北师版数学九年级上册相似三角形---构造相似基本恩图形,为解题打开一扇智慧之门

构造相似基本恩图形，为解题打开一扇智慧之门相似三角形问题解答时，常遇到或构造一个重要解题基本图形，这个基本图形构成元件非常简单，但是这个图形的解题内涵非常丰富，能为很多问题的破解提供强有力的方法支撑.一起走进这个基本图形.一、认识基本图形如图1，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC.则△ADE∽△ABC.常见基本结论：一“=”型比例式： AD:BD=AE:EC；AD:AB=AE:AC；AD:AE=BD:CE.连“=”型比例式： AD:AB=AE:AC=DE:BC.二、基本图形的解题应用（一）.直接应用型1.1探求被截线段的长度例1 （2019年四川内江市）如图2，在△ABC中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．9解析：因为DE∥BC，所以=，即=，所以AE=6，所以AC=AE+EC=6+2=8．所以选C．点评：这是平行线分线段成比例定理的简易图形，是定理的一个重要缩影，更是解题的一个重要工具性图形，识记图形是基础，活用图形解题是根本，据图正确选择比例式是解题的关键.1.2探求与截线平行线段的长度例2 （2019年广西贺州市）如图3，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于（）A．5 B．6 C．7 D．8解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以=，即=，解得：BC=6，所以选B．点评：基本图形中，当求与截线平行的线段长时，要转换解题思路，把平行线分线段成比例定理转型为“A”字型的三角形相似问题解决，这种转化思想很重要．1.3探求非比例线段，非平行线段的线段的长度例3 （2019年广西贵港市）如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，则线段CD的长为（）A．2B．3C．2D．5解析：设AD=2x，BD=x，所以AB=3x，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以=，所以=，所以DE=4，=，因为∠ACD=∠B，∠ADE=∠B，所以∠ADE=∠ACD，因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ACD，所以=，设AE=2y，AC=3y，所以=，所以AD=y，所以=，所以CD=2，所以选：C．点评：在“A”字型基本图形中解题，实现三个维度的目标：一是三角形相似，构造连等比例式；二是巧妙引进未知数表示未知线段，化抽象线段为具体表达线段，利于计算；三是依托基本图形为基础，提供新条件，为新三角形的相似奠基，为问题的最终解决搭桥．1.4 甄别比例式例4 （2019年浙江省杭州市）如图5，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M 为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．=B．=C．=D．=解析：因为DN ∥BM ，所以△ADN ∽△ABM ，所以=，因为NE ∥MC ，所以△ANE ∽△AMC ，所以=，所以=．所以选C ． 点评：平行“A ”字型基本图形中的比例式，有两个来源，一个来源是平行线分线段成比例定理及其变式；一个来源是基本图形中的三角形相似所满足的三边关系比例式，解题时，要注意知识的选择，更要注意比例式的选择，不能混淆导致错误．1.5 等腰三角形中，探求图形的面积例5 （2019年湖南省常德市）如图6，在等腰三角形△ABC 中，AB=AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．26解析：如图6，根据题意得△AFH ∽△ADE ，所以=2)(DE FH =169)43(2=,设AFH S ∇=9x ，则ADE S ∇=16x ，所以16x ﹣9x=7， 解得x=1，所以ADE S ∇=16，所以四边形DBCE 的面积=42﹣16=26．所以选D ．点评：解题不仅需要知识综合能力，方法选择能力，也需要有高超的图形识别能力，入微的 图形观察能力，拓展细小知识点的能力，如这里“所有三角形都相似”意味着这里的三角形 都是等腰三角形，FH ∥DE ∥BC ，必须清楚；其次，全等三角形是一种特殊的相似三角形，因 此所有小等腰三角形是全等的，因此其底是相等的，从而发掘了一个重要的隐含条件，△AFH 与△ADE 的相似比为3:4，从而彻底打开了问题解决的大门，使得解题走向成功.1.6 直角三角形中，探求动点问题例6（2019年海南省）如图7，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4．点P 是边AC 上一 动点，过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度 为（ ）A ．B ．C ．D ．解析：因为∠C=90°，AB=5，BC=4，所以AC=22BC AB −=3，因为PQ ∥AB ，所以∠ABD=∠BDQ ，又∠ABD=∠QBD ，所以∠QBD=∠BDQ ，所以QB=QD ，所以QP=2QB ，因为PQ ∥AB ，所以△CPQ ∽△CAB ，所以==，即==，解得，CP=，所以AP=CA ﹣CP=， 所以选B ．点评：利用基本图形，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，角平分线的性质定理和直角三角形特有的勾股定理都为解题提供强有力的条件支撑．1.7 巧用相似性质，探求平移问题例7（2019年山东省枣庄市）如图8，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′=1，则A ′D 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．解析：设平移后的三角形与BC 的交点分别E,F ，因为ABC S △=16,EF A S '△=9,且AD 为BC 边的中线，所以ABD S △=21ABC S △=8,ED A S '△=21EF A S '△=29,因为将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A'B'C'，所以A ′E ∥AB ，所以△DA ′E ∽△DAB ，设A ′D=x ，根据题意，得829)1x ()(22=+='='x AD D A S S ABD EDA △△=169，所以43-1x 431x =+=+x x 或， 解得x=3或x=-73(舍去），所以A ′D=3，所以选B ． 点评：本题就有如下特点：一是借助平移构造生成解题需要的基本图形，这是运用相似三角形性质的关键所在；二是三角形中线等分三角形面积的性质，为计算面积比奠定基础；三是相似三角形面积比等于相似比的平方，这是构造等式的关键．1.8 平行四边形中，探求相似三角形的对数例8（2019年广西玉林市）如图9，AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有（ ）A ．3对B ．5对C ．6对D ．8对解析：图中的三角形有：△AEG ，△ADC ，CFG ，△CBA ，因为AB ∥EF ∥DC ，AD ∥BC所以△AEG ∽△ADC ∽CFG ∽△CBA ，所以一共6对相似三角形，分别是：△AEG ∽△ADC ，△AEG ∽CFG ，△AEG ∽△CBA ，△ADC ∽CFG ，△ADC ∽△CBA ，CFG ∽△CBA ，所以选C. 点评：通过解题，获得如下解题经验：一是借助基本图形寻找相似三角形，这是一条非常基本且有效的途径；二是利用相似的传递性寻找相似三角形，这是防止漏落的高效策略；三是紧盯全等三角形这个特殊组合，不能因大意而失荆州.1.9 正方形中，探求截取问题例9 （2019年贵州省毕节市）如图10，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC=1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．1002cmB ．1502cmC ．1702cmD ．2002cm解析：设AF=x ，则AC=3x ，因为四边形CDEF 为正方形，所以EF=CF=2x ，EF ∥BC ， 所以△AEF ∽△ABC ，所以31==AC AF BC EF ,所以BC=6x ， 在Rt △ABC 中，222BC AC AB +=，所以222)6()3(30x x +=，解得，x=25，x=-25（舍去），所以AC=65，BC=125，所以剩余部分的面积=×125×65﹣45×45=100（2cm ），所以选A ．点评：看似是图形的截取问题，实质是三角形的相似问题，是两个知识点的有机融合：一是相似三角形提供比例式，确定线段之间的比例关系，为解题提供数量关系；二是直角三角形的勾股定理，把分散的数量关系集中的股沟定理的等式中，把比例的数量关系转化为定量的具体值，从而实现解题目标．（二）.构造应用型2.1直角三角形内，构造基本图形探求线段长例10 （2019年安徽省）如图11，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF ⊥AC 于点F ，EG ⊥EF 交AB 于点G ．若EF=EG ，则CD 的长为（ ）A ．3.6B ．4C ．4.8D ．5解析：如图11，作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，所以，因为EF⊥AC，∠C=90°，所以∠EFA=∠C=90°，所以EF∥CD，所以△AEF∽△ADC，所以，所以，因为EG=EF，所以DH=CD，设DH=x，则CD=x，因为BC=12，AC=6，所以BD=12﹣x，因为EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，所以EG∥AC∥DH，所以△BDH∽△BCA，所以，即，解得，x=4，所以CD=4，所以选B．点评：明确题意，作出合适的辅助线，构造解题需要的基本图形是解题的关键，利用好数形结合的思想是解题成功的根本．2.2一般三角形内，构造基本图形探求线段的比例11（2019年四川省凉山州）如图12，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD 的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3（1）形内构造基本图形，中位线定理辅助证明型解法1：如图13，过点O作OF∥BC，交AC于点F，则DO:BO=DF:FC,因为DO=BO，所以BC=2OF，解法2：如图14，过点D作DF∥AE，交BC于点F，则DO:BO=EF:BE,因为DO=BO，所以BE=EF，因为DF∥AE，所以AD:DC=EF:FC,因为AD：DC＝1：2，所以EF:FC=1:2，所以FC=2EF=2BE,所以BE:EC=BE:(EF+FC)=BE:(BE+2BE)=1:3.所以选B.解法3：如图15，过点O作OF∥AC，交BC于点F，则DO:BO=CF:BF,因为DO=BO，所以BF=CF，DC=2OF,因为AD：DC＝1：2，所以OF=AD，所以AC=AD+DC=3OF，因为OF∥AC，所以OF:AC=EF:EC=1:3,所以FC=2EF，因为FC=BF，所以2EF=BE+EF，所以EF=BE，所以BE:EC=1:3.所以选B.点评：上述三种解法，都涉及到了三角形的中位线定理，巧妙运用三角形的中位线等于三角形第三边的一半作为解题的桥梁，把问题一步步化解，最终实现解题目标.通过解题，得到如下重要启示：遇到中点，构造平行线，构造三角形中位线定理是一种有效的解题方法，要熟练驾驭，灵活运用.（2）形内构造基本图形，面积辅助证明型解法4：如图16，过O作OG∥BC，交AC于G，因为O是BD的中点，所以G是DC的中点．因为AD：DC=1：2，所以AD=DG=GC，所以AG：GC=2：1，AO：OE=2：1，所以S△AOB：S△BOE=2，设S△BOE=S，S△AOB=2S，因为BO=OD，所以S△AOD＝2S，S△ABD＝4S，因为AD：DC=1：2，所以S△BDC=2S△ABD=8S，S四边形CDOE=7S，所以S△AEC=9S，S△ABE=3S，所以故选：B．，点评：三角形面积辅助型解题，重要掌握好如下几点：1.三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形.2.等高的三角形面积之比等于对应底的比.3.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.这些都是与三角形面积相关问题解决的主要知识源，要熟记活用.（3）性外构造基本图形辅助证明型解法5：如图17，过点C作CF∥BD，交AE的延长线于点F，所以∠ADO=∠ACF，∠AOD=∠AFC，所以△AOD∽△AFC，所以OD:FC=AD:AC,因为AD：DC＝1：2，所以DC=2AD，所以OD:FC=AD:(AD+2AD)=1:3，因为DO=OB，所以OB:FC=1:3，因为OB∥CF，所以∠OBE=∠FCE，∠BOE=∠CFE，所以△BOE∽△CFE，所以BE:EC=OB:FC=1:3.所以选B.解法6：如图18，过点C作CF∥AE，交BD的延长线于点F，所以∠ADO=∠CDF，∠AOD=∠CFD，所以△AOD∽△CFD，所以OD:DF=AD:DC,因为AD：DC＝1：2，所以OD:DF=1:2,因为DO=OB，所以OB:OF=1:3，因为OE∥CF，所以BE:EC=OB:OF=1:3.所以选B.解法7：如图19，过点A作AF∥BD，交CB的延长线于点F，因为AF∥BD，所以AD:DC=FB:BC，BD:AF=DC:AC，因为AD:DC=1:2，所以FB:BC=1:2，BD:AF=2:3,因为BO=OD，所以BD=2BO，所以2BO:AF=2:3,所以BO:AF=1:3,因为AF∥BD，所以BE:EF=1:3，所以EF=3BE，所以FB=2BE，因为BC=2FB，所以BE+EC=4BE,所以EC=3BE，所以BE：EC=1:3,所以选B.解法8：如图20，过点B作BF∥AE，交CA的延长线于点F，因为BF∥AE，所以BE:EC=FA:AC，因为BO=OD，所以FA=AD，因为AD:DC=1:2，所以FA:AC=1:3，所以BE：EC=1:3,所以选B.点评：“A”字型图是利用相似三角形解决问题中最常见也是最常用的基本图形，发现或构造这个基本图形是解题能力不断提升的关键，构造了基本图形，不仅把三角形相似的知识得以运用，而且把三角形的全等，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理等重要知识也有机融合在一起，为解决问题提供了广阔的解题方法空间，思维空间，为数学解题能力的提升也有极大帮助.。