蝴蝶定理的证明及推广

一 蝴蝶定理的证明

（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明

蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何

方法完成蝴蝶定理的方法。

1 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明

在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！

证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于

EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒

得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。 则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，

又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而M U A M V ∆∆ ，

AUM MVC ∠=∠

则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。[1]

证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则

FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1

联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即

PC'CQ =。又

111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222

∠∠（）（）

故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠

而 M B F E D M ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。

证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有

F M E A N B 1M E A N B F ⋅⋅=，FM ED NC

1ME DN CF

⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到

D

N A N D

N C N B ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF

ME AE ED BN CN AE ED

⋅=⋅⋅⋅=⋅

()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME

-==-+--

化简上式后得ME=MF 。[2] 2 不使用辅助线的证明方法

单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven 给出）如图5，并令

DAB=DCB ADC=ABC DMP=CMQ AMP=BMQ PM MQ ME MF a x y

αβγδ∠∠=∠∠=∠∠=∠∠=====， 由

FCM AME EDM FMB

FCM EDM FMB AME

S S S S 1S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⋅⋅⋅=，

即 AM AE sin FM CM sin ED MD sin MF MB sin 1

MC CF sin EM MD sin FB BM sin MA ME sin αγβδ

αγβδ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

化简得 ()()()()2222

2

2

M F C F F B

Q F F P M E A E E D

P E E Q a y a

y a y a x a x a x

-+⋅⋅-====⋅⋅-+- 即 222

222x y a y a x -=-，

从而 ,ME MF x y ==。

证法 5 令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对

MBC ∆和MAD ∆分别应用张角定理，有

()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA

αβαββαβα

++=

+=+，

上述两式相减，得

图 4

D

()()()1

1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD

MA MB βααβ⎛⎫+-=--- ⎪

⋅⋅⎝⎭ 设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有

()()MB MA 2MH 2OM cos 902OM sin MD MC 2MG 2OM cos 902OM sin ββαα

-==︒-=-==︒-=

于是 ()1

1sin 0MF ME αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，

而180αβ+≠︒，知

()sin 0αβ+≠，故ME=MF 。

（二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的

证明

在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。

证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为

()2

22

x y a R ++=。

直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为2y k x =。

由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为

()()()2

22120x y a R y k x y k x μλ⎡⎤++-+--=⎡⎤⎣⎦⎣

⎦

令0y =，知点E 和点F 的横坐标满足二次方程()()222120k k x a R μλμ++-=，

由于x 的系数为0，则两根1x 和2x 之和为0，即

12x x =-，故ME=MF 。[5]

证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方

程可写为

()

2

22x a y r -+=

直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x =。