类讨论的命题只用特例或所给图形的特定位置作了论证.

阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。

阿波罗尼斯第一次象现在这样，依靠改变截面的角度，从一个正圆锥或斜圆锥上得到三种圆锥曲线。双曲线有两支也是他首先发现的。ﻭ海伦的三角形面积公式:

托勒玫定理：圆内接四边形中,两条对角线长的乘积等于两对对边长乘积之和.

丢番图：代数之父.不定方程又称丢番图方程。

费马大定理：对于任意大于2的自然数n，不存在正整数ｘ，ｙ，ｚ，满足ｘｎ+yn=ｚｎ。丢番图《算术》的另一重要贡献是创用了一套缩写符号。

亚历山大女数学家希帕蒂娅是历史上第一位杰出的女数学家。

中国古代用算筹进行计算，称作“筹算”.纵式“个、百、万"，横式“十、十万千”

春秋战国时期：九九乘法口诀表家喻户晓，是从“九九八十一”开始的。

《墨经》中记载的几何概念

平行：“平,同高也”

直线：“直,参也”

点：“端，体之无厚而最前者也"

线段：“同长，以正相尽也”

重合：“正相尽”

体积:“厚,有所大也"

圆：“圜，一中同长也”

正方形：“方,柱隅四杂也”

《周髀算经》主要成就是分数运算、勾股定理(最为突出)及其在天文测量中的应用。

《九章算术》出现标志中国古代数学形成了完整的体系，是中国古代第一部数学专著 .ﻭ《九章算术》采用问题集的形式，全书２４６个问题，分成九章。依次为：方田、粟米、衰分、