1数学习题_高中数学笔记_状元笔记_wrapper
(带答案)高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记
(每日一练)高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记高中数学第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记单选题1、已知函数f(x)={2,x>mx2+4x+2,x≤m，若方程f(x)−x=0恰有三个根，那么实数m的取值范围是（）A．[−1,2)B．[−1,2]C．[2,+∞)D．(−∞,−1]答案：A分析：由题意得，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，结合图象可得出结果.解：由题意可得，直线y=x与函数f(x)=2(x>m)至多有一个交点，而直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)至多两个交点，函数y=f(x)与函数y=x有三个不同的交点，则只需要满足直线y=x与函数f(x)=2(x>m)有一个交点直线y=x与函数f(x)=x2+4x+2(x≤m)有两个交点即可，如图所示，y=x与函数f(x)=x2+4x+2的图象交点为A(−2,−2)，B(−1,−1)，故有m≥−1.而当m≥2时，直线y=x和射线y=2(x>m)无交点，故实数m的取值范围是[−1,2).故选：A.2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32，故选：D ．3、已知函数f(x)=4+a x+1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．(－1，5)B ．(－1，4)C ．(0，4)D ．(4，0) 答案：A分析：令x +1=0，即可求出定点坐标；当x +1=0，即x =−1时，a x+1=a 0=1，为常数， 此时f(x)=4+1=5，即点P 的坐标为(－1，5). 故选：A.小提示：本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题. 4、若n <m <0，则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于（ ） A ．2m B ．2n C ．−2m D ．−2n 答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果. 原式=|m +n|−|m −n|，∵n <m <0，∴m +n <0，m −n >0， ∴原式=−(m +n)−(m −n)=−2m ． 故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可. 5、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b =(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C.6、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a)13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.7、中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN )，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比S N 从1000提升至5000，则C 大约增加了（ ）（附：lg2≈0.3010）A ．20%B ．23%C ．28%D ．50% 答案：B分析：根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.将信噪比SN从1000提升至5000时，C 大约增加了Wlog 2(1+5000)−Wlog 2(1+1000)Wlog 2(1+1000)=log 25001−log 21001log 21001≈lg5000lg2−lg1000lg2lg1000lg2=lg53=1−lg23≈0.23=23%.故选：B.8、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56 答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解. 由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3， 不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56.故选：D.9、已知实数a,b ∈(1,+∞)，且log 2a +log b 3=log 2b +log a 2，则（ ） A ．a <√b <b B ．√b <a <b C ．b <√a <a D ．√a <b <a 答案：B分析：对log 2a −log a 2<log 2b −log b 2，利用换底公式等价变形，得log 2a −1log 2a<log 2b −1log 2b，结合y =x −1x 的单调性判断b <a ，同理利用换底公式得log 2a −1log 2a<log 3b −1log 3b，即log 2a >log 3b ，再根据对数运算性质得log 2a >log 2√b ，结合y =log 2x 单调性， a >√b ，继而得解. 由log 2a +log b 3=log 2b +log a 2，变形可知log 2a −log a 2<log 2b −log b 2， 利用换底公式等价变形，得log 2a −1log2a<log 2b −1log 2b ， 由函数f (x )=x −1x 在(0,+∞)上单调递增知，log 2a <log 2b ，即a <b ，排除C ，D ；其次，因为log 2b >log 3b ，得log 2a +log b 3>log 3b +log a 2，即log 2a −log a 2>log 3b −log b 3， 同样利用f (x )=x −1x 的单调性知，log 2a >log 3b ，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.10、已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3，则A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．b<c<a答案：B分析：运用中间量0比较a , c，运用中间量1比较b , ca=log20.2<log21=0,b=20.2>20=1,0<0.20.3<0.20=1,则0<c<1,a<c<b．故选B．小提示：本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．多选题11、已知函数f(x)=|lgx|，则（）A．f(x)是偶函数B．f(x)值域为[0,+∞)C．f(x)在(0,+∞)上递增D．f(x)有一个零点答案：BD分析：画出f(x)的函数图象即可判断.画出f(x)=|lgx|的函数图象如下：由图可知，f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；f(x)值域为[0,+∞)，故B正确；f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故C错误；f(x)有一个零点1，故D正确.故选：BD.12、已知函数f(x)=log2(2x+8x)−2x，以下判断正确的是（）A．f（x）是增函数B．f（x）有最小值C．f（x）是奇函数D．f（x）是偶函数答案：BD分析：由题设可得f(x)=log2(12x+2x)，根据复合函数的单调性判断f(x)的单调情况并确定是否存在最小值，应用奇偶性定义判断奇偶性.由f(x)=log2(2x+23x)−log222x=log2(12x+2x)，令μ=2x>0为增函数；而t=1μ+μ在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增；所以t在x∈(−∞,0)上递减，在x∈(0,+∞)上递增；又y=log2t在定义域上递增，则y在x∈(−∞,0)上递减，在x∈(0,+∞)上递增；所以f(x)在(−∞,0)上递减，在(0,+∞)上递增，故最小值为f(0)=1，f(−x)=log2(12−x +2−x)=log2(2x+12x)=f(x)，故为偶函数.故选：BD13、对于函数f(x)的定义域中任意的x1,x2(x1≠x2)，有如下结论:当f(x)=2x时，上述结论正确的是（）A．f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)B．f(x1⋅x2)=f(x1)+f(x2)C．f(x1)−f(x2)x1−x2>0D．f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2答案：ACD解析：由指数幂的运算性质判断A，B，由指数函数的单调性判断C，由指数幂和根式的互化结合基本不等式判断D．对于A，f(x1+x2)=2x1+x2，f(x1)⋅f(x2)=2x1⋅2x2=2x1+x2，f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)，正确；对于B，f(x1⋅x2)=2x1⋅x2，f(x1)+f(x2)=2x1+2x2，f(x1⋅x2)≠f(x1)+f(x2)，错误；对于C，∵f(x)=2x在定义域中单调递增，∴f(x1)−f(x2)x1−x2>0，正确；对于D，f(x1+x22)=2x1+x22=√2x1+x2≤12(2x1+2x2)=f(x1)+f(x2)2，又x1≠x2，则f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2，正确；故选：ACD小提示：关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查指数函数的性质，考查基本不等式的应用，解决本题的关键点是将指数幂形式化为根式，即2x1+x22=√2x1+x2=√2x1⋅2x2，利用指数幂的运算结合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．14、已知函数f(x)=(log2x)2−log2x2−3，则下列说法正确的是（）A．f(4)=−3B．函数y=f(x)的图象与x轴有两个交点C．函数y=f(x)的最小值为−4D．函数y=f(x)的最大值为4E．函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称答案：ABC分析：A，利用函数直接求解；B令f(x)=0求解即可；C，转化为二次函数求解；D，转化为二次函数求解；E，取特殊值验证即可.A 正确，f(4)=(log 24)2−log 242−3=−3；B 正确，令f(x)=0，得(log 2x +1)(log 2x −3)=0， 解得x =12或x =8，即f(x)的图象与x 有两个交点；C 正确，因为f(x)=(log 2x −1)2−4(x >0)，所以当log 2x =1， 即x =2时，f(x)取最小值−4；D 错误，f(x)没有最大值；E 错误，取x =1，则f(1)=−3≠f(3). 故选：ABC.小提示：本题主要考查对数型函数的图象和性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题. 15、已知关于x 的方程x 2+(m −3)x +m =0，则下列说法正确的是（ ）A ．当m =3时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是m >1C ．方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0 答案：BCD分析：方程没有实数根，所以选项A 错误；由题得m >1，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；由题得0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；由题得m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确. 对于选项A ，方程为x 2+3=0，方程没有实数根，所以选项A 错误；对于选项B ，如果方程没有实数根，则Δ=(m −3)2−4m =m 2−10m +9<0,所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以选项B 正确；对于选项C ，如果方程有两个正根，则{Δ=m 2−10m +9≥0−(m −3)>0m >0 ,所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以选项C 正确；对于选项D ，如果方程有一个正根和一个负根，则{Δ=m 2−10m +9>0m <0,所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以选项D 正确. 故选：BCD小提示：方法点睛：判断充分条件必要条件，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件，灵活选择方法判断得解. 填空题16、函数f (x )=lnx +x 2−3的零点个数为________． 答案：1分析：解法一，将函数f (x )=lnx +x 2−3的零点转化为函数y =lnx 与y =3−x 2图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可得答案；解法二，利用零点存在定理结合函数的单调性，可得答案.解法一：令f (x )=0，可得方程lnx +x 2−3=0，即lnx =3−x 2， 故原函数的零点个数即为函数y =lnx 与y =3−x 2图象的交点个数． 在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数y =3−x 2与y =lnx 的图象只有一个交点， 故函数f (x )=lnx +x 2−3只有一个零点，所以答案是：1解法二：∵f (1)=ln1+12−3=−2<0，f (2)=ln2+22−3=ln2+1>0，∴f (1)f (2)<0，又f (x )=lnx +x 2−3的图象在(1,2)上是不间断的，∴f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )=lnx +x 2−3在(0,+∞)上是单调递增的，∴函数f (x )的零点有且只有一个，所以答案是：117、已知10p ＝3，用p 表示log 310＝_____．答案：1p ##p −1分析：根据指数和对数的关系，以及换底公式，分析即得解.∵10p ＝3，∴p =lg3，∴log 310＝1g101g3＝11g3＝1p . 所以答案是：1p ．18、计算：27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=_______. 答案：16分析：根据指数幂的运算性质直接求解即可．27−13−(−17)−2+25634−3−1+(√2−1)0=(33)−13−(−7)2+(44)34−13+1 =13−49+64−13+1=16.所以答案是：16．解答题19、设函数f(x)=log m x（m>0且m≠1）的图像经过点(3,1).（1）解关于x的方程f2(x)+(m−1)f(x)+1−m2=0；,9)，试求实数a的值.（2）不等式[1+f(x)]⋅[a−f(x)]>0的解集是(13；（2）a=2.答案：（1）x=9或x=181分析：(1)根据给定条件求出m值，并代入方程，再解方程即得.(2)由给定解集借助对数函数单调性求出f(x)范围，换元借助一元二次不等式即可得解.（1）由已知得f(3)=1，即log m3=1，则m=3，于是得f(x)=log3x，方程f2(x)+(m−1)f(x)+1−m2=0⇔f2(x)+2f(x)−8=0，从而得f(x)=2或f(x)=−4，即log3x=2或log3x=−4，x=9或x=1，81；所以原方程的根为x=9或x=181,9)，从而得log3x∈(−1,2).（2）依题意，函数f(x)=log3x中，x∈(13又[1+f(x)]⋅[a−f(x)]>0⇔(log3x+1)⋅(log3x−a)<0，令log3x=t，即一元二次不等式(t+1)⋅(t−a)<0的解集为(−1,2)，因此有-1，2是关于t的方程(t+1)⋅(t−a)=0的两根，则a=2，所以实数a的值为2.20、某校手工爱好者社团出售自制的工艺品，每件的售价在20元到40元之间时，其销售量y（件）与售价x （元/件）之间满足一次函数关系，部分对应数据如下表所示．(1)求此一次函数的解析式；(2)若每件工艺品的成本是20元，在不考虑其他因素的情况下，每件工艺品的售价是多少时，利润最大？最大利润是多少？答案：(1)y =−20x +840(20⩽x ⩽40)(2)每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元分析：（1）设y =ax +b ，任取两级数据代入求得参数值得解析式；（2）由（1）中关系式得出利润与x 的关系，由二次函数的性质得最大值．（1）设y =ax +b ，不妨选择两组数据(20,440)，(22,400)代入，可得{440=20a +b,400=22a +b,解得{a =−20,b =840, ∴一次函数的解析式为y =−20x +840(20⩽x ⩽40)．（2）设利润为S 元，由题意可得S =(−20x +840)(x −20)=−20x 2+1240x −16800=−20(x −31)2+2420， ∴当x =31时，S max =2420，∴每件工艺品的售价为31元时，利润最大，最大利润为2420元．。
高考状元数学笔记
高考状元数学笔记在我的学生生涯中，数学一直是让我又爱又恨的学科。
爱它的逻辑严谨，解题时那种柳暗花明又一村的畅快；恨它的复杂多变，稍有不慎就会陷入迷茫的漩涡。
然而，当我有幸接触到高考状元的数学笔记时，仿佛打开了一扇通往数学奇妙世界的大门。
这本笔记的主人是一位在高考中数学取得近乎满分的学霸。
第一次看到这本笔记，它并没有华丽的封面，也没有夸张的装饰，就是普普通通的一个本子，但当我翻开它的内页，却被深深地震撼了。
笔记的每一页都写得密密麻麻，但又井井有条。
字迹清晰工整，仿佛能看到主人书写时的认真与专注。
从函数的概念到圆锥曲线的难题解析，每一个知识点都被详细地记录下来。
而且，这位状元并不是简单地抄录书本上的定义和公式，而是加入了自己独特的理解和思考。
比如说，在讲解函数的单调性时，一般我们可能就是记住“增函数”“减函数”的定义，然后通过做几道题来巩固。
但在这本笔记里，状元不仅详细地阐述了定义，还列举了多种判断函数单调性的方法，并且每种方法都配有具体的例题。
其中有一道例题是这样的：已知函数f(x) ＝ x³ 3x，判断其在区间(∞，＋∞）上的单调性。
一般我们可能会求导来解决，但状元在笔记中写道：“我们可以先将函数进行拆分，f(x) ＝ x³ 3x ＝ x(x² 3)，然后分别分析 x 和 x² 3 在不同区间的正负性，这样就能更加直观地判断出函数的单调性。
”看到这里，我恍然大悟，原来还可以这样思考问题！再比如，在圆锥曲线这一部分，椭圆、双曲线、抛物线的各种性质和公式让人眼花缭乱。
但状元的笔记里，用了大量的图形来辅助理解。
他画的那些图，线条流畅，标注清晰，每一个关键的点和线都标注得明明白白。
对于一些容易混淆的概念，比如椭圆和双曲线的离心率，他还专门做了对比表格，把两者的定义、取值范围、几何意义都列了出来，并且在旁边写着：“千万不要搞混哦，不然做题就会出错啦！”这样俏皮又贴心的提醒，让人看了忍俊不禁，同时也对这些知识点印象深刻。
步步高学案导学与随堂笔记数学必修第一册2023
步步高学案导学与随堂笔记数学必修第一册2023【学习目标】
1. 理解双曲函数的基本性质。
2. 掌握绘制双曲函数图形的方法。
【知识重组】
双曲函数作为一种特殊的曲线函数，有着自己的注意事项，需要考生在记忆双曲函数的基本性质的同时，能够掌握绘制双曲函数的技巧。
双曲函数的性质：
（1）定义：双曲函数的一般形式为：y=a*sec(x+b)，其中a为系数，b为常数。
（3）如果a>0，则有：y=a*Sec(x+b)>0 ，y=a*Cosec(x+b)<0。
（4）极值：双曲函数的极值点的x 值是b的值；y值由a的正负大小决定。
（5）导数：双曲函数的导数形式为： y'=a*tan(x+b)；也可以用其通式记作
y'=a*cot(x+b)。
绘制双曲函数图形:
1.根据双曲函数[y=（a/2）*sec（2x+b）]的参数a和b来决定曲线的大小、方向、偏移、极值和导数。
2.先求取双曲函数对应的坐标（x，y）得出函数图像。
3.在函数图像中画出极值点和导数点。
4.根据原函数所提供的x，y的定义域确定绘图范围，画好函数的图像。
【能力反思】
今天的学习任务，是学习关于双曲函数的基本性质，以及掌握绘制双曲函数图形的方法，在广泛阅读有关资料之后，最终对双曲函数也有了比较深入的理解，一步步认识到双曲函数的定义、通式、极值、导数，明白了如何根据双曲函数参数a和b绘制双曲函数图像，以及根据函数定义域确定绘图范围。
希望以后能够以此学习数学知识，扩大自己的视野，释放思维的丰富性。
高中数学必修一笔记5.4笔记
以下是高中数学必修一第五章第四节（通常标记为5.4）的笔记内容，该节通常涉及指数函数和对数函数的内容。
请注意，具体的教材版本和学校课程安排可能会有所不同，因此以下内容可能需要根据您所使用的具体教材进行调整。
5.4 指数函数和对数函数指数函数定义：形如y=a x（其中a>0且a=1）的函数称为指数函数。
性质：1.底数大于1时单调递增：如果a>1，则函数y=a x在其定义域内是单调递增的。
2.底数在0和1之间时单调递减：如果0<a<1，则函数y=a x在其定义域内是单调递减的。
3.图像总是通过点(0,1)：对于所有a>0且a=1，函数y=a x的图像总是通过点(0,1)。
对数函数定义：如果a x=N（其中a>0，a=1），则x叫做以a为底N的对数，记作x=log a N。
函数y=log a x（其中a>0，a=1）称为对数函数。
性质：1.对数函数的定义域：对数函数y=log a x的定义域是(0,+∞)。
2.底数大于1时单调递增：如果a>1，则函数y=log a x在其定义域内是单调递增的。
3.底数在0和1之间时单调递减：如果0<a<1，则函数y=log a x在其定义域内是单调递减的。
4.换底公式：log b a=log c b log c a（其中a>0，b>0，b=1，c>0，c=1）。
5.对数的运算法则：log a(MN)=log a M+log a N，log aNM=log a M−log a N，log aM n=n log a M。
指数函数与对数函数的关系•互为反函数：指数函数y=a x（a>0，a=1）和对数函数y=log a x（a>0，a=1）互为反函数。
•转换公式：如果y=a x，则x=log a y；如果y=log a x，则x=a y。
应用•复利计算：在金融和经济学中，指数函数和对数函数常用于计算复利。
[高中数学状元笔记]高中数学笔记
![[高中数学状元笔记]高中数学笔记](https://img.taocdn.com/s3/m/f491e52e7275a417866fb84ae45c3b3567ecddfb.png)
[高中数学状元笔记]高中数学笔记第一篇高中数学笔记:数学读书笔记摘抄格式数学读书笔记摘抄格式阅读了__老师的《优秀高中数学教师知道的十件事》，的确感受到何老师教育教学基本功扎实、经验丰富，教育理念超前，理论水平高。
能够站在一线教师的角度，对一线教师如何成为一名优秀教师谈非常明确的观点。
阅读过后，自感很多方面尚有欠缺，尤其他谈到了高中数学教学方面的几件事，给我留下深刻印象，现与大家交流。
在该书中，__老师首先提到，一个高中数学教师要想成为一名优秀的教师，首先他必须具有健康的身体、积极的心态和完善的人格。
教师的宽阔胸襟能够感染学生，净化学生的心灵，使之终身受益。
其次，作为老师必须要有一份爱心，这是师德的核心。
老师给予学生一份关爱，会影响至学生的一生。
我们严格要求学生先学会成人然后再谈成才。
目前社会上各种各样的诱惑充斥着我们的生活环境，因此教育中学生明是非，辨真伪，为学生的成长指引正确的方向和道路。
二期课改明确了教师要尊重学生的个性差异，尊重每一位学生，建立和谐的师生关系。
对高中学生，尤其是高一的新生，教师应帮助他们完善学习方法，掌握学习数学的技能，做到有效学习尤为重要。
我们会经常听到学生或家长提到的问题：初中时数学学得很好，每次考试不下90分，到了高中怎么学习数学这么吃力呢?甚至经常徘徊在及格线附近，这种现象应该说也是正常的，但是一个优秀的高中教师要了解学生数学能力的实际水平，并引导学生改变数学学习方法，以适应高中的大容量、快节奏的学习。
针对此类问题，__老师提出：我们老是要做到方法上的引导，因此就必须：(1)了解高中数学和初中数学有何不同。
从教材内容和要求到学习知识的能力需求分析。
相对初中数学，高中数学的知识内容丰富，思维要求高，题目难度大，抽象概括性强，灵活性综合性强。
教材中概念的符号多，定义严格，论证要求高，抽象思维增多，注重数学思想方法的积累和应用。
不仅要求学生运算能力，还要有逻辑推理能力，能运用一定的数学思想方法解决问题。
高考状元笔记数学
b a ≠ ． a b
[对症下药] B
方法 1：运用特值法，如 a=-，b=-3．
1 1 0 ，则 b<a<0，故而判断． a b 1 a 1 a
方法 2：运用性质由
3．(典型例题)对于 0<a<1，给出下列四个不等式
1 ①loga(1+o)<loga(1+ ) a 1 ②1oga(1+o)>loga(1+ ) a
4 的最小值是 sin x
2．(典型例题)设 x∈(0，π)，则函数 f(x)=sinx+ A．4 C．3 [考场错解] 是 4．故选 A B．5 D．6 因为 x∈(0，π)4 2 sin x >0， f(x)=sinx+ =4，因此 f(x)的最小值 sin x sin x sin x
2 2
D． ( ) n ( ) b
答案： C 又 0<
解析：利用特值法可看出某些选择不能成立，而事实上，∵|a|，|b|>0，
2
1 <1，∴10g |a|<log 1 |b|，由此也可直接得结论，应选 C 2
2 已知 a、b 为不等正数，s<t<0，M=
s ( a b) 2t ，N= ，则 M、N 的大小关系是_________. ab 2ab
1 1 ” a b 1 1 ” a b
．不能弱化条件变成“ a b
1 1 ” a b
考场思维训练 1 若，|a|>，|b|>0，且 ab>0，则下列不等式中能成立的是 A．
1 1 a b
(
)
B．
1 2
1 1 a b a 1 2
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记
全国通用2023高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识汇总笔记单选题1、已知函数f(x)=9+x 2x，g(x)=log 2x +a ，若存在x 1∈[3,4]，对任意x 2∈[4,8]，使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(−∞,134]B ．(134,+∞)C ．(0,134)D ．（1，4） 答案：A分析：将问题化为在对应定义域内f(x 1)max ≥g(x 2)max ，结合对勾函数和对数函数性质求它们的最值，即可求参数范围.由题意知：f(x)在[3,4]上的最大值大于或等于g(x)在[4,8]上的最大值即可． 当x ∈[3,4]时，f(x)=9x +x ，由对勾函数的性质得：f(x)在[3,4]上单调递增，故f(x)max =f(4)=94+4=254．当x ∈[4,8]时，g(x)=log 2x +a 单调递增，则g(x)max =g(8)=log 28+a =3+a ， 所以254≥3+a ，可得a ≤134．故选：A2、已知函f (x )=log 2(√1+4x 2+2x)+3，且f (m )=−5，则f (−m )=（ ） A ．−1B ．−5C ．11D ．13 答案：C分析：令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，则先判断函数g (−x )+g (x )=0，进而可得f (−x )+f (x )=6，即f (m )+f (−m )=6，结合已知条件即可求f (−m )的值. 令g (x )=log 2(√1+4x 2+2x)，则f (x )=g (x )+3，因为g (x )+g (−x )=log 2(√1+4x 2+2x)+log 2(√1+4x 2−2x) =log 2(1+4x 2−4x 2)=0，所以f (−x )+f (x )=g (−x )+3+g (x )+3=6，则f (m )+f (−m )=6，又因为f (m )=−5，则f (−m )=11， 故选：C.3、设函数f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|，则f （x ）（ ） A ．是偶函数，且在 (12，+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在 (−12，12)单调递增 C ．是偶函数，且在(−∞，−12)单调递增D ．是奇函数，且在 (−∞，−12)单调递增 答案：B分析：先求出f (x )的定义域结合奇偶函数的定义判断f (x )的奇偶性，设t ＝|2x+12x−1|，则y ＝ln t ，由复合函数的单调性判断f (x )的单调性，即可求出答案.解：由{2x +1≠02x −1≠0，得x ≠±12．又f （﹣x ）＝ln |﹣2x +1|﹣ln |﹣2x ﹣1|＝﹣（ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|）＝﹣f （x ）， ∴f （x ）为奇函数，由f （x ）＝ln |2x +1|﹣ln |2x ﹣1|＝ln |2x+12x−1|， ∵2x+12x−1=1+22x−1=1+1x−12．可得内层函数t ＝|2x+12x−1|的图象如图，在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减，在（−12，12）上单调递增，又对数式y ＝lnt 是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f （x ）在（−12，12）上单调递增， 在（﹣∞，−12），（12，+∞）上单调递减． 故选：B ．4、已知y 1=(13)x，y 2=3x ，y 3=10−x ，y 4=10x ，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A分析：根据指数函数的单调性及图像特征进行比较，即可判断.y 2=3x 与y 4=10x 是增函数，y 1=(13)x与y 3=10−x =(110)x是减函数，在第一象限内作直线x =1，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A ． 故选：A5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ） A ．a >0>b B ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a 答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出． ［方法一］：（指对数函数性质） 由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0. 又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b . ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1， 令f ′(x)=0，解得x 0=m11−m，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ， 又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b . 故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、设alog 34=2，则4−a =（ ） A ．116B ．19C ．18D ．16 答案：B分析：根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 由alog 34=2可得log 34a =2，所以4a =9， 所以有4−a =19， 故选：B.小提示：本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.7、函数f (x )=√3−x +log 13(x +1)的定义域是（ ）A ．[−1,3)B ．(−1,3)C ．(−1,3]D ．[−1,3] 答案：C分析：由题可得{3−x ≥0x +1>0，即得.由题意得{3−x ≥0x +1>0，解得−1<x ≤3， 即函数的定义域是(−1,3]. 故选：C.8、若函数y =(m 2−m −1)⋅m x 是指数函数，则m 等于（ ） A ．−1或2B ．−1 C ．2D ．12 答案：C分析：根据题意可得出关于实数m 的等式与不等式，即可解得实数m 的值.由题意可得{m 2−m −1=1m >0m ≠1 ，解得m =2. 故选：C.9、设a =30.7, b =(13)−0.8, c =log 0.70.8，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案：D分析：利用指数函数与对数函数的性质，即可得出a,b,c 的大小关系. 因为a =30.7>1， b =(13)−0.8=30.8>30.7=a ，c =log 0.70.8<log 0.70.7=1， 所以c <1<a <b . 故选：D.小提示：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：y =a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：y =log a x ，当a >1时，函数递增；当0<a <1时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等.10、已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A ．a <b <c B ．b <a <c C ．b <c <a D ．c <a <b 答案：A分析：由题意可得a 、b 、c ∈(0,1)，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由b =log 85，得8b =5，结合55<84可得出b <45，由c =log 138，得13c =8，结合134<85，可得出c >45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.由题意可知a 、b 、c ∈(0,1)，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1(lg5)2⋅(lg3+lg82)2=(lg3+lg82lg5)2=(lg24lg25)2<1，∴a <b ；由b =log 85，得8b =5，由55<84，得85b <84，∴5b <4，可得b <45；由c =log 138，得13c =8，由134<85，得134<135c ，∴5c >4，可得c >45.综上所述，a <b <c . 故选：A.小提示：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 填空题11、函数f （x ）＝{x 2+2x, x ⩽0ln x, x >0，则f （f （1e ））＝_____.答案：−1解析：先计算出f (1e )=−1，再计算f (−1)得值，由此得出结果. 解：依题意得f (f (1e ))=f(−1)=−1. 所以答案是：−1.小提示：本题主要考查分段函数求值，考查对数运算，考查运算求解能力，属于基础题.12、在用二分法求函数f (x )的零点近似值时，若第一次所取区间为[−2,6]，则第三次所取区间可能是______．（写出一个符合条件的区间即可） 答案：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)． 分析：根据二分法的概念，可求得结果．第一次所取区间为[−2,6]，则第二次所取区间可能是[−2,2]，[2,6]；第三次所取区间可能是[−2,0]，[0,2]，[2,4]，[4,6]．所以答案是：[−2,0]或[0,2]或[2,4]或[4,6](写一个即可)．13、已知5a =2，5b =3，则log 2594=___________（用a ､b 表示）. 答案：b −a ##−a +b分析：根据对数的运算性质可得log 2594=log 53−log 52，再由指对数关系有a =log 52，b =log 53，即可得答案. 由log 2594=log 532=log 53−log 52，又5a =2，5b =3， ∴a =log 52，b =log 53，故log 2594=b −a . 所以答案是：b −a .解答题14、吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本ℎ(x)万元，当产量小于或等于50万盒时ℎ(x)=180x+100；当产量大于50万盒时ℎ(x)=x2+60x+3500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？答案：(1)y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N(2)70万盒分析：（1）根据题意分0≤x≤50和x>50两种情况求解即可；（2）根据分段函数中一次与二次函数的最值求解即可.（1）当产量小于或等于50万盒时，y=200x−200−180x−100=20x−300，当产量大于50万盒时，y=200x−200−x2−60x−3500=−x2+140x−3700，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为y={20x−300,0≤x≤50−x2+140x−3700,x>50,x∈N（2）当0≤x≤50时，y≤20×50−300=700；当x>50时，y=−x2+140x−3700，当x=1402=70时，y=−x2+140x−3700取到最大值，为1200．因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．15、已知函数f(x)=2x−12x+1．(1)判断并证明f(x)在其定义域上的单调性；(2)若f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0对任意x≥1恒成立，求实数k的取值范围．答案：(1)f(x)在R上单调递增；证明见解析(2)(−∞,43)分析：（1）设x2>x1，可整理得到f(x2)−f(x1)=2(2x2−2x1)(2x2+1)(2x1+1)>0，由此可得结论；（2）利用奇偶性定义可证得f(x)为奇函数，结合单调性可将恒成立的不等式化为k<g(x)=3x−23x−1，由g(x)单调性可求得g(x)≥43，由此可得k的取值范围.（1）f(x)在R上单调递增，证明如下：设x2>x1，∴f(x2)−f(x1)=2x2−12x2+1−2x1−12x1+1=(2x2−1)(2x1+1)−(2x2+1)(2x1−1)(2x2+1)(2x1+1)=2(2x2−2x1)(2x2+1)(2x1+1)；∵x2>x1，∴2x2−2x1>0，又2x2+1>0，2x1+1>0，∴f(x2)−f(x1)>0，∴f(x)在R上单调递增.（2）∵f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−f(x)，∴f(x)为R上的奇函数，由f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)<0得：f(k⋅3x)<−f(3x−9x+2)=f(9x−3x−2)，由（1）知：f(x)在R上单调递增，∴k⋅3x<9x−3x−2在[1,+∞)上恒成立；当x≥1时，3x≥3，∴k<3x−23x−1在[1,+∞)上恒成立；令g(x)=3x−23x−1，∵y=3x在[1,+∞)上单调递增，y=23x在[1,+∞)上单调递减，∴g(x)在[1,+∞)上单调递增，∴g(x)≥g(1)=3−23−1=43，∴k<43，即实数k的取值范围为(−∞,43).。
高中数学人教版必修一复习笔记 Word版含解析
考点1：定义域【思维导图】【常见考法】考法一已知解析式求定义域1. 函数2()lg(31)f x x =++的定义域是__________． 【答案】1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】要使函数()f x ()2lg 31x ++有意义,则10310x x ->⎧⎨+>⎩,解得113x -<<,即函数()f x ()2lg 31x ++的定义域为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目． 2. 函数102()(1)(21)f x x x -=-+-的定义域是___________ 【答案】11(,)(,1)22-∞⋃ 【解析】【分析】根据分式的分母不为0，偶次根式的被开方数大于等于0，零次幂的底数不等于0，可得答案.【详解】将()121x --，所以其定义域为()1-∞，，又因为()021x -，所以12x ≠， 综上，函数()f x 的定义域为11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：11(,)(,1)22-∞⋃. 【点睛】本题考查具体函数的定义域求解方法，属于基础题.3. 函数()lnsin f x x =_____________.【答案】[4,)(0,)ππ--⋃【解析】【详解】根据二次根式与对数函数有意义的条件可得2160sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩．解之可得．()4422x k k k Z ππππ-≤≤⎧⎨<<+∈⎩．0,1k k ==-时，不等式解集为 [)()4,0,ππ--．故lnsin y =[)()4,0,ππ--．故答案为[)()4,0,ππ--.4. 函数()(21)log 322x x y -=-的定义域为________. 【答案】1,1(1,5)2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】要使原式有意义，则3220210211x x x ⎧->⎪-⎨⎪-≠⎩＞，分别求解再求交集即可．【详解】要使原式有意义，则3220210211x x x ⎧->⎪-⎨⎪-≠⎩＞，解得x ∈1,1(1,5)2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：1,1(1,5)2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查求函数的定义域，及解二次不等式、求集合的交集问题，难度一般．考法二 抽象函数求定义域5. 若函数()f x 的定义域为(1,2)-，则函数(21)f x +的定义域为______. 【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】根据函数定义域的求法，直接解不等式1212x -<+<即可求函数(21)f x +的定义域.【详解】由1212x -<+<，得112x -<< (21)f x ∴+的定义域为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查复合函数的定义域求法，根据复合函数定义域之间的关系求解即可，属于基础题.6. 若函数y =()32f x -的定义域为[]1,2-，则函数()y f x =的定义域是__________【答案】[]1,5-【解析】【分析】由题意得出1325x -≤-≤，可得答案.中【详解】因为y =()32f x -的定义域为[]1,2-，所以1325x -≤-≤，所以函数y =()f x 的定义域是[]1,5-.故答案为：[]1,5-.【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域,属于基础题.7. 已知函数(1)f x -的定义域为[23]-，，则函数(21)f x +的定义域为___________ 【答案】12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】先由题意求出函数()f x 的定义域为3,2，再由3212x -≤+≤求解，即可得出结果. 【详解】因为函数()1f x -的定义域为[23]-，，所以312x -≤-≤；即函数()f x 的定义域为3,2；由3212x -≤+≤，解得122x -≤≤， 因此()21f x +的定义域为12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查求抽象函数定义域，熟记抽象函数定义域的求法即可，属于常考题型.8. 设函数()f x =，则函数4x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为______ 【答案】(],4-∞【解析】【分析】本题首先可根据题意得出4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭4440x -≥即可得出结果. 【详解】因为()f x =4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 4440x-≥，即444x ≤，14x ≤，解得4x ≤， 故函数4x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的定义域为(],4-∞. 故答案为：(],4-∞.【点睛】本题考查函数的定义域的求法，主要考查带根号的函数的定义域的求法，考查计算能力，体现了基础性，是简单题.9. 若函数()1f x +的定义域为[]1,15-，则函数()2f x g x =的定义域是________【答案】(]1,4【解析】【分析】根据抽象函数的定义域的求解原则可得出关于x 的不等式组，即可解得函数()y g x =的定义域.【详解】设1x t ，则()()1f x f t +=.由()1f x +的定义域为[]1,15-知115x -≤≤，0116x ∴≤+≤，即016t ≤≤. ()y f t ∴=的定义域为[]0,16，∴要使函数()2f x g x =201610x x ⎧≤≤⎨->⎩，即441x x -≤≤⎧⎨>⎩，解得14x <≤.因此，函数()2f x g x =的定义域是(]1,4. 故答案为：(]1,4.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 考法三 根据定义域求参数10. 函数()f x =的定义域()1,10，则实数a 的值为________ 【答案】3【解析】【分析】根据具体函数的定义域建立不等式组，由已知可得答案.【详解】由题意，函数()f x = 满足2log (1)010a x x -->⎧⎨->⎩，即2log (1)2log 1a a x a x ⎧-<=⎨>⎩， 又由函数()f x 的定义域为()1,10，21,110a a ∴>+=，解得3a =．故答案为：3.【点睛】本题考查由具体函数的定义域求参数的值，属于基础题.11. 若函数21()21f x ax ax =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________ 【答案】[0,1)【解析】【分析】由题意可得2210ax ax ++≠恒成立，分0a =和 0a ≠两种情况分别考虑，解不等式即可得到所求范围．【详解】因为函数()2121f x ax ax =++的定义域为 R ，所以2210ax ax ++≠的解为R ，即函数221y ax ax =++的图象与x 轴没有交点，1︒，当0a =时，函数1y =与 x 轴没有交点，故0a =成立；2︒，当0a ≠时，要使函数221y ax ax =++的图象与 x 轴没有交点，则2440a a ∆=-<，解得01a <<.综上：实数a 的取值范围是[0,1).【点睛】本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为0，以及二次不等式恒成立问题解法，属于中档题．12. 若函数()f x =R ，则实数m 取值范围是______. 【答案】[)0,8【解析】【分析】题目等价于220mx mx -+>恒成立，讨论0m =和0m ≠两种情况，计算得到答案.【详解】函数()f x =的定义域为R ，即220mx mx -+>恒成立.当0m =时，易知成立.当0m ≠时，需满足：200880m m m m >⎧∴<<⎨∆=-<⎩ 综上所述：08m ≤<故答案为[)0,8【点睛】本题考查了函数的定义域，忽略掉0m =的情况是容易发生的错误.考点2：解析式【思维导图】【常见考法】考点一：待定系数法1. 已知()f x 是一次函数，且()94f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式.【答案】()31f x x =+或()32f x x =--【解析】【分析】设()()0f x kx b k =+≠，可得出()()2f f x k x kb b ⎡⎤=++⎣⎦，由此得出关于k 、b 的方程组，求出这两个参数，即可得出函数()y f x =的解析式.【详解】设()()0f x kx b k =+≠，则()()()294f f x k kx b b k x kb b x ⎡⎤=++=++=+⎣⎦， 得294k kb b ⎧=⎨+=⎩，解得31k b =⎧⎨=⎩或32k b =-⎧⎨=-⎩. 因此，()31f x x =+或()32f x x =--.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，一般要通过题中等式建立方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.2. 已知二次函数()f x 满足2(1)(1)22,f x f x x x ++-=- 试求： ()f x 的解析式.【答案】()21f x x x =--【解析】【分析】利用待定系数法求解，设()()20f x ax bx c a =++≠，由2(1)(1)22,f x f x x x ++-=-列方程组可求出,,a b c 的值，从而可得函数解析式【详解】解：设()()20f x ax bx c a =++≠，则有()()2211222222f x f x ax bx a c x x ++-=+++=-，对任意实数x 恒成立， 2222220a b a c =⎧⎪∴=-⎨⎪+=⎩，解之得1,1,1a b c ==-=-，()21f x x x ∴=--.【点睛】此题考查利用待定系数法求二次函数的解析式，属于基础题.考点二：换元法3. 已知1()1x f x x=-，则()f x 的解析式为________. 【答案】1()(01f x x x =≠-，且1)x ≠ 【解析】【分析】利用换元法，换元后代入化简即可得出答案 【详解】解：令t =1x，得到x =1t ， ∵x ≠1，∴t ≠1且t ≠0，∴()11(1111t f t t t t==≠--且t ≠0) ∴()1(01f x x x =≠-且x ≠0) 故答案为：1()(01f x x x =≠-，且1)x ≠ 【点睛】此题考查利用换元法求函数的解析式，换元法求函数解析式时要注意新元的取值范围，属于基础题.4.已知函数1)1f x =-，则函数()f x 的解析式为__________.【答案】2()2(1)f x x x x =+≥-【解析】【分析】利用1t =换元，求出关于t 的函数解析式，即可求解. 【详解】(1)1f x x -=-,令1t =则1t ≥-，且()21x t =+()21)()11f f t t ∴==+-，()1t ≥- 2()2f x x x ∴=+，()1x ≥-【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，换元法是求函数解析式的常用方法之一，要注意新元的取值范围，属于中档题.5. 已知2211()11x x f x x--=++，则f (x )的解析式为____________. 【答案】f (x )．221xx + 【解析】【详解】试题分析：令11x t x -=+，解得11t x t -=+代入2211 ()11x x f x x--=++，得()()()()()2222222211()11421 (1)1221111()1t t t t t t f t t t t t t t t --+--+====≠--++++-++故()22 (1)1xf x x x=≠-+，． 考点：函数的表示方法．【方法点睛】本题考点是函数的表示方法——解析式法，求解析式的方法是换元法求解析式，此特征为先令内层函数为t ，再用t 表示出x ，然后代入原函数求出函数的解析式，换元法求解析式常用来求已知复合函数的表达式求外层函数表达式的题． 6. 已知f (x )是(0，＋∞)上的增函数，若f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )＝__________. 【答案】ln x ＋1 【解析】 【分析】由题意可知f (x )－ln x 为定值，设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，分析可得ln t ＋t ＝1，求出t 的值，即可得函数的解析式.【详解】解：根据题意，f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且f [f (x )－ln x ]＝1，则f (x )－ln x 为定值.设f (x )－ln x ＝t ，t 为常数，则f (x )＝ln x ＋t 且f (t )＝1， 即有ln t ＋t ＝1，解得t ＝1，则f (x )＝ln x ＋1 故答案为：ln x ＋1【点睛】此题考查了求函数的解析式，关键是分析得f (x )－ln x 为定值，属于基础题.7. 设(sin cos )sin cos f a a a a +=若1()2f m =，则m =_________.【答案】 【解析】 【分析】【详解】解：令sin cos ,t a a t ⎡=+∈⎣，()2sin cos 12sin cos a a a a +=+，211sin cos 22a a t ∴=-()21122f t t ∴=-，()2111222f m m m ∴=-=⇒=【点睛】此题考查利用换元法求函数解析式，属于基础题.考点三：配凑法8. 已知2211()f x x x x+=+,则()f x =________． 【答案】()(][)22,,22,f x x x =-∈-∞-⋃+∞【解析】【分析】利用配凑法求函数的解析式.【详解】（配凑法） (1)222111 2f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1x x +∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，．()(][)22,,22,f x x x =-∈-∞-⋃+∞． 故答案为()(][)22,,22,f x x x =-∈-∞-⋃+∞【点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9. 已知2211()f x x x x-=+，则(1)f x +的解析式为______.【答案】()2123f x x x +=++【解析】 【分析】利用配凑法可得2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得()22f x x =+，进而可求出(1)f x +的解析式 【详解】解：222112x x x x ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 222112x x x x ⎛⎫∴+=-+ ⎪⎝⎭，2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22f x x ∴=+，因此，()()2211223f x x x x +=++=++.故答案为：()2123f x x x +=++【点睛】此题考查求函数解析式，利用了配凑法，属于基础题.考点四：解方程组10. 已知函数()f x 满足2()2()3f x f x x x +-=+，则()f x =________【答案】2133x x -【解析】 【分析】由2()2()3f x f x x x +-=+，可得2()2()3()f x f x x x -+=-+-，两式联立，消去()f x -，可求出()f x 的解析式【详解】解：因为2()2()3f x f x x x +-=+①，所以用x -替换x ， 得2()2()3()f x f x x x -+=-+- ② 由2⨯-②①得21()33f x x x =- 故答案为：2133x x -，【点睛】此题考查利用构造法求函数解析式，属于基础题.11. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2()1f x f x=，则()f x =_______13【解析】 【分析】根据1()2(1f x f x=，考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x ，用1x 代替x 代入1()2()1f x f x=，解关于()f x 与1()f x 的方程组，即可求得()f x ．【详解】考虑到所给式子中含有()f x 和1()f x，故可考虑利用换元法进行求解．在1()2(1f x f x=，用1x 代替x ，得1()2(1f f xx =，将1()1f x =-代入1()2(1f x f x =中，可求得1()3f x =．13. 【点睛】此题是个基础题．本题主要考查通过给定条件求函数解析式的问题．联立方程求函数解析式是求解析式的一种重要方法． 12. 已知函数()f x 满足()()1211f x f x x+-=-，则()f x =_________. 【答案】21()3(1)x x f x x x +-=-【解析】 【分析】由()()1211f x f x x +-=-，可得()()11211f x f x x-+=--，消去(1)f x -可得()f x 的解析式【详解】解：由()()1211f x f x x+-=-,将x 换成1x -有()()1121(1)11f x f x x-+--=--, 即()()11211f x f x x-+=--,故有 ()()()()()()()()1121121112121214211f x f x f x f x x xf x f x f x f x x x ⎧⎧+-=-+-=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+=--+=-⎪⎪--⎩⎩,两式相减化简得 ()21113x x f x ---=，即21()3(1)x x f x x x +-=- 故答案为：21()3(1)x x f x x x +-=-【点睛】此题考查求函数解析式，利用了构造法求解，属于基础题.考点五：利用解析式求值13. 已知函数()f x 满足112()()f x xf x x=+，则(3)f =__________.【答案】299【解析】 【分析】由题意，在112()()f x xf x x =+中,分别令3x =和13x =，再解方程组，即可求出结果.【详解】由题意可知，在112()()f x xf x x =+中,分别令3x =和13x =得:112(3)3()33f f =+①，112()(3)333f f =+ ②联立①②消去1()3f , 解得:29(3)9f =.故答案为：299. 【点睛】本题主要考查了方程思想在求函数值中的应用，属于基础题. 14. 设函数()f x 对0x ≠的一切实数都有2019()2()3f x f x x+=，则(2019)f =___________ 【答案】-2017 【解析】【分析】分别令1x =和2019x = 代入等式，解方程组得到()2019f 的值.【详解】1x =时，()()1220193f f +=，当2019x =时，()()2019216057f f +=即()()()()12201932019216057f f f f ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，解得()20192017f =-. 故填：-2017.【点睛】本题考查了利用方程组求解析式，属于简单题型，一般求解析式的方法分为：1.待定系数法，适应于已知函数类型；2.代入法，适用于已知()f x 的解析式，求()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式；3.换元法，适用于已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的解析式，求()f x 的解析式；4.方程组法，适用于已知()f x 和1f x ⎛⎫⎪⎝⎭的方程，或()f x 和()f x -的方程.15. 已知函数()f x 满足112223f fx x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()2f -=______．【答案】34- 【解析】【分析】首先确定123f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解析式，然后求解()2f -的值即可.【详解】由题意可得：112223112223f f x x x f f x x x ⎧⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪++-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：123123f x x f x x ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩． 令122x +=-可得：14x =-，则()132344f ⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查抽象函数将其解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.考点3：值域【思维导图】【常见考法】考法一：单调性法1. 若函数3=+的定义域是[0,2],则函数f(x)的值域为_________.()log(1)f x x【答案】[]0,1 【解析】 【分析】根据定义域求出1[1,3]x +∈，则3log (1)[0,1]x +∈，即可得出函数值域. 【详解】函数3()log (1)f x x =+的定义域是[0,2],即[0,2],1[1,3]x x ∈+∈，3()log (1)[0,1]f x x =+∈，即函数f (x )的值域为0,1. 故答案为：0,1【点睛】此题考查根据函数定义域求函数的值域，关键在于准确得出对数型函数的单调性即可求出值域. 2. 函数223xxy -=的值域为___【答案】1[,)3+∞【解析】 【分析】由222(1)11x x x -=--≥-，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由222(1)11x x x -=--≥-，可得2211333x x--≥=， 所以函数223xxy -=的值域为1[,)3+∞.故答案为：1[,)3+∞. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，以及二次函数与指数函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用指数函数的单调性，求得函数的最小值是解答的关键，着重考查推理与计算能力.3. 函数22,1()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为____________． 【答案】(,2)-∞ 【解析】【分析】对x 的范围分类，即可求得：当1x <时，函数()f x 值域为：()0,2，当1≥x时，函数()f x 值域为：(],0-∞，再求它们的并集即可．【详解】当1x <时，()2xf x =，其值域为：()0,2当1≥x 时，()2log f x x =-，其值域为：(],0-∞所以函数()22,1log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩的值域为：(]()(),00,2,2-∞⋃=-∞【点睛】本题主要考查了分段函数的值域及分类思想，还考查了指数函数及对数函数的性质，考查计算能力及转化能力，属于中档题． 4. 函数()xxf x e =，0x ≥的值域为______ 【答案】1[0,]e【解析】 【分析】求得函数的导数1()x xf x e-'=，得出函数的单调性，求得函数的最值，即可求解.【详解】由题意，函数()x xf x e =，则1()x x f x e -'=，当01x ≤<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当1x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以1x =时，()f x 取最大值()11f e=， 又由当0x ≥时，函数()0f x ≥，所以函数()f x 的值域为1[0,]e.故答案为：10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值与最值问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.考法二：换元法5. 函数()113934x x f x --⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[)1,-+∞上的值域为_________. 【答案】3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】令13x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，原函数的值域等价于函数()22333342g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭（03t <）的值域，根据二次函数的性质计算可得.【详解】解：()12131139334334x x x x f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令13xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈-+∞，所以(]03t ∈,， 原函数的值域等价于函数()22333342g t t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭（03t <）的值域，所以()f x 在30,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，332f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()3034f f ==所以()3,34f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查二次函数的性质及换元法求函数的值域，属于基础题. 6.函数()g x x =______________.【答案】1(,]2-∞【解析】【分析】令t =21122y t t =--+，0t ≥可求函数的值域.【详解】函数()g x 的定义域为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，令()2102t t x t -==≥，得21122y t t =--+，故1,2y ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，所以函数()g x x =1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：1(,]2-∞.【点睛】本题考查函数值域的求法，可根据解析式中含有根式采用换元法把值域问题转化为二次函数在相应范围上的值域问题.本题属于基础题. 7. 函数4y x =++___________【答案】4] 【解析】 【分析】令[]3cos ,0,x θθπ=∈，利用三角函数恒等变换的公式，化简得)44y πθ=++，再结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】令[]3cos ,0,x θθπ=∈，则函数可化为3cos 43sin )44y πθθθ=++=++，因为0θπ≤≤，则5444，可得sin()14πθ≤+≤，所以1)44πθ≤++≤，即函数的值域为4].故答案为：4].【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中根据函数的解析式，合理利用换元法，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.考法三：分离常数法8. 已知函数22()(1)1xf x x x -=>+，则它的值域为________【答案】(2,0)- 【解析】 【分析】利用分离常数法即可求解.【详解】2222(1)24()2(1)111x x f x x x x x --++===-+>+++， 1x >，12x ∴+>，11012x <<+，4021x <<+， ∴42201x -<-+<+，()f x ∴的值域为(2,0)-.故答案为：(2,0)-【点睛】本题考查了分离常数法求分式型函数的值域，属于基础题.9. 已知函数24()x f x x +=，则该函数在(1,3]上的值域是____ 【答案】[4,5) 【解析】 【分析】化简函数的解析式为4()f x x x=+，求得函数的单调区间，得出函数的最值，即可求得函数的值域，得到答案.【详解】由题意，函数244()x f x x x x+==+，可得函数()f x 在(1,2)上单调递减，在[2,3]上单调递增， 所以当2x =时，函数取得最小值()24f =，且()()1315,33f f ==， 所以函数()f x 在(1,3]上的值域为[4,5). 故答案为：[4,5).【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中化简函数的解析式，求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10. 函数2221x x y x ++=+的值域是_______． 【答案】(][),22,-∞-+∞【解析】【分析】将函数2221x x y x ++=+进行化简，得到()()2111111x y x x x ++==++++，分别对10x +>和10x +<，利用基本不等式，得到答案.【详解】函数2221x x y x ++=+()()2111111x x x x ++==++++，当10x +>，由基本不等式得()1112y x x =+++≥， 当且仅当111x x +=+，即0x =时，等号成立， 当10x +<时，由基本不等式得()1112y x x ≤-=+++， 当且仅当111x x +=+，即2x =-时，等号成立，所以函数的值域为(][),22,-∞-+∞，故答案为(][),22,-∞-+∞.【点睛】本题考查求具体函数的值域，属于简单题.11. 函数2222x y x -=+的值域是_________ 【答案】(]1,1- 【解析】 【分析】化简函数的解析式为2412y x =-++，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，函数22222222224412222x x x y x x x x --+-==-=-=-+++++， 因为222x ≥+，所以211022x <≤+，则24022x <≤+，可得241112x -<-+≤+， 故函数2222x y x-=+的值域是(]1,1-. 【点睛】本题主要考查了函数的值域的求解，其中解答中合理化简函数的解析式，结合二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.12. 函数221xxy =+的值域为_____________． 【答案】【解析】【详解】∵221x x y =+，∴201xy y =>-，即(1)0y y -<，解得0<y<1，即函数221xxy =+的值域为考法四：图像法13. 函数2()|2|1f x x x =+--的值域是_____【答案】3[,)4+∞【解析】 【分析】将函数去绝对值可得223,2()1,2x x x f x x x x ⎧+-=⎨-+<⎩，利用二次函数的单调性求出各段的最值即可求解. 【详解】2223,2()211,2x x x f x x x x x x ⎧+-=+--=⎨-+<⎩，当2x 时，2()3f x x x =+-单调递增，故()3f x ；当2x <时，()2213124f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，当12x =时，函数取得最小值34，故3()4f x ，综上可得，函数的值域为3[,)4+∞.故答案为：3[,)4+∞【点睛】本题考查了求分段函数的值域、二次函数的图像与性质，属于基础题.14. 函数1y x =+在区间[]22-,上的最大值________. 【答案】3 【解析】【分析】由函数1y x =+在区间[]22-,的单调性为在[]-2-1，为减函数，在[]-1，2为增函数，再求最大值即可.【详解】解：因为函数()1y f x x ==+在[]-2-1，为减函数，在[]-1，2为增函数， 又(2)211f -=-+= ，(2)213f =+=， 又31>，即函数在区间[]22-,上的最大值为3， 故答案为3.【点睛】本题考查了函数的单调性及利用单调性求函数的最值，重点考查了函数单调性的应用，属基础题.考点五：几何法15. 求函数sin 1,,12x y x x ππ+⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦的值域. 【答案】14,12ππ⎡⎤⎢⎥--⎣⎦ 【解析】 【分析】利用函数解析式将问题转化为点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点的斜率，数形结合即可求解. 【详解】函数sin 11x y x +=-的值域可看作由点A (x ，sin x )，B (1，－1)两点决定的斜率，B (1，－1)是定点，A (x ，sin x )在曲线y ＝sin x ，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，如图，∴k BP ≤y ≤k BQ ，即1412y ππ≤≤-- .【点睛】本题考查了两点求斜率，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于基础题.16. 求y=【答案】[10，＋∞)【解析】【分析】利用两点间的距离公式将问题转化为平面内一点P(x，0)到点A(－3，4)和点B(5，2)的距离之和，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小.【详解】如图，函数y=平面内一点P(x，0)到点A(－3，4)和点B(5，2)的距离之和.由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小，∴y min＝|AB′|10，又y无最大值，所以y∈[10，＋∞).【点睛】本题考查了两点间的距离公式，点对称问题，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于基础题.考点六：利用值域求参数17. 已知函数2()(21)f x lg x x a =---的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____【答案】[2-，)+∞ 【解析】 【分析】根据题意可知221t x x a =---能够取到大于0的所有实数，只需0∆≥即可. 【详解】函数2()(21)f x lg x x a =---的值域为R ，221t x x a ∴=---能够取到大于0的所有实数， 则()()22410a ∆=----，解得2a -.∴实数a 的取值范围是[2-，)+∞.故答案为：[2-，)+∞.【点睛】本题考查了由函数的值域求参数的取值范围，考查了对数型复合函数的性质，属于基础题.18. 已知函数()f x =的值域为[0，)+∞，则m 的取值范围是_____ 【答案】[4，)+∞ 【解析】 【分析】讨论二次项系数，要使值域为[0，)+∞，可得240m m m >⎧⎨=-⎩，解不等式组即可求解.【详解】当0m =时，211mx mx ++=对任意实数x 恒成立，不合题意；要使函数()f x =[0，)+∞，则240m m m >⎧⎨∆=-⎩，解得4m . m ∴的取值范围是[4，)+∞.故答案为：[4，)+∞【点睛】本题考查了由函数的值域求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于基础题.19. 已知函数()()22,021,0x x f x x m x ⎧<⎪=⎨-+≥⎪⎩，的值域为 [2-，)+∞，则实数m 的取值应为 _____ 【答案】2m =- 【解析】 【分析】求出函数在各段上的值域，结合值域即可求解. 【详解】0x <时，2(0,1)x ∈；0x ≥时，()()221f x x m m =-+≥，可得2m =-. 故答案为：2m =-【点睛】本题考查了由分段函数的值域求参数值，考查了基本初等函数的性质，属于基础题.考点4：单调性【思维导图】【常见考法】考法一：单调性的判断1. 下列函数中，满足“()12,0,x x ∀∈+∞且()()()121212,0x x x x f x f x ⎡⎤≠-⋅-<⎣⎦”的是( )A. ()2xf x =B. ()1f x x =-C. ()1f x x x=- D. ()()ln 1f x x =+【答案】C 【解析】【分析】根据题意知，函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，根据选项判断即可． 【详解】根据题意知，函数()f x 在(0,)+∞上是减函数．选项A ，()2xf x =在(0,)+∞上是增函数，不符合；选项B ，()1f x x =-在(0,)+∞上不单调，不符合； 选项C ，()1f x x x=-在(0,)+∞上是减函数，符合； 选项D ，()()ln 1f x x =+在(0,)+∞上是增函数，不符合；综上，故选C ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的定义应用以及常见函数的单调性的判断． 2. 下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ）A. y x =B. 2yxC. y x =+D. 1y x =-【答案】D 【解析】【分析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断． 【详解】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2yx 在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．考法二：求单调区间3. 函数()()2ln 56f x x x =-+-的递减区间是__________.【答案】5,32⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性“同增异减”原则求出函数()256u x x x =-+-的单调递减区间即可得出答案．【详解】解：意可知2560x x -+->，解得23x <<，所以()()2ln 56f x x x =-+-的定义域是()2,3，令()256u x x x =-+-,对称轴是52x =， ()256u x x x =-+-在52,2⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，又()ln f u u =在定义域()0,∞+上是增函数，()()2ln 56f x x x =-+-是()ln f u u =和()256u x x x =-+-的复合函数， ()()2ln 56f x x x ∴=-+-的单调递减区间是5,32⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为：5,32⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对数型复合函数的单调区间，属于基础题． 4. 求的函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的增区间_____，减区间________【答案】 (1). (1，1)，(1∞) (2). (－∞，1)，(1，1【解析】 【分析】作出函数221y x x =-++的图象，由图象易得单调区间．【详解】函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示．由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间为(1，1)和(1，＋∞)；单调递减区间为(－∞，1)和(1，1)．故答案为：(1，1)，(1，＋∞)；(－∞，1)，(1，1)．【点睛】本题考查求函数的单调区间，作出函数图象是求单调区间的最直观的方法，特别是对这种含绝对值的函数．5. 求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的增区间___________，减区间________________ 【答案】 (1). (,1]-∞-和[0,1] (2). [1,0]-和(1,)+∞ 【解析】 【分析】根据绝对值定义去掉绝对值符号后，分段配方，结合二次函数性质可作出函数图象得出结论．【详解】易知f (x )＝2221,021,0x x x x x x ⎧-++≥⎨--+<⎩22(1)2,0(1)2,0x x x x ⎧--+≥=⎨-++<⎩， 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．故答案为：(,1]-∞-和[0,1]；[1,0]-和(1,)+∞．【点睛】本题考查求函数的单调区间，解题时可把函数式化简变形，如去绝对值符号，配方，作出图象，由图象直观地得出单调区间． 6. 函数ln y x x =的单调递减区间是____【答案】1(0)e -, 【解析】 【分析】求导，根据()'0f x <可得答案.【详解】由题意，可得()'ln 1,(0)f x x x =+>，令()'0f x <，即ln 10x +<，解得10x e -<<，即函数的递减区间为1(0)e -,.故答案为：1(0)e -,.【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.考法三：比大小7. 已知函数21()log 1f x x x=+-，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( ) A. f (x 1)＜0，f (x 2)＜0 B. f (x 1)＜0，f (x 2)＞0 C. f (x 1)＞0，f (x 2)＜0 D. f (x 1)＞0，f (x 2)＞0【答案】B 【解析】【详解】函数21()log 1f x x x=+-单调递增，()20f =故当x 2∈(2．．∞)时，f (x 2)＞0()1,x f x →→-∞ 故x 1∈(1,2)， f (x 1)．0故选择B.8. 函数()f x 是R 上的减函数，若13(2)a f =，3(log 2)b f =，21(log )3c f =，则A. a b c <<B. b a c <<C. a c b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】首先判断132，3log 2和21log 3的大小关系，然后根据函数的单调性，判断,,a b c 的大小关系.【详解】103221>=，1321∴>，330log 2log 31<<=，30log 21∴<<，21log 03<，133212log 2log 3∴><，()f x 是R 上的减函数，a b c ∴<<.故选：A.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，重点考查指对数比较大小，属于简单题型.考法四：解不等式9. 已知函数f(x)是()0,∞+上的减函数，若f(a 2 -a)>f(a+3)，则实数a 的取值范围为____．【答案】()()1,01,3-【解析】【分析】根据函数单调性和定义域，列出不等式组，解不等式组即可求得a 的取值范围．【详解】因为f(x)是()0,+∞上的减函数，若f(a 2 -a)>f(a+3)所以22330a a a a a a ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩．解不等式组得 ()()1,01,3a ∈-⋃【点睛】本题考查了函数的单调性及定义域，属于基础题． 10. 设函数f （x ）=，若f （a +1．≥f （2a ﹣1），则实数a 的取值范围是 ．【答案】（﹣∞，2] 【解析】【详解】画图可知f(x)在R 上单调递增，所以121,2a a a +≥-≤，填（﹣∞，2]考法五：求参数11. 函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则_________【答案】12m < 【解析】 【分析】解不等式210m -<可得．【详解】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数，则有210m -＜，解可得12m <， 故答案为：12m <． 【点睛】本题考查函数的单调性，掌握基本初等函数的单调性是解题基础．函数y ax b =+在0a >时是增函数，在0a <是减函数，在0a =时是常数函数． 12. 函数2(2)y x a x =+-在区间(4,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是_________ 【答案】6a ≥- 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴建立不等式，解之可得答案. 【详解】函数2(2)y x a x =+-的对称轴方程为22ax -=， 函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以242a-≤，解得6a ≥-. 故答案为：6a ≥-.【点睛】本题主要考查二次函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.13. 函数2()4(1)3f x ax a x =++-在(4,2)-上是增函数，则a 的取值范围是__________【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据函数类型分类讨论，即可求出．【详解】当0a =时，()43f x x =-，满足题意.当0a >时，()f x 在(4,2)-上是增函数，满足02(1)4a a a >⎧⎪+⎨-≤-⎪⎩，解得：01a <≤.当0a <时，()f x 在(4,2)-上是增函数，满足02(1)2a a a <⎧⎪+⎨-≥⎪⎩，解得：102a -≤<.综上所述：112a -≤≤. 故答案为：1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数的单调性的应用，属于中档题． 14. 若函数1(1)a y x a x-=+>在区间(0,3)上单调减函数则a 的取值范围为_________ 【答案】10a ≥ 【解析】3≥即可求解. 【详解】由对勾函数的性质可知：函数1(1)a y x a x-=+>在(上单调递减，在)+∞上单调递增， 因为函数1(1)a y x a x -=+>在区间(0,3)3， 解得10a ≥， 故答案为：10a ≥【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的取值范围，解题的关键是求出函数的单调区间，属于基础题.15. 若函数12x f x 且()f x 在[),m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于______． 【答案】1 【解析】【分析】分类讨论去绝对值，将()f x 化简为分段函数，求得()f x 单调递增区间，即可求解.【详解】解：函数()1112,122,1x x x x f x x ---⎧<==⎨≥⎩， 则函数()f x 的单调递增区间为[)1,+∞， 若函数12x f x在[),m +∞上单调递增，则[)[),1,m +∞⊆+∞，即m 1≥， 即实数m 的最小值等于1， 故答案为：1．【点睛】本题考查分段函数的单调性，化简函数式是解题关键，属于基础题.16. 已知函数()()212log 4f x ax =-在区间（1，2）上是增函数，则实数a 的取值范围是_____ 【答案】（0，1] 【解析】 【分析】由复合函数的的单调性及对数函数的性质可得0a >，再由定义域的要求得出结论．【详解】∵函数()()212log 4f x ax =-在区间()1,2上是增函数， ∴函数()24t x ax =-在()1,2上为减函数，其对称轴为0x =，∴可得0440a a >⎧⎨-≥⎩，解得01a <≤. 故答案为：(0,1]．【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，解题时除掌握复合函数单调性结论外还要考虑函数的定义域．17. 已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________【答案】[1,0)- 【解析】 【分析】根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<. 故答案为[)1,0-.【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.考点5：奇偶性【思维导图】【常见考法】考法一：奇偶性的判断1. 下列函数中，既是奇函数，又在区间()0,∞+上递增的是（ ）A. 2x y =B. ln y x =C. 13y x = D. 1y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据函数图像与性质直接判定即可.【详解】对A, 2xy =为偶函数.故A 错误.对B, ln y x =为非奇非偶函数函数,故B 错误. 对C, 13y x =为奇函数且在()0,∞+上递增.故C 正确. 对D, 1y x x=+为奇函数但在()0,∞+先减再增,故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性,属于基础题型.2. 下列函数是偶函数，且在()0+∞，上是增函数的是（ ） A. ()22f x x x +＝B. ()2f x x -＝C. ()f x x ＝D. ()11x f x x -=+ 【答案】C 【解析】【分析】根据偶函数的定义()()f x f x -=分析可知,A D 不满足;2()f x x -=虽然是偶函数,但是在(0,)+∞上是减函数;()||f x x =满足题意.【详解】对于A :2()2f x x x =+,22()()2()2f x x x x x -=-+-=-,所以()f x 不是偶函数;对于B :2()f x x -=,22()()()f x x x f x ---=-==,()f x 是偶函数,但是根据幂函数的性质可知,()f x 在(0,)+∞上是减函数;对于C :()||||()f x x x f x -=-==,()f x 是偶函数,当0x >时()f x x =在(0,)+∞上是增函数,符合题意;。
步步高学习笔记必修第一册
3.1.1函数的概念(二)学习目标 1.会判断两个函数是否为同一个函数.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域．一、区间的概念知识梳理设a，b∈R，且a<b，规定如下：区间数轴表示[a，b](a，b)[a，b)(a，b][a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，b](－∞，b)注意点：(1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆；(2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；(3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立；(4)∞是一个符号，而不是一个数．例1把下列数集用区间表示：(1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}；(3){x|－1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}．解(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2){x|x<0}＝(－∞，0)．(3){x|－1<x<1}＝(－1,1)．(4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]．反思感悟 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开．(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 跟踪训练1 (1)集合{x |－2<x ≤2且x ≠0}用区间表示为________． 答案 (－2,0)∪(0,2]解析 {x |－2<x ≤2且x ≠0}＝(－2,0)∪(0,2]．(2)已知区间(a 2＋a ＋1,7]，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－3,2)解析 由题意可知a 2＋a ＋1<7，即a 2＋a －6<0， 解得－3<a <2，所以实数a 的取值范围是(－3,2)． 二、求函数的定义域与值 例2 (1)函数f (x )＝x (x －1)－1x的定义域为________． 答案 [1，＋∞)解析 要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x >0，解得x ≥1，所以f (x )的定义域为[1，＋∞)．(2)已知函数f (x )＝x ＋1x ，则f (2)＝________；当a ≠－1时，f (a ＋1)＝____________.答案 52 a ＋1＋1a ＋1解析 f (2)＝2＋12＝52.当a ≠－1时，a ＋1≠0，所以f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1.反思感悟 (1)求函数的定义域应关注三点(ⅰ)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(ⅱ)不对解析式化简变形，以免定义域变化．(ⅲ)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (2)函数求值的方法①已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x 即得f (a )的值． ②求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则．跟踪训练2 求下列函数的定义域： (1)y ＝3－12x ；(2)y ＝(x ＋1)0x ＋2；(3)y ＝5－x |x |－3；(4)y ＝x ＋1－x 2－3x ＋4. 解 (1)函数y ＝3－12x 的定义域为R .(2)由于0的零次幂无意义，故x ＋1≠0，即x ≠－1. 又x ＋2>0，即x >－2， 所以函数y ＝(x ＋1)0x ＋2的定义域为{x |x >－2且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0， 解得x ≤5，且x ≠±3，所以函数y ＝5－x |x |－3的定义域为{x |x ≤5且x ≠±3}．(4)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x 2－3x ＋4>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，(x ＋4)(x －1)<0，解不等式组得－1≤x <1.所以函数y ＝x ＋1－x 2－3x ＋4的定义域为{x |－1≤x <1}．三、判断是否为同一个函数 问题1 构成函数的要素有哪些？ 提示 定义域．对应关系和值域．问题2 结合函数的定义，如何才能确定一个函数？ 提示 有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定． 例3 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)． 其中表示同一个函数的是________(填序号)． 答案 ③⑤解析 ①不是同一个函数，定义域不同， f (x )的定义域为{x |x ≠0}，g (x )的定义域为R . ②不是同一个函数，对应关系不同， f (x )＝1x，g (x )＝x . ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．④不是同一个函数，对应关系不同，f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝x ＋3. ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同． 反思感悟 判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形．跟踪训练3 下列各组函数中是同一个函数的是( )A ．y ＝x ＋1与y ＝x 2－1x －1B ．y ＝x 2＋1与s ＝t 2＋1C ．y ＝2x 与y ＝2x (x ≥0)D ．y ＝(x ＋1)2与y ＝x 2 答案 B解析 A ，C 选项中两函数的定义域不同，D 选项中两函数的对应关系不同，故A ，C ，D 错误．四、求抽象函数的定义域例4 (1)函数y ＝f (x )的定义域是[－1,3]，则f (2x ＋1)的定义域为________． 答案 [－1,1]解析 令－1≤2x ＋1≤3，解得－1≤x ≤1， 所以f (2x ＋1)的定义域为[－1,1]．(2)若函数y ＝f (3x ＋1)的定义域为[－2,4]，则y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[－1,1] B ．[－5,13] C ．[－5,1] D ．[－1,13]答案 B解析 由题意知，－2≤x ≤4，所以－5≤3x ＋1≤13， 所以y ＝f (x )的定义域是[－5,13]． 反思感悟 抽象函数的定义域(1)已知f (x )的定义域为[a ，b ]，求f (g (x ))的定义域时，不等式a ≤g (x )≤b 的解集即定义域． (2)已知f (g (x ))的定义域为[c ，d ]，求f (x )的定义域时，求出g (x )在[c ，d ]上的范围(值域)即定义域． 跟踪训练4 已知函数f (x －1)的定义域为{x |－2≤x ≤3}，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．{x |－1≤x ≤9} B ．{x |－3≤x ≤7} C ．{x |－2≤x ≤1} D.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x ≤12 答案 D解析 ∵函数y ＝f (x －1)的定义域为{x |－2≤x ≤3}，∴－2≤x ≤3，则－3≤x －1≤2，即函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤2}． ∴对函数f (2x ＋1)，有－3≤2x ＋1≤2，解得－2≤x ≤12.即函数f (2x ＋1)的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－2≤x ≤12.1．知识清单： (1)区间的表示；(2)求简单函数的定义域和求值； (3)判断是否为同一个函数； (4)求抽象函数的定义域． 2．方法归纳：整体代换．3．常见误区：整体代换的思想求抽象函数的定义域．1．已知区间[2a －1,11]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，6) B ．(6，＋∞) C ．(1,6) D ．(－1,6)答案 A解析 由题意可知，2a －1<11，解得a <6. 2．已知四组函数：①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2；②f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；③f (n )＝2n －1，g (n )＝2n ＋1(n ∈N )；④f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1. 其中是同一个函数的是( ) A ．没有 B ．仅有② C ．②④ D ．②③④答案 C解析 对于①，定义域不同；对于③，对应关系不同；对于②④，定义域与对应关系都相同． 3．已知函数f (x )＝3x ，则f ⎝⎛⎭⎫1a 等于( ) A.1a B.3a C ．a D ．3a 答案 D解析 f ⎝⎛⎭⎫1a ＝31a＝3a .故选D.4．函数y ＝x ＋1x －1的定义域是______________． 答案 {x |x ≥－1且x ≠1}解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，所以x ≥－1且x ≠1， 故函数y ＝x ＋1x －1的定义域为{x |x ≥－1且x ≠1}． 课时对点练1．区间(0,1]等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1]} C ．{x |0<x ≤1} D ．{x |0≤x ≤1}答案 C2．设函数f (x )＝3x 2－1，则f (a )－f (－a )的值是( ) A ．0 B ．3a 2－1 C ．6a 2－2 D ．6a 2 答案 A解析 f (a )－f (－a )＝3a 2－1－[3(－a )2－1]＝0. 3．函数f (x )＝1－3xx的定义域为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≤13 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 0<x ≤13 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤13且x ≠0 答案 D解析 要使f (x )有意义，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧1－3x ≥0，x ≠0，即x ≤13且x ≠0.4．(多选)下列各组函数为同一个函数的是( )A ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xB ．f (x )＝1，g (x )＝(x －1)0C ．f (x )＝(x )2x ，g (x )＝x(x )2D ．f (t )＝t 2－16t －4，g (t )＝t ＋4(t ≠4)答案 CD解析 A ．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； B ．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；C ．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；D ．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 5．若f (x )＝2x －1，则f (f (x ))等于( ) A ．2x －1 B ．4x －2 C ．4x －3 D ．2x －3答案 C解析 f (f (x ))＝f (2x －1)＝2(2x －1)－1＝4x －3.6．已知函数f (x )的定义域为(－1,1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －2)的定义域为( ) A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(－1,1) 答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－1<x 2<1，－1<x －2<1，解得1<x <2.7．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围为________． 答案 (1,2)解析 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1<a ＋1，a ＋3<4a ⇒1<a <2.8．下列各对函数中是同一个函数的是________(填序号)． ①f (x )＝2x －1与g (x )＝2x －x 0； ②f (x )＝(2x ＋1)2与g (x )＝|2x ＋1|；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )； ④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2. 答案 ②④解析 ①函数g (x )＝2x －x 0＝2x －1，函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，函数f (x )的定义域为{x |x ∈R }，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数； ②f (x )＝(2x ＋1)2＝|2x ＋1|与g (x )＝|2x ＋1|的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③f (n )＝2n ＋2(n ∈Z )与g (n )＝2n (n ∈Z )的对应关系不相同，不是同一个函数； ④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2的定义域和对应关系相同，是同一个函数． 9．已知f (x )＝1x ＋2(x ∈R ，x ≠－2)，g (x )＝x 2＋1(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f (g (3))的值．解 (1)f (2)＝12＋2＝14，g (2)＝22＋1＝5.(2)f (g (3))＝f (32＋1)＝f (10)＝110＋2＝112. 10．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝3x －1＋1－2x ＋4； (2)f (x )＝(x ＋3)0|x |－x.解 (1)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，即⎩⎨⎧x ≥13，x ≤12.所以13≤x ≤12，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤12. (2)要使函数式有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3≠0，|x |－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－3，|x |>x ，解得⎩⎨⎧x ≠－3，x <0.所以函数的定义域为{x |x <0且x ≠－3}．11．下列四组函数中表示同一个函数的是( ) A ．f (x )＝－2x 3，g (x )＝x －2x B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x 答案 C 解析 ∵f (x )＝－x－2x ，g (x )＝x－2x ，对应关系不同，∴A 选项中两个函数不表示同一个函数；∵f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2，两个函数的对应关系不一致， ∴B 选项中两个函数不表示同一个函数；∵f (x )＝x 2＝|x |与g (x )＝|x |，两个函数的定义域均为R ，对应关系也相同， ∴C 选项中两个函数表示同一个函数； ∵f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x ＝0(x ＝1)，两个函数的定义域不一致，∴D 选项中两个函数不表示同一个函数．12．已知函数y ＝f (－2x ＋1)的定义域是[－1,2]，则y ＝f (x )的定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B ．[－3,3] C ．[－1,5] D ．以上都不对答案 B解析 由题意知－1≤x ≤2，所以－3≤－2x ＋1≤3，所以y ＝f (x )的定义域为[－3,3]． 13．函数f (x )对于任意实数x 均满足f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))等于( )A ．2B ．5C ．－5D ．－15答案 D解析 ∵f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (5)＝f (1)＝－5，f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)，又f (－1)＝1f (－1＋2)＝1f (1)＝－15， ∴f (f (5))＝－15. 14．函数y ＝ax 2＋ax ＋1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [0,4]解析 当a ＝0时，1≥0恒成立，所以a ＝0，符合题意；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，⇒0<a ≤4 所以a 的取值范围为[0,4]． 15．已知g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x2(x ≠0)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 15解析 g (x )＝12，即1－2x ＝12，则x ＝14， 代入f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，可得f ⎝⎛⎭⎫12＝1－116116＝15. 16．已知函数f (x )对任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (x )＋f (y )成立．(1)求f (0)和f (1)的值；(2)若f (2)＝a ，f (3)＝b (a ，b 均为常数)，求f (36)的值．解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝2f (0)，∴f (0)＝0，令x ＝y ＝1则f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x ＝2，y ＝3，则f (6)＝f (2)＋f (3)＝a ＋b ，令x ＝y ＝6，则f (36)＝2f (6)＝2(a ＋b )，∴f (36)＝2(a ＋b )．。