高中数学公式大全(完整版)
高中数学公式大全（完整版）
⾼中数学公式⼤全（完整版）⾼中数学常⽤公式及常⽤结论1.包含关系A B A A B B =?=I U U U A B C B C A U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U2．集合12{,,,}n a a a L 的⼦集个数共有2n 个；真⼦集有2n –1个；⾮空⼦集有2n –1个；⾮空的真⼦集有2n –2个.3.充要条件（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.注：如果甲是⼄的充分条件，则⼄是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么[]1212()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在?>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果⼀个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果⼀个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成⽴,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 8.⼏个函数⽅程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2），)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.10．根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥?==?-11．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +?=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ，④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M Na a alog log log -=，幂的对数：M n M a n a log log =；b mnb a na m log log =13.对数的换底公式 log log log m a m NN a= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 15.11,1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).16.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 17.等⽐数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q-==?∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a qq q s na q -?≠?-=??=?.18.同⾓三⾓函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin 19正弦、余弦的诱导公式2(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-?-?+=??-?20和⾓与差⾓公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .sin cos a b αα+)α?+(辅助⾓?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan ba=). 21、⼆倍⾓的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-． 22.三⾓函数的周期公式函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 23.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 24.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.25.⾯积定理111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===（2）. 26.三⾓形内⾓和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+222C A Bπ+?=-222()C A B π?=-+. 27.实数与向量的积的运算律设λ、µ为实数，那么(1) 结合律：λ(µa )=(λµ)a ;(2)第⼀分配律：(λ+µ)a =λa +µa;(3)第⼆分配律：λ(a +b )=λa +λb . 28.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 30．向量平⾏的坐标表⽰设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a P b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 31. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．32.数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的⽅向上的投影|b |cos θ的乘积．33.平⾯向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.34.两向量的夹⾓公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).35.平⾯两点间的距离公式 ,A B d =||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).36.向量的平⾏与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=.37.三⾓形的重⼼坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重⼼的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 设O 为ABC ?所在平⾯上⼀点，⾓,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ?的外⼼222OA OB OC ?==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ?的重⼼0OA OB OC ?++=u u u r u u u r u u u r r.（3）O 为ABC ?的垂⼼OA OB OB OC OC OA ??=?=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r. 38.常⽤不等式：（1）,a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈?2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）b a b a b a +≤+≤-.39已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最⼩值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最⼤值241s . 40.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a22x a x a x a >?>?>或x a <-.41.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.42.直线的五种⽅程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）⼀般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).43.两条直线的平⾏和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ?=≠；②1212120l l A A B B ⊥?+=； (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹⾓是2π. 45.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).46. 圆的四种⽅程（1）圆的标准⽅程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的⼀般⽅程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). 47.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0相离r d ;0==相切r d ; 0><相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.48.两圆位置关系的判定⽅法设两圆圆⼼分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421??+>r r d ;条公切线外切321??+=r r d ;条公切线相交22121??+<<-r r d r r ;条公切线内切121??-=r r d ; ⽆公切线内含??-<<210r r d . 49.圆的切线⽅程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线⽅程为200x x y y r +=;50.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数⽅程是cos sin x a y b θθ=??=?.51.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21ca x e PF +=，)(22x c a e PF -=. 52．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b+>.53.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c=-.54.双曲线的⽅程与渐近线⽅程的关系(1）若双曲线⽅程为12222=-b y a x ?渐近线⽅程：22220x y a b -=?x a by ±=.(2)若渐近线⽅程为x aby ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.55. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由⽅程??=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜⾓，k 为直线的斜率）.57(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 59共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =u u u r u u u r ?(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r.60.向量的直⾓坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 61.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---. 62．空间的线线平⾏或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b ⊥r r ?0a b ?=r r ?1212120x x y y z z ++=.63.夹⾓公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉.64．异⾯直线所成⾓cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ?=?r rr r （其中θ（090θ<≤o o）为异⾯直线a b ,所成⾓，,a b r r 分别表⽰异⾯直线a b ,的⽅向向量） 65.直线AB 与平⾯所成⾓sin ||||AB m arc AB m β?=u u u r u r u u u r u r (m u r 为平⾯α的法向量). 66.⼆⾯⾓l αβ--的平⾯⾓cos ||||m n arc m n θ?=u r r u r r 或cos ||||m narc m n π?-u r ru r r （m u r ，n r 为平⾯α，β的法向量）. 134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d=||AB =u u u r=67.球的半径是R ，则其体积343V R π=,其表⾯积24S R π=． (3) 球与正四⾯体的组合体:棱长为a的正四⾯体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 6813V Sh =柱体（S 是柱体的底⾯积、h 是柱体的⾼）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底⾯积、h 是锥体的⾼）.69.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L .70.排列数公式 mn A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.71.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n +--ΛΛ21)1()1(=)(m n m n -?(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).72.组合数的两个性质(1)m n C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11m m nn n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n 2; 73.排列数与组合数的关系m mn n A m C =?！ .74．单条件排列以下各条的⼤前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n kk A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在⼀起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常⽤捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在⼀起来作全排列，k 个的⼀组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个⼤球n 个⼩球排成⼀列，⼩球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，⽆解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.75．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个⼈，各得n 件，其分配⽅法数共有mn n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22==--Λ. （2）(平均分组⽆归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为⽆记号或⽆顺序的m 堆，其分配⽅法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22==--.（3）(⾮平均分组有归属问题)将相异的)L 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个⼈，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配⽅法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N mm==-.76.⼆项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;⼆项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=. 77.n 次独⽴重复试验中某事件恰好发⽣k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=-78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=L ;（2）121P P ++=L . 79.数学期望1122n n E x P x P x Pξ=++++L L80..数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+.（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. 81.⽅差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+L L 标准差σξ=ξD . 82.⽅差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. 83..)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x→?→?+?-==??. 84.. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的⼏何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线⽅程是))((000x x x f y y -'=-.85..⼏种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 1)(ln ='；ax a xln 1)(log ='(6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 86..导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 87..复合函数的求导法则设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=.89.复数的相等,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈）90.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +91.复数的四则运算法(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++(2)()()()()a bi c di a c b di +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di +-+÷+=++≠.图象定义域 R R,2x x k k ππ??≠+∈Z值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既⽆最⼤值也⽆最⼩值周期性2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ?-+()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ?++()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ?-+()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中⼼()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中⼼(),02k k ππ?+∈Z 对称轴()x k k π=∈Z 对称中⼼(),02k k π??∈Z ⽆对称轴。
高中数学必考公式全总结(超详细)
高中数学必考公式全总结(超详细)高中数学必考公式全总结(超详细)1. 代数基础- 求根公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$- 平方差公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2, (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$- 完全平方公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b), a^3-b^3=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1})$ 二次函数相关 - 标准形式：$y=ax²+bx+c(a≠0)$- 顶点坐标: $(-\frac{b}{(２ａ)},-\frac{\Delta}{４ａ})$- 对称轴: $x=-\dfrac b {２ａ}$- 判别式:$ \Delta=b²－４ac $当$\Delta>0$,有两个实根；当$\Delta=0$,有一个重根；当$\Delta<0$,无实根。
三角函数相关正弦定理：$\dfrac{sinA}{AB}=\dfrac{sinB}{BC}=\dfrac{sinC}{AC}=k(k为常数)$余弦定理：$cosA=\dfrac {b²+c²-a²} {２bc}, cosB=…, cosC=…$正切定义:tan A = $\dfrac {\textup{o}} {\textup{邻}},tan B = …,tan C = …$ 导数与微分导数定义:$\lim_{h→0}\dfrac{(f(x+h)-f(x))}{h}$ 或者$f'(x)=lim_{Δx→０}\dfrac{\vartriangle y }{\vartriangle x}(或\dif f(x))$常见导函数:$(e^{ax})'=ae^{ax},(\ln x)'=\dfrac1{x},(log_ax)'=\dfrac1{xln a},(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(tan x)'=sec ^ ２x,(cotan x)′=-csc ^２x,$等。
高中数学公式大全(完整版)
高中数学公式大全(完整版)高中数学公式大全(完整版)精选1、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)2、乘法与因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) •a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)3、三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|4、正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。
5、余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角。
6、圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标。
7、圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0。
8、倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^29、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))10、某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 51^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3高中数学的学习方法1、养成演算、校核的好习惯，提高计算能力。
高中数学必背公式大全
高中数学必背公式大全一、代数部分。
1. 二项式定理。
(a+b)ⁿ = Cⁿ₀aⁿb⁰ + Cⁿ₁aⁿ⁻¹b¹ + ... + Cⁿᵢaⁿ⁻ⁱbⁱ + ... + Cⁿₙa⁰bⁿ。
2. 一元二次方程求根公式。
ax²+bx+c=0的解为x= (-b±√(b²-4ac))/2a。
3. 等差数列通项公式。
an = a₁ + (n-1)d。
4. 等比数列通项公式。
an = a₁ q^(n-1)。
5. 两点间距离公式。
两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)间的距离为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
6. 直线斜率公式。
直线y=kx+b的斜率为k。
7. 二次函数顶点坐标。
二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、几何部分。
1. 直角三角形勾股定理。
a² + b² = c²。
2. 直角三角形中正弦、余弦、正切公式。
sinA = a/c, cosA = b/c, tanA = a/b。
3. 三角形面积公式。
三角形面积S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p为半周长。
4. 圆周长和面积公式。
圆周长C=2πr, 圆面积S=πr²。
5. 正多边形内角和公式。
正n边形内角和为(n-2) 180°。
6. 圆锥、圆柱、球体积公式。
圆锥体积V=1/3πr²h, 圆柱体积V=πr²h, 球体积V=4/3πr³。
三、概率与统计部分。
1. 随机事件概率公式。
P(A) = n(A)/n(S)。
2. 期望公式。
E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xᵢpᵢ。
3. 正态分布概率公式。
P(a < X < b) = ∫(a, b) 1/√(2πσ²) e^(-(x-μ)²/2σ²) dx。
(完整版)高中数学解析几何公式大全
(完整版)高中数学解析几何公式大全一、直线方程1. 点斜式：y y1 = m(x x1)，其中m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个点。
2. 斜截式：y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。
3. 一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
二、圆的方程1. 标准式：(x a)2 + (y b)2 = r2，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
2. 一般式：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F是常数。
三、椭圆的方程1. 标准式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) + ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是椭圆的半长轴和半短轴，(h, k)是椭圆中心的坐标。
四、双曲线的方程1. 标准式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) = 1，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
2. 一般式：((x h)2/a2) ((y k)2/b2) 1 = 0，其中(a, b)是双曲线的实轴和虚轴，(h, k)是双曲线中心的坐标。
五、抛物线的方程1. 标准式：y2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
2. 一般式：y2 = 4ax + b，其中a是抛物线的焦点到准线的距离，b是抛物线在y轴上的截距。
六、直线与圆的位置关系1. 判定直线与圆的位置关系：计算直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系。
如果d < r，直线与圆相交；如果d = r，直线与圆相切；如果d > r，直线与圆相离。
2. 直线与圆的交点：解直线方程和圆的方程，得到两个交点的坐标。
七、直线与椭圆的位置关系1. 判定直线与椭圆的位置关系：将直线方程代入椭圆方程，得到一个关于x的一元二次方程。
高中必背的数学公式(完整归纳)
高中必背的数学公式（完整归纳）高中必背的数学公式(一)两角和公式1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA2、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB3、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)4、ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(二)倍角公式1、cos2A=cos2A-sin2A=2cos2A-1=1-2sin2A2、tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgA(三)半角公式1、sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)2、cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)3、tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))4、ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))(四)和差化积公式1、2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2、2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)3、sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)4、tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB5、ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB(五)几何体表面积和体积公式1、圆柱体：表面积：2πRr+2πRh体积：πR2h(R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高)2、圆锥体：表面积：πR2+πR[(h2+R2)的平方根]体积：πR2h/3(r为圆锥体低圆半径，h为其高)3、正方体：表面积：S=6a2,体积：V=a3(a-边长)4、长方体：表面积：S=2(ab+ac+bc)体积：V=abc(a-长，b-宽，c-高)5、棱柱：体积：V=Sh(S-底面积，h-高)6、棱锥：体积：V=Sh/3(S-底面积，h-高)7、棱台：V=h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3(S1上底面积，S2下底面积，h-高)8、拟柱体：V=h(S1+S2+4S0)/6(S1-上底面积，S2-下底面积，S0-中截面积，h-高)9、圆柱：S底=πr2，S侧=Ch，S表=Ch+2S底，V=S底h=πr2h(r-底半径，h-高，C—底面周长，S底—底面积，S侧—侧面积，S表—表面积)10、空心圆柱：V=πh(R^2-r^2)(R-外圆半径，r-内圆半径，h-高)11、直圆锥：V=πr^2h/3(r-底半径，h-高)12、圆台：V=πh(R2+Rr+r2)/3(r-上底半径，R-下底半径，h-高)13、球：V=4/3πr^3=πd^3/6(r-半径，d-直径)14、球缺：V=πh(3a2+h2)/6=πh2(3r-h)/3(h-球缺高，r-球半径，a-球缺底半径)15、球台：V=πh[3(r12+r22)+h2]/6(r1球台上底半径，r2-球台下底半径，h-高)16、圆环体：V=2π2Rr2=π2Dd2/4(R-环体半径，D-环体直径，r-环体截面半径，d-环体截面直径)(六)椭圆公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积如何提高高中数学成绩1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
高中数学公式大全
一、函数1、函数的单调性：（1）设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<−上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>−上是减函数. 也可以这样定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x −−>⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>−−上是增函数； []1212()()()0x x f x f x −−<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<−−上是减函数. （2）复合函数单调性：同增异减 2、函数的奇偶性首先判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称则为非奇非偶函数；若对称则继续往下判断： 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =−，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f −=−，则)(x f 是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
3、复合函数定义域求法规则：（1）定义域指的是单个x 的取值范围 (2) 同类型的函数括号内的范围相同 4、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的性质（1）顶点坐标公式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−ab ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2−=，最大（小）值：a b ac 442− （2）.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2()()(0)f x a x h k a =−+≠ ; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =−−≠. 5、指数与指数函数 幂的运算法则：（1）a m • a n = a m + n ，（2）nm n m aa a −=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n（5） n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=− （8）m n m na a =（9）m n m naa 1=−根式的性质（1）()nna a =.（2）当n 为奇数时，nna a =； 当n 为偶数时，,0||,0nna a a a a a ≥⎧==⎨−<⎩.指数函数y = a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1）6、指数式与对数式的互化： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.7、对数与对数函数 对数的运算法则：（1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N= N （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a (NM) = log a M -- log a N （8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N = aNb b log log（10）推论 log log m n a a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （11）log a N =aN log 1（12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…）对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1)的性质：（1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0）8、幂函数y = x a 的图象:根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 .例如： y = x 2 21x x y ==11−==x xy 9、图象平移：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位， 得到函数b a x f y +−=)(的图象； 规律：左加右减，上加下减10、函数的零点：（1）定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。
高中数学基本公式大全
高中数学基本公式大全以下是高中数学常用的基本公式大全：1. 二次方程求根公式：对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)2. 一次方程的解：对于一次方程 ax + b = 0，其解为：x = -b/a3. 因式分解公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)4. 平方差公式：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)5. 三角函数的基本关系：sin^2θ + cos^2θ = 1tanθ = sinθ / cosθcotθ = 1 / tanθsecθ = 1 / cosθcscθ = 1 / sinθ6. 三角函数和角度的关系：弧度与角度的转换公式：弧度 = 角度× π / 180角度与弧度的转换公式：角度 = 弧度× 180 / π7. 三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)8. 三角函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ =cos^2θ - sin^2θtan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)9. 三角函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))10. 三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)11. 三角函数的积化和差公式：sinAcosB = (sin(A + B) + sin(A - B)) / 2cosAsinB = (sin(A + B) - sin(A - B)) / 2cosAcosB = (cos(A + B) + cos(A - B)) / 2sinAsinB = (cos(A + B) - cos(A - B)) / 212. 三角函数的和差化积公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些是高中数学中常用的基本公式，掌握并熟练运用这些公式可以帮助解决各种数学问题。
高中数学公式大全（完整版）
高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ,U x C A xA .2.德摩根公式();()U U U U U U C AB C AC B C AB C A C B . 3.包含关系A B AA B BU U A B C BC AU AC BU C ABR4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B ()()card AB C cardA cardB cardC card AB ()()()()card AB card BC card C A card AB C .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a ;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a ; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a. 7.解连不等式()Nf x M 常有以下转化形式()Nf x M[()][()]0f x M f x N |()|22M NM N f x ()0()f x N Mf x 11()f x N M N.8.方程0)(x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21k f k f ,或0)(1k f 且22211k k ab k ,或0)(2k f 且22122k a b k k .9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2a c bxaxx f 在闭区间q p,上的最值只能在ab x2处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若q p ab x,2，则minmaxmax()(),()(),()2b f x f f x f p f q a；q p ab x,2，maxmax()(),()f x f p f q ，minmin()(),()f x f p f q .(2)当a<0时，若q p abx ,2，则min()min (),()f x f p f q ，若q p ab x,2，则max()max (),()f x f p f q ，min()min (),()f x f p f q .10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n ，则方程0)(x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f 2)(，则（1）方程0)(x f 在区间),(m 内有根的充要条件为0)(m f 或2402pq p m；（2）方程0)(x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n 或2()0()0402f m f n pq p mn或()0()f m af n 或()0()f n af m ；（3）方程0)(x f 在区间(,)n 内有根的充要条件为()0f m 或2402pq p m.11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(的子区间L （形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t (t 为参数)恒成立的充要条件是min(,)0()f x t xL . (2)在给定区间),(的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t (t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()manf x t x L .(3)0)(24cbxaxx f 恒成立的充要条件是000ab c或2040a bac.12.真值表ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n 个至多有（1n ）个小于不小于至多有n 个至少有（1n ）个对所有x ，成立存在某x ，不成立p 或q p 且q 对任何x ，不成立存在某x ，成立p 且qp 或q14.四种命题的相互关系原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ15.充要条件（1）充分条件：若p q ，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若pq ，且qp ，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设2121,,x x b a x x 那么1212()()()0x x f x f x b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()x x f x f x b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(x f y在某个区间内可导，如果0)(x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f 也是减函数; 如果函数)(u f y 和)(x g u在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y 是偶函数，则)()(a x f a x f ；若函数)(a x f y 是偶函数，则)()(a xf a xf .20.对于函数)(x f y(R x ),)()(x bf a xf 恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x;两个函数)(a xf y与)(x bf y 的图象关于直线2ba x对称.21.若)()(a xf x f ,则函数)(x f y的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a xf x f ,则函数)(x f y为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()nn n n P x a xa x a 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x 是偶函数()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x 的图象的对称性(1)函数()yf x 的图象关于直线x a 对称()()f a x f a x (2)()f ax f x .(2)函数()yf x 的图象关于直线2a bx 对称()()f a mx f b mx ()()f abmx f mx .24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x 与函数()y f x 的图象关于直线0x (即y 轴)对称.(2)函数()y f mxa 与函数()yf b mx 的图象关于直线2ab xm对称.(3)函数)(x f y和)(1x fy 的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y 的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y )(的图象；若将曲线0),(y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f )()(1. 27.若函数)(b kxf y存在反函数,则其反函数为])([11b x fky ,并不是)([1b kxfy,而函数)([1b kx fy 是])([1b x f ky的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx ,()()(),(1)f xy f x f y f c . (2)指数函数()xf x a ,()()(),(1)0f x y f x f y f a . (3)对数函数()log a f x x ,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a aa.(4)幂函数()f x x ,'()()(),(1)f xy f x f y f .(5)余弦函数()cos f x x ,正弦函数()sin g x x ，()()()()()f x y f x f y g x g y ，()(0)1,lim1xg x f x.29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f ，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(a x f x f ，或)0)(()(1)(x f x f a x f ，或1()()f x a f x (()0)f x ,或21()()(),(()0,1)2f x f x f x a f x ,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f 且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a ，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f ，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)1mnn ma a（0,,a m n N ，且1n ）. (2)1m nm n aa（0,,am nN ，且1n ）.31．根式的性质（1）()nna a .（2）当n 为奇数时，nnaa ；当n 为偶数时，,0||,0nna a aa a a.32．有理指数幂的运算性质(1) (0,,)r s r s a a a a r s Q . (2) ()(0,,)r s rsa a ar s Q . (3)()(0,0,)rr rab a b a brQ .注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log ba NbaN (0,1,0)aa N .34.对数的换底公式log log log m a m N Na(0a ,且1a ,0m ,且1m ,0N).推论log log mna a nb b m(0a ,且1a ,,0m n,且1m,1n ,0N).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则(1)log ()log log a a a MN M N ; (2) log log log aa a MMN N ; (3)log log ()na a Mn M nR .36.设函数)0)((log )(2a c bxaxx f m ,记ac b42.若)(x f 的定义域为R,则0a，且0;若)(x f 的值域为R ,则0a ，且0.对于0a的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若0a,0b,0x ,1xa ,则函数log ()ax ybx (1)当a b 时,在1(0,)a 和1(,)a上log ()ax ybx 为增函数. ，(2)当ab 时,在1(0,)a 和1(,)a 上log ()ax ybx 为减函数.推论:设1n m ，0p，0a，且1a ，则（1）log ()log m p m n p n . （2）2log log log 2a a am n m n.38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p .39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnn s n a s s n( 数列{}n a 的前n 项的和为12nn s a a a ).40.等差数列的通项公式*11(1)()na a n ddna d nN ；其前n 项和公式为1()2n nn a a s 1(1)2n n na d211()22d n a d n. 41.等比数列的通项公式1*11()n nna a a qq nN q；其前n 项的和公式为11(1),11,1nna q qs q na q或11,11,1n na a qq q s na q . 42.等比差数列n a :11,(0)nna qa d ab q的通项公式为1(1),1(),11nn nb n d q a bqdb q dq q ；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111nnnb n n d q s d qd bn qqq q.43.分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nnab b xb 元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sin tan xx x .(2) 若(0,)2x ，则1sin cos 2xx.(3) |sin ||cos |1x x .45.同角三角函数的基本关系式22sincos1，tan =cossin ，tan 1cot .46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n co 212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co 47.和角与差角公式sin()sincoscos sin; cos()cos cos sin sin;tan tan tan()1tantan .22sin()sin()sinsin(平方正弦公式); 22cos()cos()cossin.sin cos a b =22sin()a b (辅助角所在象限由点(,)a b 的象限决定,tanba).48.二倍角公式sin22sin cos .2222cos2cossin2cos112sin.22tan tan21tan.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin4sin sin()sin()33. 3cos34cos 3cos 4coscos()cos()33.323tantantan3tan tan()tan()13tan33.50.三角函数的周期公式函数sin()y x，x ∈R 及函数cos()y x，x ∈R(A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T ；函数tan()y x ，,2x kk Z (A,ω,为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T. 51.正弦定理2sin sin sin a b c R A BC.52.余弦定理2222cos abcbc A ; 2222cos b c a ca B ;2222cos c abab C .(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数)(n 为奇数)53.面积定理（1）111222abc S ah bh ch （a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc Aca B .(3)221(||||)()2OABS OA OB OA OB .54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B CC A B 222C A B222()C AB .55.简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a . s 2arccos (,||1)co x a x ka k Z a .tan arctan (,)x a x k a kZ aR .特别地,有sin sin (1)()kk k Z . s cos 2()co k k Z . tan tan ()k kZ . 56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),xa a xka ka kZ .sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z . cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z . cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z .tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k kZ . tan ()(,arctan ),2xa aR xkka kZ .57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（a ）·b= （a ·b ）=a ·b= a ·（b ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b 0，则a b(b 0)12210x y x y .53. a 与b 的数量积(或内积)a ·b=|a ||b|cos θ．61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y . (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y .(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)ABOB OA x x y y .(4)设a=(,),x y R ，则a=(,)x y . (5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y .63.两向量的夹角公式121222221122cos x x y y x y x y (a =11(,)x y ,b=22(,)x y ). 64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB 222121()()x x y y (A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b 0，则A ||b b=λa 12210x y x y . ab(a0)a ·b=012120x x y y .66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,是实数，且12PP PP ，则121211x x x y y y121OP OP OP12(1)OPtOP t OP （11t）.67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G .68.点的平移公式''''xx h x xh y y kyyk''OPOPPP .注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k .(2) 函数()yf x 的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()yf x h k .(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x ,则'C 的函数解析式为()y f x h k .(4)曲线C :(,)0f x y 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f xh yk .(5) 向量m =(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70.三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC 所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC 的外心222OA OB OC . （2）O 为ABC 的重心0OA OBOC.（3）O 为ABC 的垂心OA OB OB OCOC OA . （4）O 为ABC 的内心0aOAbOBcOC.（5）O 为ABC 的A 的旁心aOA bOB cOC . 71.常用不等式：（1）,a b R 222a b ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R 2a bab (当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c （4）柯西不等式22222()()(),,,,.ab cd ac bd a b c dR （5）b a b a b a .72.极值定理已知y x,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x 时和y x 有最小值p 2；（2）若和y x 是定值s ，则当y x时积xy 有最大值241s .推广已知R yx,，则有xyy xy x2)()(22（1）若积xy 是定值,则当||y x 最大时,||y x 最大；当||y x 最小时,||y x 最小. （2）若和||y x 是定值,则当||y x 最大时, ||xy 最小；当||y x最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bxc或2(0,40)abac，如果a 与2axbx c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x xx x x x x x x ；121212,()()0()xx x x xx xx x x 或.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22xaxaa x a .22x a x axa 或x a .75.无理不等式（1）()0()()()0()()f x f xg x g x f x g x .（2）2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f xg x g x g x f x g x 或.（3）2()0()()()0()[()]f x f xg x g x f x g x .76.指数不等式与对数不等式(1)当1a 时,()()()()f x g x aaf xg x ;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x .(2)当01a 时,()()()()f x g x aaf xg x ;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x 77.斜率公式2121y y kx x （111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式11()y y k x x (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式y kx b (b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x (12y y )(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x )).(4)截距式1xya b (a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b 、)（5）一般式0Ax ByC (其中A 、B 不同时为0). 79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b ，222:l y k x b ①121212||,l l k k b b ;②12121l l k k . (2)若1111:0l A x B y C ,2222:0l A x B y C ,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ；②1212120l l A A B B ；80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k .(111:l y k x b ，222:l yk x b ,121k k )(2)12211212tan ||A B A B A A B B .(1111:0l A x B y C ,2222:0l A xB yC ,12120A A B B ).直线12l l 时，直线l 1与l 2的夹角是2.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k .(111:l y k xb ，222:l yk x b ,121k k )(2)12211212tan A B A B A A B B .(1111:0l A x B yC ,2222:0l A xB yC ,12120A A B B ).直线12l l 时，直线l 1到l 2的角是2.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x (除直线0x x ),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y ,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B yC ,2222:0l A xB yC 的交点的直线系方程为111222()()0A xB yC A xB yC (除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C 平行的直线系方程是0Ax By (0)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0BxAy,λ是参变量．83.点到直线的距离22||Ax By C dAB(点00(,)P x y ,直线l ：0AxBy C).84. 0AxBy C 或0所表示的平面区域设直线:0l Ax ByC，则0AxByC或0所表示的平面区域是：若0B ，当B 与Ax By C 同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与AxBy C 异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B ，当A 与Ax By C 同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax ByC 异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C 或0所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A xB yC A x B y C （12120A A B B ），则111222()()0A x B y C A x B y C 或0所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C 所表示的平面区域上下两部分；111222()()0A xB yC A xB yC 所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程222()()x a y b r . （2）圆的一般方程220xyDxEy F(224DEF ＞0).（3）圆的参数方程cos sinx a r yb r .（4）圆的直径式方程1212()()()()0xx xx yy yy (圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x 1212()()()()()0xx xx yy y y axbyc ,其中0ax by c是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0AxBy C与圆C :220x yDxEy F的交点的圆系方程是22()0xyDx Ey FAx By C ,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x yD xE yF 与圆2C :222220x yD xE yF 的交点的圆系方程是2222111222()0xyD xE yF xy D xE yF ,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b ya x 的位置关系有三种若2200()()da xb y ，则d r 点P 在圆外;d r 点P 在圆上;d r 点P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系直线0C By Ax 与圆222)()(r b y a x 的位置关系有三种: 0相离r d ;0相切r d ; 0相交rd.其中22BA CBb Aad.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，dO O 21条公切线外离421r r d ; 条公切线外切321r r d;条公切线相交22121r r d r r ;条公切线内切121r r d ;无公切线内含21r r d.91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是00()()022D x x E y y x xy yF. 当00(,)x y 圆外时, 000()()022D x xE y y x x y yF表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()yy k xx ，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b ，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x yr ．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y yr ;②斜率为k 的圆的切线方程为21y kx r k .92.椭圆22221(0)x y a bab的参数方程是cos sinx a yb .93.椭圆22221(0)x y a bab 焦半径公式)(21ca xe PF ，)(22x c ae PF .94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b 的内部2200221x y a b . （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y abab的外部2200221x yab .95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b ab 上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x xy y ab.（2）过椭圆22221(0)x y abab外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y ab. （3）椭圆22221(0)x y a bab 与直线0Ax By C 相切的条件是22222A aB bc .96.双曲线22221(0,0)x y ab ab的焦半径公式21|()|aPF e xc，22|()|aPF e x c .97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b 的内部2200221x y a b . (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y abab的外部2200221x ya b .98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222by ax 渐近线方程：22220x y abx ab y. (2)若渐近线方程为xa b yby ax 双曲线可设为2222by ax .(3)若双曲线与12222by ax 有公共渐近线，可设为2222by ax （0，焦点在x 轴上，0，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b ab 上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y ab.（2）过双曲线22221(0,0)x y abab外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y ab.（3）双曲线22221(0,0)x y a bab与直线0AxBy C相切的条件是22222A aB bc .100. 抛物线px y 22的焦半径公式抛物线22(0)ypx p焦半径02p CFx . 过焦点弦长p x x p x p x CD 212122. 101.抛物线px y22上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22ypx .102.二次函数2224()24b ac b yaxbx c a xaa(0)a 的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac ba a；（3）准线方程是2414acb ya.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p的内部22(0)y px p. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p的外部22(0)ypx p . (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)ypx p 的内部22(0)ypx p.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p的外部22(0)ypx p . (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p的内部22(0)xpy p.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p 的外部22(0)x py p .(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p 的内部22(0)xpy p . 点00(,)P x y 在抛物线22(0)xpy p 的外部22(0)xpy p. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p xx .（2）过抛物线px y22外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y yp x x .（3）抛物线22(0)y px p 与直线0Ax By C 相切的条件是22pB AC .105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y ,2(,)0f x y 的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y (为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221xya kb k ,其中22max{,}ka b .当22min{,}ka b 时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b ka b 时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式221212()()AB x x y y 或2222211212(1)()||1tan ||1tABk x x x x y y co （弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程)y ,x (F b kx y消去y 得到02cbx ax，0,为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y 关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y .（2）曲线(,)0F x y 关于直线0Ax By C 成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A AxBy C B AxBy C F xyABAB.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxy Cy Dx Ey F，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x yxy 代xy ，用02x x代x ，用2y y代y 即得方程00000222x yxy x xy yAx xBCy y DEF，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)．(3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b 存在实数λ使a=λb ．P A B 、、三点共线||AP ABAPt AB(1)OP t OA tOB .||AB CDAB 、CD 共线且AB CD 、不共线ABtCD 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的存在实数对,x y ,使paxby ．推论空间一点P 位于平面MAB 内的存在有序实数对,x y ,使MPxMAyMB ，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OPOMxMAyMB .119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC （x y z k ），则当1k 时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k 时，若O 平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O 平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面AD 与AB 、AC 共面ADx AByAC(1)ODxy OAxOByOC （O 平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OPxOAyOBzOC .121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A BAB 〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b ；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ；(3)λa ＝123(,,)a a a (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则ABOBOA = 212121(,,)x x y y z z .124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z r ，222(,,)b x y z r，则a br r P (0)ab b r r r r 121212x x y y z z ；abr r 0a br r 1212120x x y y z z .125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉=112233222222123123a b a b a b aaabbb.推论2222222112233123123()()()a b a b a b aaa b bb ，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为,则2222|()()|cos2ABCD BCDA AC BD.127．异面直线所成角cos|cos ,|a b r r =121212222222111222||||||||x x y y z z a b a b xy z x y z r r r r （其中（090oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m (m 为平面的法向量).129.若ABC 所在平面若与过若AB 的平面成的角,另两边AC ,BC 与平面成的角分别是1、2,A B 、为ABC 的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B .特别地,当90ACB时,有22212sinsinsin.130.若ABC 所在平面若与过若AB 的平面成的角,另两边AC ,BC 与平面成的角分别是1、2,''A B 、为ABO 的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tanA B .特别地,当90AOB时,有22212sinsinsin .131.二面角l的平面角cos||||m narc m n 或cos||||m narc m n （m ，n 为平面，的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1，AB 与AC所成的角为2，AO 与AC 所成的角为．则12cos cos cos . 133. 三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sinsinsinsin2sinsincos;1212||180()(当且仅当90时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB222212121()()()x x y y z z .135.点Q 到直线l 距离221(||||)()||h a b a b a (点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n dn (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面的距离||||AB n dn （n 为平面的法向量，AB 是经过面的一条斜线，A）.138.异面直线上两点距离公式2222cos dhmnmn .222'2cos ,dhmnmn EA AF .2222cos d hmnmn （'E AAF ）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m ,AF n ,EF d ). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c abca b b c c a2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b ca b a bb c b cc a c a140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123、、,则有2222123llll222123coscoscos1222123sinsinsin2.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cosSS.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l 斜棱柱侧. ②1V Sl 斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E (简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12EnF ；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12EmV .146.球的半径是R ，则其体积343VR , 其表面积24SR ．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为612a ,外接球的半径为64a .148．柱体、锥体的体积13V Sh 柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）. 13V Sh 锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m . 150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m . 151.排列数公式m nA =)1()1(m nn n =！！)(m nn .(n ，m ∈N *，且mn )．注:规定1!0.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A ; （2）1m m n n nA An m ;（3）11m m n n A nA ; （4）11n n n nn nnA AA ; （5）11m m m n nnAAmA.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n .153.组合数公式m nC =m n m mAA=mm n n n 21)1()1(=！！！)(m nm n (n ∈N *，mN ，且m n ).154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C ; (2) m n C +1m nC =m n C1.注:规定10nC . 155.组合恒等式（1）11m m nnn m C C m ;（2）1m m nn n C Cn m ;（3）11m m nn n CC m;（4）nr r nC 0=n2; （5）1121r n rn r r r r r r C C C C C . (6)nnnrn n n n C C C C C 2210.(7)14205312n nnn nn n C CCCCC .(8)1321232n n nnnnn nCCCC. (9)r nm r nr mnr mnr mCC C CC CC 0110.(10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(.156.排列数与组合数的关系m m nnAm C ！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11m n A 种；②某（特）元不在某位有11m n mnAA （补集思想）1111m n n AA（着眼位置）11111m nm m nA A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k 个元在固定位的排列有km k n k k A A 种. ②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k kk n k n A A11种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1h k），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1m n 时，无解；当1m n 时，有nm nn n m C A A 11种排法. （4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n nm C.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mn nn nnnmn n nmn n mnn mn CCCCCN)!()!(22.（2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有m n nn nnnmn nnmn n mnn m mn m CCC CCN)!(!)!(!...22. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (2121)1m n n n n p n pn n n m p m CCCNm m.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必。
高中数学必背公式大全
高中数学必背公式大全1. 二次函数的标准形式：y = ax² + bx + c2. 三角函数的基本关系：sin(A±B)=sinAcosB±cosAsinB3. 余弦定理：a² = b² + c² - 2bc cosA4. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC5. 相似三角形的定义：两个三角形的相应角相等，且相应边成比例，则称两个三角形相似。
6. 三角形面积公式：S=1/2ab sinC7. 勾股定理：a² + b² = c²8. 平面向量的定义：平面向量是指在平面上的有向线段，它由起点和终点确定，其长度和方向确定。
9. 向量的加法：a+b=b+a10. 向量的减法：a-b=b-a高中数学公式大全总结1、二次函数的标准方程：y=ax^2+bx+c2、三角函数的基本公式：sinA=a/c，cosA=b/c，tanA=a/b3、勾股定理：a^2+b^2=c^24、直角三角形面积公式：S=1/2ab5、椭圆面积公式：S=πab6、圆的面积公式：S=πr^27、梯形面积公式：S=1/2(a+b)h8、平行四边形面积公式：S=ab9、正方形面积公式：S=a^210、圆柱体体积公式：V=πr^2h探索澳洲金融数学，展开你的金融数学之旅澳洲金融数学是一门涉及金融统计学、投资分析和金融工程的综合性学科。
它侧重于金融市场、金融产品和金融服务中经济学、数学和计算机科学知识的结合。
本文将为您提供了解更多澳洲金融数学的指南，帮助您开启探索之旅。
一、澳洲金融数学的定义澳洲金融数学是一门综合性学科，涉及金融统计学、投资分析和金融工程等领域。
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二、澳洲金融数学的内容澳洲金融数学的内容包括:金融数学基础、金融数学模型、金融产品定价、金融风险管理、金融统计学、金融工程、投资管理、金融市场分析等。
高中数学公式大全完整版
高中数学公式大全完整版1.代数公式：a)二次方程求根公式：对于二次方程ax²+bx+c=0，其解为：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)b)平方差公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²c)三次方差公式：(a+b)(a²-ab+b²) = a³+b³d)和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A±B) = (tanA± tanB)/(1 ∓ tanAtanB) e)二项式定理：(a+b)ⁿ=nC₀aⁿb⁰+nC₁aⁿ⁻¹b¹+nC₂aⁿ⁻²b²+...+nCₙa⁰bⁿ2.几何公式：a)三角形：面积公式：S=1/2*底边*高正弦定理：sinA/a = sinB/b = sinC/c余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosCb)圆：周长公式：C=2πr面积公式：A=πr²弧长公式：L=2πr(θ/360)c)立体图形：容积公式：立方体：V=a³正方体：V=a³圆柱体：V=πr²h圆锥体：V=1/3πr²h球体：V=4/3πr³d)平移、旋转、缩放公式：平移：(x,y)→(x+a,y+b)旋转：逆时针旋转θ度：(x,y) → (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)缩放：横向缩放k倍，纵向缩放k倍：(x,y) → (kx, ky)3.概率公式：a)排列组合公式：排列：A(n,m)=n!/(n-m)!组合：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)b)期望公式：对于离散型随机变量X，期望值E(X)=Σ(x*p(x))，其中x为X的可能取值，p(x)为对应x的概率对于连续型随机变量X，期望值E(X) = ∫(x*f(x))dx，其中f(x)表示X的概率密度函数c)标准差公式：方差σ²=Σ(x-μ)²*p(x)，其中μ为随机变量X的期望值标准差σ=√σ²d)独立事件公式：P(A∩B)=P(A)P(B)4.数列与级数公式：a)等差数列通项公式：aₙ=a₁+(n-1)db)等比数列通项公式：aₙ=a₁*r^(n-1)c)等差数列求和公式：Sn=(n/2)(a₁+aₙ)d)等比数列求和公式：Sn=a₁*(rⁿ-1)/(r-1)以上是高中数学公式的一个完整版，涵盖了代数、几何、概率、数列与级数等多个方面的公式。
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高中数学公式抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式： S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0²万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）³2正方形的周长=边长³4长方形的面积=长³宽正方形的面积=边长³边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积”南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底³高梯形的面积=（上底+下底）³高÷2直径=半径³2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率³直径=圆周率³半径³2圆的面积=圆周率³半径³半径长方体的表面积=（长³宽+长³高＋宽³高）³2长方体的体积 =长³宽³高正方体的表面积=棱长³棱长³6正方体的体积=棱长³棱长³棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长³高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积³高圆锥的体积=底面积³高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积³高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2(a+b)S＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）³180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a³b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分 73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=（a+b）÷2 s=l ³h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高中数学公式大全(完整版)
1. 集合与常用逻辑用语
2. 复数
3. 平面向量
4. 算法、推理与证明
5.不等式、线性规划
6. 计数原理与二项式定理
7. 函数、基本初等函数的图像与性质
8. 函数与方程、函数模型及其应用
9.导数及其应用
10.三角函数的图形与性质
11.三角恒等变化与解三角形
12.等差数列、等比数列
13.数列求和及数列的简单应用
14.空间几何体
15.空间点、直线、平面位置关系
16.空间向量与立体几何
17.直线与圆的方程
18.圆锥曲线的定义、方程与性质
19.圆锥曲线的热点问题
20.概率
21.离散型随机变量及其分布
22.统计与统计案例
23.函数与方程思想,数学结合思想
24.分类与整合思想,化归与转化思想
25.几何证明选讲
26.坐标系与参数方程。
高中必背和掌握的数学公式(全)
1.元素与集合的关系X∈A⇔X∉C U A X∈C U A⇔X∉A2.德摩根公式C U(A∩B)=C U AUC U B C U(A∪B)=C U A∩C U B3.包含关系A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B⇔C U B⊆C U A⇔A∩CU B=φ⇔CU A∪B=R.4.容斥原理card(AUB)=cardA+cardB-card(A∩B)card(AUB∪C)=cardA+cardB+cardC-card(A∩B)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)5.集合{a1,a2,a3…an}的子集个数共有2n个;真子集有2n-1个;非空子集有2n-1个;非空的真子集有2n-2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);(3)零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)7.解连不等式N<f(x)<M.常有以下转化形式N<f(x)<M⇔[f(x)-M][f(x)-N]<0⇔|f(x)-(M+N)/2|<(M-N)/2⇔f(x)-N/M-f(x)>0⇔1/f(x)-N>1/(M-N)8.方程f(x)=0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)<0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件，方程ax2+bx+C=0(a≠0)有且只有一个实根在(k1,k2)内等价于f(k1)f(k2)<0,或f(k1)=0且k1<-b/2a<(k1+k2)/2,或f(k2)=0且(k1+k2)/2<-b/2a<k29.闭区间上的二次函数的最值二次函数f(x)=ax2+bx+C(a≠0)在闭区间[p,q]上的最值只能在x=-b/2a处及区间的两端点处取得，具体如下:10.一元二次方程的实根分布依据：若f(m)f(n)<0，则方程f(x)=0在区间（m，n）内至少有一个实根.+pX+q，则设f(x)=X2（1）方程f(x)=0在区间（m+∞）内有根的充要条件为f(m)=0或p2-4q≥0，-p/2>m；（2）方程f(x)=0在区间（m，n）内有根的充要条件为f(m)f(n)<0或f(m)>0，f(n)>0，p2-4q≥0，m<-p/2<n或f(m)=0，af(n)>0或f(n)=0，af(m)>0；（3）方程f(x)=0在区间(-∞，n)内有根的充要条件为f(m)<0或p2-4q≥0，-p/2<m11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据（1）在给定区间（-∞，+∞）的子区间L(形如[α，β]，（-∞，β]，[α，+∞）不同)上含参数的二次不等式f(x,t)≥0（t为参数）恒成立的充要条件是≥0（x∉L）.f(x,t)min（2）在给定区间（-∞，+∞）的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)≥0（t为参数）恒成立的充要条件是f(x,t)≥0（x∉L）.max12.真值表p q非p P或q P且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假13.常见结论的否定形式原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有（n-1）个小于不小于至多有n个至少有（n+1）个对所有X，成立存在某X，不成立P或q￢P且￢q对任何X，不成立存在某X，成立P且q￢P或￢q14.四种命题的相互关系原命题逆命题若q则p互逆若p则q互否互否否命题逆否命题若非p则非q互逆若非q则非p15.充要条件(1)充分条件:若P⇔q,则P是q充分条件.(2)必要条件:若q⇔P,则P是q必要条件.(3)充要条件:若P⇔q,且q⇔P,则P是q充要条件.注:如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件;反之亦然.16.函数的单调性(1)设X1·X2∈[a,b],X1≠X2那么(X1-X2)[f(X1)-f(X2)]>0⇔[f(X1)-f(X2)]/(X1-X2)>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(X1-X2)[f(X1)-f(X2)]<0⇔[f(X1)-f(X2)/(X1-X2)<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f’(x)>0，则f(x)为增函数;如果f’(x)<0，则f(x)为减函数.17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数，如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数。
高中数学公式大全总结
高中数学公式大全总结高中数学公式大全总结如下:1. 基本公式:- 指数函数:f(x) = a^x，其中 a 为正数。
- 对数函数:f(x) = log_a(x),其中 a 为非零正数。
- 三角函数：- 正弦函数:f(x) = sin(x),其中 x 为角度。
- 余弦函数:f(x) = cos(x),其中 x 为角度。
- 正切函数:f(x) = tan(x),其中 x 为角度。
- 割函数:f(x) = csc(x),其中 x 为角度。
- 半角函数:f(x) = sin(x)/cos(x),其中 x 为半角。
- 函数图像：- 指数函数：形如 f(x) = a^x 的图像通常呈现出指数型增长。
- 对数函数：形如 f(x) = log_a(x) 的图像通常呈现出对数型增长。
- 三角函数：三角函数的图像通常呈现出周期性的变化。
- 不等式：- a + b > c 当且仅当 a > c 且 b > c。
- 对于任意实数 a、b、c，总有 a + b + c = 3a + 2b + c。
- 对于任意整数 a、b，总有 a + b = b + a。
2. 微积分:- 导数：- 导数的定义:f"(x) = lim(Δx->0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx。
- 导数的四则运算法则：- 链式法则:f"(x) = g"(h) + g"(x) * f"(h)。
- 乘积法则:f"(x) * g"(x) = f(x) * g"(x) + f"(x) * g(x)。
- 加积法则:f"(x) + g"(x) = f(x) + g(x)。
- 偏导数的定义：对于任意函数 f(x),总有 f"(x) = lim(Δx->0) [f(x + Δx) - f(x)] / Δx。
高中数学公式总结大全
高中数学公式总结大全高中数学是一个基础而重要的学科，其中包含了众多的公式和定理。
下面是我为您总结的高中数学公式大全（只列出了常用和重要的公式，因篇幅限制可能无法完全涵盖全部公式）：-----------------一、代数运算1. 二次根式的乘除公式：（a√b） ×（c√b）= ac√b, （a√b）÷（c√b）= a÷c√b2. 幂的乘除公式：a^n × a^m = a^(n+m), a^n ÷ a^m = a^(n-m)3. 平方差公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²4. 平方和公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²5. 完全平方公式：a² - 2ab + b² = (a - b)²6. 立方差公式：(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³7. 立方和公式：(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³8. a² - b² = (a+b)(a-b)9. 二次方程的求根公式：对于 ax² + bx + c = 0 的一元二次方程，x = (-b ± √(b²-4ac)) / 2a10. 二次三角恒等式：(sinθ)² + (cosθ)² = 111. 二次三角恒等式：1 + (tanθ)² = (secθ)²12. 二次三角恒等式：1 + (cotθ)² = (cscθ)²13. 对数运算公式：log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y), log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y) log_a(x^n) = nlog_a(x), log_a(1/x) = -log_a(x)14. 指数运算公式：a^x × a^y = a^(x+y), a^x ÷ a^y = a^(x-y)(a^x)^y = a^(xy), (ab)^x = a^x × b^x二、平面几何1. 圆的周长公式：C = 2πr或C = πd2. 圆的面积公式：A = πr²3. 锐角三角函数：sinθ = 对边/斜边, cosθ = 邻边/斜边, tanθ = 对边/邻边4. 余角三角函数：cscθ = 1/sinθ, secθ = 1/cosθ, cotθ = 1/tanθ5. 三角恒等式：sin(90°-θ) = cosθ, cos(90°-θ) = sinθ, tan(90°-θ) = cotθ6. 直角三角形勾股定理：a² + b² = c²或c = √(a² + b²)7. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC8. 余弦定理：a² = b² + c² - 2bc·cosA9. 面积公式：面积S = 0.5 ×底 ×高三、空间几何1. 简单体积公式：直方体 V = l × w × h正方体 V = a³圆柱体V = πr²h球体V = (4/3)πr³2. 简单表面积公式：直方体表面积 A = 2lw + 2lh + 2wh正方体表面积 A = 6a²圆柱体侧面积A = 2πrh圆柱体全面积A = 2πr(r+h)球体表面积A = 4πr²四、概率与统计1. 排列公式：n个元素取r个排列的情况总数为 P(n,r) = n!/(n-r)!2. 组合公式：n个元素取r个组合的情况总数为 C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)3. 随机事件概率公式：P(A) = n(A)/n(S)4. 条件概率公式：P(A|B) = P(AB)/P(B), P(B|A) = P(AB)/P(A)5. 独立事件概率公式：P(A∩B) = P(A) × P(B)六、数列与数学归纳法1. 等差数列通项公式：an = a1 + (n-1)d2. 等差数列前n项和公式：Sn = n/2 × (a1 + an) = n/2 × (2a1 + (n-1)d)3. 等比数列通项公式：an = a1 × q^(n-1)4. 等比数列前n项和公式：Sn = a1 × (1-q^n) / (1-q), q≠1五、其他1. 三角函数导数：(sinx)' = cosx, (cosx)' = -sinx, (tanx)' = sec²x2. 指数函数导数：(a^x)' = a^x × ln(a), (e^x)' = e^x3. 对数函数导数：(log_ax)' = 1 / (x × ln(a)), (lnx)' = 1 / x4. 反三角函数导数：(sin⁻¹x)' = 1 / √(1-x²), (cos⁻¹x)' = -1 / √(1-x²), (tan⁻¹x)' = 1 / (1+x²)-----------------这只是高中数学公式的一小部分，在学习过程中会遇到更多的公式和定理，希望以上总结对您有所帮助。
高中数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .3.包含关系A B A A B B =⇔= U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ U C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k ab k k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下： (1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p ab x ,2∉-=，则{}ma x ()m a x (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为增函数.，(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-. 50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB ==11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+- （11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π.81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A AB B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C:220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px = .102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a--；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=. 103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x+代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB = ⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD = 且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+．推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使O P x O A y O B z O C =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r （其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅= (m为平面α的法向量). 129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ; 1212||180()θθϕθθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d=||AB ==. 135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d .d =d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅ 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则 ①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯ . 151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- . 153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ .(7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C .(8)1321232-=++++n nn n n n n nC C C C .(9)rn m rn rm n r m n rm C C C C C C C +-=+++011. (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有k h h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!!...21211m n n nn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!! (2)11c b a m C C C N m mn n n n p n p ⋅⋅=-12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m=⋅=-.159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为1111()![(1)]2!3!4!!n f n n n =-+-+- . 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为 1234(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!(1)()!(1)()!m m m m ppmm mmf n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++--12341224![1(1)(1)]p m p m m m m m m mp m n n n n n nC C C C C C n A A A A A A =-+-+-+-++- .。
高中数学公式大全
高中数学公式大全数学公式一定要背好，下面是小编为大家收集的关于高中数学公式大全，欢迎大家阅读!1 、过两点有且只有一条直线2、两点之间线段最短3 、同角或等角的补角相等4 、同角或等角的余角相等5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 、同位角相等，两直线平行10 、内错角相等，两直线平行11 、同旁内角互补，两直线平行12、两直线平行，同位角相等13、两直线平行，内错角相等14、两直线平行，同旁内角互补15 、定理三角形两边的和大于第三边16 、推论三角形两边的差小于第三边17 、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 、推论1 直角三角形的两个锐角互余19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 、全等三角形的对应边、对应角相等22、边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 、角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24、推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25、边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26、斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)31 、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35 、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44、定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45、逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c 的平方，即a^2+b^2=c^247、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48、定理四边形的内角和等于360°49、四边形的外角和等于360°50、多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)×180°51、推论任意多边的外角和等于360°52、平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53、平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54、推论夹在两条平行线间的平行线段相等55、平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56、平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57、平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58、平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59、平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60、矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61、矩形性质定理2 矩形的对角线相等62、矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63、矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64、菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65、菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66、菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(a×b)÷267、菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68、菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69、正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71、定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72、定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73、逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74、等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75、等腰梯形的两条对角线相等76、等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77、对角线相等的梯形是等腰梯形78、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79、推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80、推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 、梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 l=(a+b)÷2 s=l×h83、(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 、(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d85、(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 、推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例88 、定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 、平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90、定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似91 、相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似(asa)92 、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93、判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(sas)94 、判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似(sss)95 、定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96、性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97、性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98、性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101、圆是定点的距离等于定长的点的集合102、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104、同圆或等圆的半径相等105、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
高级中学数学公式定理全集(全面,最详细)
高中数学公式大全（最全面，最详细）高中数学公式大全抛物线：y = ax *+ bx + c就是y等于ax 的平方加上bx再加上ca > 0时开口向上a < 0时开口向下c = 0时抛物线经过原点b = 0时抛物线对称轴为y轴还有顶点式y = a（x+h）* + k就是y等于a乘以（x+h）的平方+k-h是顶点坐标的xk是顶点坐标的y一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py圆：体积=4/3(pi）(r^3)面积=(pi)(r^2)周长=2(pi)r圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0（一）椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。
（二）椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高三角函数：两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cotacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10) ·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBcotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/61^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根公式分类公式表达式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h 斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h' 正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H 圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h 圆柱体V=pi*r2h图形周长面积体积公式长方形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S＝ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S＝√[p(p - a)(p - b)(p - c)] （海伦公式）（p=(a+b+c)/2）和：（a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r已知三角形三边a、b、c,则S＝√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“三斜求积” 南宋秦九韶）| a b 1 |S△=1/2 * | c d 1 || e f 1 |【| a b 1 || c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC| e f 1 |选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】秦九韶三角形中线面积公式:S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2?sinC＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形48定理四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即s=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半l=（a+b）÷2 s=l×h83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（asa）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（sas）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（sss）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
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高中数学常用公式及常用结论1.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=2．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.3.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.6．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂(1)mna=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.10．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.11．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ，④.积的对数：N M MN a a a log log )(log +=，商的对数：N M NMa a alog log log -=，幂的对数：M n M a n a log log =；b mn b a na m log log =13.对数的换底公式 log log log m a m NN a= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 15.11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).16.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 17.等比数列的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.18.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin 19正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩20和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 21、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）．⑶22tan tan 21tan ααα=-．22.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 23.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 24.余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.25.面积定理111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===（2）.26.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 27.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 28.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 30．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 31. a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．32.数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．33.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 34.两向量的夹角公式2222122cos y x yθ=+⋅+(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).35.平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).36.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.37.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==.（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=. （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. 38.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）b a b a b a +≤+≤-.39已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .40.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.41.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.42.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).43.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 45.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).46. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). 47.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.48.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ;条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ;无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .49.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;50.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.51.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21ca x e PF +=，)(22x c a e PF -=. 52．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.53.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.54.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.55. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 57(1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )．(3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ． 59共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.60.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则(1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++；(2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；61.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---. 62．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=. 63.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则cos 〈a ，b 〉21a .64．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量） 65.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).66.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d =||AB AB AB =⋅=67.球的半径是R ，则 其体积343V R π=,其表面积24S R π=． (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a . 6813V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.69.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.70.排列数公式 mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.71.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).72.组合数的两个性质(1)m n C =mn nC - ;(2) m n C +1-m nC =m n C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11m m nn n m C C m --+=;（2）1m m n n n C C n m -=-;（3）11m m n n n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n2; 73.排列数与组合数的关系m mn n A m C =⋅！ .74．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.75．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mn n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有 mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n nn p n p n n n m p m C C C N mm=⋅⋅=-.76.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.77.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=-78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=;（2）121P P ++=.79.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++80..数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+.（2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=.81.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+标准差σξ=ξD .82.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-. 83..)(x f 在),(b a 的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 84.. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.85..几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）.(2) '1()()n n x nx n Q -=∈.(3) x x cos )(sin ='.(4) x x sin )(cos -=' (5) x x 1)(ln ='；ax a xln 1)(log ='(6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='. 86..导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 87..复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.89.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）90.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +91.复数的四则运算法(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++(2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-;(3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di +-+÷+=++≠.sin y x = cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2π π奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z 对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭ 无对称轴函 数 性质。