线性规划数学模型
第二章线性规划模型
m
n
ai bj ,
i 1
j 1
又从产地 Ai到需求点 B j的单位运输成本为 cij , 求相应的运
输方案.
模型建立
设 xij表示从产地 Ai到需求点B j 的运输量, 则合适的运输
方案表现为
n
对产量的要求
xij ai
i 1, 2, ,m;
j 1
m
对需求量的要求 xij bj i 1
第五年 x54 1.0235x44 1.06x31,
投资收益函数为
z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54.
由此得到该问题的数学模型
max z 1.06x41 1.215x23 1.165x32 1.0235x54,
s.t.x11 x14 120,
项目C: 于第二年的年初进行投资, 并于第五年的年末完成 成投资, 投资收益为21.5%, 投资额不超过40万； 项目D: 于每年的年初可进行投资, 并于当年末完成, 投资 收益为2.35%.
该公司现有资金120万, 试为该公司制定投资计划.
模型建立
以i 1, 2,3, 4,5代表年份, j 1, 2,3, 4分别表示4个项
0.1x1 0.3x2 0.9x3 1.1x5 0.2x6 0.8x7 1.4x8,
由此得到该问题的数学表达式:
min z 2.92x1 x2 x3 x4 200 2.12x2 x3 3x5 2x6 x7 200 1.5 x1 x3 3x4 2x6 3x7 4x8 200
3 2
x2
C
D
E
A
1
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型引言线性规划（Linear Programming, LP）是数学规划的一种方法，用于解决一类特殊的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为一个线性的目标函数和一系列线性约束条件。
本文将介绍线性规划的数学模型及其应用。
数学模型线性规划的数学模型可以用以下形式表示：最大化：$$ \\max_{x_1,x_2,...,x_n} Z=c_1x_1+c_2x_2+...+c_nx_n $$约束条件：$$ \\begin{align*} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n&\\leq b_1 \\\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &\\leq b_2 \\\\ &\\vdots \\\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n&\\leq b_m \\\\ x_1,x_2,...,x_n &\\geq 0 \\end{align*} $$其中，Z为目标函数的值，Z1,Z2,...,Z Z为目标函数的系数，Z1,Z2,...,Z Z为决策变量，Z ZZ为约束条件的系数，Z1,Z2,...,Z Z为约束条件的右侧常数。
线性规划的应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，其应用领域包括但不限于以下几个方面：生产计划线性规划在生产计划中的应用是最为常见的。
通过建立适当的数学模型，可以最大化生产线的产能，同时满足客户需求和资源限制。
例如，一个工厂需要决定每个月生产的产品数量，以最大化利润。
这个问题可以通过线性规划来解决。
运输问题线性规划在运输问题中的应用也非常广泛。
运输问题涉及到将特定产品从供应地点运送到需求地点，以满足需求并尽量降低运输成本。
线性规划可以用来决定每个供应地点到每个需求地点的运输量，以最小化总运输成本。
资源分配在资源有限的情况下，线性规划可以用于优化资源的分配。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型线性规划是一种数学模型，被广泛应用于许多领域。
本文将介绍线性规划的数学模型的重要性和应用领域，并简要说明线性规划的定义和基本概念。
线性规划是一种优化问题的数学表述，其目的是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最大或最小的变量值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件均为线性关系。
线性规划在工程、经济、物流、运输等领域都有广泛的应用。
它可以用来解决资源分配、生产计划、成本最小化、效益最大化等问题。
线性规划的数学模型可以通过建立目标函数和约束条件的数学表达式来表示。
这篇文档将深入探讨线性规划的数学模型，并介绍一些常见的线性规划应用案例。
通过了解线性规划的数学模型，读者可以更好地理解其背后的原理和应用。
希望本文能对读者在研究和实践中解决实际问题时提供帮助和指导。
本文将讨论如何构建线性规划模型，包括确定决策变量、目标函数和约束条件，以及如何将实际问题转化为数学模型。
决策变量在构建线性规划模型时，首先需要确定决策变量。
决策变量是用来表示决策问题中需要决定的未知量。
它们的取值将影响函数的输出结果。
在确定决策变量时，需要考虑问题的具体情况，并确保决策变量具有明确的定义和可行的取值范围。
目标函数确定决策变量后，下一步是确定目标函数。
目标函数是线性规划模型中需要最大化或最小化的函数。
它通常与问题的目标密切相关，并且能够量化问题的目标。
在确定目标函数时，需要考虑问题的特点和要求，确保目标函数能够准确地度量问题的目标。
约束条件除了目标函数，线性规划模型还包括一系列约束条件。
约束条件是对决策变量的限制和要求，用于限定决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式或不等式，它们对问题的解产生了限制和约束。
在确定约束条件时，需要将问题的限制条件转化为数学形式，并确保约束条件与实际问题相符合。
实际问题转化为数学模型最后，将实际问题转化为数学模型是构建线性规划模型的关键步骤。
这需要理解问题的要求和限制，并将其转化为决策变量、目标函数和约束条件的数学表达式。
优化模型一：线性规划模型数学建模课件
混合整数线性规划问题求解
要点一
混合整数线性规划问题的复杂性
混合整数线性规划问题是指包含整数变量的线性规划问题 。由于整数变量的存在，混合整数线性规划问题的求解变 得更加困难，需要采用特殊的算法和技术来处理。
要点二
混合整数线性规划模型的求解方 法
为了解决混合整数线性规划问题，可以采用一些特殊的算 法和技术，如分支定界法、割平面法等。这些方法能够将 问题分解为多个子问题，并逐步逼近最优解，从而提高求 解效率。
目标函数的类型
常见的目标函数类型包括最小化、最大化等。
确定约束条件
约束条件
01
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为数学不等式
或等式。
确定约束条件的原则
02
根据问题的实际情况，选择能够反映问题约束条件的条件作为
约束条件。
约束条件的类型
03
常见的约束条件类型包括等式约束、不等式约束等。
线性规划模型的建立
也可以表示为
maximize (c^T x) subject to (A x geq b) and (x leq 0)。
线性规划的应用场景
生产计划
物流优化
在制造业中，线性规划可以用于优化生产 计划，确定最佳的生产组合和数量，以满 足市场需求并降低成本。
在物流和运输行业中，线性规划可以用于 优化运输路线、车辆调度和仓储管理，降 低运输成本和提高效率。
初始基本可行解
在线性规划问题中，一个解被称为基 本可行解，如果它满足所有的约束条 件。
在寻找初始基本可行解时，可以采用 一些启发式算法或随机搜索方法，以 快速找到一个可行的解作为起点。
初始基本可行解是线性规划问题的一 个起始点，通过迭代和优化，可以逐 渐逼近最优解。
线性规划问题及其数学模型
第一章线性规划问题及其数学模型一、问题旳提出在生产管理和经营活动中常常提出一类问题，即怎样合理地运用有限旳人力、物力、财力等资源，以便得到最佳旳经济效果。
例1 某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需旳设备台时及A、B两种原材料旳消耗，如表1-1所示。
表1-1该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应怎样安排计划使该工厂获利最多？这问题可以用如下旳数学模型来描述，设x1、x2分别表达在计划期内产品I、II旳产量。
由于设备旳有效台时是8，这是一种限制产量旳条件，因此在确定产品I、II旳产量时，要考虑不超过设备旳有效台时数，即可用不等式表达为：x1+2x2≤8同理，因原材料A、B旳限量，可以得到如下不等式4x1≤164x2≤12该工厂旳目旳是在不超过所有资源限量旳条件下，怎样确定产量x1、x2以得到最大旳利润。
若用z表达利润，这时z=2x1+3x2。
综合上述，该计划问题可用数学模型表达为：目旳函数 max z =2x 1+3x 2 满足约束条件 x 1+2x 2≤84x 1≤16 4x 2≤12 x 1、x 2≥0例2 某铁路制冰厂每年1至4季度必须给冷藏车提供冰各为15，20，25，10kt 。
已知该厂各季度冰旳生产能力及冰旳单位成本如表6-26所示。
假如生产出来旳冰不在当季度使用，每千吨冰存贮一种季度需存贮费4千元。
又设该制冰厂每年第3季度末对贮冰库进行清库维修。
问应怎样安排冰旳生产，可使该厂整年生产费用至少？解：由于每个季度生产出来旳冰不一定当季度使用，设x ij 为第i 季度生产旳用于第j 季度旳冰旳数量。
按照各季度冷藏车对冰旳需要量，必须满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33231343221242114144x x x x x x x x x x 。
，，，25201510==== 又每个季度生产旳用于当季度和后来各季度旳冰旳数量不也许超过该季度旳生产能力，故又有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++33232213121143424144x x x x x x x x x x 。
线性规划问题的数学模型
工地 砖厂
运价
A1
A2
B1
B2
B3
50
60
70
60
110
160
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2
解：设 xi j表示由砖厂Ai 运往工地 Bj 砖的数量（i=1,2； j=1,2,3)
运量
工
地
B1
B2
B3
发量
砖厂
A1
x11
x12
x13
23
A2
x21
x22
x23
27
收量 17 18 15 50
⑵ 存在一定的限制条件，称为约束条件。这些约束条件 都可以用一组线性等式或不等式来表示。
⑶ 都有一个期望达到的目标，并且这个目标可以表示为 决策变量的线性函数（称为目标函数）。按所研究问题的不 同，要求目标函数值最大化或最小化。
我们将具有上述三个特点的最优化问题归结为线性规划问
题，其数学模型称为线性规划问题的数学模型，简称线性规划 数学模型。
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15
解：
x2 x1 + x2 = -2
x1
-x1 + x2 =1
没有可行解，当然没有最优解。
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16
第三节 单纯形法
（一）线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性 规划数学模型写成统一格式。
线性规划问题的标准型是：
4.配料问题
5.布局问题
6.分配问题
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1
（二）线性规划问题的数学模型
线性规划的数学模型和基本性质
月份 所需仓库面积 合同租借期限 合同期内的租费
1 15 1个月 2800
2 10 2个月 4500
3 20 3个月 6000
4 12 4个月 7300
2．线性规划数学模型
用数学语言描述
例1
项目
I
设备A（h）
0
设备B（h）
6
调试工序（h） 1
利润（元）
2
II
每天可用能力
5
15
2
24
1
5
1
解：用变量x1和x2分别表示美佳公司制造家电I和II的数量。
肯尼斯-J-阿罗（KENNETH J. ARROW）,美国人，因与约翰-希克 斯（JOHN R. HICKS）共同深入研究了经济均衡理论和福利理论获得 1972年诺贝尔经济学奖。
牟顿-米勒（MERTON M. MILLER）,1923-2000, 美国人,由于他在 金融经济学方面做出了开创性工作，于1990年获得诺贝尔经济奖。
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高? 某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
2．线性规划数学模型
练习1 生产计划问题
A B 备用资源
煤12
30
劳动日 3 2
60
仓库 0 2
24
利润 40 50
线性规划概念与数学模型
约束条件的图解:
每一个约束不等式在平面直角坐标系中都 代表一个半平面，只要先画出该半平面的边 界，然后确定是哪个半平面。
怎么画边界
?
怎么确定 半平面
以第一个约束条件（工时）
x1+2 x2 8 为例 说明约束条件的图解过程。
如果全部的劳动工时都用来生产甲 产品而不生产
乙产品，那么甲产品的最大可能产量为8吨，计算
D
条件的边界－－
4
Q4
Q3
直线CD，EF: E
3
F
4x1 =16,4x2 =12
2
Q2 4x2 = 12
1
Q1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
B
C
x1+4x2 = 8
4x1=16
三个约束条件及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区，就是满足所有约束条件和非负条件的点的
集合，即可行域。在这个区域中的每一个点都对应着一个可
目标函数值递增的方向， 用箭头标出这个方向。 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6, 箭头表示使两种产品的总 利润递增的方向。
5
l3
A4
E
B
3
l1 l2 2
1
1
2
D
F 4x1=12
Q2 4,2
x1+2x2 = 8
A
3
4
5
6
7
8
9
B
4x1=16 C
1 1
1 1
1 1
B1 1
4 , B2 1
《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念
03 线性规划的求解方法
单纯形法
1
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法， 其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
2
单纯形法的基本步骤包括：建立初始单纯形表格、 确定主元、进行基变换、更新单纯形表格和判断 是否达到最优解。
3
单纯形法在处理大规模线性规划问题时，由于其 迭代次数与问题规模呈指数关系，因此计算量较 大。
06 线性规划的案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划应用场景，通过合理安排生产计划，企业可以优化资源利用，降低成本并提 高利润。
详细描述
生产计划问题通常涉及确定不同产品组合、生产数量、生产批次等，以满足市场需求、资源限制和利润目标。线 性规划模型可以帮助企业找到最优的生产计划，使得总成本最低或总利润最大。
最优性条件由单纯形法推导得出，是判断线性规划问题是否达到最优解的 重要依据。
解的稳定性
解的稳定性是指最优解在参数变化时保持相对稳定的能力。
在实际应用中，由于数据的不确定性或误差，参数可能会发生变化。因此，解的稳 定性对于线性规划问题的实际应用非常重要。
解的稳定性取决于目标函数和约束条件的性质，以及求解算法的鲁棒性。在某些情 况下，可以通过敏感性分析来评估解对参数变化的敏感性。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
目标函数是需要最大或最小化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是问题中给定的限制条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
线性规划的数学模型和基本性质
1．线性规划介绍
美国科学院院士DANTZIG（丹齐克），1948年在 研究美国空军资源的优化配置时提出线性规划及其通用 解法 “单纯形法”。被称为线性规划之父。
线性规划之父的Dantzig (丹齐克)。据说，一次上课，Dantzig迟到 了，仰头看去，黑板上留了几个几个题目，他就抄了一下，回家后埋头 苦做。几个星期之后，疲惫的去找老师说，这件事情真的对不起，作业 好像太难了，我所以现在才交，言下很是 惭愧。几天之后，他的老师 就把他召了过去，兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很不解 , 后来 才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业，而是老师说的本领 域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法。这个方法是上 个世纪前十位的算法。
s.t.
2．线性规划数学模型
线性规划问题应用 市场营销(广告预算和媒介选择，竞争性定价，新产品 开发，制定销售计划) 生产计划制定(合理下料，配料，“生产计划、库存、 劳力综合”) 库存管理(合理物资库存量，停车场大小，设备容量) 运输问题 财政、会计(预算，贷款，成本分析，投资，证券管理) 人事(人员分配，人才评价，工资和奖金的确定) 设备管理(维修计划，设备更新) 城市管理(供水，污水管理，服务系统设计、运用)
1．线性规划介绍
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
线性规划数学模型
x 1 x 6 60
x 1 x 2 70
s
.
t
x 2 x 3 60
x 3 x 4 50 x 4 x 5 20
x 5 x 6 30
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 0
此问题最优解：x1＝50， x2＝20， x3＝50， x4＝0， x5＝20， x6＝10，一共需要司机和乘务员150人。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
2
C
3
15
5
成本（元/千克） 3
2
z
x1
x2
min z = 3x1+2x2 12 x1 +3x2 ≥ 4 2 x1 +3x2 ≥ 2
s.t. 3 x1+15x2 ≥ 5 x1 +x2 = 1 x1 , x2 ≥ 0
配料平衡条件
14
三、人力资源问题的数学模型
解（参见教材P17）
三、人力资源问题的数学模型
练习： 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
8
16 12
线性规划问题的数学模型
解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量， 则数学模型为：
max Z = 2x1 + 3x2
2x1 + 2x2 ≤ 12
( 6 )线性规划
x j ，即 x j 没有非负限制，则令
例
将下面线性规划问题化成标准型
max z x1 x2
四、线性规划解的性质
（一）几个概念 1.凸集 若连接n维点集S中任意两点 x , x 的线段
仍在S内，则称S为凸集。
(1) (2)
x 即：
(1)
, x ∈S，有 x (1 ) x ∈S，0≤λ≤1，
均为最小值点，即 AB连线上任一点均为解，故解有 无穷多个。
若线性规划问题
的约束条件为
由上图可知，此时可行域不存在，即可行解集 S＝Φ，无可行解，也就没有最优解。
从几何直观上可以看到，可行域为一凸多边形，且
有几种可能：有惟一解，则一定在可行域的某个顶 点达到最优；有无穷多解，一定在可行域的某一边 界上达到最优；若可行域非空，但无解，则可行域 无界；若无可行解，则无最优解。由此可猜想：如
果可行域为凸多边形，且有最优解，则它一定在某
个顶点上达到。事实上，不难证明这一点。对于凸 多面体上的高维线性规划问题，若有最优解，也可
以证明最优解一定在凸多面体的顶点处达到。
三、线性规划的标准型
用图解法求解，虽然简单，但不实用，因而
有必要寻找另外的求解方法。 我们规定标准型为
矩阵形式
化成标准型
( 0)
若rank（A）＝m，则每个基解的非零分量的个
数≤m。若个数＜m，则称该基解是退化的，否则称
为非退化的。
（二）线性规划问题解的性质
1.线性规划问题的可行解为凸集。因而任意连接 两个可行解的线段上的点仍是可行解。 2.最优值可以在极点上达到。 3. 可行解集 S 中的点 x 是极点的充要条件是 x 为基 可行解。
例
第1章 线性规划模型
第1章线性规划Chapter 1 Linear Programming本章内容提要线性规划是运筹学的重要内容。
本章介绍线性规划数学模型、线性规划的基本概念以及求解线性规划数学模型的专门软件——Lingo。
学习本章要求掌握以下内容：⏹线性规划模型的结构。
包括：决策变量，目标函数，约束条件。
⏹线性规划的标准形式，非标准形式转化为标准形式⏹线性规划的基本概念。
包括：约束直线，可行域，可行解，凸集，极点，目标函数等值线，最优解⏹线性规划的软件求解。
包括：lingo软件简介，lingo软件求解规划问题§1.1 线性规划1.1.1 线性规划线性规划(LinearProgramming，LP)是运筹学中最重要的一种系统优化方法。
它的理论和算法已十分成熟，应用领域十分广泛，通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。
例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源(如资金、设备、原材料、人工、时间等)去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益(如产品量最多、利润最大)。
还包括生产计划，物资调运，资源优化配置，物料配方，任务分配，经济规划等问题。
随着计算机硬件和软件技术的发展，目前用微型计算机就可以求解大规模的规划问题。
Lingo软件就是其中的代表软件之一。
在本章中，我们将介绍线性规划的基本概念，线性规划在经济分析中的应用。
§1.2 线性规划问题线性规划问题由目标函数、约束条件以及变量的非负约束三部分组成。
根据实际问题的条件和要求，可以建立线性规划问题数学模型。
下面列举五种最常见的线性规划问题的类型。
1.2.1 生产计划问题例1.1某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示：表1-1用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
设变量x i为第i种产品的生产件数（i＝1，2，3，4），目标函数z为相应的生产计划可以获得的总利润。
线性规划问题
线性规划问题线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
早在20世纪40年代，线性规划就被广泛应用于军事、经济、运输等领域。
随着计算机技术的发展，线性规划在实际问题中的应用变得更加广泛。
线性规划问题由目标函数、约束条件以及决策变量组成。
目标函数是我们要最小化或最大化的数值量，约束条件是问题的限制条件，决策变量是我们需要确定的变量。
线性规划的数学模型可以表示为：最小化（或最大化）：C^T * X约束条件为：AX ≤ B, X ≥ 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧常数向量。
线性规划问题的求解方法主要有单纯形法和内点法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动基变量和非基变量来寻找最优解。
内点法则通过寻找内点来逼近最优解，相比于单纯形法，内点法在高维问题上更有优势。
线性规划问题的应用非常广泛。
例如，在生产计划中，我们需要考虑资源的有限性和生产过程中的约束条件，通过线性规划可以优化生产计划，使生产成本最低。
在供应链管理中，线性规划可用于优化货物的选择和运输方式，最大化利润。
在金融领域，线性规划可用于投资组合分配的优化，以达到风险最小化或收益最大化。
线性规划的应用也面临一些挑战。
首先，线性规划问题的求解可能非常耗时，特别是在高维情况下。
其次，线性规划的模型只适用于线性问题，无法处理非线性的问题。
最后，线性规划问题的结果可能依赖于输入参数的准确性，如果参数不准确，可能导致结果的偏差。
为了克服这些挑战，研究人员一直在不断改进线性规划算法。
一些改进包括使用启发式算法来加速求解过程，使用混合整数线性规划来处理离散决策变量，以及引入鲁棒线性规划来处理参数不确定性。
总之，线性规划是一种强大的数学工具，可以用于解决各种实际问题。
虽然线性规划问题存在一些挑战，但通过不断改进算法和方法，我们可以提高线性规划的求解效率和准确性，使其在实际应用中发挥更大的作用。
线性规划模型
线性规划模型线性规划（Linear Programming，LP）是一种用于求解线性优化问题的数学建模方法。
线性规划模型是在一组线性约束条件下，通过线性目标函数来寻找最优解的数学模型。
其基本形式如下：最大化或最小化：Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + cₙxₙ（目标函数）约束条件为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a₂ₙxₙ ≤ b₂…aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + … + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, …, xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, …, cₙ为目标函数中各项的系数；a₁₁,a₁₂, …, aₙₙ为约束条件中各项的系数；b₁, b₂, …, bₙ为约束条件中的常数项；x₁, x₂, …, xₙ为决策变量。
线性规划模型的求解过程分为以下几个步骤：1. 建立数学模型：根据问题的描述，确定决策变量，确定最优化目标，建立目标函数和约束条件。
2. 确定可行解区域：根据约束条件，画出约束条件所确定的可行解区域。
3. 求解最优解：在可行解区域内寻找目标函数最大化或最小化的解。
常用的求解方法有单纯形法和对偶单纯形法。
4. 解释结果：根据最优解，给出对决策变量和目标函数的解释，进一步分析结果的意义。
线性规划模型适用于许多实际问题的求解，如生产计划、资源分配、物流调度等。
通过构建适当的数学模型，可以帮助管理者做出理性决策，最大化或最小化目标函数。
然而，线性规划模型也有其局限性。
首先，线性规划只能处理线性约束条件和线性目标函数，对于非线性问题无法求解。
其次，线性规划假设决策变量是连续的，对于离散的决策问题，线性规划无法适用。
此外，线性规划模型还需要求解算法的支持，对于复杂问题需要较高的计算资源。
总之，线性规划模型是一种常用的数学建模方法，通过线性约束条件和线性目标函数，求解最优解，帮助解决实际问题。
但线性规划模型也有其适用范围和局限性，需要根据具体问题来选择合适的求解方法。
线性规划模型
线性规划模型线性规划模型是一种数学模型，用于解决优化问题，确保特定的目标实现而满足一定约束条件。
它是基于线性关系的一类优化模型，其目的是最大化或最小化一个线性函数，同时满足相关的线性约束条件。
线性规划模型涉及了数学、经济、管理、工程等领域，常常被用于优化决策和资源分配。
线性规划模型有五个基本要素：决策变量、目标函数、约束条件、可行解和最优解。
其中，决策变量是待优化的参数或变量；目标函数是一个以决策变量为自变量的线性函数，代表目标的数学表达式；约束条件是必须满足的限制条件，它们也是线性函数形式；可行解是满足所有约束条件的决策变量组合，这些组合可以被用于计算目标函数的值；最优解是在所有可行解中，能够使目标函数取得极值（最大化或最小化）的可行解。
线性规划模型的主要应用在资源优化领域，例如制造、物流、贡献分析和供应链管理。
其中，生产调度和库存管理是常见的应用场景。
生产调度通常涉及如何分配生产设备的时间和资源，以最小化成本并最大化效益。
库存管理通常涉及如何保持合理库存水平以满足需求，同时尽量减少成本和风险。
线性规划模型计算软件广泛应用，其中最广泛的是 Microsoft Excel 中的插件，如Solver。
Solver 可以通过线性规划模型来找到最佳决策组合，以最小化或最大化目标函数。
其他流行的线性规划软件包包括 MATLAB，AMPL 和 Gurobi 等。
然而，线性规划模型有几个限制：一是实际问题往往不是线性的，因此需要更复杂的模型来处理更复杂的问题；二是线性规划模型假设所有参数是确定的，但在许多情况下参数是不确定的，需要采用随机规划模型。
因此，针对问题的实际特点和需求，选择更合适的数学模型和工具是非常重要的。
总之，线性规划模型是优化问题的一个强大工具，可以在许多领域帮助决策者做出最佳决策。
然而，在应用模型过程中要仔细考虑模型的局限性，并尝试更复杂的模型，以获得更好的决策结果。
运筹学第一课
分别为甲、 【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
m Z = 40x1 + 30x2 + 50x3 ax
10
4 配料问题
例5．某工厂要用三种原料1、 某工厂要用三种原料1 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、 数据如右表。 产品甲、乙、丙，数据如右表。 该厂应如何安排生产， 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？ 润收入为最大？
单价（ 产品名称 规格要求 单价（元/kg） ） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% ， 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% ， 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（ 单价（元/kg） ） 65 25 35
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价 产品数量 - 甲乙 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 丙使用的原料单价*原料数量 原料数量， 丙使用的原料单价 原料数量，故有
目标函数
50（ +35（ +25（ Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65 25（ 35（ （x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
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二、配料问题的数学模型
三、目标函数
⑴ 总产值(据表2-3) 产品X的产值: 50(x11+ x12 + x13 ) 产品Y的产值: 35(x21+ x22 + x23 ) 产品Z的产值: 25(x31+ x32 + x33 )
以上三项之和即总产值。
⑵ 总成本(据表2-4) 原料A的成本: 65(x11+ x21 + x31 ) 原料B的成本: 25(x12+ x22 + x32 ) 原料C的成本: 35(x13+ x23 + x33 )
二、约束条件
⑴ 规格约束(据表2-3)
x11 x11+ x12 + x13
≥ 0.50
x21 x11+ x12 + x13
≥ 0.25
j i
X Y Z
ABC
x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33
x12 x11+ x12 + x13
x22 x11+ x12 + x13
≤ 0.25 ≤ 0.50
下面，结合若干个实际问题讨论数学模型的建 立。
5
一、投资问题的数学模型Βιβλιοθήκη 解（参见教材P15）6
二、配料问题的数学模型
解（参见教材P16）
二、配料问题的数学模型
某化工厂要用三种原料 A，B，C 混合配制三种不同规格
的产品 X，Y，Z。有关数据如下：
表2-3
表2-4
产品
X Y
规格
原料D不少于50% 原料P不超过25%
1 第二章 线 性 规 划（Linear Programming）
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性的最优化问题。 自从1947年丹捷格(Dantzig)提出求解线性规划的单纯形方法以 来，线性规划在理论上趋向成熟。特别是在计算机能处理成千 上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的 适用领域更为广泛，已成为现代管理中经常采用的基本方法之 一。线性规划是最优化问题中的重要领域之一，很多运筹学中 的实际问题都可以用线性规划来表述。很多其他种类的最优化 问题算法也都可以分拆成线性规划子问题，然后求解。
原料D不少于25% 原料P不超过50%
单价(元/kg)
50 35
原料
最大供量 (kg/天)
单价 (元/kg)
A 100
65
B 100
25
Z
不限
25
C 60
35
应如合配制，才能使利润达到最大？
二、配料问题的数学模型
一、决策变量
设以 xij 表示每天生产的 第i 种产品中所含第j 种原料 的数量(kg，右表)。
配料问题
原料 化学成分
成分含量(%)
甲
乙
产品成分 最低含量(%)
A
12
3
4
B
2
3
2
C
3
15
5
成本（元/千克） 3
2
z
x1
x2
min z = 3x1+2x2 12 x1 +3x2 ≥ 4 2 x1 +3x2 ≥ 2
s.t. 3 x1+15x2 ≥ 5 x1 +x2 = 1 x1 , x2 ≥ 0
配料平衡条件
以上三项之和即总成本。
二、配料问题的数学模型
目标函数为：
总利润 = 总产值 - 总成本
该问题的数学模型为:
max z =- -x1115x+11x+122+5xx1123+15x13-30x21+10x22-40x31≤-100x33
- x11+3x12 - x13
≤0
-3x21+x22 +x23
14
三、人力资源问题的数学模型
解（参见教材P17）
三、人力资源问题的数学模型
练习： 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内 所需司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00
线性规划要研究的两类问题中都有一个限制条件：第 一类问题是给出一定量的人力、物力和财力等资源； 第二类问题是给定一项任务。
4
第二节 线性规划问题的数学模型
当用线性规划的方法对实际问题进行优化时， 必须把这个实际问题用恰当的数学形式表达出 来，这个表达的过程，就是建立数学模型的过 程。数学模型的建立需要经验和技巧以及有关 的专业知识，只有通过大量的实践，在建立模 型时才能得心应手。初学时可从题目中所给出 的限制条件和目标入手，由限制条件建立起线 性方程组，由目标得到目标函数。
通过学习本章，应当了解线性规划的有关概念，掌握线性规划 模型的建立及优化方法，会用计算机对大型线性规划模型问题 进行求解和分析。本章的难点为单纯形计算方法。
2
第一节 线性规划问题的提出
线性规划是运筹学的一个重要分支，主要用于研究解 决有限资源的最佳分配问题，即如何对有限资源做出 最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分地发挥 资源的效能，以获取最佳经济效益。
≤0
s.t. x11
x21+x22 - x23
+x21
+x31
≤0 ≤ 100
x12
+x22
+x32 ≤ 100
x13
+x23
+x33≤ 60
xij ≥ 0， i = 1, 2, 3； j = 1, 2, 3
配料问题
练习： 某化工厂根据一项合同要为用户生产一种用 甲、乙两种原料混合配制而成的特殊产品。甲、乙 两种原料都含有A，B，C三种化学成分，其含量 (%)是:甲为12，2， 3；乙为3，3，15。按合同规 定，产品中三种化学成分的含量(%)不得低于4，2， 5。甲、乙原料成本为每千克3，2元。厂方希望总 成本达到最小，则应如何配制该产品？
二、配料问题的数学模型
改写成
- x11 + x12 + x13 ≤ 0 - x11+ 3x12 -x13 ≤ 0 -3x21 +x22 + x23 ≤ 0
x21 +x22 - x23 ≤ 0
⑵ 资源约束(据表2-4)
x11+ x21 + x31 ≤ 100 x12+ x22 + x32 ≤ 100 x13+ x23 + x33 ≤ 60
它的适用领域非常广泛，从工业、农业、商业、交通 运输业、军事的计划和管理及决策到整个国民经济计 划的最优方案的提出，都有它的用武之地，是现代管 理科学的重要基础和手段之一。
3
第一节 线性规划问题的提出
线性规划研究的问题主要有以下两类。
(1) 给出一定量的人力、物力、财力等资源，如何统筹 规划这些有限资源完成最大任务。（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等） (2) 给定一项任务，如何运筹规划，合理安排，以最少 资源来完成它。（如产品量最多 、利润最大.）