高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．

例2 求半径为4，与圆04242

2

=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例5 已知圆42

2

=+y x O ：，求过点()42，

P 与圆O 相切的切线． 例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与02222

22=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．

例7、过圆12

2=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。

练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆2

2

(1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 2、过坐标原点且与圆02

5

242

2

=+

+-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆022

2=+-y x x 相切，则a 的值为 .

类型三：弦长、弧问题

例8、求直线063:=--y x l 被圆042:2

2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.

例9、直线0323=-+y x 截圆42

2=+y x 得的劣弧所对的圆心角为

例10、求两圆0222=-+-+y x y x 和52

2=+y x 的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系

例11、已知直线0323=-+y x 和圆42

2=+y x ，判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线m x y +=与曲线24x y -=

有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围.

例13 圆9)3()3(2

2

=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？

练习1：直线1=+y x 与圆)0(022

2>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是

2：若直线2+=kx y 与圆1)3()2(2

2=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是 .

3、 圆03422

2=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离为2的点共有（ ）．

（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个

4、 过点()43--，

P 作直线l ，当斜率为何值时，直线l 与圆()()4212

2

=++-y x C ：有公共点，如图所示．

类型五：圆与圆的位置关系

例14、判断圆02662:2

2

1=--++y x y x C 与圆

0424:222=++-+y x y x C 的位置关系，

例15：圆0222=-+x y x 和圆042

2=++y y x 的公切线共有 条。

练习1：若圆042222=-+-+m mx y x 与圆084422

22=-+-++m my x y x 相切，则实数m 的取值集合是 .

2：求与圆52

2=+y x 外切于点)2,1(-P ，且半径为52的圆的方程.

类型六：圆中的对称问题

例16、圆2

2

2690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是

例17 自点()33，

-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆07442

2

=+--+y x y x C ：相切 求（1）求光线l 和反射光线所在的直线方程．（2）光线自A 到切点所经过的路程．

类型七：圆中的最值问题

例18：圆0104422

=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是

例19 (1)已知圆1)4()3(2

2

1=-+-y x O ：，),(y x P 为圆O 上的动点，求22y x d +=的最大、最小值．

(2)已知圆1)2(2

2

2=++y x O ：

，),(y x P 为圆上任一点．求1

2

--x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值．

图

例20：已知)0,2(-A ，)0,2(B ，点P 在圆4)4()3(2

2=-+-y x 上运动，则2

2PB PA +的最小

值是 .

练习：1：已知点),(y x P 在圆1)1(2

2=-+y x 上运动.

（1）求

2

1

--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值. 2 设点),(y x P 是圆12

2=+y x 是任一点，求1

2+-=x y u 的取值范围．

3、已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ，点P 在圆422=+y x 上运动，求2

2

2

PC PB PA ++的最大值和最小值. 类型八：轨迹问题

例21、基础训练：已知点M 与两个定点)0,0(O ，)0,3(A 的距离的比为

2

1

，求点M 的轨迹方程. 例22、已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(2

2=++y x 上运动，求线段AB

的中点M 的轨迹方程.

例23 如图所示，已知圆42

2

=+y x O ：与y 轴的正方向交于A 点，点B 在直线2=y 上运动，过B 做圆O 的切线，切点为C ，求ABC ∆垂心H 的轨迹．

例24 已知圆的方程为2

22r y x =+，圆内有定点),(b a P ，圆周上有两个动点A 、B ，使PB PA ⊥，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程．

练习：1、由动点P 向圆12

2=+y x 引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，APB ∠=600，则

动点P 的轨迹方程是 .

解：设),(y x P .∵APB ∠=600，∴OPA ∠=300.∵AP OA ⊥，∴22==OA OP ，∴222=+y x ，

化简得422=+y x ，∴动点P 的轨迹方程是42

2=+y x .

练习巩固：设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值

)0(>a a ，求P 点的轨迹.

2、已知两定点)0,2(-A ，)0,1(B ，如果动点P 满足PB PA 2=，则点P 的轨迹所包围的面积等于