第十五章习题课选讲例题
2020-2021学年初二数学精讲：第15课时 单元测试题
2020-2021学年初二数学精讲第 五章 单元测试题一、选择题：1、下列推理正确的是（ ）A 、∵∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，∴∠1与∠3互余B 、∵∠1与∠2是对顶角，且∠2=∠3，∴∠1与∠3是对顶角C 、∵∠1与∠2互补，∠2与∠3互补，∴∠1=∠3D 、∵a ⊥b ，a ⊥c ，∴b ⊥c2、学校、工厂、电视塔在一张图纸上分别用A,B,C 三点表示，工厂在学校的北偏西300的方向，电视塔在学校的南偏东550处，那么此图纸上的∠BAC 等于（ ）A 、850B 、1750C 、1450D 、15503、如下图，以下有四个结论：①若∠1=∠2，则AB//CD;②若∠1=∠2，则AD//BC ； ③若∠3=∠4，则AB//CD ,④若∠3=∠4，则AD//BC 其中正确的是（ ）A 、①和②B 、③和④C 、①和④D 、②和③4、如下图，AB ⊥EF,CD ⊥EF,AF//BG,BG 平分∠ABE,那么图中与∠1相等的角有（ ）个A 、1B 、2C 、3D 、45、如图，直线C 和直线a,b 相交，且a//b ，则下列结论：①∠1=∠2，②∠1=∠3，③∠3=∠2中正确的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、36、如图，下列条件中，能判定AB//CE 的是（ ）A 、∠B=∠ACEB 、∠A=∠ECDC 、∠B=∠ACBD 、∠A=∠ACE第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 二、填空题： 7、一根0.5cm 长的头发用放大镜观察得到它的长是5cm ，那么一个150的角在该放大镜下观察得到的度数应为_____8、如右图，AB,CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE,若∠DOE=600,则∠AOC=_____9、一个角的余角的3倍比这个角的补角大180，则这个角的度数为_____10、如右图，已知AB//EF//CD,∠A=720,∠D=180，则AE 与DE 的位置关系是_____11、互余的两个角相等，它们的补角是_____12、若a ⊥b ，b//c ，则a_____c13、如图是梯形上底的一部分，已量得∠A=1200,∠D=1000，则梯形另外两个角的度数分别是______C D E G A F B 1321c b a E D C B A F A C E B D O B A三：解答题：14、一名同学在游乐场玩碰碰车，开始向东行驶，途中向右拐500角，接着向前行驶，走了一段路程后，又向左拐了500角（1）此时碰碰车和原来行驶的方向相同吗？你的依据是什么？（2）如果碰碰车第二次向左拐的角度是400或700，此时车和原来行驶方向相同吗？你的依据是什么？（3）由以上情况你知道满足什么条件时，车行驶方向和原来相同？15、（中考）如图，AB//CD,EG ⊥AB,垂足为G ，若∠1=500求∠E 的度数16、如图，AB//CD,试判断：∠A, ∠C 和∠E 之间的关系怎样呢？请说明理由17、如图，已知∠AOB 及OA 边上任意一点M ，求作过M 点与OB 平行的直线（要求尺规作图） 第二章测试题答案一、选择题：1、C2、D3、D4、D5、D6、D 二、填空题：7、150 8、300 9、360 10、互相垂直 11、1350 12、 13、600和800三、解答题：14、（1）相同、同位角相等两直线平行（2）不相同，同位角不相等（3）当第一次和第二次拐的度数相同时，行驶方向就相同15、∠E=40016、∠C=∠A+E17、图略 （end ）G 213E D BC A附送名师心得做一名合格的高校教师，应做好以下三个方面：1. 因材施教，注重创新所讲授的每门课程应针对不同专业、不同知识背景的学生来调整讲授的内容和方法。
八年级数学上册第十五章分式综合专题分式方程的实际应用习题名师公开课省级获奖课件新人教版
类型二 销售问题
3.某商场计划购进甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进的乙种玩具的件数相同.求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元.
4.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13 200元购进了一批这种衬衫.面市后果然供不应求，该商家又用28 800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元.
(1)求甲、乙两人的速度各是多少；(2)如果A地到B景区的路程为180千米，甲、乙两人到达B景区游玩一段时间后，甲按原速返回A地，同时乙按原速骑行1.5小时后，因体力消耗，每小时骑行速度减少m千米.如果甲回到A地时，乙距离A地不超过25千米，求乙的速度每小时最多减少多少千米.
了解面对逆境，远比如何接受顺境重要得多一般的伟人总是让身边的人感到渺小昨天是张退票的支票积极人格的完善是本，财富的确立是末昨晚多几分钟的准备每一发奋努力的背，必有加倍的赏赐要及时把握梦想，因为梦想一死10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
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每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦每天只看目标，别老想障碍宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈子积极向上的心态，是成功者的最基本要素生活总会给你另一个机会，人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走21:19:48我们必须在失败中寻找胜利10、一个人的梦想也许不值钱，但一个人的努力很值钱。11、在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。
2019高考数学一轮复习 第十五章 不等式选讲练习 文
第十五章不等式选讲考纲解读比较法、综合法、分分析解读不等式选讲是高考的选考内容之一,主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法.本节内容在高考中分值为10分,属中档题.五年高考考点不等式的解法及证明2017年高考“最后三十天”专题透析1.(2017课标全国Ⅱ,23,10分)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.证明(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+·(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.2.(2017课标全国Ⅲ,23,10分)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解析(1)f(x)=当x<-1时, f(x)≥1无解;当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,所以1≤x≤2;当x>2时,由f(x)≥1得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+≤,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.故m 的取值范围为.3.(2016课标全国Ⅲ,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.好教育云平台——教育因你我而变2(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时, f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.解析(1)当a=2时, f(x)=|2x-2|+2.解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.(5分)(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥|2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a,当x=时等号成立,所以当x∈R时, f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a≥3.①(7分)当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞).(10分)4.(2016课标全国Ⅱ,24,10分)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.解析(1)f(x)=(2分)当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1;(3分)当-<x<时, f(x)<2;(4分)当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,(5分)所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(6分)(2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0,因此|a+b|<|1+ab|.(10分)5.(2015课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.32017年高考“最后三十天”专题透析(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)证明:当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(5分)(2)由题设可得, f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC 的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).(10分)6.(2015课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2. 因此+>+.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得+>+.(ii)若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.4好教育云平台——教育因你我而变因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.7.(2014课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且+=.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析(1)由=+≥,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.教师用书专用(8—15)8.(2014陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为. 答案9.(2014江西,15,5分)x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为.答案[0,2]10.(2013陕西,15A,5分)(不等式选做题)设a,b∈R,|a-b|>2,则关于实数x的不等式|x-a|+|x-b|>2的解集是.答案(-∞,+∞)11.(2015陕西,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求+的最大值.解析(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则解得a=-3,b=1.(2)+ =+52017年高考“最后三十天”专题透析≤=2=4,当且仅当=,即t=1时等号成立,故(+ )max=4.12.(2014辽宁,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N.(1)求M;(2)当x∈M∩N时,证明:x2f(x)+x[f(x)]2≤.解析(1)f(x)=当x≥1时,由f(x)=3x-3≤1得x≤,故1≤x≤;当x<1时,由f(x)=1-x≤1得x≥0,故0≤x<1.所以f(x)≤1的解集为M=.(2)由g(x)=16x2-8x+1≤4得16≤4,解得-≤x≤.因此N=,故M∩N=.当x∈M∩N时, f(x)=1-x,于是x2f(x)+x·[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=x·f(x)=x(1-x)=-≤.13.(2014课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;好教育云平台——教育因你我而变67(2)若f(3)<5,求a 的取值范围.解析 (1)证明:由a>0,有f(x)=+|x-a|≥ =+a≥2,所以f(x)≥2.(2)f(3)=+|3-a|.当a>3时, f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时, f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a 的取值范围是.14.(2013课标全国Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈时, f(x)≤g(x),求a 的取值范围.解析 (1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.2017年高考“最后三十天”专题透析所以x≥a-2对x∈都成立.故-≥a-2,即a≤.从而a 的取值范围是.15.(2013课标全国Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点不等式的解法及证明1.(2018福建四地六校12月联考,23)已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.(1)当a=3时,解不等式f(x)≤4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.解析(1)当a=3时,好教育云平台——教育因你我而变8f(x)=|2x-1|+|x-3|=所以当x≤时,由4-3x≤4,得x≥0,所以0≤x≤;当<x<3时,由x+2≤4,得x≤2,所以<x≤2;当x≥3时,由3x-4≤4,得x≤,舍去.综上所述,不等式f(x)≤4的解集为[0,2].(2)f(x)=|2x-1|+|x-a|=|2x-1|+|a-x|≥|(2x-1)+(a-x)|=|x-1+a|,所以若f(x)=|x-1+a|,则2x-1与a-x同号,即(2x-1)(a-x)≥0,即(2x-1)(x-a)≤0,当a<时,x 的取值范围是;当a=时,x=;当a>时,x 的取值范围是.2.(2018湖北荆州中学月考,23)已知函数f(x)=|x-3|.(1)求不等式f(x)+f(2x)<f(12)的解集;(2)若x1=3x3-x2,|x3-2|>4,证明:f(x1)+f(x2)>12.解析(1)由f(x)+f(2x)<f(12)得|x-3|+|2x-3|<9,∴或或解得-1<x<5,故不等式f(x)+f(2x)<f(12)的解集为(-1,5).(2)证明:∵x1=3x3-x2,∴x1+x2=3x3,∴f(x1)+f(x2)=|x1-3|+|x2-3|≥|x1-3+x2-3|=|3x3-6|=3|x3-2|,又|x3-2|>4,∴f(x1)+f(x2)>12.3.(2017河南考前预测,23)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|.(1)求不等式f(x)+|x+1|<2的解集;(2)若函数g(x)=f(x)+f(x-1)的最小值为a,且m+n=a(m>0,n>0),求+的最小值.解析(1)f(x)+|x+1|=92017年高考“最后三十天”专题透析当x≤-1时,由-3x<2,得x>-,所以x∈⌀;当-1<x<时,由-x+2<2,得x>0,所以0<x<;当x≥时,由3x<2,得x<,所以≤x<.综上,原不等式的解集为.(2)由条件得:g(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|(2x-1)-(2x-3)|=2,当且仅当x∈时,其最小值a=2,所以m+n=2.因为m>0,n>0,所以+=(m+n)=≥=,当且仅当=,即m=,n=时等号成立.所以+的最小值为.4.(2017广东百校联考,23)已知f(x)=|x+2|-|2x-1|,M为不等式f(x)>0的解集.(1)求M;(2)求证:当x,y∈M时,|x+y+xy|<15.解析(1)f(x)=当x<-2时,由x-3>0,得x>3,所以x∈⌀;当-2≤x≤时,由3x+1>0,得x>-,故-<x≤;当x>时,由-x+3>0,得x<3,故<x<3.综上,M=.(2)证明:∵x,y∈M,∴|x|<3,|y|<3,∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x|·|y|<3+3+3×3=15.5.(2016河南顶级名校期中,24)已知函数f(x)=|x-a|,不等式f(x)≤3的解集为[-1,5].(1)求实数a的值;(2)若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.10好教育云平台——教育因你我而变解析(1)∵|x-a|≤3,∴a-3≤x≤a+3.∵f(x)≤3的解集为[-1,5],∴∴a=2.(2)∵f(x)+f(x+5)=|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5,f(x)+f(x+5)≥m恒成立,∴m≤5.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:60分时间:50分钟)解答题(每小题10分,共60分)1.(2018河北五校联考,23)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-3|.(1)求不等式f(x)≤6的解集;(2)若关于x的不等式f(x)<|a-1|的解集非空,求实数a的取值范围.解析(1)原不等式等价于或或解得<x≤2或-≤x≤或-1≤x<-.故不等式的解集为{x|-1≤x≤2}.(2)∵f(x)=|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4,∴由已知得|a-1|>4,解此不等式得a<-3或a>5.2.(2018广东珠海二中期中,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m∈R).(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;(2)设关于x的不等式f(x)≤|2x+1|的解集为A,且⊆A,求实数m的取值范围. 解析(1)当m=-1时,f(x)=|x-1|+|2x-1|,f(x)≤2即|x-1|+|2x-1|≤2,上述不等式可化为2017年高考“最后三十天”专题透析或或解得0≤x≤或<x<1或1≤x≤,∴原不等式的解集为.(2)∵f(x)≤|2x+1|的解集包含,∴当x∈时,不等式f(x)≤|2x+1|恒成立,即|x+m|+|2x-1|≤|2x+1|在x∈时恒成立,∴|x+m|+2x-1≤2x+1,即|x+m|≤2,∴-2≤x+m≤2,∴-x-2≤m≤-x+2在x∈时恒成立,∴(-x-2)max≤m≤(-x+2)min,∴-≤m≤0,∴实数m的取值范围是.3.(2017湖北八校联考,23)已知a>0,b>0,且a+b=1.(1)若ab≤m恒成立,求m的取值范围;(2)若+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,求x的取值范围.解析(1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴由基本不等式得ab≤=,当且仅当a=b=时等号成立.∵ab≤m恒成立,∴m≥.(2)∵a,b∈(0,+∞),且a+b=1,∴+=(a+b)=5++≥9,当且仅当a=2b=时,等号成立.故要使+≥|2x-1|-|x+2|恒成立,则|2x-1|-|x+2|≤9,当x≤-2时,不等式可化为1-2x+x+2≤9,得-6≤x≤-2;当-2<x<时,不等式可化为1-2x-x-2≤9,得-2<x<;当x≥时,不等式可化为2x-1-x-2≤9,得≤x≤12.故x的取值范围为[-6,12].4.(2017安徽师大附中等名校12月联考,23)设函数f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为m.(1)求m;(2)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.解析(1)当x≤-1时,f(x)=3+x,则f(x)≤2;当-1<x<1时,f(x)=-1-3x,则-4<f(x)<2;当x≥1时,f(x)=-x-3,则f(x)≤-4.故当x=-1时,f(x)取得最大值2,故m=2.(2)因为2=a2+2b2+c2=(a2+b2)+(b2+c2)≥2ab+2bc=2(ab+bc),当且仅当a=b=c=时取等号,所以ab+bc的最大值为1.5.(2017广东广州一模,23)已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若<|k|存在实数解,求实数k的取值范围.解析(1)由题意可知a≠0,由|ax-1|≤3得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4.当a>0时,-≤x≤.因为不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},所以解得a=2.当a<0时,≤x≤-.因为不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2},所以无解.所以a=2.(2)因为=≥=,所以要使<|k|存在实数解,只需|k|>.解得k>或k<-.2017年高考“最后三十天”专题透析所以实数k的取值范围是∪.6.(2016福建“四地六校”第三次联考,23)设函数f(x)=+|x-1|(x∈R)的最小值为a.(1)求a;(2)已知两个正数m,n满足m2+n2=a,求+的最小值.解析(1)函数f(x)=+|x-1|=当x∈(-∞,1)时,f(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,f(x)单调递增.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值a=.(2)由(1)知m2+n2=,由m2+n2≥2mn,得mn≤,∵m>0,n>0,∴≥,故有+≥2≥,当且仅当m=n=时取等号.所以+的最小值为.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 含有两个绝对值的不等式的解法1.(2018河南开封定位考试,23)已知函数f(x)=|x-m|,m<0.(1)当m=-1时,解不等式f(x)+f(-x)≥2-x;(2)若不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,求m的取值范围.解析(1)当m=-1时,f(x)=|x+1|,设F(x)=f(x)+f(-x)=|x-1|+|x+1|=F(x)≥2-x,即或或解得x≤-2或x≥0,故原不等式的解集为{x|x≤-2或x≥0}.(2)f(x)+f(2x)=|x-m|+|2x-m|,m<0,当x≤m时,f(x)=m-x+m-2x=2m-3x,则f(x)≥-m;当m<x<时,f(x)=x-m+m-2x=-x,则-<f(x)<-m;当x≥时,f(x)=x-m+2x-m=3x-2m,则f(x)≥-.故f(x)的值域为,不等式f(x)+f(2x)<1的解集非空,即1>-,解得m>-2,由于m<0,所以m的取值范围是(-2,0).2.(2017湖南五市十校12月联考,23)设函数f(x)=|x-1|-2|x+a|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若不等式f(x)>0在x∈[2,3]时恒成立,求a的取值范围.解析(1)∵a=1,∴f(x)>1⇔|x-1|-2|x+1|>1⇔或或解得-2<x≤-1或-1<x<-,故原不等式的解集为.(2)f(x)>0在x∈[2,3]时恒成立⇔|x-1|-2|x+a|>0在x∈[2,3]时恒成立⇔|2x+2a|<x-1在x∈[2,3]时恒成立⇔1-x<2x+2a<x-1在x∈[2,3]时恒成立⇔1-3x<2a<-x-1在x∈[2,3]时恒成立⇔(1-3x)max<2a<(-x-1)min,x∈[2,3]⇔-5<2a<-4⇔-<a<-2.故a的取值范围为.方法2 证明不等式的方法3.(2018吉林长春质检,23)设不等式||x+1|-|x-1||<2的解集为A.(1)求集合A;(2)若a,b,c∈A,求证:>1.解析(1)由已知,令f(x)=|x+1|-|x-1|=由|f(x)|<2得-1<x<1,故A={x|-1<x<1}.2017年高考“最后三十天”专题透析(2)证明:要证>1,只需证|1-abc|>|ab-c|,只需证1+a2b2c2>a2b2+c2,只需证1-a2b2>c2(1-a2b2),只需证(1-a2b2)(1-c2)>0,由a,b,c∈A,得-1<ab<1,c2<1,所以(1-a2b2)(1-c2)>0恒成立.综上,>1.4.(2017四川广安等四市一模,23)已知函数f(x)=|x+b2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|,其中a,b,c均为正实数,且ab+bc+ac=1.(1)当b=1时,求不等式f(x)≥1的解集;(2)当x∈R时,求证f(x)≤g(x).解析 (1)当b=1时,f(x)=当x≤-1时,f(x)=-2<1,不等式f(x)≥1无解;当-1<x<1时,由f(x)=2x≥1,解得x≥,所以≤x<1;当x≥1时,f(x)=2≥1恒成立.所以f(x)≥1的解集为.(2)证明:当x∈R时,f(x)=|x+b2|-|-x+1|≤|x+b2+(-x+1)|=|b2+1|=b2+1.g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|≥|x+a2+c2-(x-2b2)|=a2+c2+2b2.a2+c2+2b2-(b2+1)=a2+c2+b2-1=(a2+b2+b2+c2+c2+a2)-1≥(2ab+2bc+2ac)-1=ab+bc+ac-1=0,当且仅当a=b=c=时,等号成立.所以a2+c2+2b2≥b2+1,因此,当x∈R时,f(x)≤b2+1≤a2+c2+2b2≤g(x),因此,当x∈R时,f(x)≤g(x).。
九年级全册物理人教版习题课件：课后作业第十五章电流和电路第3节串联和并联
1．根据如图实物图，在右边的虚线框内画出电路图． 如图所示
2．请根据图甲电路图，连接好图乙实物电路． 如图所示
3. 如图所示，是一个未完成连接的实物电路．请用笔画线 代替导线将电路连接完整．
要求：L1与L2并联，开关S控制两盏灯，导线不能交叉． 如图所示
知识点二 生活中的电路
4．城市中的路灯是____并_____联在一起的；家庭中的用电 器都是___并______联在一起的；圣诞树上使用的“满天星”小 彩灯是____串_____联的．
5．小聪家里有一台透明的电冰箱，她发现当打开电冰箱的 门时，灯就亮，将门关上，灯就不亮，电冰箱主要靠紧缩 机来工作，由此可得，冰箱门相当于一个___开__关____ ，紧 缩机和灯之间是属于____并_____联，电冰箱和家里的电视机 之间是属于____并_____联．
电（电冰箱除外），此时开关S1旁边的红指导灯熄灭：回
家后，闭合开关S1，红指导灯亮，再闭合开关S2，绿灯也
亮、现在，给你一只绿灯泡，一只红指导灯，2个开关，一
台电冰箱，电源（用电池组表示）和导线若干，请你帮她
在方框中画好电路图．（电冰箱
用表示）
如图所示
A
B
C
D
10．试根据实物图在虚线框内画出它的电路图． 如图所示
11．教室内的一个开关可以同时控制两盏日光灯的亮与灭， 请你将图虚线框中的电路补充完整．
如图所示
12．小明对卫生间内的换气扇和照明灯的电路进行了如下 改造：控制它们工作的有两个开关，换气扇工作时照明灯 一定发光，照明灯发光时换气扇可以不工作．如图的虚线 框内已画出了所连接的电源，请你接着完成这部分电路的 电路图（换气扇用电动机符号表示）. 如图所示
九年级物理第十五章第三节《串联和并联》练习
九年级物理第十五章第三节《串联和并联》练习一、填空题1、如图所示,当开关均断开时，能亮的灯是________联的；当开关都闭合时，能亮的灯是________联的；当S 1闭合、S2断开时，能亮的灯是________联的。
2、在如图所示的电路中，只增加一根导线，使电路变成并联电路，则这根导线应该接在________两点之间。
3、两盏完全相同的灯L 1、L 2接在电压为6V 的电源上都能发光，现要判断L 1、L 2的连接方式。
（请完成下表）条件 判断方法 L 1、L 2的连接方式不使用任何仪器 方法一：取下一盏灯，若另一盏灯仍能发光________联 方法二：取下一盏灯，若另一盏灯不发光________联 给一只电压表及若干导线 方法一：用导线把电压表并在某盏灯的两端，若电压表示数是3V ________联 方法二：用导线把电压表并在某盏灯的两端，若电压表示数是6V________联 4、如图所示的电路中，要使灯泡L 1和L 2串联在电路中应只闭合开关 ，若要使灯泡L 1和L 2并联在电路中，应同时闭合开关 。
5、如图所示，开关S 2断开，S 1、S 3闭合时，灯L 1、L 2_________联。
开关S 1、S 3断开，S 2闭合时，灯L 1、L 2_________联。
6、如图所示的电路中，要使灯泡L1和灯泡L2组成串联电路，应将开关S1断开，开关S2闭合，开关S3；要使灯泡L1和灯泡L2组成并联电路，应将开关S1闭合，开关S2断开，开关S3；如果开关S1和开关S2都闭合，则可能会将电源；如果将开关S1断开，开关S2和开关S3都闭合，则只有一个灯泡发光，发光的灯泡是。
7、如图所示电路中：（1）若使L1、L2串联，则应闭合，断开；（2）若使L1、L2并联，则应闭合，断开；（3）如果只闭合S1而断开S2、S3，则灯亮；（4）同时闭合开关是不允许的.8、图是一种声光报警器的电路图，当开关时，灯亮、铃不响；当开关时，灯亮同时铃响。
2020届一轮复习人教A版第十五章第6课排列、组合的综合问题学案
1. 理解排列、组合的概念，能利用排列数、组合数的计算公式解决简单的实际问题．1. 阅读：选修23第11～29页．基础诊断1. 某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购书方案有________种．2. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．3. 一天的课有6节，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、微机、体育、地理6节课，要求上午第一节不安排体育课，数学课必须安排在上午，微机必须安排在下午，有________种不同的排课方法．4. 用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的四位数，然后把它们从小到大排成一列，则3 145是这个数列的第________项．考向(1) 分给甲、乙、丙三人，每人2本；(2) 分为三份，每份2本；(3) 分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；(4) 分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；(5) 分给甲、乙、丙三人，每人至少1本．有编号为1，2，3，4的4张不同卡片，按照下列方案处理，各有多少种不同的方法？(1) 甲得两张，乙得两张；(2) 平均分成两堆，每堆两张．考向例2(1) 7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？(2) 计算x＋y＋z＝6的正整数解有多少组？(3) 计算x＋y＋z＝6的非负整数解有多少组？有8名师范大学毕业生被分配到A，B，C，D这四所中学任教，每校2人，其中甲、乙两人不得分配到A中学去，则不同的分配方法有多少种？考向例37人站成一排，按下列情况各有多少种不同的排法？(只列式不计算)(1) 要求甲不在排头；(2) 要求甲，乙，丙三人相邻；(3) 要求甲，乙，丙三人不相邻；(4) 要求甲在乙前面；(5) 第一排坐3人，第二排坐4人．8个人(其中含有甲、乙两人)站成一排，甲、乙之间正好相隔2人，有多少种不同排法？自测反馈1. 4个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒子里，恰有一个空盒的放法种数为________．2. 电视台有8个节目准备分两天播出，每天播出4个，其中某电视剧和某专题报道必须在第一天播出，某谈话节目必须在第二天播出，有________种不同播出方案．3. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻放入的方法种数是________．4. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙2工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙2工人中安排1人，则不同的安排方案共有________种．1. 排列与顺序有关，组合只要取出元素即可，与顺序无关．2. 在解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步．分类要做到“不重不漏”；分步要做到“步骤完整”．3. 你还有哪些体悟，写下来：第6课排列、组合的综合问题基础诊断1. 7解析：根据题意分3种情况讨论，一是买1本，则购书方案有C13＝3(种)；二是买2本，则购书方案有C23＝3(种)；三是3本全买，有1种购书方案．综上共有C13＋C23＋1＝7(种)购书方案．2. 48解析：由题意，末尾是2或4，前3位在其余4个数中选出3个排列，根据分步乘法原理可得C12A34＝48.3. 156解析：分两种情况讨论，第一种情况，上午第一节安排数学，微机安排在下午共有A12A44＝48(种)；第二种情况，上午第一节课不安排数学，也不能安排体育和微机，则这节课只有3种排法，数学只能安排在上午2，3，4节课，微机安排在下午，故共有3A13A12A33＝108(种)排法，一共有156种方法．4. 125解析：由题意可知，1为首位的四位数有1×5×4×3＝60(个)；2为首项的四位数有1×5×4×3＝60(个)；3为开头时，以312为开头有3个，以314为开头有3个，分别为3 142，3 145，3 146，60＋60＋3＋2＝125(项)，3 145为第125项．范例导航例1解析：(1) C26C24C22＝90(种)．(2) C26C24C22A33＝15(种)．(3) C16C25C33＝60(种)．(4) C16C25C33A33＝360(种)．(5) 有3类情况，拿4本，1本，1本的情况为C16C15C13＝90(种)；都拿2本，90种情况；拿3本，2本，1本，有360种情况．综上共有90＋90＋360＝540(种)．解析：(1) C24C22＝6(种)(2) C24C22A22＝3(种)例2解析：(1) 先将其中4个相同的小球放入4个盒子中，有1种放法；再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下3种情况：①某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球，有C14种不同的放法；②这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不同的盒子中任选3个盒子，分别放入这3个相同的小球，有C34种不同放法；③这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有A24种不同的方法．综上可知，满足题设条件的放法为C14＋C34＋A24＝20(种)．(2) 可看作将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法. 转化为6个0，2个1的排列，要求1不排在两端且不相邻，共有C25＝10(种)排法，因此方程x＋y＋z ＝6有10组不同的正整数解．(3) 可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为6个0，2个1的排列，共有C28＝28(种)排法，因此方程x＋y＋z＝6有28组不同的非负整数解．解析：C26C26C24C22＝1 350(种)．例3解析：(1) 方法一：(从特殊元素甲考虑)先在除排头外6个座位安排给甲，剩下的6人全排列，所以站法有C16A66种．方法二：(从特殊位置首位考虑)先从除甲外的6人中安排1人坐在首位，剩下是6人坐6位置的全排列，结果为C16A66.方法三：(间接法)从反面考虑将甲在首位的情形去掉即可，则A77－A66＝6×A66.(2) 先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有A33A55种排法．(3) 可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素甲，乙，丙在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入，共有A44A35种．(4) 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数，共有A77A22种．(5) 把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采用统一排成一排的方法来处理，所以共有A77种．解析：先从除甲、乙两人之外的6个人中选出2人站在甲、乙之间，共有C26A22A22种方法，将这4人看成整体与其余4人全排列，有A55种方法，共有C26A22A22A55＝7 200(种)方法．自测反馈1. 144解析：四个不同的苹果放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个苹果，从4个苹果中选两个作为一个元素，同另外两个元素在四个位置全排列故有C24A34＝144(种)不同的放法．2. 5 760解析：由题意可知第一天的播出节目是某电视剧和某专题报道以及在剩余5个节目中任选2个作全排列，第二天为剩余的4个节目作全排除，则共有C25A44A44＝5 760(种)方案．3. 48解析：假设第一本是语文书(或数学书)，第二本是数学书(或语文书)，则有4×2×2×2×1＝32(种)可能；假设第一本是语文书(或数学书)，第二本物理书，则有4×1×2×1×1＝8(种)可能；假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1＝8(种)可能．综上共有32＋8＋8＝48(种)可能．4. 36解析：根据题意得若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案有A24＝12(种)；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙两人之一完成，故完成方案有A12A24＝24(种)，则不同的安排共有12＋24＝36(种)．。
2018秋九年级物理全册第十五章电流和电路掌握技巧快速解题同步辅导新版新人教版(1)【word版】.doc
掌握技巧 快速解题 一、判断物体是否带电根据电荷间的相互作用规律及带电体的性质，可以推测物体是否带电或带电的种类。
要注意的是，若两个轻小物体相互吸引，则有以下两种情况：①一个带电，一个不带电；②带异种电荷。
若两个轻小物体相互排斥则只有一种情况，带同种电荷。
例1 如图1所示，通草球甲、乙相互排斥，甲、丙相互吸引，如果已知甲带正电，那么乙、丙的带电情况是（ ）A.乙带负电、丙带正电B.乙带正电、丙带正电C.乙带负电、丙带负电或不带电D.乙带正电、丙带负电或不带电解析 甲带正电，甲、乙相互排斥，则甲、乙一定带同种电荷，即乙一定带正电。
甲与丙相互吸引，而吸引的现象：一是异种电荷相互吸引；二是带电体能够吸引轻小物体。
由于已知甲一定带正电，则丙一是可能和甲带异种电荷，即带负电；二是丙可能不带电。
所以，选项D 正确。
答案 D二、判断电流方向判断电流方向的步骤是：①确定发生定向移动的是什么电荷；②弄清此种电荷是从哪个物体转移到哪个物体；③电流方向与正电荷定向移动方向相同，与负电荷定向移动方向相反。
例2 如图2所示，取两个相同的验电器A 和B ，使A图 1带负电，B不带电，用带有绝缘手柄的金属棒把A和B连接起来。
下列说法正确的是（）A.B中正电荷通过金属棒流向A，A金属箔的张角减小B.A中的自由电子通过金属棒流向B，B金属箔的张角增大C.A中负电荷通过金属棒流向B，B中正电荷通过金属棒流向AD.金属棒中瞬间电流的方向从A流向B，B金属箔的张角增大解析验电器A带负电，有多余的带负电的电子，B不带电，用金属棒把A和B连接起来，由于金属导电的电荷是自由电子的定向移动，自由电子由A通过金属棒流向B，电流方向与电子定向移动方向相反，金属棒中瞬间电流的方向从B流向A，故选项B说法正确。
答案 B三、识别导体和绝缘体导体和绝缘体之间没有绝对的界限，容易导电的物体是导体，不容易导电的物体是绝缘体。
依靠经验判断是常用的方法，但不要死记硬背，可联系生活中哪些地方用什么导体来导电，用什么绝缘体来绝缘帮助记忆。
第十五章 第15课 分式方程习题课
解：设特快列车时速为x千米/时 则城际直达动车为1.6x千米/时 依题意，得21x60＝211.66x0＋6 解得x＝135 则城际时速为216千米/时 答：小明乘坐城际直达车的时间为2160÷216＝10小时
3．为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课 上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了 一个实际例子：打印一份资料，如果用 A4 厚型纸单面打印， 总质量为 400 克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半； 如果用 A4 薄型纸双面打印，总质量为 160 克．已知每页薄型 纸比厚型纸轻 0.8 克，求例子中的 A4 厚型纸每页的质量．(墨 的质量忽略不计)
解：设 A4 原型纸每页 x 克，则薄纸为 x－0.8 克． 由题可知21×x400＝x－1600.8 解得 x＝4 答：每页质量为 4 g.
谢谢！
x2＋5 3x＝x2－1 x 5x2－x＝x2＋3x 4x2＝8x xx－2＝0 解得x＝0或x＝2 经检验，x＝0是原方程的增根， 故原方程的解为x＝2
2．小明准备利用暑假从距上海 2 160 千米的某地去“上海迪斯尼 乐园”参观游览，如图是他在火车站咨询得到的信息，根据图 中信息，求小明乘坐城际直达动车到上海所需的时间．
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第十五章 分式
第15课 分式方程习题课
1．解下列分式方程 (1)xx＋ －11＋1－4 x2＝1; 解：－x1＋－1xx1＋＋1x＋4＝1 －(x2＋2x＋1)＋4＝1－x2 －2x＝－2 x＝1 经检验，x＝1 是5 3x－x2－1 x＝0；
人教版九年级物理课时练 第十五章 电流和电路 15.3 串联和并联
人教版九年级物理课时练第十五章电流和电路15.3 串联和并联一、单选题1．某银行金库大门是由电动机控制的，钥匙（电路开关）分别由两名工作人员保管，一把钥匙无法打开，要两把钥匙同时使用才能使电动机工作从而把大门打开．下图中符合这一要求的电路图是A．B．C．D．2．如图所示，甲、乙、丙分别可能是灯泡L2、电流表或电压表，关于它们的连接情况，下列说法正确的是（）A．若甲是灯泡L2，乙是电流表，丙是电压表，灯泡L1和L2并联B．若甲是电流表，乙是灯泡L2，丙是电压表，灯泡L1和L2并联C．若甲是电压表，乙是灯泡L2，丙是电流表，灯泡L1和L2串联D．若甲是灯泡L2，乙是电压表，丙是电流表，灯泡L1和L2串联3．关于如图所示电路的判断，正确的是（）A．只闭合开关1S时，灯泡1L、3L并联B．只闭合开关2S时，灯泡2L、3L并联C．只闭合开关2S、3S时，灯泡2L、3L串联D．闭合所有开关时灯泡1L、2L并联，3L短路4．2019年10月18日凌晨，位于西双版纳的橄榄坝澜沧江大桥顺利合龙，为中老铁路全线按期建成奠定了坚实基础，由昆明呈贡坐高铁出境变为现实。
高铁内如果两个相邻的洗手间都有人并且锁住时（锁住相当于开关闭合），红灯亮，表示“有人”，如果两洗手间都没有人或者只有一个有人时，灯不亮，表示可以使用。
如下图所示的电路图中符合这一情况的是（）A．B．C．D．5．控制“危化药品”保管柜大门的两把钥匙分别由两名老师保管，只有保管钥匙的两名老师同时到场才能取出药品，下列设计的电路符合保管柜控制电路要求的是（）A．B．C．D．6．卡车驾驶室内的灯泡，由左右两道门上的开关1S、2S和车内上方的开关1S共同控制．1S和2S分别由左右两道门的开、关来控制，门打开后，1S和2S闭合，门关上后，1S和2S断开．3S是一个单刀三掷开关，根据需要可将其置于三个不同位置．在一个电路中，要求在三个开关的共同控制下，分别具有三个功能：（1）无论门开还是关，灯都不亮；（2）打开两道门中的任意一道或两道都打开时，等就亮．两道门都关上时，灯不亮．（3）无论门开还是关，灯都亮．如图所示的四幅图中，符合上述要求的电路是（）A．B．C．D．7．汽车仪表盘上都有一指示灯，用它提醒司机车门是否关好．四个车门中只要一个车门没有关好（相当于一个开关断开），该指示灯就会发光，在下列所示的电路图中，你认为符合上述要求的是（）A．B．C．D．8．击剑比赛中，当甲方运动员的剑击中乙方的导电服时（相当于如图中“S甲”闭合），乙方指示灯L乙亮；当乙方运动员的剑击中甲方的导电服时（相当于如图中“S乙”闭合），甲方指示灯L甲亮．在如图所示的四个电路中，可能实现上述功能的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图所示，若闭合开关S，电路将___________路（选填“断”、“短”或“通”））若要使电路中的两灯L1和L2串联，则应拆除一根导线___________）选填“a”）“b”或“c”））若要使电路中的两灯L1和L2并联，则改变一根导线_____________）选填“a”）“b”或“c”）的接法即可。
大学物理 机械波习题课选讲例题
第六章 机械波
机械波习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例：干涉消声器结构原理图，当发电机噪声经过 排气管达到 A 时分成两路在 B 点相遇，声波干涉相
消，若频率 3H 0，0 则z 弯管与直管的长度差至
少应为多少？（声波的速度 u3m 40 ）/s
2 π ( r 2 r 1 ) 2 π rr2
第六章 机械波
机械波习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 已知弦线上入射波在 xl 处发生反射，反射
点为自由端，若波在传播和反射过程中振幅不变，入射
波波函数为 y 1 A ct o 2 π x s) ，(求反射波波函数.
解 入射波和反射波在 B 点振动同相位（自由端）
反射y y波1 2B B 在 x点A A 振c c动o o y 2 s s ttx ((2 2 A π π c l l))o to s 2 yπ l( lx* 2 π Bl xx )
第六章 机械波
机械波习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
例 一平面机械波沿 x轴负方向传播，已知 x 1 m
处质点的振动方程为 y A co t s)，(若波速为 u
求此波的波函数.
解： 波函数 yAcos(t[x)]
u
x 1 my A co t s)(
(t1)t
u
u
yAco(st [x)]
3 .8 1 4 0 km g. 求弦所发的声音的基频和谐频.
第六章 机械波
机械波习题课选讲例题
物理学教程 （第二版）
5. 两相干波分别沿BP、CP方向传播,它们在B点和C点的 振动表达式分别为yB = 0.2cos2 t 和yC = 0.3cos(2 t + ) (SI)己知BP=0.4m,CP=0.5m波速u=0.2m/s,则P点合振动 的振幅为
小学五年级奥数(上)第十五讲,数学竞赛题选讲(下)
• 8、桌面上4枚硬币向上的一面都是“数 字”，朝下的一面都是“国徽”。如果每 次翻转3枚硬币，至少 次可使向上的一面 都是“国徽”
• 小明在一次小学数学竞赛（满分100） 中取得了很好的成绩，他将自己的年龄、 名次和分数相乘的3456，则小明今年 岁， • 分析：这需要将3456分解成三个数相乘， 且年龄应当是十几岁，
• 5、六位自然数1082□□能被12整除，末两 位数有 种情况。 • 方法一：用试除的方式找出符合条件的最 小数，再确定共有几个。 • 方法二：根据能被4、3整除的特征找到第 一个：末两位数能被4整除，数字之和能被 3整除 • 108204 16 28 40 52 64 76 88
• 6、警察查找一辆肇事汽车的车牌号，（四 位数）一位目击者对数字和敏感，他提供 情况说：“第一位数最小，最后两位是最 大的两位数，前两位数字乘积的4倍刚好比 后两位少2 ”警察由此可以判断该车牌号可 能是 。 • 分析：最大的两位数是 98 ，比它少2的 数是 96 ，所以前两个数的乘积是 24 ， 前两位数是 3和8 或 4和6 。
• 17、小光的电脑开机密码是一个五位数， 它由五个不同的数字组成。小伟说：“它 是73152.”小华说：“它是15937.”小丽说： “它是38179”小光说：“谁说的某一位上 的数字，与我的密码上的同一位数字相同， 就算猜对了这位数字。现在你们每人都猜 对了位置不相邻的两个数字。”小光的开 机密码是多少？ 三个人猜对了6个 • 分析：小伟 7 3 1 5 2 数，只有五位数 • 小华 1 5 9 3 7 字，必定有一位 • 小丽 3 8 1 7 9 数字倍两个人猜 对。
• 12、图中的每个小方格都是面积为1的正方 形，面积为2 的长方形有 个。 • 分析：长为2宽为1的长方形 • 每行有 4 个，4行共 16 个； • 长为1宽为2的长方形 • 每列有 3 个，5列共有 15 个， • 所以一共有 31 个。
人教版八年级上册课时练：第15章《分式》实际应用选择题提优(四)
八年级上册课时练：第15章《分式》实际应用选择题提优（四）1．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠20元．若该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，则A商家每张餐桌的售价为（）A．180元B．189元C．191元D．200元2．为迎接2019年全国青运会，我市加紧城市建设的步伐，某城区对一条全长1200m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务xm，当x满足的方程为×＝时，下列对这一方程所反映的数量关系描述正确的是（）A．实际每天比计划多完成改造任务300m，实际所用天数是计划的B．实际每天比计划少完成改造任务300m，计划所用天数是实际的C．实际每天比计划多完成改造任务300m，计划所用天数是实际的D．实际每天比计划少完成改造任务300m，实际所用天数是计划的3．学校最近新配备了一批图书需要甲乙两人进行整理，若甲单独整理完成需要4小时完工；若甲乙共同整理2小时后，乙再单独整理2小时才能完工，则乙单独整理完成需要（）A．4小时B．6小时C．8小时D．10小时4．“五一”节即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%．那么乙种商品单价是（）A．2元B．2.5元C．3元D．5元5．某人承包1125平方米的铺地砖任务，计划在一定的时间内完成，按计划工作3天后，提高了工作效率，使每天铺地砖的面积为原计划1.5倍，结果提前4天完成了任务，则原计划每天铺（）A．70平方米B．65平方米C．75平方米D．85平方米6．九（1）班在以“植树节，我行动”为主题的班会上通过了平均每人植6棵树的决议：如果只由女同学完成，每人应植树15棵，如果只由男同学完成每人应植树的棵数为（）A．9 B．12 C．10 D．147．完成某项工程，甲、乙合做要2天，乙、丙合做要4天，丙、甲合做要2.4天，则甲单独完成此项工程需要的天数是（）A．2.8 B．3 C．6 D．128．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k的值是（）A．35 B．30 C．25 D．209．为了维修某高速公路需开凿一条长为1300米的隧道，为了提高工作效率，高速公路建设指挥部决定由甲、乙两个工程队从两端同时开工．已知甲工程队比乙工程队每天能多开凿10米，且甲工程队开凿300米所用的天数与乙工程队开凿200米所用的天数相同，则甲、乙两个工程队每天各能开凿多少米（）A．甲20、乙30 B．甲30、乙20 C．甲40、乙30 D．甲20、乙50 10．两个小组同时开始攀登一座450米高的山，第一组的攀登速度比第二组快1米/分，他们比第二组早15分到达顶峰，则第一组的攀登速度是（）A．6米/分B．5.5米/分C．5米/分D．4米/分11．某乡镇对公路进行补修，甲工程队计划用若干天完成此项目，甲工程队单独工作了3天后，为缩短完成的时间，乙工程队加入此项目，且甲、乙工程队每天补修的工作量相同，结果提前3天完成，则甲工程队计划完成此项目的天数是（）A．6 B．7 C．8 D．912．8月31日慧聪网报道，爱唱响内蒙音乐夏令营9月开启，某学校组织部分学生参加夏令营，李老师从夏令营咨询处带回如图所示的两条信息，则原来报名参加夏令营的学生有（）A．100人B．150人C．200人D．250人13．某自来水公司水费计算如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元，若每户每月用水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费．1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，则超出5m3的部分每立方米收费（）元．A．1 B．2 C．2.5 D．2.914．某人从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地．已知AB两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是（）A．2千米/时B．4千米/时C．5千米/时D．6千米/时15．甲、乙两人同时同地出发相背而行，1小时后分别到达各自的目的地A、B，若仍以原来的速度出发并互换彼此到达的目的地，则甲在乙到达A地35分钟后到达B地，则甲乙两人的速度之比是（）A．B．C．D．16．如图是石家庄某小区高层住户2014年的取暖费统计表，小宇家住1201（12楼）室，小鹏家住3301（33楼）室，小宇家和小鹏家的面积是一样的，该小区对28楼以上的住户的取暖费有优惠政策，在实施该政策以后，小宇发现小鹏家平均每平方米的取暖费比他家的少4.4元，则小宇家每平方米的取暖费为（）住户取暖费1201 2750元……3301 2200元A．21元B．22元C．23元D．24元17． 3月12日，某青年志愿团加入了某村“为了改善生态环境，防止水土流失”的植树活动中，该村计划植树480棵，由于青年志愿者的加入，每日植树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务，那么该村原计划每天植树的棵数是（）A．20 B．30 C．40 D．5018．日本大地震前，中国出口到日本的蔬菜的销售利润率是47%．震后，由于国内经济形势的影响，成本提高，而售价没变，使得销售利润率降为40%．蔬菜的成本提高的百分比是[注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价]（）A．3% B．5% C．7% D．4.35%19．甲、乙两个清洁队参加了某社区“城乡清洁工程”，甲队单独做2天完成了工程的三分之一，这时乙队加入，两队又共同做了1天，完成了全部工程．则乙队单独完成此项工程需要（ ）A ．6天B ．4天C ．2天D ．3天20．一批货物要运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可用，已知甲、乙、丙每次运货量不变，且甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为2：1．若甲、丙两车各运相同次数运完这批货时，甲共运了180吨；若乙、丙两车各运相同次数运完这批货时，乙车共运了270吨．则这批货共有（ ）A ．360吨B ．450吨C ．540吨D ．630吨21．A 、B 两地相距340千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，匀速行驶．在距离A 、B 两地的中点10千米处两车相遇，设甲车速度为V 1千米/时，乙车的速度为V 2千米/时，则V 1：V 2等于（ ）A ．8：7B ．8：9C ．8：7或7：8D ．8：9或9：822．世博会将在上海举办，在中国馆的建造过程中某项工程先由甲工程队工作2天后，再由乙工程队队单独工作3天完成．已知乙工程队单独完成这项工程比甲工程队多用2天，则乙队单独完成需要的天数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．623．甲队修路120m 与乙队修路100m 所用的天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m ，则甲队每天修路（ ）A ．50mB ．60mC ．70mD ．80m24． 4月13日凤凰网报道，位于唐山市滦县簸箕掌村的唐山卧龙谷生态农业科技示范园，占地3000亩，投资达6000万元．该生态示范园计划种植一批普通苹果，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，后决定该种植“三优苹果”，“三优苹果”平均每亩的产量是普通苹果的1.5倍，总产量比普通苹果增加9万千克，种植亩数比普通苹果减少20亩，则普通苹果平均每亩的产量为（ ）A ．0.3万千克B ．0.35万千克C ．0.4万千克D ．0.45万千克25．山西省政府给低收入农户每户每年发放一吨冬季取暖用煤．甲、乙两个车队参与了某个乡镇的送煤任务．甲队单独工作2天完成了总任务的三分之一，这时乙队也加入送煤．两支又共同工作1天，完成了全部任务．那么乙队单独完成这项任务需要（ ）A ．2天B ．3天C ．4天D ．6天参考答案1．解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为（x+20），根据题意列方程得：解得：x＝180经检验：x＝180是原方程的解，故选：A．2．解：计划每天完成绿化带改造任务xm，则（x+300）表示实际每天比计划多完成改造任务300m，与都是表示的工作时间，所以当x满足的方程为×＝时，实际每天比计划多完成改造任务300m，实际所用天数是计划的．故选：A．3．解：设乙单独整理完成需要x小时，根据题意得：+＝1，解得：x＝8，经检验，x＝8是原方程的解．故选：C．4．解：设乙商品的单价是y元，依题意得：+＝260，解得y＝2.5，经检验，y＝2.5是分式方程的解，且符合题意，即乙种商品单价是2.5元．故选：B．5．解：设原计划每天铺x米，＝3++4x＝75．经检验x＝75是方程的解．故原计划铺75平方米．故选：C．6．解：设单独由男生完成，每人应植树x棵．那么根据题意可得出方程：+＝，解得：x＝10．检验得x＝10是方程的解．因此单独由男生完成，每人应植树10棵．故选：C．7．解：设甲单独完成此项工程需要x天．×2.4+[﹣（﹣）]×2.4＝1，解得x＝3，经检验x＝3是原方程的解，故选：B．8．解：设距离为S，原来速度为v．则原来行车时间为；现在速度为（1+25%）v，时间为．根据题意得＝k%．解得k＝20．故选：D．9．解：设乙工程队每天能开凿x米，那么甲工程队每天能开凿（x+10）米，依题意得＝解得：x＝20，所以乙工程队每天能开凿20米，甲工程队每天能开凿30米．故选：B．10．解：设第一组的攀登速度是x米/分，则第二组的攀登速度是（x﹣1）米/分，根据题意可得：＝﹣15，解得：x＝6，经检验得：x＝6是原方程的根，故第一组的攀登速度是6米/分．故选：A．11．解：设甲工程队计划完成此项工作的天数为x天，由题意得，解得：x＝9，经检验，x＝9是原分式方程的解，且符合题意．故选：D．12．解：设原来报名参加夏令营的学生有x人，由题意得：﹣＝80，解得：x＝100，经检验：x＝100是原分式方程的解．故选：A．13．解：设超出5m3的部分每立方米收费x元，依题意得，+5＝（+5）解得x＝2，经检验x＝2为方程的解．即超出5m3的部分每立方米收费2元．故选：B．14．解：设某人原来步行的速度是x千米/时，根据题意得：＝+，解得：x＝4，经检验：x＝4是原方程的根．故选：B．15．解：设甲，乙的速度为x千米/时，y千米/时，则甲的行程为x千米，乙的行程为y千米．﹣＝，设＝a，则原方程变为﹣a＝，a2+a﹣1＝0，（a+）（a﹣）＝0，解得a＝﹣（不合题意，舍去）；或a＝，即甲乙两人的速度之比为．故选：C．16．解：设小宇家每平方米的取暖费为x元，依题意得＝，解得x＝22．故选：B．17．解：设原计划每天种x棵树，据题意得，﹣＝4，解得x＝30，经检验得出：x＝30是原方程的解．答：原计划每天种30棵树．故选：B．18．解：由题意：把47%代入：47%＝（售价﹣进价1）÷进价1，把40%代入：40%＝（售价﹣进价2）÷进价2，进价1＝，进价2＝，蔬菜的成本提高的百分比为＝＝5%．故选：B．19．解：设乙队单独完成此项工程需要的时间为x天，由题意，得×1+×1＝1﹣，解得：x＝2，经检验，x＝2是原方程的根．∴x＝2．故选：C．20．解：设这批货物共有T吨，甲车每次运t吨，乙车每次运t吨，由题意列方程：＝，由甲、乙两车单独运完这批货物所用次数之比为2：1知t乙＝2t甲，∴＝，解得T＝540．故选：C．21．解：根据在距离A、B两地的中点10千米处两车相遇，则假设甲的速度快，则他行驶的路程为：340÷2+10＝180千米，乙的速度慢，则他行驶的路程为：340÷2﹣10＝160千米，则＝，故＝＝，当乙的速度快，则他行驶的路程为：340÷2+10＝180千米，甲的速度慢，则他行驶的路程为：340÷2﹣10＝160千米，则＝，故＝＝，则V1：V2等于8：9或9：8．故选：D．22．解：设甲工程队单独完成任务需x天，则乙工程队单独完成任务需（x+2）天．依题意，得，（4分）化为整式方程得x2﹣3x﹣4＝0，（5分）解得x＝﹣1或x＝4．（6分）检验：当x＝4和x＝﹣1时，x（x+2）≠0，∴x＝4和x＝﹣1都是原分式方程的解．但x＝﹣1不符合实际意义，故x＝﹣1舍去；（7分）∴乙单独完成任务需要x+2＝6（天）．故选：D．23．解：设甲队每天修路xm，则乙队每天修（x﹣10）m，由题意得，＝，解得：x＝60．经检验x＝60是原分式方程的解，答：甲队每天修路60m，故选：B．24．解：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得：＝20，解得：x＝0.3，经检验x＝0.3是原方程的解．答：普通苹果平均每亩的产量为0.3万元，故选：A．25．解：设乙队单独完成这项任务需要x天，则乙队的工作效率为，由题意，得×3+×1＝1，解得：x＝2．经检验x＝2是原方程的根．故原方程的根是：x＝2．故选：A．。
2018高考数学复习：第15章选讲内容
第十五章 选讲内容第一节 坐标系和与数方程（选修4-4）题型153 参数方程化普通方程2013年1. (2013陕西文15C ） （坐标系与参数方程选做题）圆锥曲线22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的焦点坐标是 .2. (2013湖南文11） 在平面直角坐标系xOy 中，若直线121:x s l y s=+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩ （t 为参数）平行，则常数a 的值为________.2014年1. （2014江苏21）C ．[选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2015年1.（2015广东文14）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C的参数方程为2x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 1.解析 曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =.由228x y y x+=-⎧⎨=⎩，得24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-.评注 1. 考查极坐标方程化为直角坐标方程；2. 考查参数方程化为普通方程；3. 考查两曲线的交点．2.（2015陕西文 23）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρθ=.（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 2.解析 (1)由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以(223x y +=.(2)设132P t ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，又(0C ，则PC == 故当0t =时，PC 取得最小值，此时点P 的坐标为()30，.2016年1.（2016江苏21 C ）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设直线l 与椭圆C 相交于,A B两点，求线段AB 的长.1.解法一（求点）：直线l0y --=，椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，联立22014y y x --=⎨+=⎪⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩或17x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此167AB ==. 解法二（弦长）：直线l方程化为普通方程为y =-椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，联立得2244y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩y 得27610x x --=，3628640∆=+=>恒成立，故12126717x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12AB x =-167==.解法三（几何意义）：椭圆C 方程化为普通方程为2214y x +=， 直线恒过点()1,0，该点在椭圆上，将直线的参数方程()1122x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数代入椭圆的普通方程，得22141422t ⎛⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得27404t t +=，故10t =，2167t =-， 因此12167AB t t =-=.2017年1.（2017全国1文22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数.（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C上的点到l a . 1.解析 （1）若1a =-，直线的直角坐标方程为()1114y x -=-+，即430x y +-=.曲线C 的直角坐标方程为2219x y +=.联立2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （2）直线()440l x y a +-+=：，C 上的点到直线l 的距离d ==3tan 4ϕ=）. ①若40a +>，则max d ===8a =； ②若40a +<，则max d ===16a =-. 所以a 的值为8或16-.2.（2017全国3文22）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x ty kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x mm m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 0l ρθθ+=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．2. 解析 （1）直线1l 的直角坐标方程为(2)y k x =-；直线2l 的直角坐标方程为1(2)y x k=+， 联立(2)1(2)y k x y x k =-⎧⎪⎨=+⎪⎩，两式相乘可得，22(2)(2)4y x x x =-+=-，即()2240x y y -=≠. （2）曲线C 的极坐标方程为2222cossin 4ρθρθ-=，联立2222cos sin 4cos sin )0ρθρθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩（，解得cos 2sin 2ρθρθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2222222cos sin 522ρρθρθ⎛⎛=+=+-= ⎝⎭⎝⎭，ρ=评注 本题属于创新题，要求学生综合掌握直线与圆、极坐标与参数方程板块的多个知识点，并能融汇贯通综合运用，对于学生来说有较大难度.其实，在做选做题时，若果22题偏难，且第一问都存在问题的话，不妨看看23题，如果题目不难，可以选择23题进行解答！ 题型154 普通方程化参数方程2014年1.（2014辽宁文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .（1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 2.（2014新课标Ⅰ文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （1）写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.题型155 极坐标方程化直角坐标方程2014年1. （2014广东文14）（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=与cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为 . 2.（2014陕西文15） C.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭到直线πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的距离是 .2015年1.（2015湖南文 12）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____. 1. 解析 曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，22sin ρρθ=，它的直角坐标方程为222x y y +=，即()2211x y +-=.2.（2015江苏21（C ））已知圆C 的极坐标方程为2sin 404ρθπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，求圆C 的半径．2. 解析 由题意得sin 422θθθπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以()22sin cos 40ρρθθ+--=，即22sin 2cos 40ρρθρθ+--=，从而222240x y y x ++--=，即()()22116x y -++=，故圆C ．3.（2015全国Ⅱ文 23）在直线坐标系xOy 中，曲线1C ：{cos sin x t y t αα==（t 为参数，0t ≠）其中0πα.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：ρθ=.(1)求2C 与3C 交点的直角坐标；(2)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值.3. 解析 （1）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=．联立222220x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2． （2）曲线1C 的极坐标方程为(,0)θαρρ=∈≠R ，其中0πα<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα．所以2sin AB αα=-π4sin()43α=-，当5π6α=时，AB 取得最大值，最大值为4．2016年1.（2016全国丙文23）在直线坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为πsin()4ρθ+=（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.1.分析 （1）利用同角三角函数基本关系中的平方关系曲线1C 的参数方程普通方程，利用公式cos x ρθ=与sin y ρθ=代入曲线1C 的极坐标方程即可；（2）利用参数方程表示出点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立()PQ d α=的三角函数表达式，然后求出最值与相应的点P 坐标即可.解析 （1）1C 的普通方程为2213x y +=， 2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（2）由题意，可设点P 的直角坐标为),sin αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()π23d αα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭.当且仅当()π2π6k k α=+∈Z 时， ()d α，此时P 的直角坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2017年1.（2017全国2卷文22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值． 1.解析 (1)设点P 的极坐标为(),ρθ ，因为16OM OP ⋅=，所以点M 的极坐标为16,θρ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 把点M 的坐标代入1:cos 4C ρθ=中得:16cos 4θρ⋅=，即4cos ρθ=.两边同时乘以ρ，得24cos ρρθ=，化为直角坐标方程为2240.x y x +-=（2）解法一：2C 的极坐标方程为4cos ρθ= ，所以点B 的极坐标可设为(4cos ,)θθ，,22θππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.又点A 的极坐标为23π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以点A 的直角坐标为ππ2cos ,2sin 33⎛⎫⎪⎝⎭，所以1||||sin 2OAB S OA OB AOB=⋅⋅⋅∠△124cos sin 23θθπ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭134cos sin cos 2θθθ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭2sin 233θπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为,22θππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以422,333θπππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以当232θππ-=-即12θπ=-时，OAB △的面积取最大值为23+.解法二：h 是OAB △中OA 边上的高，过点C 作OA 的垂线交圆C 于点B '，交OA 于点H ， 点A 的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则点A 的直角坐标为ππ2cos ,2sin 33⎛⎫ ⎪⎝⎭，11||||||22OAB S OA h OA B H '=⋅⋅⋅⋅△，OAB △为等边三角形，所以3CH =，323B H r '=+=+，（此时B 位于B '位置）.所以OAB △的面积取最大值为23+.题型156 直角坐标方程化极坐标方程2014年1.（2014辽宁文23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . （1）写出C 的参数方程；（2）设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.2015年1.（2015全国Ⅰ文23）在直角坐标系xOy 中，直线1C ：2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求12,C C 的极坐标方程. (2)若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为,M N ，求2C MN △的面积.1.解析 （1）由1C ：2x =-，可得极坐标方程为cos 2ρθ=-，由2C ：2221441x x y y -++-+=，得极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=． （2）由题意可得3C ：()0y x x =.由2C ：()()22121x y -+-=，得圆心()21,2C .则()2,d C MN ==.由半径、弦心距及半弦长的关系，可得MN ==所以211222C MN S ==△． 2016年1.（2016全国甲文23）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=.（1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，，（t 为参数），l 与C 交于A B 、两点，AB =求l 的斜率.1.解析（1）整理圆的方程得2212110x y x +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=. （2）解法一：将直线l 的参数方程代入圆C :2212110x y x +++=化简得，212cos 110t t α++=，设,A B 两点处的参数分别为12,t t ，则121212cos ,11t t t t α+=-⎧⎨=⎩，所以12||||AB t t =-===23cos 8α=，l 的斜率tan k α==±. 解法二：设:l y kx =，其中tan k α=，如图所示，圆心到到l的距离d ===，故3k ==±.题型157 参数方程与极坐标方程的互化2013年1．(2013广东文14）已知曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为 ．2014年1.（2014新课标Ⅱ文23）（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.2016年1.（2016全国乙文23）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos .C ρθ= （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a .1. 解析 （1）将1C 化为直角坐标方程为()2221a x y +-=，从而可知其表示圆.令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入得极坐标方程22s 2in 10a ρρθ+-=-.（2）将12,C C 化为直角坐标方程为22212:10y y C x a +-+-=，222:40C x y x +-=. 两式相减可得它们的公共弦所在直线为24210x y a -+-=.又12,C C 公共点都在3C 上，故3C 的方程即为公共弦24210x y a -+-=. 又3C 为0θα=，0tan 2α=，即为2y x =，从而可知1a =.第二节 不等式选讲（选修4-5）题型158 含绝对值的不等式2014年1.（2014辽宁文24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N . （1）求M ； （2）当x MN ∈时，求证：221()[()]4x f x x f x +≤.2.（2014新课标Ⅱ文24）（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x x a a=++-()0a >. （1）求证：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围.2015年1.（2015陕西文 24）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}|24x x <<. （1）求实数a ，b 的值；（2.1.解析 (1)由x a b +<，得b a x b a --<<-，由题意得24b a b a --=⎧⎨-=⎩，解得3a =-，1b =； (2)由柯西不等式得：=4==，=，即1t =时等号成立，故min4=.2.（2015全国Ⅰ文24）已知函数()12f x x x a =+--，0a >. （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2.解析 （1）当1a =时，()1f x >，即12110x x +--->． 当1x-时，()40f x x =->，无解；当11x -<<时，320x ->，解得213x <<； 当1x时，20x -+>，解得12x <．综上所述，当1a =时，()1f x >的解集为2,23⎛⎫⎪⎝⎭．（2）0a >，()12,1312,112,x a x f x x a xa x a x a --<-⎧⎪=+--⎨⎪-++>⎩，作图，图像与x 轴所围成三角形的三个顶点为：21,03a A -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,0B a +，(),1C a a +， ()2213ABC S a =+△，即()22163a +>，解得2a >， 所以a 的取值范围是()2,+∞．3.(2015江苏21（D ）) 解不等式232x x ++． 3.解析 当32x -时，化简得332x +，解得13x-，故13x -； 当32x <-时，化简得32x --，解得5x-，故5x -．故不等式的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭． 2016年1.（2016上海文1）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为 . 1. ()2,4解析 由题意131x -<-<，即24x <<，则解集为()2,4.2.（2016全国甲文24（1））已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集， 求M .2. 解析 当12x <-时，()112222f x x x x =---=-<，所以112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()22f x x =<，所以112x <<.综上可得，{}|11M x x =-<<.3.（2016全国乙文24）已知函数()123f x x x =+--.（1）在如图所示的图形中画出()y f x =的图像； （2）求不等式()1f x >的解集.3. 解析 （1）由题意得3233212414()x f x x x x x x ⎧-+⎪⎪⎪=--<-<-⎨⎪⎪⎪⎩，，，.其图像如图所示.（2）当1x <-时，41x ->，解得5x >或3x <，故1x <-； 当312x -<时，321x ->，解得1x >或13x <，故113x -<或312x <<； 当32x时，441x x -+=->，解得5x >或3x <，故323x <或5x >. 综上所述，该不等式的解集为()()1,1,35,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭.评注 或者可以由图形观察大致结果，但不能替代解题过程. 4.（2016全国丙文24）已知函数()2f x x a a =-+. （1）当2a =时，求不等式()6f x ≤的解集；（2）设函数()21g x x =-.当R x ∈时，()g()3f x x +≥，求a 的取值范围.4. 解析 （1）当2a =时，()222f x x =-+.解不等式2226x -+≤，得13x -≤≤. 因此， ()6f x ≤的解集为{}13x x -≤≤.（2）当x ∈R 时，()()212f x g x x a a x +=-++-212x a x a -+-+≥1a a =-+，所以当R x ∈时，()()3f x g x +≥等价于13aa -+≥. ①当1a ≤时，①等价于13a a -+≥，无解； 当1a >时，①等价于13a a -+≥，解得2a ≥. 所以a 的取值范围是[)2,+∞.2017年1.（2017全国1文23）已知函数()2–4f x x ax =++，()11g x x x =++-.（1）当1a =时，求不等式()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[]–11，，求a 的取值范围.1.解析 （1）当1a =时，2,1()2,112,1x x g x x x x --⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，当1a =时，2()4f x x x =-++.当1x-时，由()()f x g x ，得242x x x -++-，解得1x =-； 当11x -<<时，由()()f x g x ，得242x x -++，解得11x -<<；当1x时，由()()f x g x ，得242x x x -++，解得11712x-+. 综上，当1a =时，()()f x gx 的解集为⎡-⎢⎣⎦.（2）因为()()f x g x 的解集包含[]1,1-，即在[]1,1-上，()()f x g x 恒成立.而，所以在上恒成立.所以()()1212f f ⎧⎪⎨-⎪⎩，即142142a a -++⎧⎨--+⎩，解得11a -.所以a 的取值范围是[]1,1-.2.（2017全国3卷文23）已知函数()12f x x x =+--． （1）求不等式()1f x 的解集；（2）若不等式()2–f x x x m +的解集非空，求m 的取值范围．2.解析 （1）原函数可等价为分段函数3,1()21,123,2x f x x x x -<-⎧⎪=--⎨⎪>⎩，画出函数图像如图所示.令211x -=，解得1x =，故解集为{}|1x x.（2）原不等式可等价为2()()g x f x x x m =-+，解集非空即2max()f x x x m ⎡⎤-+⎣⎦.由(1)可知2223,1()31,123,2x x x g x x x x x x x ⎧-+-<-⎪=-+--⎨⎪-++>⎩，分别讨论其最大值可得m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 评注 本题考查解含有绝对值的不等式、用分离参数法解含参不等式恒成立类问题及一元二次不等式值域的求法，考点比较多，综合性比较强，学生在第二问上可能觉得比较麻烦，缺乏继续完成的勇气，另外本题对运算能力要求比较高，稍不留神就容易算错. 题型159 不等式的证明2014年1.（2014江苏21）D ．[选修4-5：不等式选讲] 已知0x >，0y >，求证：()()22119x yxy xy ++++≥．2.（2014新课标Ⅰ文24）（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲 若0a >，0b >，且ab ba =+11.（1）求33b a +的最小值；（2）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.2015年1.（2015全国Ⅱ文 24）设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+.证明： (1)若ab cd >>>a b c d -<-的充要条件.1. 解析（1）因为2a b =++2c d =++由题设a b c d +=+，ab cd >，得22>，>（2）( i)若a b c d -<-，则()()22a b c d -<-，即()()2244a b ab c d cd +-<+-.因为a b c d +=+，所以ab cd >>( ii)>22>，即a b ++c d >++因为a b c d +=+，所以ab cd >，于是()()()()222244a b a b ab c d cd c d -=+-<+-=-，因此a b c d -<-.>a b c d -<-的充要条件.命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.2016年1.（2016江苏21 D ）设0a >，13a x -<，23ay -<，求证：24x y a +-<. 1.解析 由13a x -<可得2223a x -<，故24222x y x y +--+-233a aa <+=. 2.（2016全国甲文24）已知函数11()22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集.（1）求M ；（2）证明：当a b M ∈，时，1a b ab +<+. 2.解析 （1）当12x <-时，()112222f x x x x =---=-<，所以112x -<<-； 当1122x -≤≤时，()111222f x x x =-++=<恒成立；当12x >时，()22f x x =<，所以112x <<.综上可得，{}|11M x x =-<<.（2）当()11a b ∈-，，时，有()()22110a b -->，即22221a b a b +>+， 则22+2+1a b ab >222a ab b ++，则()()221ab a b +>+，即1a b ab +<+. 3.（2016浙江文20）设函数()311f x x x=++，[]0,1x ∈. 证明：（1）()21f x x x -+；（2）()3342f x <. 3. 解析 (1)因为()()442311111x x x x x x x ----+-==--+，由于[]0,1x ∈，有41111+x xx-+， 即23111+x x x x-+-， 所以()21f x x x -+.（2）由01x ，得3x x ，故()()()()31211133112221x x f x x x x x x -+=++-+=++++3322， 所以()32f x . 由（1）得()221331244f x x x x ⎛⎫-+=-+⎪⎝⎭.又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()34f x >.综上，()3342f x <. 2017年1.（2017全国2卷文23）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： （1）()()554a b a b++；（2）2a b +． 1.解析 （1）()()()25566556666333324a b ab a b ab a b a b a b a b a b+++++++++=+==≥，当且仅当55ab ba =，即1a b ==时取等号． （2）因为()()()()()33232233333232244a b a b a a b ab b ab a b a b a b ++=+++=+++++=+，所以()38a b +，所以2a b +．题型160 柯西不等式2017年1.（2017江苏卷21）已知,,,a b c d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明：8ac bd +．1.解析 由柯西不等式可得()()()22222ac bd ab c d +++，因为224a b +=，2216c d +=，所以()264ac bd +，因此8ac bd +．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
九年级全册物理人教版第十五章第3节 串联和并联(第1课时)习题课件
1．认识电路有两种基本的连接方式——串联和并联． 2．会判断串联电路和并联电路（重点）.
1．关于电路的说法错误的是 （ D ） A．电源是提供电能的装置 B．电源外部电流沿着“正极→用电器→负极”的方向流动 C．只有电路闭合时，电路中才会有电流 D．用电器是将其他情势的能转化为电能的装置
2．塑料外壳的手电筒的构造如图所示，手电筒内装了两节 干电池．关于手电筒的电路，下列说法正确的是 （ B ） A．灯泡发光时，电能转化为化学能 B．干电池为电源，按键为电路开关 C．金属弹簧为绝缘体，不属于电路的一部分 D．灯泡发光时，灯丝中的电流是由_单____向导电性；如图乙中的电 路，电灯中的电流方向是__B__到__A___，形成电流的电子移动 方向是__A_到__B___．（后两空均选填“A到B”或“B到A”）
变式训练1 下列情况中各灯属于串联的是 （ B ） A.马路上的路灯 B.商店门口的满天星 C.家中的台灯和日光灯 D.教室中的照明灯
知识点二 判断串联和并联电路
知识归纳：
辨认电路串、并联的常用方法
（1）电流分析法：在辨认电路时，电流方向：电源正极→ 各用电器→电源负极，若途中不分流，则用电器串联；若电 流在某一处罚流，每条支路只有一个用电器，则这些用电器 并联；若每条支路不止一个用电器，这时电路有串联也有并 联，叫混联电路．
（2）断开法：去掉任意一个用电器，若其他用电器也不工 作，则用电器串联；若其他用电器不受影响仍然工作，则用 电器为并联．
（3）节点法：在辨认电路时，不论导线有多长，只要其间 没有用电器或电源，则导线的两端点都可看成同一点，从而 找出各用电器的共同点．
例2 （202X·山东）如图所示，当开关S闭合时，灯泡L1与L2 组成串联电路的是 （ A）
五年级下册数学专项练习 奥数第十五讲 综合题选讲 _ 全国版(含解析)
五年级下册数学专项练习奥数第十五讲综合题选讲_ 全国版(含解析）语文课本中的文章差不多上精选的比较优秀的文章,还有许多名家名篇。
假如有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、杰出段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,许多语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破裂,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的干洁净净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键确实是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,假如有目的、有打算地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便能够在读中自然领会文章的思想内容和写作技巧,能够在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、制造和进展。
在数学竞赛试题中渗透数学思想、方法、观念，有时还通过试题介绍或渗透某种新知识，这是数学竞赛的进展趋势.因此必须加强思维能力的训练，培养学生严谨的逻辑推理能力，灵活的技巧方法，同时通过解题培养制造性。
要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言进展的障碍。
许多幼儿当众说话时显得可怕：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。
总之，说话时外部表现不自然。
我抓住练胆那个关键，面向全体，偏向差生。
一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。
每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，排除幼儿恐惧心理，让他能主动的、自由自在地和我交谈。
二是注重培养幼儿敢于当众说话的适应。
或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的爱好，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地关心和鼓舞他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。
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O'
x'
a
O
x
l0
1
v2 c2
a
vc
1
a2 l02
例 牛郎星距离地球约 16 光年，问 宇宙飞 船以多大的速度飞行，将以 4 年的时间（宇宙飞船 上的钟）抵达牛郎星.
解 S
宇宙飞船参考系 S
地球参考系
x l0 16光年
t 4年
x l0
1
v2 c2
vt
4v 16c
t' L l0 L0 1 (v c)2 l0
v
v
(3) 以地面为参考系（S系） , 火车长度为
l l0 1 (v c)2
火车运动的距离为 L0 l
t L0 l L0 l0 1 (v c)2
v
v
二者测得的时间是不一样的
例 若一电子的总能量为 5.0 MeV ,求该电子的静
例 在惯性系 S 中,测得飞行火箭的长度是它静止
长度的 1 2 ,则火箭相对于 S 系的飞行速度 v 为
(A) c
(B)( 3 2)c
(C) c 2
(D) 2c
例 从加速器中以速度 v 0.80c飞出的离子, 在
它的运动方向上又发射出光子，则这光子相对于加速
器的速度为
(A) c
(B) 1.80c
y y' 0.8c
解 设地球为 S 系, 飞船为 S’ 系
O'
x' v 0.8c t' 90m
O
x x' 90m
c
x x'vt' 90 0.8 90 m 270 m
1 2
1 0.82
已知： v 0.8c x' l0 90m
y y' 0.8c
(A) (4 5)c (C) (2 5)c
(B) (3 5)c (D) (1 5)c
例 边长为 a 的正方形游泳池静止于K 惯性系， 当惯性系 K ’ 沿池一边以 0.6 c 速度相对 K 系运动 时，在 K ’ 系中测得游泳池的面积为
a2 0.6a2 0.8a2 a20.8
(
ACBD
例 粒子在加速器中被加速)到动能为其静止能
c(
E
2
E0 E2
2
)1
2
0.995 c
量的 4 倍时，其质量 m 与静止质量 m0 的关系为
(A) m 4m0
(B) m 5m0
(C) m 6m0
(D) m 8m0
例 某核电站年发电量为100亿度,它等于 36 1015 J
的能量 , 如果这是由核材料的全部静止能转化产生 的,则需要消耗的核材料的质量为
(A) 0.4 kg (C)(1 12) 107 kg
t '1
t1
v c2
x1
1 2
t
'2
t2
v c2
x2
1 2
t
v c2
x
v 3c 5
x' x vt 4106 m
1 2
例 一隧道长为L0 ，横截面高为 h ，宽为 w ，一列
车固有长度为 l0 ，当其以 v 的速度通过隧道时。 问:
（1）列车上观测者测得隧道尺寸有何变化？ （2）在列
能、动能、动量和速率.
解 电子的静能为 E0 m0c2 0.512 MeV
电子的动能为 Ek E E0 4.488 MeV
由 E2 E02 c2 p2
得
p
1 c
(E2
E02 )1 2
2.66 10 21
kg m s1
由 E
E0 1 (v c)2
得
v
270 m
cv
1
例 在 S 惯性系中，相距 x 5106 m 的两个地
方发生两事件，时间间隔 t 102 s；而在相对于 S 系沿 x 正方向运动的 S’ 系中观察到这两事件是同时发
生的, 则在 S’ 系中测量这两事件的地点间隔是多少？
解 x 5106 m t 102s t' 0
1
v2 c2
宇宙飞船速度 v 4 c 2.91108 m/s
17
例 一宇宙飞船相对地球以 0.8c 的速度飞行，
一光脉冲从船尾传到船头，飞船上的观察者测得飞 船长 90 m，地球上的观察者测得光脉冲从船尾发出 达到船头两事件的空间间隔为
（A）90 m （B）54 m （C）270 m （D）150 m
(B) 0.8 kg (D) 12 107 kg
例 一门宽为 a ，今有一固定长度为 l0 (l0 a)
的水平细杆，在门外贴近门的平面沿其长度方向匀速 运动，若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被
v 拉进此门,则该杆相对于门的运动速度 至少为大？
解 门为 S 系，杆为 S 系
y
y' v
(C) 0.20c
(D) 2.0c
例 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行.
如果宇航员希望把这路程缩短为3光年, 则他所乘的
火箭相对于地球的速度应是
(A) (1 2)c
(B) (3 5)c
(C) (4 5)c
(D) (9 10)c
例 在某地发生两件事, 静止位于该地的甲测得 时间间隔为 4 s, 若相对于甲作匀速直线运动的乙测 得时间间隔为5 s, 则乙相对于甲的运动速度是
y' 0.8c
O'
O (t1, x1)
x' O'
x' (t2 , x2 ) x
解法二 解 设地球为 S 系, 飞船为 S’ 系
x2 x1 c(t2 t1) l v(t2 t1)
l l0 1 2
x 1 2 x 1 2
x ct c
车上测，其头部进入隧道到尾部离开隧道需要多少时间？
（3）在地面上测呢？
解 (1) 以列车为参考系（ S系）隧道的高、宽均
不变, 长度收缩.
L L0
1 (v c)2
(2)以列车为参考系, 隧道相对列车运动的距离为 L l0
t' L l0 L0 1 (v c)2 l0
v
v