工程数学习题集 复变函数 积分变换

第1次 复变函数（1）一、填空题。

1. 设(1)(2)(3)(3)(2)i i i z i i +--=++，则z =__________ 2.设z =, 3arg()4z i π-=,则z=________________ 3. 不等式522<++-z z 所表示的区域是曲线_______________的内部。

4. 复数i 31-的三角表达式为 二、请计算i +1的值。

三、已知21z z 和是两个复数，证明)Re(2212221221z z z z z z ++=+四、下列坐标变换公式写成复数形式；1） 平移公式：1111x x a y y b =+⎧⎨=+⎩，2）旋转公式：1111cos sin sin cos x x y y x y αααα=-⎧⎨=+⎩五、指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围，并作图。

1）56z -=； 2）21z i +≥；3)314z z +++=。

4)312z z -≥-六、将下列方程（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出：1）(1)z t i =+； 2）t ib t a z sin cos += (b a ,为实常数)3）22i z t t=+。

4) it it z ae be -=+第2次 复变函数（2）一、填空题1. 241lim (12)z i z z →+++=________________ 2. 由映射2)(z z f =得到的两个二元实函数=),(y x u =),(y x v . 3. 函数zz z f =)( 在0→z 时极限为 4. 已知映射3z =ω, 则点i z =在该映射下在ω平面的象为 二、对于映射11()2w z z =+，求出圆周|z|=4的像。

三、函数1w z =把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎样的曲线？ 1）224x y +=； 2） y x =。

3) 1x =。

4) 22(1)1x y -+=.四、设函数()f z 在0z 连续且0()0f z ≠，那么可找到0z 的小邻域，在这邻域内()0f z ≠。

五、设1()(),(0)2z z f z z i z z=-≠. 试证当0z →时()f z 的极限不存在。

*六、设0lim ()z z f z A →=，证明函数()f z 在0z 的某一去心邻域内是有界的，即存在一个实常数0>M ，使在0z 的某一去心邻域内有()f z M ≤.第三次 解读函数（1）一、填空题1.设2.导函数在区域D 解读的充要条件为 3.设4. 已知函数52)2()(i z z f +=，则该函数的导数为二、讨论下面函数的可导性，如果可导，求出)(/z f .1） 22)(iy x z f +=2） )Im()(z z z f =三 如果是的解读函数，证明四、设为解读函数，试确定，，的值.五、证明柯西–黎曼方程的极坐标形式为.*六、设的解读函数，若记第四次 解读函数（2）一、填空题1） =212） i i 主值是.3） =->-ze z z 1lim 0 4） 函数)Re()Im()(z z z zf -=仅在点=z 处可导.5) 若函数)()(by x i ay x z f +++=在复平面上解读，则=a b =二、求出下列全部解；(1)；(2).三．解方程四、证明：当∞→y 时，趋于无穷大.五、求)3(i Ln -,)43(i Ln +-和它们的主值.六. 求，exp [(1+)/4]，和i i )1(+的值.第五次 复积分的概念、柯西－古萨定理一、填空题1） 设c 为沿原点0=z 到点i z +=1的直线段，则=⎰c dz z _2__________。

2）设c 是椭圆2214y x +=，则dz z z C ⎰+2sin 。

3）设c 是i z e θ=，θ从π-到π的一周，则Re()cz dz =⎰。

4）设c 为正向圆周3=z ，则dz z z z c ⎰+_＝__________。

二、沿原点路线计算积分⎰+idz z 302（1） 自原点至3+i 的直线段；（2） 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3+i ；（3） 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至3+i 。

三、求积分23C z dz ⎰的值，其中C 为：（1）从1i +到34i -的直线段；（2）圆周11z i --=的正向。

四、 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C 是正向单位圆周1=z 。

（1）⎰++c z z dz 422（2）⎰-c z dz 21（3）dz ze c ⎰2（4）()⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛-c z i z dz 22五、证明2sin 2C z dz e z π≤⎰，其中C 是单位圆1z =的一周。

六、计算积分dz z z ⎰=--11211*七、设()f z 在原点的某邻域内连续，试证明200lim ()2(0)i r f re d f πθϕπ→=⎰第六次 复合闭路定理 原函数与不定积分柯西积分公式一、填空题：1 设c 为负向圆周4=z ，则=-⎰dz i z e cz5)(π__________。

2 设c 为正向圆周1z =，则2cos 2231C z dz z z π++⎰__________。

3 积分20cos i z z dz π⎰的值为。

4 积分32i z ie dz ππ-⎰=。

5 设c 为正向圆周5z =，则23123C z dz z z ---⎰的值为__________。

二、沿指定曲线的正向计算下列积各积分(1);:,22a a z c a z dz c =--⎰ （2） .1:,5=⎰z c dz z e c z（3） 2,:3;(1)c dz c z z z =-⎰ （4） 2sin ,:22;9czdz c z i z -=+⎰三、 计算下列函数沿正向圆周的积分（1）,2314dz i z z c ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+++其中c ：4=z ；（2）,122dz z i c ⎰+其中 61:=-z c四、 计算积分2sin 4,1c z dz z π-⎰其中C 分别为： 1(1)12z -=； 1(2)12z +=； (3) 2.z =五、 计算下列各题（1）⎰10;sin zdz z （2）21(2)i iz dz +⎰*六、求积分,1dz z e z z⎰=从而证明πθθπθ=⎰d e )cos(sin 0cos第七次 高阶导数公式 解读函数与调和函数的关系一 填空题1）、设)(z f ＝ξξξπξd z ⎰=-2)2sin(，其中,2≠z 则=)3('f __________。

2）、设C 为负向圆周4=z ，则=-⎰dz i z e c z5)(π__________。

3）、设C 为任意实常数，那么由调和函数22u x y =-确定的解读函数()f z u iv =+是。

4）、若函数32(,)u x y x axy =+为某一解读函数的虚部，则常数a =。

二 计算下列积分（1）,cos 213dz z z c c c ⎰+=其中2:1=z c 为正向，3:2=z c 为负向；（2）2221,:2;(1)c z z dz c z z -+=-⎰（3）331,(1)(1)c dz z z -+⎰其中C 为复平面内不过1±的一条正向简单闭曲线。

三 下列各已知调和函数求解读函数()vi u z f +=(1) ()();422y xy x y x u ++-= (2) ();02,22=+=f yx y v四、证明2222,x u x y v x y =+=+都是调和函数，但是()f z u iv =+不是解读函数。

五、设,sin y ev px =求p 的值使v 为调和函数，并求出解读函数()iv u z f +=。

六、计算积分dz z C ⎰+21的值，并由此计算0cos 45cos 210=++⎰θθθπd第八次 复数项级数 幂级数一、填空题（1）若幂级数0()n nn c z i ∞=+∑在i z =处发散，那么该级数在2=z 处的敛散性为。

（2）幂级数210(2)n n n i z∞+=∑的收敛半径R =。

（3）极限2lim 1n n ni ni→∞+=-。

（4）幂级数0(1)n n n z∞=+∑的和函数为。

二、下列数列{}n a 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限。

1）n n ia -+=)21(；2）1)1(++-=n i a n n ； 3）sin n i n a n =三、判别下列级数的绝对收敛性与收敛性。

1）∑∞=+08)56(n n n i ； 2）∑∞=02cos n n in3）02sin nn in ∞=∑；四、求下列幂级数的收敛半径。

1）∑∞=12)!(n n n z nn ； 2）∑∞=1/n n n i z e π ；3）1(1)n n n i z ∞=-∑； 4）21(34)n n n i z ∞=+∑五、把下列各函数展开成z 的幂函数，并指出它们的收敛半径。

1）311z +； 2）22)1(1z +；*六、求2(1)(2)n n n n i +∞-=-∑的值。

第九次 泰勒级数 洛朗级数一、填空题（1）函数z arctan 在0=z 处的泰勒展开式为（2）函数zz e e 1+在+∞<<||0z 内的洛朗展开式为 （3）函数sin z e 在0=z 处泰勒展开式的收敛半径为（4）设1(1),11(1)n n n a z z z z +∞=-∞=-->-∑，则3a -= （5）函数1()z z i -在1z i <-<+∞内的洛朗展开式是 二、求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： 1）1,110=+-z z z ； 2）2,)2)(1(0=++z z z z ；3）1,102-=z z ； 4）i z z +=-1,3410三、把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数。

1）1,0||1;2|2|(1)(2)z z z z z <<<-<+∞--；2）21,1||323z z z <<--3）1|1|0;1||0,)1(12<-<<<-z z z z ；四、设C 为正向圆周3z =，利用洛朗级数展开式计算下列积分： 1）21(1)C dz z z +⎰； 2）(1)(2)C z dz z z ++⎰。

第十次 留数（1）一、填空题：1． 设0z =为函数22sin z z -的m 级零点，那么m =2． 如果0z 是()f z 的(1)m m >级零点，那么0z 是()f z '的级零点。