函数的对称性PPT课件
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函数图象的对称性
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
(1)若x a和x b是函数f ( x)的对称轴，则函数的周 期为T ?
f (2a x) f ( x)
f (2b x) f ( x) T 2(b a)
f (2a x) f (2b x)
(2)若(a,0)和(b,0)是函数f ( x)的对称中心，则函数的 周期为T ?
2 、函数图像关于点 (a, 0) 对称的定义：
奇函数f (0 x) f (0 x) 图像关于点 0,0)对称 (
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到(a,0)距离相等的点的函数值 互为相反数 sin( x) sin( x)
函
数
——函数图像的对称性
1、函数图像关于直线 x=a 对称的定义：
特例：偶函数 (0 x) f (0 x) 图像关于直线 0对称 f x
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到直线x a距离相等的点的函数值 相等 cos( x) cos( x)
“双对称函数一定是周期函数”
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
T (3) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称轴为 x a, 则x) f ( x)
f (2a x) f ( x)
2a T T x a 2 2
f (2a x) f (T x)
T (4) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称中心 (a,0), 则(a ,0)是对称中心 2
《天府高考》 24 P (3) y f ( x 2)是偶函数, y f ( x)关于x 1对称
函数的周期性和对称性PPT课件
13
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
12
2、常见的判断周期的恒等式(可用递推法证明)
1 f ( x a) f ( x a)（, a R且a 0） T 2a
(2) f ( x a) f ( x)(3) f ( x a) 1
f (x)
T 2a
T 2a
为保守起见,我加了一个绝对值
X=a X=b
15
性质2.若函数 f (x)以 a,0, b,0 为对称点，那么
此函数是周期函数，周期T= 2 a b
假定 b a f (x) f (2a x)
f (2b (2a x))
f (x 2b 2a)
的图象，并指出两者的关系。 关于x=0对称
y f x 1 y f 1 x
(-1,0)
(1,0)
y f x
若函数 y f x上任意一点关于某直线（或某点） 的对称点在 y g x 上，就称 y f x和 y g x
关于某直线（或某点）对称，这种对称性称为互 对称。
例3：设 f x 1 x2的图象与 g x 的图象关 于直线 x 1 对称，求 g x的解析式。
g x 1 x 22
9
(二)、自对称问题常联系恒等式进行x的变换
例4：设 f x图象关于直线 x 1对称,在,1
上，f x 1 x2, 求当 x 1, 时 , f x的
为周期函数，T是函数的一个周期。若所有周期 中存在一个最小正数，则称它是函数的最小正周 期。
理解（1）.是否所有周期函数都有最小正周期？
(2).若T是y f x的一个周期，则kT（k是非
零整数）均是 y f x的周期吗？
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函数的奇偶性对称性周期性课件共19张PPT
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
A．13
B． 2
C．
13 2
D．123
专题三：函数的周期性
变式 5：(1)设定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 2 f x ，若 f 1 2 ，则 f 99 _-_2__.
(2)(2022·湖北模拟)定义在 R 上的函数 f x 满足 f x 1 f x 2 ，则下列是周期函数的是 （ D ）A． y f x x B． y f x x C． y f x 2x D． y f x 2x
叫做偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I， 奇函数 都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)_，那么函数f(x) 关于_原__点__对称 就叫做奇函数
复习回顾 2.周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且_f_(_x＋__T__)＝__f_(x_)_，那么函数y＝f(x) 就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最_小___的正数， 那么这个_最__小__正__数__就叫做f(x)的最小正周期.
课堂小结
函数的性质
奇偶性
判断 求解析 求参数
对称性
轴对称： 中心对称：
周期性
求值 求解析 比较大小
祝同学们前程似锦！
函数的对称性(课堂PPT)
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
18
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
4
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
8
（代数证明） 求证
F(a-x)+F(a+x)=2b
16
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
17
知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
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正、余弦函数的对称性、最值PPT课件
8
2020/1/14
9
研一研·问题探究、课堂更高效
1.4.2（二）
跟踪训练 1 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最 大值和最小值时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x
＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5. ∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋π2，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－π2，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，
其值从1减小到－1。
2020/1/14
3
(一)探究：①正弦函数的最大值和最小值
y
1
3 5
2
2 3
2
O
2
1
2
3 2
2
5 3
2
x
最大值： 当 x
2k 时，有最大值 y 1
2
最小值：当x 2k 时，有最小值y 1
2
2020/1/14
y
1
3 5
2
P'
2 3
2
2
O
1
2
P
3 2
2
5 3
2
x
对称轴： x ,0, , 2
x k ,k Z
对称中心： ( ,0),( ,0),( 3 ,0),( 5 ,0)
22 2
2
( k ,0) k Z
2
2020/1/14
正弦、余弦函数的性质 对称性和最值
2020/1/14
函数及其应用函数的奇偶性对称性与周期性课件理ppt
利用函数的对称性和周期性解决实际问题，如物理学中的振动问题、对称问题等。
利用函数的对称性和周期性解决数学问题，如代数、几何等领域的问题。
函数对称性和周期性的应用举例
知识点回顾与总结
05
函数的概念及定义
函数的表示方法
函数的奇偶性、对称性与周期性
本章重点回顾
对于函数的奇偶性、对称性和周期性的判断和应用，有些学生可能感到困难。这是因为这些性质比较抽象，需要较强的数学素养和推理能力。
奇函数
对于函数f(x)，如果对于任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就是偶函数。
偶函数
奇函数与偶函数
对称性
若对于任意的x1，x2∈D，都有f(x1)=f(x2)，则称f(x)在D上具有对称性。
反对称性
若对于任意的x1，x2∈D，当且仅当x1=x2时，才有f(x1)=f(x2)，则称f(x)在D上具有反对称性。
练习题
题目1答案偶函数奇函数偶函数题目2答案$x<0$时，$f(x)$是减函数，所以$f(x)<0$当$x<0$时，$f(x)$是增函数，所以$f(x)<0$题目3答案$f(4.5)+f(5.5)+f(6.5)+f(7.5)=sin4.5+sin5.5+sin6.5+sin7.5=0$$f(4.5)+f(5.5)+f(6.5)+f(7.5)=cos4.5+cos5.5+cos6.5+cos7.5=2$
对称性与反对称性
周期性
若存在常数T，使得对于任意的x∈D，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)在D上具有周期性，T为f(x)的周期。
非周期性
函数的对称性课件高三数学一轮复习
(2a－x)；若函数y＝f (x)满足f (a＋x)＋f (b－x)＝c，则y＝f (x)的图象关于点
+
，
2
2
成中心对称．
(2)双曲线型函数f
+
(x)＝
的图象的对称中心为
+
− ，
.
第4课时 函数的对称性
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
2．(1)若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(
C．原点对称
)
D．直线y＝x对称
[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y
＝
1
的图象之间的关系是(
3
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B [因为y＝
)
B．关于y轴对称
D．关于直线y ＝x对称
5
，
2
−
1
2
对称，
5
1
则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝ ×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－ ×2＝－1，
2
2
+
所以
＝5× ＋(－1)× ＝2n.故选C.]
2
2
=1
第4课时 函数的对称性
链接教材
典例精研
夯基固本
核心考点
课时分层作业
名师点评 中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f
+
，
2
2
成中心对称．
(2)双曲线型函数f
+
(x)＝
的图象的对称中心为
+
− ，
.
第4课时 函数的对称性
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典例精研
核心考点
课时分层作业
[跟进训练]
2．(1)若函数f (x)满足f (2－x)＋f (x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(
C．原点对称
)
D．直线y＝x对称
[因为f (x)＝x3＋x为奇函数，所以函数的图象关于原点对称．故选C.]
2．(人教A版必修第一册P116探究改编)在同一平面直角坐标系中，函数y＝3x与y
＝
1
的图象之间的关系是(
3
A．关于x轴对称
C．关于原点对称
B [因为y＝
)
B．关于y轴对称
D．关于直线y ＝x对称
5
，
2
−
1
2
对称，
5
1
则x1＋xn＝x2＋xn－1＝…＝ ×2＝5，y1＋yn＝y2＋yn－1＝…＝－ ×2＝－1，
2
2
+
所以
＝5× ＋(－1)× ＝2n.故选C.]
2
2
=1
第4课时 函数的对称性
链接教材
典例精研
夯基固本
核心考点
课时分层作业
名师点评 中心对称的几种表述形式
(1)函数y＝f (x)的图象关于点(a，b)对称⇔f (a＋x)＋f (a－x)＝2b⇔2b－f (x)＝f
函数的对称性与函数的图象变换课件
轴对称
点对称
如果函数$f(x)$满足$f(k-x) = f(k+x)$ ，则称函数$f(x)$具有点对称性。
如果函数$f(x)$满足$f(-x) = f(x)$， 则称函数$f(x)$具有轴对称性。
函数对称性的分类
01
02
03
偶函数
如果对于定义域内的任意 $x$，都有$f(-x) = f(x)$ ，则称函数$f(x)$为偶函 数。
THANKS
感谢观看
详细描述
在平面坐标系中，顺时针旋转函数图像意味 着将每个点按照顺时针方向移动一定的角度 。具体来说，如果一个点在坐标系中的坐标 为(x, y)，经过顺时针旋转θ角度后，其新的 坐标变为(x', y')，其中x' = x cosθ - y sinθ ，y' = x sinθ + y cosθ。
逆时针旋转
一个函数如果既是奇函数又是偶函数，则被称为既奇又偶函 数。其定义是对于所有x，有f(-x) = -f(x)当且仅当f(-x) = f(x) 。例如，函数y = sin(x)是一个既奇又偶函数，其图像关于原 点对称。
04
函数图象的翻折变换
沿x轴翻折
总结词
当函数图像沿x轴翻折时，图像在x轴 两侧对称。
$y$轴。
对称中心的性质
如果函数$f(x)$具有点 对称性，则其对称中心
为$(k,0)$。
偶函数的性质
偶函数的图像关于$y$ 轴对称。
奇函数的性质
奇函数的图像关于原点 对称。
02
函数图象的平移
向左平移
总结词
当函数图像向左平移时，图像上 的每一个点都沿着x轴负方向移动 。
详细描述
对于函数$y = f(x)$，若图像向左 平移$a$个单位，则新的函数解析 式为$y = f(x + a)$。
函数的对称性及应用
函数的对称性及应用对称性是和谐的表现形式，对称性充分体现了数学的和谐美，给人以审美的愉悦感。
在函数中，函数的对称性是函数的一个基本性质，不仅表现出形式美、结构美，应用到一些数学问题中，更有方法美与思路美。
对称性对于简捷地解决某些函数问题至关重要，它可以帮助我们快速找到突破口。
1、函数内部的对称性（自对称）1.1 关于点对称函数y=f（x）关于点（a，b）对称？圳f（a+x）+f（a-x）=2b，也可以写成f（x）+f（2a-x）=2b。
若写成f（a+x）+f（b-x）=c，则函数f（x）关于点（，）对称。
1.2 关于直线对称函数y=f（x）关于x=a对称？圳f（a+x）+f（a-x），也可以写成f（x）=f （2a-x）。
若写成f（a+x）+f（b-x），则函数f（x）关于直线x= = 对称。
2、函数之间的对称性（互对称）2.1 关于点对称y=f（x）与y=g（x）关于点（a，b）对称？圳f（x）+g（2a-x）=2b或f（a+x）+g（a-x）=2b。
2.2 关于直线对称y=f（a+mx）与y=f（b+mx）（m≠0）关于直线x= 对称。
特别地，y=f（x）与y=f（2a-x）关于直线x=a对称。
3、函数对称性应用举例例1 设二次函数f（x）满足f（x+2）=f（-x+2），且其图像与y轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为2 ，求f（x）的解析式。
解：f（x）关于x=2对称，可设f（x）=a（x-2）2+b。
由4a+b=1，再由x1-x2=2 ？圯2 =2 ，解得a= ，b=-1。
f（x）= （x-2）2-1例2 设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）=f（1-x），当-1？燮x？燮0时，f（x）=- 则f（8.6）= 。
解：f（x）因是定义在R上的偶函数，所以x=0是f（x）对称轴；又f（1+x）=f（1-x）所以x=1也是f（x）对称轴。
故f（x）是以2为周期的周期函数，所以。
高中数学—函数的对称性与周期性—完整PPT
函数的对称性与周期性
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
函数的轴对称
函数的点对称求函数对Βιβλιοθήκη 后的解析式对称轴或对称中心
原函数
对称函数
原点
对称的两函数
对称轴或对称中心
两函数关系式
原点
同一函数的对称性
对称轴或对称中心
函数满足的关系式 无
原点
无
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
函数的周期性
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
例题
第三章第四节函数的对称性复习课件
个单位长度得到的,
又函数 = − 的图象与 = 的图象关于轴对称,所以函数
= 1 − 的图象与 = − 1 的图象关于直线 = 1对称,
又 = − 5 的图象是由 = − 1 的图象向右平移4个单位长度得
到的,所以函数 = 1 − 的图象与函数 = − 5 的图象关于直线
+ 2 = − + 4 ,则 = + 4 ,所以 的周期为4, B正确;
2025 = 4 × 506 + 1 = 1 = e1−1 = e0 = 1, A正确;
当 ∈ (0,1]时, =
∈ [−1,0)时, ∈
e−1 ,则
∈
∴ + 243; 2−
2
+ 2 − + = − 3 + + 6 ⋅
2 − 4 + 13 + 10 + 4 + ,
∴ + 2 − = 2 + 6 2 − 4 + 12 + 10 + 4 + 2 = 2,
C. 直线 = 2对称
D. 直线 = 2对称
[解析] 解法一:函数 = − 5 与函数 = 1 − 的图象关于直线
=
1+5
,即
2
= 3对称,故选B.
解法二:函数 = 1 − 的图象是由 = − 的图象向右平移1个单
位长度得到的,函数 = − 1 的图象是由 = 的图象向右平移1
1
[−1, − ),且
e
1
( , 1],由奇函数的性质,可得当
e
又函数 = − 的图象与 = 的图象关于轴对称,所以函数
= 1 − 的图象与 = − 1 的图象关于直线 = 1对称,
又 = − 5 的图象是由 = − 1 的图象向右平移4个单位长度得
到的,所以函数 = 1 − 的图象与函数 = − 5 的图象关于直线
+ 2 = − + 4 ,则 = + 4 ,所以 的周期为4, B正确;
2025 = 4 × 506 + 1 = 1 = e1−1 = e0 = 1, A正确;
当 ∈ (0,1]时, =
∈ [−1,0)时, ∈
e−1 ,则
∈
∴ + 243; 2−
2
+ 2 − + = − 3 + + 6 ⋅
2 − 4 + 13 + 10 + 4 + ,
∴ + 2 − = 2 + 6 2 − 4 + 12 + 10 + 4 + 2 = 2,
C. 直线 = 2对称
D. 直线 = 2对称
[解析] 解法一:函数 = − 5 与函数 = 1 − 的图象关于直线
=
1+5
,即
2
= 3对称,故选B.
解法二:函数 = 1 − 的图象是由 = − 的图象向右平移1个单
位长度得到的,函数 = − 1 的图象是由 = 的图象向右平移1
1
[−1, − ),且
e
1
( , 1],由奇函数的性质,可得当
e
高中数学总复习 函数的对称性
√D.f(－1)<f(2)<f(1)
因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1).
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
对任意x∈R恒成立，则
√A.f(－1)<f(3)
C.f(－1)＝f(3)
B.f(0)>f(3) D.f(0)＝f(3)
因为f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)， 由于f(x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3).
思维升华
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝ f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 成中心对称.
跟踪训练2 (1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上 单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实 数x的取值范围是 A.(－1,2) B.(－∞，－1)∪(2，＋∞) C.(－2,1)
对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以 f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得 到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x －1)＋1过定点(1,2)，C正确； 对于 D，函数 y＝xx－－1b＝x－bx－＋bb－1＝1＋bx－－b1的图象关于点(3，c) 中心对称，
因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得f(－1)<f(2)<f(1).
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
对任意x∈R恒成立，则
√A.f(－1)<f(3)
C.f(－1)＝f(3)
B.f(0)>f(3) D.f(0)＝f(3)
因为f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(3)＝f(1)， 由于f(x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3).
思维升华
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝ f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 a＋2 b，2c 成中心对称.
跟踪训练2 (1)(2023·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上 单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实 数x的取值范围是 A.(－1,2) B.(－∞，－1)∪(2，＋∞) C.(－2,1)
对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以 f(x－1)＝－f(－x－1)，
所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1,0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得 到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0,1)，故函数y＝f(x －1)＋1过定点(1,2)，C正确； 对于 D，函数 y＝xx－－1b＝x－bx－＋bb－1＝1＋bx－－b1的图象关于点(3，c) 中心对称，
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
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y
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
类比探究中心对称性源自y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
则函数图像关于点 (
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
函数图像关于(a,0)中心对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
从”形”的角度看，
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
（代数证明） 求证
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
F(a-x)+F(a+x)=2b
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x
求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
谢谢!
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
a F(x)+F(2a-x)=0
F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
-x
-3 -2 -1
x
12
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
f ( x ) 有怎样的对称关系式？
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
b
a-x o
a+x
a
x
类比探究中心对称性源自y=F(x)图像关于(a,b)中心对称
y
F(x)+F(2a-x)=2b F(a+x)+F(a-x)=2b
b
o
a
x
思考？
(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,
则函数图像关于点 (
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0
-x
x
函数图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0 F(a+x)+F(a-x)=0
a
函数图像关于(a,0)中心对称
轴对称 函数图像关于直线x=0对称
中心对称性 函数图像关于(0,0)中心对称
a+b 2
,0
) 对称
(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,
则函数图像关于点 (
a+b 2
,C
) 对称
☺ 知识内容：
函数图像的对称性
对称关系式
y=F(x)图像关于x=a轴对称
F(x)=F(2a-x)
F(a-x)=F(a+x)
y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b
函数的对称性
有些函数 其图像有着优美的对称性，
同时又有着优美的对称关系式
知识回顾（偶函数）
从”形”的角度看， Y=F(x)图像关于直线x=0对称
Y
从”数”的角度看， F(-x)=F(x)
F(1)F(1) F(2)F(2)
F(x)F(x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
X
x0
从”形”的角度看，
y=f(x)图像关于直线x=a对称
已知
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
? P(x0,f(x0))
若点P关于直线x=a的对称点P’ P’(2a-x0,f(x0)) 也在f(x)图像上
2a-x0 x0
xa
f(x0)=f(2a-x0) P’在f(x)的图像上 则y=f(x)图像关于直线x=a对称
求证
f(x)=f(2a-x)
( ) 在y=f(x)图像上任取一点P
P’
P(x0,f(x0))
点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上
2a-x0 x0
则有P’的坐标应满足y=f(x) P’(2a-x0,f(x0))
xa
f(x0)=f(2a-x0)
即： f(x)=f(2a-x)
（代数证明） 求证
从”数”的角度看，
Y=f(x)图像关于直线x=2对称
y
f(1)=f(3)
f (x)
f(0)= f(4)
f(-2)=f(6)
4-x
-3 -2 -1 0
1 23
x2
f(310)=f(4-310)
f(x)=f(4-x)
x
x
4567 8
从”形”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称
Y
f (x)
从”数”的角度看，
F(a-x)+F(a+x)=2b
☺ 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想
知识迁移：
已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x
求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？
谢谢!
函数图像关于(0,0)中心对称 奇函数
F(-x)=-F(x) 即：F(-x)+F(x)=0
则y=f(x)图像上图象关于x=a对称
xa
P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)
Y0=f(2a-x0)
函数图像关于直线x=0对称
函数图像关于(0,0)中心对称
F(-x)=F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
F(a-x)=F(a+x) F(x)=F(2a-x)
-x
x
F(-x)=F(x)
F(-x)=-F(x)
函数图像关于直线x=a对称
函数图像关于(a,0)中心对称
x=a
F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x)
a F(x)+F(2a-x)=0
F(a-x)+F(a+x)=0
函数 f ( x ) 图像关于xa轴对称
证明：（必要性）
f(a x )f(a x )x D
f(x)=f(4-x)
f(1+x)=f(3-x) f(2+x)=f(2-x)
对于任意的x 你还能得到怎样的等式？
4-x
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x2
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
Y
-2-x
-3 -2 -1
x=-1
x
x
1 2345678
思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)=f(-2-x)
f(-1+x)=f(-1-x)
Y
-1-x
-3 -2 -1
-1+x
x
1 2345678
x=-1
猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x)
xa
（代数证明） 已知
y=f(x)图像关于直线x=a对称
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(0,0)中心对称
F(-x)+F(x)=0
y
-x
o xa
x
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
F(x)+F(2a-x)=0
y
2a-x o
a
xx
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
从”数”的角度看，
y=F(x)图像关于(a,0)中心对称
-3 -2x x-1x
1xx x 2 3 4 5 6
-x
-3 -2 -1
x
12
F(1)F(1) F(2)F(2)
f( 6x)f( 6x) F(x)F(x)
f (5) f (7) f (4) f (8)
f(6x)f(6x)
f (x)
-x
x
-3 -2 -1
1 2345678
x 6
x0
x6
思考？若函数f ( x ) 图像关于xa轴对称，
轴对称性
y=f(x)图像关于直线x=a对称
f(x)= f(2a-x)
f(a-x)=f(a+x)
xa
特例：a=0
y=f(x)图像关于直线x=0对称
f(x)= f(-x)
思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),
则函数图像关于 直线 x=
a+b 2
对称
类比探究
中心对称性
从”形”的角度看，
f ( x ) 有怎样的对称关系式？
函数y=f(x)图像关于x=a轴对称
f(x)=f(2a-x)
证明： （必要性）
分析： 任取y=f(x)图像上一点P(x0,y0)
？若点P关于直线x=a的对称点P’
也在f(x)图像上．
P’
P(x0,y0) 则由P的任意性可知
y=f(x)图像上每一点及其关于x=a对称点 都在y=f(x)图像上