《高等数学上册考试试题》(最新整理)

1
1．当x 0时，(1 ax 2 ) 3 1 与 cos x 1是等价的无穷小，则常数 a ( )
3
A、
2
2
B、
3
C、 3 2
D、 2 3
ax b，当x 1
2．已知
f
(x)
x
2，
处处可导，则有( ) 当x 1
A、 a 2，b 1 B、 a 2, b 1 C、 a 1,b 2 D、 a 1，b 2
学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________ 教师________________ ………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效…………… _
《高等数学（上）考试试题》
四、证明题 (每小题 9 分， 2 个小题，共计 18 分)
1． 证明：当0 a b时, b a ln b b a 成立.
b
aa
2． 设f (x)在[0, a]连续，在(0, a)内可导，且f (a) 0，证明存在一点 (0, a) ，
使得3 f ( ) f ( ) 0 。
_学号_____________姓名_____________ 教师________________ …………内……………答……………题……………无……………效……………
3． 设
lim
x0
f
(x)
f
(0)ln(1 3x)
x2
4, 则f
(0)等于
(
)
A、3
B、4
C、1
4
D、
3
4． 设函数y f (x)在点x处可导,则它在点x处的微分dy是指 ( )
A、 f (x)
B、 f (x)
C、 x
D、 f (x)x
5． 设常数 k 0 ，函数 f (x) ln x x k 在 (0,) 内零点个数为 ( )
5． 2
3．
dy y dt
t t (ln t 1) t t 。
dx
ln t 1
dt
4．因f (x)具有连续二阶导数,则f (x)及f (x), f (x)在x 0都连续
则 lim x0
f
(sin 2 x4
x)
lim
x0
f
(sin2 x) sin 2x 4x3
1 lim
2 x0
f
(sin 2 x2
dy dx
。
4． 设函数f (x)具有连续二阶导数,且f (0) f (0) 0, f (0) 6 , 求
f (sin 2 x)
lim
。
x0
x4
5．
求数列的极限
lim
n
n
n
2
1
n2
1 2
n2
1
n
．
6． 讨论函数f (x) lim 1 x2n x的连续性，若有间断点，判断其类型 。
n 1 x 2n
x2n x2n
x
0, x,
| x | 1 | x | 1
，
在分段点 x 1 处，因为 lim f (x) lim (x) 1 ， lim f (x) lim x 1，即 lim f (x) lim f (x) ,
x 1
x 1
x 1
x 1
x1
x1
x 1 是 f (x) 的跳跃间断点（第一类）；
2
一、填空题(每小题 4 分，5 个小题，共计 20 分)
1． ( 3)10 2.4 3． y 2 cos(1 x 2 ) 4x 2 sin(1 x 2 ) 2
4．
(2 x 2 ex
ex)2 4x
(x
0)
二、选择题 (每小题 4 分，5 个小题，共计 20 分)
1．C 2．A 3．D 4．D 5．B
e
A、1 B、2
C、3
D、0
1
三、解答题 (每小题 7 分，6 个小题，共计 42 分)
1
1． 计算极限 lim(x e2x ) sin x 。 x0
2． 设y y(x)由方程e xy sin(xy) y确定,求 dy 。
dx
3．
பைடு நூலகம்
x 设
y
t ln t ，(t
tt
1)确定了函数y e
y( x), 试求
1． 证明 : 令f (x) ln x,则f (x)在(0,)连续,可导
当0 a b时, 对f (x)在[a,b]上应用拉格朗日中值定理
则至少存在 (a,b),使f (b) f (a) f ( )(b a)
即ln b ln a ln b 1 (b a) ， 又a b且(b a) 0 ， 则 1 1 1 ，
a
b a
故：当0 a b时, b a ln b b a 成立. 。
b
aa
2．证明：令 F (x) x3 f (x) ，因为 f (x) 在 [0, a] 连续，在 (0, a) 内可导，所以 F (x) 在 [0, a] 连续，在 (0, a) 内可导，
且 F (0) F (a) a3 f (a) 0 ，满足罗尔中值定理条件，至少存在一点 (0, a) ，使得
4． 设 y 1 ，则其反函数x( y)的导数x( y) ________ 。
2x2 ex
5． 设 f (x)为可导函数且满足 lim f (a) f (a x) 1， 则曲线y f (x) 在点
x0
2x
(a，f (a))处的切线斜率为 ________ 。
二、选择题 (每小题 4 分，5 个小题，共计 20 分)
x)
1 lim
2 x0
f
(sin 2 x) sin 2x 2x
1 lim
2 x0
f
(sin 2
x)
1 f (0) 2
3
n2 5． n2 n
n
n
2
1
n2
1 2
n2
1
n
n2 n2
，由夹逼准则有
lim
n
n
n
2
1
n2
1 2
n2
1 n
1。
x, | x | 1
6．
f
(x)
1 lim n 1
F ( ) 3 2 f ( ) 3 f ( ) 0 ，即 3 f ( ) f ( ) 0
3
一、填空题(每小题 4 分，5 个小题，共计 20 分)
1． lim (1 3x)10 (1 2x)30 _________ 。
x (1 4x 2 ) 20
2． 设f (x) x(x 1)(x 2)(x 3)(x 4),则f (x) 0有且仅有 _______ 个实根 。
3． 设 y sin(1 x2 ),则y ________ 。
在分段点 x 1 处，因为 lim f (x) lim x 1 ， lim f (x) lim(x) 1 ，即 lim f (x) lim f (x) , x 1 是
x 1
x 1
x 1
x 1
x1
x1
f (x) 的跳跃间断点（第一类）。
四、证明题 (每小题 9 分， 2 个小题，共计 18 分)
三、解答题 (每小题 7 分，6 个小题，共计 42 分)
1
1
xe2 x 1
1． lim(x e2x ) sin x lim{[1 (x e2x 1)] xe2x 1 } sin x e3 。
x0
x0
2． e xy ( y xy) ( y xy) cos(xy) y ，
y y(e xy cos(xy)) 。 1 x(e xy cos(xy))