分式方程例题讲
分式方程例题
分式方程例题分式方程（Rational Equations）是指含有分式（有理式）的方程。
在解分式方程时，我们需要求解使得方程成立的未知数的值。
下面，我们通过几个例题来学习如何解分式方程。
例题一：解方程 $\frac{x}{x-2} = \frac{3}{4}$解答：首先，我们需要注意到分式方程的一个重要性质：在分式方程的两边同时乘上相同的非零数时，等号仍然成立。
利用这个性质，我们可以通过消去分母来解方程。
为了消去方程中的分母，我们可以将方程两边同时乘以$x-2$和$4$的乘积，即：$x(x-2) \times 4 = 3 \times (x-2)$化简得：$4x(x-2) = 3(x-2)$继续化简：$4x^2 - 8x = 3x - 6$移项得：$4x^2 - 11x + 6 = 0$现在，我们需要解这个二次方程。
可以通过因式分解或者使用求根公式来求解。
将方程因式分解得：$(4x-3)(x-2)=0$因此，我们得到两个解：$x=\frac{3}{4}$ 和 $x=2$。
例题二：解方程 $\frac{2}{5x+3} = \frac{3}{2x+1}$解答：同样地，我们要消去方程中的分母。
为了实现这一点，我们将方程两边同时乘以$(5x+3)$和$(2x+1)$的乘积：$2(2x+1) = 3(5x+3)$化简得：$4x+2 = 15x+9$移项得：$15x - 4x = 9 - 2$继续化简得：$11x = 7$因此，解为 $x = \frac{7}{11}$。
例题三：解方程 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x+2}$解答：我们首先可以注意到这个方程中的分母是相邻整数，这对我们来说非常方便。
为了简化计算，我们可以通过一些代换来解决问题。
设 $u = x+1$，那么原方程可以重新表示为：$\frac{1}{u-1} + \frac{1}{u} = \frac{1}{u+1}$将分式凑同分母得：$\frac{u+u-1}{(u-1)u} = \frac{1}{u+1}$继续化简得：$\frac{2u-1}{u^2-u} = \frac{1}{u+1}$通过交叉乘积消去分母得：$(2u-1)(u+1) = (u-1)u$展开并移项得：$2u^2+u-1 = u^2-u$继续移项得：$u^2+2u-1 = 0$现在，我们需要解这个二次方程。
分式方程(知识点+典型例题)完美打印版
考点4 分式方程的特殊解问题【例7】若关于x 的方程2222=-++-xm x x 的解为正数，求m 的取值范围？【例8】已知关于x 的分式方程21a x ++=1的解是非正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a≤-1B ．a≤-1且a≠-2C ．a≤1且a≠-2D ．a≤1【例9】如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是3-和xx--21，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值.【课堂练习】 1、分式方程0131-x 2=+-x 的解为（ ）[来源Com] A ．x=3 B ．x=﹣5 C ．x=5 D ．无解2、关于x 的分式方程=1的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ）A. a≥﹣1B. a ＞﹣1C. a≤﹣1D. a ＜﹣1 3、若分式方程)2)(1(11+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和-2 D 、3 4、关于x 的分式方程1mx +=-1的解是负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞-1 B ．m ＞-1且m≠0 C ．m≥-1D ．m≥-1且m≠05、方程201x xx +=+的根是 。
6、分式方程2111x x x +--=3的解是 。
-3xx --21 B ．A ．7、若关于x 的方程15102x mx x-=--无解，则m= 。
8、已知关于x 的分式方程2122=--x a x 的解为非负数，求a 得取值范围。
9、的值求有增根若分式方程m x x m x x ,)2)(1(11+-=--【课后作业】1、解分式方程x x －2＝2＋3x －2，去分母后的结果是( )A ．x ＝2＋3B ．x ＝2(x －2)＋3C ．x(x －2)＝2＋3(x －2)D ．x ＝3(x －2)＋2 2、若分式的值为0，则x 的值是（ ）A. x=3B. x=0C. x=﹣3D. x=﹣43、若3x 与61x -互为相反数，则x 的值为（ ） A.13 B.－13C.1D.－1 4、若方程32x x --=2mx-无解，则m=——————．5、已知x ＝2y ＋33y －2，用x 的代数式表示y ，则y ＝____．6、解方程：（1）x x 332=-； （2）11322x x x -=--- （3）2240x-11x -=-。
分式方程
中小学教育资源站 1.25222345326235221224563522142451，得解这个整式方程）（）（）（，得）（方程两边同时乘以）（）（）（=+=-+---+=+---+=+--x x x x x x x x x x x x x 的值。
，即可求出然后再令，的字母系数方程，得。
可解关于根为原方程有增根，说明增m x m mx x x 11341=-==分式方程【知识要点】1、分式方程的定义2、解法3、为什么验根4、解分式方程与分式的化简要区别开来，切不可混为一体。
5、分式方程的应用 【典型例题】例1（1）05131=-+-x x （2）41451-=--+x x x 分析：去分母把分式方程转化成整式方程，求解后验根. 解：（1）方程两边同乘以)3(5+x ，得 0)3()1(5=+--x x ，解得 x =2 检验：把x=2代入方程左边， 得 ． ∵左边＝右边，∴x=2是原方程的解． （2）方程两边同乘以(x-4)．∴检验：把x=5代入方程左边， 得 ； 把x=5代入方程右边， 得145141=-=-x ． ∵左边＝右边，∴x=5是原方程的解．点评： 1．解分式方程的思想是转化为整式方程．其一般方法是方程两边同乘以各2．所得结果是否为原方程的解，需要检验． 例2、解下列方程.25615251583263522142451222-=--+++-+=+--x x x x x x x x x ）（；）（分析：解分式方程的关键是去分母，所以化分式方程为整式方程时，要找出各分母的最简公分母，找最简公分母时，要注意把各分母按同一个字母作降幂排列，能因式分解的一定要先进行因式分解。
解： .4.063)55344365553553556535533256152515832222是原方程的解（）（）时，（检验：当，得解这个整式方程）（）（）（，得）（）（）方程两边同乘以（）（）（）（）（）（）（）（=∴≠-=-++==+=++--++-+=-++++-=--+++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x点评：检验是解分式方程的必要步骤，检验的方法是将整式方程得到的根代入最简公分母检验，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，应舍去。
分式方程应用题专题解析
分式方程应用题专题复习一．行程问题（1）一般行程问题1、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
3.甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．（2）水航问题3、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
二．工程问题1、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？2、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？例2 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．三．利润（成本、产量、价格、合格）问题1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
(完整版)分式方程无解增根专题
分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。
人教版八年级上153分式方程例题与讲解
** 分式方程1．分式方程的概念分母中含未知数的方程叫做分式方程．谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．【例1】 下列方程：①x －35＝1，②3x ＝2，③1＋x 5＋x ＝12，④x 2＋2x ＝5.其中是分式方程的有( )．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④解析：根据分式方程的定义知②③④是分式方程，故选D.答案：D2.分式方程的解法(1)解分式方程的基本思路：分式方程――→去分母转化整式方程． (2)解分式方程的一般方法和步骤：①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．(3)对分式方程解法的理解：①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解； ②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．【例2】 解下列方程：(1)7x 2＋x ＋3x 2－x ＝6x 2－1；(2)x 2x －5－1＝55－2x. 解：(1)方程两边同乘x (x ＋1)(x －1)，得7(x －1)＋3(x ＋1)＝6x .解这个方程，得x ＝1.检验：当x ＝1时，x (x ＋1)(x －1)＝0，所以x ＝1是原方程的增根，即原方程无解．(2)方程两边同乘2x －5，得x －(2x －5)＝－5.解这个方程，得x ＝10.检验：当x ＝10时，2x －5≠0，所以x ＝10是原方程的解．3．分式方程的应用分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．列分式方程解应用题的一般步骤：①审：审清题意；②找：找出相等关系；③设：设未知数；④列：列出方程；⑤解：解这个分式方程；⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；⑦答：写出答案．解技巧 构建分式方程的方法 (1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．【例3】 今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？解：设原计划每天生产x 吨纯净水，则依据题意，得1 800x －1 8001.5x＝3， 整理，得4.5x ＝900，解之，得x ＝200.把x ＝200代入原方程，成立，∴x ＝200是原方程的解．答：原计划每天生产200吨纯净水．4．分式方程无解型问题解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值)代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．5．生活中的分式方程列分式方程解实际问题时，关键是从实际问题中找出等量关系．另外，还要注意对方程的根进行检验．检验时，要注意双重检验：既要根据所列方程进行检验，又要根据实际问题进行检验．举例：甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等．已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，问甲、乙两人每天各加工多少个玩具？解：设甲每天加工x 个玩具，则乙每天加工(35－x )个玩具． 根据题意，得90x ＝12035－x ，解得，x ＝15. 经检验，x ＝15是原方程的解且符合实际意义．所以35－x ＝35－15＝20(个)．答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．【例4－1】 已知关于x 的分式方程a －1x ＋2＝1有增根，则a ＝________. 解析：去分母得a －1＝x ＋2，将x ＝－2代入得a －1＝0，解得a ＝1.答案：1【例4－2】 若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3＋2无解，求m 的值． 解：方程两边同乘(x －3)，得x －2＝m ＋2(x －3)．整理，得m ＝－x ＋4.因为当x ＝3时，分式方程无解，所以m ＝1.【例5】 某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．(1)求第一批购进书包的单价是多少元？(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 解：(1)设第一批购进书包的单价是x 元，则第二批购进书包的单价为(x ＋4)元．根据题意，得2 000x ×3＝6 300x ＋4，解得x ＝80. 经检验，x ＝80是原方程的解．答：第一批购进书包的单价是80元．(2)解法一：2 00080×(120－80)＋6 30084×(120－84)＝1 000＋2 700＝3 700(元)． 解法二：2 00080×(1＋3)×120－(2 000＋6 300)＝12 000－8 300＝3 700(元)． 答：商店共盈利3 700元．6．分式方程中的阅读题在解分式方程中的阅读题时，首先要认真阅读题意，仔细观察列举的条件，观察比较所给各方程的特点和它的解与原方程的关系，发现解答过程的错误或探究得出其中的规律，然后根据题目的要求改正题目中的错误或者根据发现的规律解答提出的问题．阅读理解题是新课标理念下的创新题型，应予以重视．7．分式方程中的开放型问题分式方程中的开放型问题，其答案一般不唯一．有两种类型：一是条件开放型问题，二是结论开放型问题．解答这类题目的一般方法是：通过条件，联想有关概念或法则，探求结论．例如：请根据所给方程6x ＋6x －5＝1联系生活实际，编一道应用题．(要求题目完整，题意清楚，不要求解方程) 解：甲、乙两人合作加工一批零件，已知甲比乙每小时多加工5个零件，他们合作6 h 完成了加工任务．问：甲、乙每小时各加工零件多少个？这批零件共有几个？8．列分式方程解答综合性问题解答应用题的关键是弄清题目中的数量关系，选择合适的关系式列出分式方程，求出方程的解来解决问题．如果涉及用其他知识的综合题，应认真分析题意建立适当的数学模型来解答．例如：从甲地到乙地共50千米，其中开始的10千米是平路，中间的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路．小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路和上坡路上保持匀速)．解：设小明在平路上的速度为x 千米/时，根据题意，得136－10x＝3⎝⎛⎭⎫116－20x ， 解得x ＝15.经检验，x ＝15是所列方程的解，且符合题意．答：小明在平路上的速度为15千米/时．【例6】 先阅读下列一段文字，然后解答问题：已知方程x －1x ＝112的解是x 1＝2，x 2＝－12. 方程x －1x ＝223的解是x 1＝3，x 2＝－13. 方程x －1x ＝334的解是x 1＝4，x 2＝－14. 方程x －1x ＝445的解是x 1＝5，x 2＝－15. 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x －1x ＝101011的解．把你解题得到的收获用语言表述出来，和你的同伴互相交流．解：x 1＝11，x 2＝－111.方程的左边是未知数与其倒数的差，方程的右边是比带分数的整数部分大1的数与其倒数的差，此时方程的解就可以直接写出了．【例7】 请选择一组a ，b 的值，写出一个形如a x ＋2＝b 的关于x 的分式方程，使它的解为x ＝2，这样的分式方程可以是__________．解析：根据题意，把x ＝2代入方程a x ＋2＝b 中， 化简整理，得a ＝4b .再任意给出一对a ，b 的值，使其满足a ＝4b 即可．写出一个题目所要求的分式方程，如当a ＝4，b ＝1时，所写的方程为4x ＋2＝1.答案：4x ＋2＝1(不唯一) 【例8】 某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来．解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设(x －20)米．根据题意得350x ＝250x －20，解得x ＝70. 检验：x ＝70是原分式方程的解．答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．(2)设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队(1 000－y )米．由题意，得⎩⎨⎧y 70≤10，1 000－y 50≤10.解得500≤y ≤700. 所以分配方案有3种．方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．。
(完整版)初中数学分式方程典型例题讲解
第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】 1．转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幂的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;3.分式的乘法与除法:b d bd ac ac •=,b c b d bda d a c ac÷=•= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;am●a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= a mb n, (a m)n= amn7.负指数幂: a-p=1pa a 0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如AB(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母.【例1】下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义.【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件：1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
专题5.31 分式方程的应用(题型分类专题)(例题讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)
专题5.31分式方程的应用（题型分类专题）（例题讲解）列分式方程解应用题中考中是必考内容之一，下面结合近几年中考题型举例进行巩固：类型一、直接列分式方程求解1．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？【答案】每个篮球的原价是120元．【分析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是（x﹣20）元，根据题意，得12000x＝1000020x-．解得x＝120．经检验x＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州铜仁·统考中考真题）科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%．结果刚好提前2天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？【答案】该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【分析】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合提前2天完成订单任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，依题意得：2802(140%2)80x x-=+，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只．【点拨】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式2】（2022·贵州贵阳·统考中考真题）国发（2022）2号文发布后，贵州迎来了高质量快速发展，货运量持续增加．某物流公司有两种货车，已知每辆大货车的货运量比每辆小货车的货运量多4吨，且用大货车运送80吨货物所需车辆数与小货车运送60吨货物所需车辆数相同．每辆大、小货车货运量分别是多少吨？【答案】每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨【分析】设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解．解：设每辆小货车货运量x 吨，则每辆大货车货运量()4x +吨，根据题意，得，80604x x=+，解得12x =，经检验，12x =是原方程的解，412416x +=+=吨，答：每辆大货车货运量是16吨，每辆小货车货运量是12吨．【点拨】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．类型二、分式方程✮✮不等式（组）2．（2021·山东济南·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？【答案】（1）乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元；（2）最多购进87个甲种粽子【分析】（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，然后根据“购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个”可列方程求解；（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，然后根据（1）及题意可列不等式进行求解．解：（1）设乙种粽子的单价为x 元，则甲种粽子的单价为2x 元，由题意得：1200800502x x+=，解得：4x =，经检验4x =是原方程的解，答：乙种粽子的单价为4元，则甲种粽子的单价为8元．（2）设购进m 个甲种粽子，则购进乙种粽子为（200-m ）个，由（1）及题意得：()842001150m m +-≤，解得：87.5m ≤，∵m 为正整数，∴m 的最大值为87；答：最多购进87个甲种粽子．【点拨】本题主要考查分式及一元一次不等式的应用，熟练掌握分式方程的解法及一元一次不等式的解法是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·辽宁营口·一模）某单位计划选购甲，乙两种物品，已知甲物品单价比乙物品单价高20元，用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍．(1)求甲，乙两种物品的单价分别是多少元？(2)如果该单位计划购买甲，乙两种物品共80件，且总费用不超过4060元，求最多能购买甲物品多少件？【答案】(1)甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元(2)43件【分析】（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，利用数量＝总价÷单价，结合用240元单独购买甲物品的数量是用80元单独购买乙物品数量的2倍，可得出关于x 的分式方程，解之经检验后，可得出乙物品的单价，再将其代入()20x +中，可求出甲物品的单价；（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4060元，可得出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．解：（1）设乙物品的单价是x 元，则甲物品的单价是()20x +元，根据题意得：24080220x x=⨯+，解得：40x =，经检验，40x =是所列方程的解，且符合题意，∴20402060x +=+=．答：甲物品的单价是60元，乙物品的单价是40元．（2）设购买m 件甲物品，则购买()80m -件乙物品，根据题意得：()6040804060m m +-≤，解得：43m ≤，又∵m 为正整数，∴m 的最大值为43．答：最多能购买甲物品43件．【点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．【变式2】（2023·山东济南·一模）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．(1)求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？(2)若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？【答案】(1)5元(2)7元【分析】（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，根据购进数量比第一次少了30盒列方程即可；（2）设每盒乒乓球的售价为y 元，根据全部销售完后获利不低于510元列出不等式即可．（1）解：设第一次每盒乒乓球的进价是x 元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x 元，由题意得：900900301.2x x=+解得：x ＝5，经检验：x ＝5是原分式方程的解，，且符合题意，答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；（2）解：设每盒乒乓球的售价为y 元，第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为5 1.26⨯=（元），由题意得：()()9009005651056y y ⨯-+-≥，解得：7y ≥．答：每盒乒乓球的售价至少是7元．【点拨】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确理解题意，根据题目中的数量关系列出方程和不等式．类型三、分式方程✮✮一次函数增减性3．（2022·山东东营·统考中考真题）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克.(1)求甲、乙两种水果的进价分别是多少？(2)若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；(2)水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【分析】（1）设乙种水果的进价是x 元/千克，根据“甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克”列出分式方程，解方程检验后可得出答案；（2）设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，根据利润＝（售价－进价）×数量列出y 关于a 的一次函数解析式，求出a 的取值范围，然后利用一次函数的性质解答．（1）解：设乙种水果的进价是x 元/千克，由题意得：()1000120010120%x x=+-，解得：5x =，经检验，5x =是分式方程的解且符合题意，则()120%0.854x -=⨯=，答：甲种水果的进价是4元/千克，乙种水果的进价是5元/千克；（2）解：设水果店购进甲种水果a 千克，获得的利润为y 元，则购进乙种水果（150－a ）千克，由题意得：()()()6485150450y a a a =-+--=-+，∵－1＜0，∴y 随a 的增大而减小，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，∴()2150a a -≥，解得：100a ≥，∴当100a =时，y 取最大值，此时100450350y =-+=，15050a -=，答：水果店购进甲种水果100千克，乙种水果50千克时获得最大利润，最大利润是350元．【点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数与一元一次不等式的应用，正确理解题意，找出合适的等量关系列出方程和解析式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2020·新疆·统考中考真题）某超市销售A 、B 两款保温杯，已知B 款保温杯的销售单价比A 款保温杯多10元，用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同．(1)A 、B 两款保温杯的销售单价各是多少元？(2)由于需求量大，A 、B 两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A 款保温杯的数量不少于B 款保温杯数量的两倍．若A 款保温杯的销售单价不变，B 款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元(2)进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元【分析】（1）设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，根据用480元购买B 款保温杯的数量与用360元购买A 款保温杯的数量相同列分式方程解答即可；（2）设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，根据题意求出0<y ≤40，设总销售利润为W 元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可．（1）解：设A 款保温杯的销售单价是x 元，B 款保温杯的销售单价是（x +10）元，48036010x x=+，解答x =30，经检验，x =30是原方程的解，∴x +10=40，答：A 款保温杯的销售单价是30元，B 款保温杯的销售单价是40元；（2）B 款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元，设购进B 款保温杯数量为y 个，则A 款保温杯数量为（120-y ）个，120-y ≥2y ，解得y ≤40，∴0<y ≤40，设总销售利润为W 元，W =（30-20）（120-y ）+（36-20）y =6y +1200，∵W 随y 的增大而增大，∴当y =40时，利润W 最大，最大为6×40+1200=1440元，进货方式为购进B 款保温杯数量为40个，A 款保温杯数量为80个，最大利润是1440元．【点拨】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．【变式2】（2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少【答案】(1)甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元(2)最低费用为1100元【分析】（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．列出方程即可解答；（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，列出w 关于a 的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．解：（1）设甲类型的笔记本电脑单价为x 元，则乙类型的笔记本电脑为()10x +元．由题意得：1101201x x =+解得：11x =经检验11x =是原方程的解，且符合题意．∴乙类型的笔记本电脑单价为：11112+=（元）．答：甲类型的笔记本电脑单价为11元，乙类型的笔记本电脑单价为12元．（2）设甲类型笔记本电脑购买了a 件，最低费用为w ，则乙类型笔记本电脑购买了()100a -件．由题意得：1003a a -≤．∴25a ≥．()1112100111200121200w a a a a a =+-=+-=-+．∵100-<，∴当a 越大时w 越小．∴当100a =时，w 最小，最小值为110012001100-⨯+=（元）．答：最低费用为1100元．【点拨】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．类型四、分式方程✮✮不等式（组）✮✮一次函数增减性➽➼方案问题4．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）某工厂准备生产A 和B 两种防疫用品，已知A 种防疫用品每箱成本比B 种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A 种防疫用品的箱数与用4500元生产B 种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题：(1)求A ，B 两种防疫用品每箱的成本；(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A 和B 两种防疫用品共50箱，且B 种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？(3)为扩大生产，厂家欲拿出与（2）中最低成本相同的费用全部用于购进甲和乙两种设备（两种都买）．若甲种设备每台2500元，乙种设备每台3500元，则有几种购买方案？最多可购买甲，乙两种设备共多少台？（请直接写出答案即可）【答案】(1)A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱(2)共有6种方案(3)4种，33台【分析】（1）设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，根据题意列出分式方程解得即可；（2）设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，根据题意列得不等式解得即可；（3）先根据（2）求得最低成本，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，根据题意列得方程，解得正整数解即可．(1)解：设B 种防疫用品成本x 元/箱，A 种防疫用品成本()500x +元/箱，由题意，得45006000500x x =+，解得x ＝1500，检验：当x ＝1500时，()5000x x +≠，所以x ＝1500是原分式方程的解，50015005002000x +=+=（元/箱），答：A 种防疫用品2000元/箱，B 种防疫用品1500元/箱；(2)解：设B 种防疫用品生产m 箱，A 种防疫用品生产()50m -箱，()150020005090000m m +-≤，解得20m ≥，∵B 种防疫用品不超过25箱，∴2025m ≤≤，∵m 为正整数，∴m ＝20，21，22，23，24，25，共有6种方案；(3)解：设生产A 和B 两种防疫用品费用为w ，w =1500m +2000（50-m ）=-500m +100000，∵k <0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =25时，w 取得最小值，此时w =87500，设购进甲和乙两种设备分别为a ，b 台，∴2500a +3500b =87500，∴17575b a -=，∵两种设备都买，∴a ，b 都为正整数，∴285a b =⎧⎨=⎩，2110a b =⎧⎨=⎩，1415a b =⎧⎨=⎩，720a b =⎧⎨=⎩，∴一共4种方案，最多可购买甲乙两种设备共28+5=33台．【点拨】本题考查了分式方程、一元一次不等式组、二元一次方程的实际应用，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．举一反三：【变式1】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A 、B 两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A 型机器人比每台B 型机器人每天少搬运10吨，且A 型机器人每天搬运540吨货物与B 型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．(1)求每台A 型机器人和每台B 型机器人每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A 型机器人售价1.2万元，每台B 型机器人售价2万元，该公司计划采购A 、B 两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A 型机器人m 台，购买总金额为w 万元，请写出w 与m 的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？【答案】(1)每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．(2)①0.860w m =-+；②当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【分析】（1）设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；（2）①由题意可得购买B 型机器人的台数为()30m -台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，然后可得1517m ≤≤，进而根据一次函数的性质可进行求解．（1）解：设每台A 型机器人每天搬运货物x 吨，则每台B 型机器人每天搬运货物为（x +10）吨，由题意得：54060010x x =+，解得：90x =；经检验：90x =是原方程的解；答：每台A 型机器人每天搬运货物90吨，每台B 型机器人每天搬运货物为100吨．（2）解：①由题意可得：购买B 型机器人的台数为()30m -台，∴()1.22300.860w m m m =+-=-+；②由题意得：()901003028300.86048m m m ⎧+-≥⎨-+≤⎩，解得：1517m ≤≤，∵-0.8＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =17时，w 有最小值，即为0.8176046.4w =-⨯+=，答：当购买A 型机器人17台，B 型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．【点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．【变式2】（2022·湖南怀化·统考中考真题）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售．优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可；（2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论；（3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．（1）解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =，经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；（2）解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩；（3）解：320270> ，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈，答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点拨】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．。
分式方程应用题无解的例题
分式方程应用题无解的例题1. 什么是分式方程大家好，今天咱们聊聊分式方程，尤其是那些看似很简单但却没解的应用题。
听起来有点复杂对吧？别担心，我会把它说得简单明了，让你像吃糖一样轻松理解。
首先，分式方程就是方程中有分式的那种，比如说，分子和分母都是变量的那种。
看似简单，但它们往往藏着不少玄机，就像人生中的一些小陷阱，走错一步就容易掉进去。
1.1 分式方程的特点分式方程最主要的特点就是它的分母不能为零！你想想，除以零这事儿就像吃火锅时把汤倒掉，没啥好处，对吧？所以，在解这类方程的时候，首先要确认分母不等于零，这样才能继续往下解。
不然的话，你的方程就像一场美梦，醒来后发现啥都没了，真是让人心塞。
1.2 分式方程的应用分式方程的应用非常广泛，比如说在生活中，我们常常需要解决一些比例问题，比如说：某个班级男生和女生的比例，或者两种商品的价格关系等等。
这时候，分式方程就能派上用场。
不过，有时候它也会给我们带来意想不到的麻烦，特别是那些无解的题目。
2. 无解的分式方程实例那么，咱们来看看一个具体的例子吧！假设有这样一道题：一个水池的注水速度是每小时 10 升，排水速度是每小时 5 升。
请问，水池在 2 小时后水的总量为多少？听起来很简单，对吧？我们可以设水池最开始的水量为 x 升。
根据题意，我们可以写出一个方程：frac{x + 10 times 2{5 = 2。
这时候，你可能会开始算了。
首先，把方程两边都乘以 5，得到：x + 20 = 10然后，把 20 移到另一边，变成：x = 10哎呀，这可就糟了！水池的水量不可能是负的，这个方程就没有解。
这就像你去参加聚会，结果发现没菜没酒，光有一群朋友在那边闲聊，心里肯定不爽。
2.1 为何无解？为什么会出现这样的情况呢？很简单，因为这个方程反映了现实中不可能发生的情况。
水池的水量不能是负的，所以无解的分式方程就像人生中的一些错误选择，一旦做出就很难回头。
2.2 生活中的无解生活中有很多事情也是这样的，比如说明明是个阳光灿烂的日子，却偏偏下起了倾盆大雨。
中考分式方程经典例题
中考分式方程经典例题今天咱们来聊一聊分式方程。
分式方程就像一个小谜题，不过只要咱们掌握了方法，就很容易解开它。
我给你们讲个小故事吧。
有一次，小明去商店买糖果。
他带了一些钱，如果他用这些钱去买那种每包5元的糖果，可以比买每包8元的糖果多买6包。
那咱们来看看小明带了多少钱呢？咱们可以设小明带了x元钱。
那么买5元一包的糖果能买的包数就是x÷5，买8元一包的糖果能买的包数就是x÷8。
根据能多买6包这个条件，咱们就可以列出一个分式方程：x÷5 - x÷8 = 6。
咱们来解这个方程。
为了方便计算，先把除法变成乘法，x÷5就变成x乘以1/5，x÷8就变成x乘以1/8。
那方程就变成了1/5x - 1/8x = 6。
通分一下，8/40x - 5/40x = 6，3/40x = 6。
然后x = 6除以3/40，x = 6乘以40/3，算出来x = 80。
所以小明带了80元钱。
还有一个例子呢。
小红和小蓝一起做手工。
小红做一个手工需要x小时，小蓝做一个手工需要比小红多2小时。
如果小红做12个手工的时间和小蓝做8个手工的时间一样，那小红做一个手工需要多久呢？根据这个情况，咱们列出方程：12÷x = 8÷(x + 2)。
同样把除法变乘法，12乘以1/x = 8乘以1/(x + 2)。
交叉相乘就得到12(x + 2)=8x。
展开式子12x+24 =8x。
移项得到12x - 8x=-24，4x=-24，x=-6。
但是做手工的时间不能是负数呀，所以这个答案不符合实际情况，我们就要检查一下解题过程，发现原来是在移项的时候出了错，正确的应该是12x - 8x = 24，4x = 24，x = 6。
所以小红做一个手工需要6小时。
分式方程就像这样，从生活中的小事情里就可以找到它的影子。
咱们只要认真读题，把关系找对，再按照步骤去解，就能够解开这个小谜题啦。
希望你们以后遇到分式方程的时候，也能像这样轻松解决哦。
分式方程的典型例题解析
分式方程的典型例题解析分式方程是一种含有分式的方程，它的解法可以通过化简分式，通分消去分母，然后根据整式方程的解法进行求解。
在解分式方程时，我们需要注意分式的约分和消去分母的方法，以及解方程过程中可能出现的特殊情况。
下面我们通过几个典型的例题来具体解析分式方程的解法。
例题一：求解方程$\frac{2}{x} + \frac{3}{x+2} = \frac{5}{x^2+2x}$。
解：首先将分式方程中的分式通分，得到$\frac{2(x+2)}{x(x+2)} +\frac{3x}{x(x+2)} = \frac{5}{x(x+2)}$。
然后将分式相加并合并同类项，得到$\frac{2x+4+3x}{x(x+2)} =\frac{5}{x(x+2)}$。
继续化简，得到$\frac{5x+4}{x(x+2)} = \frac{5}{x(x+2)}$。
由于等号两边的分式相等，所以分子相等，即$5x+4=5$。
解得$x=1$。
因此，原方程的解为$x=1$。
例题二：求解方程$\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = \frac{3}{x-3}$。
解：同样地，将方程通分，得到$\frac{x-2}{(x-1)(x-2)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3(x-2)}{(x-1)(x-2)}$。
合并同类项，得到$\frac{x-2+2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{3(x-2)}{(x-1)(x-2)}$。
进一步化简，得到$\frac{x-2+2x-2}{(x-1)(x-2)} = \frac{3x-6}{(x-1)(x-2)}$。
继续化简，得到$\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)} = \frac{3x-6}{(x-1)(x-2)}$。
由于等号两边的分式相等，所以分子相等，即$3x-4=3x-6$。
然而，这个方程没有解，因为等号两边的式子相等，无法将方程化简成一个恒等式。
八上数学分式方程常考例题讲解
八上数学分式方程常考例题讲解
1、题目：若关于 x 的分式方程 (x - 2)/(x - 3) - 2 = k/(x - 3) 有增根，则 k = _______．
【分析】
本题考查了增根的定义及分式方程的解法.增根是能整除方程左边的式子的根，然后对方程两边同时乘以(x−3)，化简后，再根据增根求出k的值．
【解答】
解：∵分式方程x−3x−2−2=x−3k有增根，
∴x−3=0，
解得x=3，
∴方程两边都乘以(x−3)得，
x−2−2(x−3)=k，
把x=3代入整式方程得，
k=1．
故答案为1．
2、题目：若关于 x 的分式方程 (2x + a)/(x - 1) - 1 = 1 有正数解，则
a 的取值范围是 _______．
【分析】
本题考查了分式方程的解法.解分式方程时，去分母转化为整式方程是解题的关键.先求出分式方程的解，再根据分式方程有正数解求出a的取值范围．
【解答】
解：去分母得：2x+a−x+1=x−1，
解得：x=−a−2，
由题意可知：−a−2>0，且−a−2=1，
解得：a<−2且a=−3．
故答案为a<−2且a=−3．。
分式方程增根经典例题
分式方程增根经典例题引言分式方程是数学中常见的一类方程，但在解题过程中，有时会遇到一些特殊情况，即分式方程增根。
本文将介绍一些经典的例题，帮助读者理解和掌握分式方程增根的解题方法。
例题一已知方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{3}{y} = 1$，求方程的所有解。
解：根据分式方程的定义，我们可以将方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{3}{y} =1$ 化简为2y+3x=xy。
为了求解该方程，我们可以先将其转化为一般形式：xy−3x−2y=0。
接下来，我们尝试观察方程的特点。
可以发现，方程的左侧可以因式分解得到(x−2)(y−3)=6。
因此，我们可以将方程转化为(x−2)(y−3)=6。
为了求解方程，我们需要找到所有满足(x−2)(y−3)=6的整数解。
根据因式分解的特性，我们可以列举出所有可能的因子组合： 1. (x−2)=1,(y−3)=6，解为x=3,y=9； 2. (x−2)=2,(y−3)=3，解为x=4,y=6； 3. (x−2)=3,(y−3)=2，解为x=5,y=5； 4. (x−2)=6,(y−3)=1，解为x=8,y=4。
综上所述，方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{3}{y} = 1$ 的所有解为(x,y)=(3,9),(4,6),(5,5),(8,4)。
例题二已知方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{1}{x+1} = \\frac{3}{x-1}$，求方程的所有解。
解：将方程 $\\frac{2}{x} + \\frac{1}{x+1} = \\frac{3}{x-1}$ 进行通分，得到$\\frac{2(x+1)}{x(x+1)} + \\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} = \\frac{3x}{x(x-1)}$。
化简后可得2(x+1)(x−1)+(x−1)(x+1)=3x2。
接下来，我们将方程转化为一般形式：2(x2−1)+(x2−1)=3x2，即2x2−2+x2−1=3x2，化简得到x2−2x−3=0。
中考《分式方程》经典例题及解析
分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．经典例题解分式方程1．解方程：2211xx x+=--；【答案】x=0；【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；【解析】解：（1）2211x x x+=-- 去分母得：x 2=2x 2－－ 解得x=0， 经检验x=0是分式方程的解；【点睛】本题考查了解分式方程与解不等式组，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解一元一次不等式组要注意不等号的变化．2．代数式31x -与代数式23x -的值相等，则x ＝_____． 【答案】7【分析】根据题意列出分式方程，去分母，解整式方程，再检验即可得到答案．【解析】解：根据题意得：3213x x =--，去分母得：3x ﹣9＝2x ﹣2，解得：x ＝7， 经检验x ＝7是分式方程的解．故答案为：7．【点睛】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键．1．分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=--x x x x的解是____________． 【答案】()2x x - x=-4【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．【解析】解：∵()222x x x x -=-，∴分式22x x -与282x x -的最简公分母是()2x x -， 方程228122-=--x x x x，去分母得：()2282x x x -=-，去括号得：22282x x x -=-， 移项合并得：2280x x +-=，变形得：()()240x x -+=，解得：x=2或-4，∵当x=2时，()2x x -=0，当x=-4时，()2x x -≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．2. 解方程：24111x x x =+-- 【答案】x=3．【分析】观察可得方程最简公分母为(x 2-1)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．【解析】解：24111x x x =+--去分母得，2(1)41x x x +=+- 解得，x=3， 经检验，x=3是原方程的根，所以，原方程的根为：x=3．【点睛】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要检验．经典例题 分式方程的解1．关于x 的分式方程2m x -﹣32x -＝1有增根，则m 的值（ ） A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3 【答案】D【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m 的值即可．【解析】解：去分母得：m +3＝x ﹣2，由分式方程有增根，得到x ﹣2＝0，即x ＝2，把x ＝2代入整式方程得：m +3＝0，解得：m ＝﹣3，故选：D ．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__． 【答案】-1或5或13-【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【解析】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +≠时，则5141m x m -==±+， 解得：5m =或13-.故答案为：1-或5或13-.【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.1．若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，则m =_________． 【答案】3． 【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值．【解析】解：去分母得：()332x m x =++-，整理得：21x m =+，∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，即20x -=，∴2x =， 把2x =代入到21x m =+中得：221m ⨯=+，解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．2．若分式方程无解，则【答案】±1 【解析】去分母得：x-a=ax+a ，整理得：所以a-1=2a ，解得a=-1；②整式方程无解考点：分式方程的解.1．若关于x 的分式方程32x x -＝2m -A ．m ＜﹣10 B ．m ≤﹣10 【答案】D【分析】分式方程去分母化为整式方程，【解析】解：去分母得35(x m =-+由方程的解为正数，得到100m +>，且则m 的范围为10m >-且6≠-m ，故选【点睛】本题主要考查了分式方程的计算程的分母不可为零是做对题目的关键．2．已知关于x 的分式方程1x k k x x +-=+【答案】12k >且1k ≠． 分析：分式方程去分母得：()(x k +【解析】∵分式方程解为负数，∴-+由211k -+≠±得0k ≠和1k ≠∴k 的取值考点：1.分式方程的解；2.分式有意义的条1．已知关于x 的分式方程21m x +-A ．3B ．4【答案】B 【分析】根据解分式方程，可得分式方程的【解析】解：去分母，得：m+2(x-1)=3，的值为 ．：（1-a ）x=2a ，由于分式方程无解，所以由两种情程无解，即1-a=0，解得a=1；综上a=±1.经典例题x+5的解为正数，则m 的取值范围为（ ） C ．m ≥﹣10且m ≠﹣6 D ．m ＞﹣10且，表示出方程的解，由分式方程的解为正数求出2)x -，解得102m x +=， 且2x ≠，104m +≠，故选：D ．计算，去分母化为整式方程，根据方程的解求出m11-的解为负数，则k 的取值范围是 . )()(211121211x k x x x k k --+=-⇒=-+-+≠±12102k k ⇒. 的取值范围是12k >且1k ≠． 义的条件；3.解不等式；4.分类思想的应用．31x =--的解为非负数，则正整数m 的所有个数为C ．5 D ．6 方程的解，根据分式方程的解为负数，可得不等式，移项、合并，解得：x=52m -， 两种情况：①分母为0，即x=-1,m ≠﹣6求出m 的范围即可．的范围，其中考虑到分式方).数为（ ） 等式，解不等式，即可解题．∵分式方程的解为非负数，∴52m -≥0且52m -≠1，解得：m≤5且m≠3， ∵m 为正整数∴m=1，2，4，5，共4个，故选：B ．【点睛】本题考查了分式方程的解，先求出分式方程的解，再求出符合条件的不等式的解．2．已知关于x 的分式方程433x k x x -=--的解为非正数，则k 的取值范围是（ ） A ．12k ≤-B ．12k -≥C ．12k >-D ．12k <- 【答案】A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．【解析】解：方程433x k x x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-， ∴412x x k -+=-，∴312x k -=--，∴43k x =+， ∵解为非正数，∴403k +≤，∴12k ≤-，故选：A ． 【点睛】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．经典例题1．已知关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+的解满足41x -<<-，且k 为整数，则符合条件的所有k 值的乘积为（ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．无法确定 【答案】A【分析】先解出关于x 的分式方程得到x=63k -，代入41x -<<-求出k 的取值，即可得到k 的值，故可求解． 【解析】关于x 的分式方程2322(2)(3)x k x x x +=+--+得x=217k -， ∵41x -<<-∴21471k --<<-解得-7＜k ＜14 ∴整数k 为-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，又∵分式方程中x≠2且x≠-3∴k≠35且k≠0∴所有符合条件的k 中，含负整数6个，正整数13个，∴k 值的乘积为正数,故选A ．【点睛】此题主要考查分式方程与不等式综合，解题的关键是熟知分式方程的求解方法．1．若关于x 的分式方程21m x x =-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3B ．5C ．3或5D ．3或4 【答案】D 【分析】解带参数m 的分式方程，得到2122m x m m ==+--，即可求得整数m 的值． 【解析】解：21m x x=-，两边同时乘以()1x x -得：()21x m x =-， 去括号得：2x mx m =-，移项得：2x mx m -=-，合并同类项得：()2m x m -=-，系数化为1得：2122m x m m ==+--， 若m 为整数，且分式方程有正整数解，则3m =或4m =，当3m =时，3x =是原分式方程的解；当4m =时，2x =是原分式方程的解；故选：D ．【点睛】本题考查分式方程的解，始终注意分式方程的分母不为0这个条件．经典例题 分式方程的应用1．八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（ ）A ．10x -102x =20B ．102x -10x =20C ．10x -102x =13D ．102x -10x =13【答案】C【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解析】由题意可得，10x -102x =13，故选：C ． 【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 2．某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需80元；如果小明多购买5个毽球，就可以享受批发价，总价是72元．已知按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x 名学生，依据题意列方程得（ ）A ．807250405x x ⨯=⨯+ B ．807240505x x ⨯=⨯+ C ．728040505x x ⨯=⨯- D ．728050405x x ⨯=⨯- 【答案】B 【分析】根据“按零售价购买40个毽球与按批发价购买50个毽球付款相同”建立等量关系，分别找到零售价与批发价即可列出方程．【解析】设班级共有x 名学生，依据题意列【点睛】本题主要考查列分式方程，读懂题1．数学家斐波那契编写的《算经》中有如元钱，则第二次每人所得与第一次相同，【答案】10406x x =+ 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相【解析】解：根据题意得，1040x x =【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用2．如图，著名旅游景区B 位于大山深处增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，BC ＝100≈1.4等数据（1）公路修建后，从A 地到景区B 旅游可（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时结果提前50天完成了施工任务．求施工队【答案】（1）从A 地到景区B 旅游可以少【解析】解：（1）过点C 作AB 的垂线在直角△BCD 中，AB ⊥CD ，sin30°＝CD ∴CD ＝BC•sin30°＝100×＝50（千米）在直角△ACD 中，AD ＝CD ＝50（千米∴AB ＝50+50（千米），∴AC+BC ﹣AB ＝50+100﹣（50+50答：从A 地到景区B 旅游可以少走35千米（2）设施工队原计划每天修建x 千米，解得x ＝0.14，经检验x ＝0.14是原分式方题意列方程得，807240505x x ⨯=⨯+故选：B ． 读懂题意找到等量关系是解题的关键．中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为一次相同，”列分式方程即可得到结论． 06+，故答案为：10406x x =+ 际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关深处，原来到此旅游需要绕行C 地，沿折线A→C→B，修建了一条从A 地到景区B 的笔直公路．请结合等数据信息，解答下列问题： 旅游可以少走多少千米？ 路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的施工队原计划每天修建多少千米？可以少走35千米；（2）施工队原计划每天修建0.14线CD ，垂足为D ，BC，BC ＝1000千米， ），BD ＝BC•cos30°＝100×＝50（千米），千米），AC ＝＝50（千米）， ）＝50+50﹣50≈35（千米）．千米； ，依题意有，﹣＝50，分式方程的解． 若干；若再加上6人，平分40数为x 人，则可列方程_____．题的关键．C→B 方可到达．当地政府为了请结合∠A ＝45°，∠B ＝30°，每天的工效比原计划增加25%，.14千米． ），答：施工队原计划每天修建0.14千米．点评：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角△ACD中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；（2）本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间﹣实际的工作时间＝50，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．。
分式方程解法及增根问题例题
分式方程解法及增根问题例题分式方程解法及增根问题例题在代数学中，分式方程是指方程中含有分式的方程。
在解分式方程时，通常需要使用增根和减根的方法。
本文将介绍分式方程的解法以及增根问题，并提供一些例题进行讲解。
一、分式方程的解法解分式方程的一般步骤如下：1. 化简分式：将分式方程中的分式进行化简，使方程变得更加简单。
2. 通分：将方程中的分式通分，使得方程中的分母相同，便于计算和化简。
3. 求解：利用通分后的方程，进行运算和求解，得出方程的解。
对于分式方程 3/(x+2) = 1/(x-1)，首先可以将分式进行通分，得到3(x-1) = (x+2)。
然后进行计算和求解，得出 x 的值。
二、增根问题在解分式方程时，经常会遇到增根问题。
增根指的是在解出方程的根之外，还需要添加一些特殊的值，以满足方程的条件。
解决增根问题的一般步骤如下：1. 求解得到普通根：按照正常的解方程方法，求解得到方程的普通根。
2. 分析增根条件：分析方程中是否存在增根的条件，例如分式方程中的分母不能为零等条件。
3. 添加增根：根据增根的条件，添加符合条件的增根，让方程能够满足所有条件。
对于分式方程 1/(x-3) = 2/(x+2)，首先可以求解得到普通根 x=4。
然后分析发现，当 x=3 时，方程中的分母为零，因此需要添加增根 x=3，才能满足方程的条件。
三、例题讲解现在，我们通过一些例题来具体讲解分式方程的解法和增根问题。
例题1：解方程 2/(x-1) - 3/(x+2) = 1/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：2(x+2) - 3(x-1) = (x-3)2. 化简得到普通根：2x+4 - 3x+3 = x-33. 求解得到普通根：-x+7 = x-3，得到 x=54. 分析增根条件：当 x=1 时，分式中的分母为零。
5. 添加增根：添加增根 x=1，使得方程满足所有条件。
例题2：解方程 1/(x-2) + 2/(x+1) = 3/(x-3)解题步骤：1. 化简得到通分形式：(x-2) + 2(x-3) = 3(x+1)2. 化简得到普通根：x-2 + 2x-6 = 3x+33. 求解得到普通根：3x-8 = 3x+3，得到矛盾4. 分析增根条件：由于方程中出现了矛盾，需要分析增根条件。
八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案
八年级数学竞赛例题专题讲解8：分式方程附答案分式方程是含有未知数的方程，其中分母含有未知数。
解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，可以通过直接去分母或换元法等方法实现。
有时，在解分式方程时可能会出现增根的情况。
虽然增根必须舍去，但有时也可以利用增根，挖掘隐含条件。
例如，对于一个关于x的方程2x+a/(x-2)=-1，如果其解为正数，则a的取值范围需要注意增根的隐含制约。
另一个例子是已知2/(x(x-1))+A/(x-1)+B/x=C，其中A，B，C为常数，需要求出A+B+C的值。
可以将右边通分，然后比较分子，建立A，B，C的等式。
对于一些复杂的分式方程，不宜直接去分母。
需要运用解分式问题、分式方程相关技巧和方法来解决。
例如，对于方程5x-9/(x-19)+6x-8/(x-9)+4/(x-6)+2/(x-8)=0，或者方程x^2+3x/(x^2+x-4)+11/2=0，或者方程x/(x+1)+1/(x+1)^2=3，需要仔细观察分子、分母间的特点，寻找解题的突破口。
有时，解分式方程需要对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题。
例如，对于方程2kx/(kx+1)-2/(x-1)=0，如果该方程只有一个解，则需要化分式方程为整式方程，并利用增根解题。
对于一些复杂的不定方程，可以通过转化为一元不等式，逐步缩小未知数的取值范围，求出结果。
例如，对于方程1115/(xyz)=1，且x≤y≤z，≥111，然后通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果。
最后，需要注意格式错误和明显有问题的段落，进行删除和小幅度改写，以提高文章的可读性。
1.当$x=\frac{1}{y}$时，原方程变为$\frac{y^2-1}{y}=2$，即$y^2-2y-1=0$。
因此，这个整式方程是$y^2-2y-1=0$。
2.将方程$x^2-3x+4=0$移项得$x^2=3x-4$，代入原方程得$\frac{2x(3x-4)}{x-1}=2x^2-2x-4=0$。
培优专题分式方程培优提高经典例题
培优专题分式方程培优提高经典例题分式方程专题例1：去分母法解分式方程1、$63x-216x^{\frac{2}{3}}-2=12$，解得$x=3$2、$\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+2}-\frac{4}{x-4}-\frac{1}{x-2}=\frac{x^2+3x+2}{(x-1)(x+2)(x-4)(x-2)}=\frac{1}{1}$，解得$x=-\frac{1}{2},1,3$3、$\frac{2x-7}{x-4}+\frac{4-x}{x+2}-\frac{x+6}{x-2}-\frac{x+5}{x-3}=\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$，解得$x=-3,-1,2,3$例2：整体换元与倒数型换元：1、设$y=x+\frac{1}{x}$，则原方程化为$y+2=6y^2$，解得$y=\frac{1}{2},2$，带回原式得$x=-1,\frac{1}{3}$2、设$y=x-\frac{1}{x}$，则原方程化为$y+\frac{1}{y}=2$，解得$y=1,-1$，带回原式得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2},0$3、设$y=\frac{x-1}{x}$，则原方程化为$3y-y^2=2$，解得$y=1,-\frac{1}{2}$，带回原式得$x=2,3$例3：分式方程的增根的意义1、若分式方程$\frac{a_1}{x-2}+\frac{2}{x-4}+2=\frac{x+1}{x}$有增根，则$a_1=6$2、关于x的分式方程$\frac{x}{x-1}-\frac{a}{x}=1$无解，则$a=2$3、若关于x的分式方程$\frac{36x+m}{x(x-1)}-1$有根，则$m=0$例4：一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用．已知甲、乙两车单独运这批货物分别运$2a$次、$a$次能运完；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了$180t$；若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了$270t$．问：⑴乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍；⑵现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时，货主应付车主运费各多少元？(按每运$1t$付运费$20$元计算)解：设甲车每次运货物量为$x$，则乙车每次运货物量为$mx$，丙车每次运货物量为$y$，则有$\begin{cases}2ax=180\\ay=2a-x\\my=270\end{cases}$，解得$x=20,m=3,y=8$，故乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的$3$倍，运费分别为$3600$元、$5400$元和$1600$元。
分式方程例题解析
分式方程例题解析分式方程是含有分式的方程，其中未知量出现在分式中。
解分式方程需要先将方程中的分式化简，然后通过消去分母来求解未知量。
下面是一些分式方程的例题解析。
例题1：求解方程 $\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} = \frac{5}{x^2-x}$首先，我们需要将方程中的分式化简。
观察到分母$x^2-x$可以因式分解为$x(x-1)$，我们可以将方程两边的分式乘以$x(x-1)$，得到：$2(x-1) + 3x = 5$接下来，我们将方程中的未知量移到一边，常数移到另一边，得到：$2x - 2 + 3x = 5$合并同类项，得到：$5x - 2 = 5$然后，我们将常数项移到另一边，得到：$5x = 7$最后，我们将方程两边除以系数，得到：$x = \frac{7}{5}$所以，方程的解为$x = \frac{7}{5}$。
例题2：求解方程 $\frac{1}{x-2} - \frac{2}{3x+1} = \frac{5}{x-2} - \frac{1}{3x+1}$首先，我们需要将方程中的分式化简。
观察到方程两边的分式具有相同的分母$x-2$和$3x+1$，我们可以将方程两边的分式合并，得到：$\frac{1}{x-2} - \frac{5}{x-2} = \frac{2}{3x+1} - \frac{1}{3x+1}$ 化简后，得到：$-\frac{4}{x-2} = \frac{1}{3x+1}$接下来，我们将方程两边的分式乘以分母，得到：$-4(3x+1) = x-2$展开后，得到：$-12x - 4 = x - 2$将未知量移到一边，常数移到另一边，得到：$-13x = 2$将常数项移到另一边，得到：$-13x = 6$最后，我们将方程两边除以系数，得到：$x = -\frac{6}{13}$所以，方程的解为$x = -\frac{6}{13}$。
通过以上两个例子，我们可以看到解分式方程的关键是将方程中的分式化简，并通过消去分母来求解未知量。
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15.3 分式方程 1．分式方程的概念
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
谈重点 分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数．
【例1】 下列方程：①x －35＝1，②3x ＝2，③1＋x 5＋x ＝12
，④x 2＋2x ＝5.其中是分式方程的有( )． A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．②③④
2.分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路：
分式方程――→去分母转化整式方程． (2)解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程； ②解这个整式方程；
③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．
(3)对分式方程解法的理解：
①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；
②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解；
③在解分式方程时，方程两边约去含有未知数的公因式时，若该公因式的值为零，会造成原方程失根，所以在解分式方程时，两边不能同时除以含有未知数的公因式；
④验根的方法：代入原分式方程，看左右两边是否相等，但这种方法较麻烦，直接代入最简公分母验根较为简捷．
解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误．
【例2】 解下列方程：
(1)7x 2＋x ＋3x 2－x ＝6x 2－1； (2)x 2x －5－1＝55－2x
.
3．分式方程的应用
分式方程的应用主要是列方程解应用题，它与列一元一次方程解应用题的基本思路和方法是一样的．
列分式方程解应用题的一般步骤：
①审：审清题意；
②找：找出相等关系；
③设：设未知数；
④列：列出方程；
⑤解：解这个分式方程；
⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；
⑦答：写出答案．
解技巧构建分式方程的方法(1)在实际问题中，有时题目中包含多个相等的数量关系，在列方程时一定要选择一个能够体现全部(或大部分)题意的相等关系列方程；(2)在一些实际问题中，有时直接设出题中所求的未知数可能比较麻烦，需要间接地设出未知数，或设出一个未知数不好表示相等关系，还可设多个未知数，即设辅助未知数．
【例3】今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？
4．分式方程无解型问题
解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值)代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．5．生活中的分式方程
列分式方程解实际问题时，关键是从实际问题中找出等量关系．另外，还要注意对方程的根进行检验．检验时，要注意双重检验：既要根据所列方程进行检验，又要根据实际问
题进行检验． 举例：甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等．已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，问甲、乙两人每天各加工多少个玩具？
【例4－1】 已知关于x 的分式方程a －1x ＋2
＝1有增根，则a ＝________.
【例4－2】 若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3
＋2无解，求m 的值．
【例5】 某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．
(1)求第一批购进书包的单价是多少元？
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
6．分式方程中的阅读题
在解分式方程中的阅读题时，首先要认真阅读题意，仔细观察列举的条件，观察比较所给各方程的特点和它的解与原方程的关系，发现解答过程的错误或探究得出其中的规律，然后根据题目的要求改正题目中的错误或者根据发现的规律解答提出的问题．
阅读理解题是新课标理念下的创新题型，应予以重视．
7．分式方程中的开放型问题 分式方程中的开放型问题，其答案一般不唯一．有两种类型：一是条件开放型问题，二是结论开放型问题． 解答这类题目的一般方法是：通过条件，联想有关概念或法则，探求结论． 例如：请根据所给方程6x ＋6x －5
＝1联系生活实际，编一道应用题．(要求题目完整，题意清楚，不要求解方程)
8．列分式方程解答综合性问题
解答应用题的关键是弄清题目中的数量关系，选择合适的关系式列出分式方程，求出方程的解来解决问题．如果涉及用其他知识的综合题，应认真分析题意建立适当的数学模型来解答．
例如：从甲地到乙地共50千米，其中开始的10千米是平路，中间的20千米是上坡路，余下的20千米又是平路．小明骑自行车从甲地出发，经过2小时10分钟到达甲、乙两地的中点，再经过1小时50分钟到达乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路和上坡路上保持匀速)．
【例6】 先阅读下列一段文字，然后解答问题：
已知方程x －1x ＝112的解是x 1＝2，x 2＝－12
. 方程x －1x ＝223的解是x 1＝3，x 2＝－13
. 方程x －1x ＝334的解是x 1＝4，x 2＝－14
. 方程x －1x ＝445的解是x 1＝5，x 2＝－15
. 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x －1x ＝101011
的解．把你解题得到的收获用语言表述出来，和你的同伴互相交流．
【例7】 请选择一组a ，b 的值，写出一个形如a x ＋2
＝b 的关于x 的分式方程，使它的
解为x＝2，这样的分式方程可以是__________．
【例8】某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种？请你帮助设计出来．。