污水排放与处理

污水排放与处理

摘要

为了建立了污水处理站处理方案的优化模型，使污水源公司处理污水的投资最少，将问题归结为优化问题，运用优化理论及MATLAB 软件解决各问题，在前三个问题的模型中认为自净系数恒定不变，随之将问题作为线性规划问题来处理，计算结果为：问题一的总资金最少为590万元；问题二的总资金最少为79.6万元；问题三中可以得到，总资金花费与污水源的流量，污水源的浓度，污水处理费用系数同增同减。并且当污水源的流量减少一定量时，排放污水量减少，会导致不用经过净化处理也能直接排放，并且不会影响居民生活。

针对第四问，我们根据已知条件画出了β和浓度C 的散点图，利用MATLAB 对散点图进行拟合，经检验最合适的为二次多项式4469.2*2006.4*8028.12

+-=j j C C β。利用此表达式对前三问进行新的研究。

关键词：污水排放；控制；决策优化

一、问题的重述

如图所示，某江沿岸有若干个污水源i W 及为之配备的污水处理站i Z )4,3,2,1(=i 和若干个居民点k H )3,2,1(=k 。污水源i W 以i q ?的流量向污水处理站排放浓度为i u 的污水，经污水处理站i Z 的净化处理后，污水以浓度*i u （i i u u <*）通过排污口向江中排放。一般地，污水处理站净化污水的费用与处理前后的污水浓度差成正比，与所处理的污水量成正比，即)(*i i i i i u u q r T -???=，其中i r 为比例系数，它反映了污水处理站每流量单位降低每个浓度单位所需的资金，也反映了污水处理的技术水平。设国家规定的江水水质标准为C =1（mg/l ），与污水源i W 、污水处理站i Z )4,3,2,1(=i 相关的数据如下表所示。

下标i

1 2 3 4 流量i q ?（1210l/min ） 5 4 3 4 浓度i u （mg/l ）

100 70 50 80 i r （万元·mg ·min ）

2

1.5

1

1.5

处理站1

居民点1

居民点2

居民点3

处理站3

处理站4

处理站2 0

1

2

3

4 污水源1 污水源3 污水源4 污水源2

以污水处理站的排水口为分界点，可以将该段江面划分为5个子段，各子段的水流量及水质分别为j q 和j C )4,3,2,1,0(=j 。考虑到江中流水的自净作用，对每个子段引入自净系数j β)4,3,2,1(=j 。显然，10<

1、在该段江水全面达到国家水质标准的前提下，如何使投入污水处理的总资金最少。

2、在每个居民点上游水质达到国家标准的条件下，如何使投入污水处理的总资金最少。

3、当污水源的流量)4,3,2,1(q q q q q ????=?和浓度()4321,,,u u u u u =，污水处理费用

系数),,,(4321r r r r r =的变化后，在上述两问中污水处理的总资金将发生什么变化？ 4、事实上，自净系数),,,(4321βββββ=不仅与河流状态有关，还与江水的污水浓度有关。当江水的污水浓度较低时，流水发挥自净作用；当污水浓度逐渐增加时，流

水的自净能力逐渐降低；当江水的污水浓度超过某个阈值时，流水就失去了自净功能。考虑适当的函数形式)(j j C f =β)4,3,2,1(=j ，重新研究上述三个问题。

二、问题的分析

前两问的目标函数相同，均为投入总资金，但前两问的分析重点在于所设环境不同，第一问求该段江水全面达到国家水质标准是的总投资最少，即是每个污水处理站的排放口处的浓度达到标准，第二问中要求每个居民点上游的水质达到标准，则要求临近居民点附近的水质达标，注意居民点的位置，有的要考虑江水的自净作用，有的则不要考虑。写出前两问的限制条件，分别求解目标函数。

第三问在前两问的基础上采用控制变量法，分别研究污水源的流量),,,(4321q q q q q ????=?和浓度()4321,,,u u u u u =，

污水处理费用系数),,,(4321r r r r r =的变化后总资金的变化。

第四问，考虑自净系数受江水污水浓度影响根据已知条件画出了β和浓度C 的散点图，利用MATLAB 对散点图进行拟合，可用的函数有反比例函数、一次函数、二次函数或三次函数这样的函数关系式，在对这些函数关系式进行检验找出最优函数关系式。

三、基本假设

1.从污水源出来的污水经过污水处理站后只有浓度的改变，不考虑体积的变化。

2.本题考虑的自净系数是指江水自身净化掉的杂质系数，之后的江水杂质浓度为1-β。

3.问题四中江面的自净系数由刚流入该江面的江水浓度决定，并且在江水净化过程中，自净系数系数保持不变。

4.不经过时间变化，污水一旦排出，立刻与江中水混合均匀。

四、符号说明

i T :第i 个污水处理站净化污水的费用

i q ?:第i 个污水源向污水处理站排放污水的流量（单位：1210l/min ）； i u :第i 个污水源向污水处理站排放污水的浓度（单位：mg/L ）

； *i u :经过第i 个污水处理站的净化处理后通过排污口向江中排放的污水浓度（单位：mg/L ）；

i r :污水处理站净化污水的费用与处理前后的污水浓度差以及所处理的污水量的正比例系数（万元·mg ·min ）

i q :江面第个子段的水流量（1210l/min ）

i C :江面第个子段经过该子段流水净化后的水质（单位：mg/L ）

； *i C :江面第i 个子段未经过该子段流水净化时的水质，即排污口的污水水质（单位：mg/L ）；

C :国家规定的江水水质标准为1（单位：mg/L ）；

j β:第j 个子段的自净系数；

五、模型的建立与求解

1.问题一

（1）决策变量：*i u

（2）决策目标：最小化污水处理的总资金，即：

)(*i i i i i u u q r T -???=

（4）约束条件：

()()()()()()()()()()()()()()()()

()()()()()()()()()()()()()()()()()()????

????????????

?

?????????

??????

????+=≤-=≤-=

≤-=

≤-=

≤----+----?+

---?+--?+-?=

≤---+

---?+--?+-?=≤--+--?+-?=≤-+-?=-i i i

q

q q C

C C C C C C C C C C C C q C q u q u q u q u q C C q C q u q u q u q C C q C q u q u q C C q C q u q C 144*433

*

32

2

*211

*14432100*1443211*

24

4322*34433*444443

32100*13

3211*23332*33233

2

2100*12211*22222

1

100*11111

111111111111q 111q 11q 1q 111111q 11q 1q 1111q 1q 11q ββββββββββββββββββββββββββββββββββ （4）模型求解： 1）由于江水具有净化作用，所以每段江水只需考虑污水处理站排污口污水浓度的约束条件即可。

2）将上述模型输入MATLAB 求解，可以得到：

;

4.203;

17.169;

5.101;41*4*3

*2*1====u u u u

但由于2*2u u >、3*

3u u >、4*4

u u >，故实际上结果为：

;

80;

50;

70;41*4*3

*2*1====u u u u

即第2个，第3个，第4个污水处理点不用处理污水，也能达到国家水质标准，并使得总资金花费最少，将值代入公式)(*i i i i i u u q r T -???=得到最小总资金为590万元。

2.问题二

（1）决策变量：*i u

（2）决策目标：最小化污水处理的总资金，即：

)(*i i i i i u u q r T -???=

（3）约束条件：

()????

?

????

≤=≤≤C C C C

C C C 22*243-1β （4）模型求解：

1）居民点1紧靠在污水处理站2的下游，居民点2和居民点3分别在污水处理站3和4的下游（非紧靠）。

2）要求临近居民点上游的水质达标，即污水处理站1不需考虑。 3）将上述模型输入MATLAB 求解，可以得到：

;

77.232;

70.303;

25.57;100*4*3

*2*1====u u u u

但由于3*

3u u >、4*4

u u >，故实际上结果为：

;

80;

50;

25.57;100*4*3

*2*1====u u u u

即第1个，第3个，第4个污水处理点不用处理污水，也能达到国家水质标准，并使得总资金花费最少，为79.6万元。

3.问题三

（1）决策变量：q ??、u ?、r ?

（2）决策目标：污水处理的总资金，即：

∑∑==-??+??+=4

1

*41

)]()1()1[(i i i i

i

i i

u u

a a r r T

（3）约束条件：同问题一及问题二

（4）模型求解：将上述模型输入MATLAB 求解，可以得到：

题号 ΔΔq Δu Δr T 处理费变化

量 第一问 1 0 0 790 +33.9% 第二问 1 0 0 217.2 +183.9% 第一问 -1 0 0 390 -33.9% 第二问 -1 0 0 0 / 第一问 0 10 0 690 +16.9% 第二问 0 10 0 136.5 +78.4% 第一问 0 -10 0 490 -16.9% 第二问 0 -10 0 0 / 第一问 0 0 0.5 737.5 +25.0% 第二问 0 0 0.5 102 +33.3% 第一问 0 0 -0.5 442.5 -25.0% 第二问

-0.5

51

-33.3%

由上面的表格可知：

（1）当固定两个变化量，改变其中一个时： Δq 、u 、r 增加或减少时，处理费T 增加或减少；

（2）当三个量减小到一定程度时，处理费会达到0。这个可以理解为，当污水的浓度、污水的排放量小到一定程度时，根本就无需建造污水处理站，这显然是我们所希望发生的。

4.问题四 （1）i β函数拟合

本题的问题中β值在变化，可以用MATLAB 先画出（C,β）的散点图如下图所示：

通过一次、二次和三次拟合可以得到如图所示的拟合图线，并得到对应的如下函数表达式：一次拟合：1491.1*8082.01+-=-j j C β；二次拟合：

4469

.2*2006.4*8028.1121+-=--j j j C C β；三次拟合：

513.2*8631

.4*3345.3*5662.012131+-+-=---j j j j C C C β，然后结合散点图比较上面三条曲线，一次函数显然没有二次函数和三次函数拟合的程度好，所以我们选择用二次或三次拟合，又由于二次和三次拟合结果相当，为了实际当中计算简便，我们选择采用二次函数来拟合自净系数与污水浓度的关系。 （2）利用二次函数对上述三个问题重新进行研究。 利用迭代法得到问题一的结果如下：

0C =0.800；1C = 0.959；2C = 0.934；3C =0.959

0.4

0.6

0.8

1

0.40.450.5

0.550.60.650.70.750.80.85

0.9

0.4

0.6

0.8

1

0.4

0.5

0.60.7

0.80.9

1

1β=0.2402；2β=0.0764；3β=0.0962；4β=0.0766

从结果可以看出浓度越小自净系数i β越大，符合题目要求。

六、模型的评价

1、利用最优模型，充分考虑约束条件找到决策目标的最优解，具有实际意义。

2、考虑自净系数受污水浓度的影响，更贴近实际，误差减小。

3、污水处理厂排放污水后，混合需要一定时间，模型没有考虑这种不均匀性，会有误差。

4、模型中将江水看作理想流体为了与实际结合更加紧密，模型有待进一步改进

七、模型的推广

据题目中提供的数据，建立了污水处理站处理方案的优化模型，并利用优化模

型的相关知识，确定了最小总投资，对污水处理方面有一定的参考价值。模型中分析问题、解决问题的一些独到方法，优化模型的总体思想，对其他数学问题及一般模型仍可使用。另外，针对江水污染等自然灾害，我们的方法对于环保部门可以作为分析解决问题的一种参考。

八、引用

［1］洪 锋.沿江污水排放控制[Ｄ].湖南 长沙：国防科技大学．

九、附录

说明：代码中i a 为i q ?；i v 为*i u

问题一 syms v1; syms v2; syms v3; syms v4;

f1=a1/q1*v1+q0*c0/q1-c;

f2=a2/q2*v2+a1*(1-b1)/q2*v1+q0*c0*(1-b1)/q2-c;

f3=a3/q3*v3+a2*(1-b2)/q3*v2+a1*(1-b1)*(1-b2)/q3*v1+q0*c0*(1-b1)*(1-b2)/q 3-c;

f4=a4/q4*v4+a3*(1-b3)/q4*v3+a2*(1-b2)*(1-b3)/q4*v2+a1*(1-b1)*(1-b2)*(1-b 3)/q4*v1+q0*c0*(1-b1)*(1-b2)*(1-b3)/q4-c;

[v1,v2,v3,v4]=solve(f1,f2,f3,f4,'v1','v2','v3','v4')

v1 =41

v2 =203/2

v3 =1015/6

v4 =1017/5

问题二

v1=100;

f2=a2/q2*v2+a1*(1-b1)/q2*100+q0*c0*(1-b1)/q2-c;

f3=a3/q3*v3+a2*(1-b2)*(1-b3)/q3*v2+a1*(1-b1)*(1-b2)*(1-b3)/q3*v1+q0*c0*( 1-b1)*(1-b2)*(1-b3)/q3-c;

f4=a4/q4*v4+a3*(1-b3)*(1-b4)/q4*v3+a2*(1-b2)*(1-b3)*(1-b4)/q4*v2+a1*(1-b 1)*(1-b2)*(1-b3)*(1-b4)/q4*v1+q0*c0*(1-b1)*(1-b2)*(1-b3)*(1-b4)/q4-c; [v2,v3,v4]=solve(f2,f3,f4,'v2','v3','v4')

v2 =229/4

v3 =3037/10

v4 =116383/500

问题四

syms v1;

syms v2;

syms v3;

syms v4;

v1=41

c1=a1/q1*v1+q0*c0/q1

b2=1.8028*f1^2-4.2006*f1+2.4469

v2=70

c2=a2/q2*v2+a1*(1-b1)/q2*v1+q0*c0*(1-b1)/q2

b3=1.8028*f2^2-4.2006*f2+2.4469

v3=50

c3=a3/q3*v3+a2*(1-b2)/q3*v2+a1*(1-b1)*(1-b2)/q3*v1+q0*c0*(1-b1)*(1-b2)/q 3

b4=1.8028*f3^2-4.2006*f3+2.4469

C1= 0.959203980099503

C2= 0.934029367690783

C3 =0.958950590023119

b1=0.240212000000000 b2 =0.0764

b3 =0.0962

b4 =0.0766