高二数学(选修-人教A版)-导数的概念--1教案
高中数学选修导数教案
高中数学选修导数教案教学内容：导数教学目标：1. 掌握导数的定义和性质；2. 熟练计算函数的导数；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学重点：1. 导数的定义和性质；2. 函数的导数计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
教学难点：1. 导数的概念理解；2. 函数导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
教学过程：一、导数的概念和定义（15分钟）1. 引导学生回顾函数的斜率概念；2. 引入导数的概念，解释导数的意义；3. 定义导数的数学表达式；4. 讲解导数的几何意义。
二、导数的计算方法（25分钟）1. 讲解函数导数的基本计算公式；2. 讲解常见函数的导数计算方法；3. 指导学生进行函数的导数计算练习；4. 引导学生总结导数计算规律。
三、导数的性质（15分钟）1. 讲解导数的加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则；2. 指导学生理解和应用导数的性质；3. 案例分析导数性质的应用。
四、导数在实际问题中的应用（20分钟）1. 引导学生理解导数在实际问题中的应用；2. 分析实际问题中的导数应用案例；3. 引导学生通过导数解决实际问题。
五、导数综合练习（15分钟）1. 组织学生进行导数综合练习；2. 汇总学生练习成果，进行讲解与讨论；3. 引导学生总结导数知识点。
六、导数知识检测（10分钟）1. 组织学生进行导数知识测试；2. 分析学生测试成绩，评价学生学习效果；3. 引导学生订正错误，巩固导数知识。
教学反思：1. 检查学生对导数概念的理解程度，及时纠正错误认识；2. 引导学生在实际问题中运用导数进行分析和解决；3. 整合导数知识，让学生形成系统的导数理论知识体系。
高中数学新教材人教A版《导数的概念》优秀说课稿模板
高中数学新教材人教A版《导数的概念》优秀说课稿模板一、教学目标•通过本节课的学习，使学生掌握导数的概念和计算方法。
•培养学生分析问题、解决问题的能力。
•培养学生的逻辑思维和推理能力。
二、教学重点•导数的概念的理解。
•导数的计算方法的掌握与运用。
三、教学内容1.导数的定义–导数的定义及其基本含义。
–导数的几何意义。
2.导数的计算–导数的计算公式。
–导数的运算法则。
–利用导数计算函数的极值。
四、教学过程1. 导入导出介绍本节课将学习的内容：《导数的概念》。
2. 导数的定义引导学生思考：如何理解导数的定义？导数的几何意义是什么？通过实际例子向学生解释导数的定义及其基本含义，并讲解导数的几何意义。
3. 导数的计算a. 导数的计算公式•引导学生回顾常见函数的导数计算公式，并通过练习题让学生熟悉常见函数的导数计算方法。
b. 导数的运算法则•介绍导数的四则运算法则，并通过例题让学生掌握导数的运算法则。
c. 利用导数计算函数的极值•引导学生了解导数与函数极值之间的关系，并通过例题让学生掌握如何利用导数计算函数的极值。
4. 练习与巩固通过一些练习题，让学生巩固所学的内容，并引导学生在解题过程中养成合理思维和推理的习惯。
5. 拓展延伸通过拓展延伸的问题，提高学生的思维拓展能力和创新思维能力，并培养学生独立解决问题的能力。
6. 总结与反思总结本节课所学内容，帮助学生巩固所学知识，并引导学生进行思考和反思。
五、教学资源•课本：高中数学教材人教A版。
六、教学评价与作业布置1. 教学评价•对学生掌握导数的概念和计算方法的程度进行评价。
•通过讲解中与学生的互动，对学生的思维能力和逻辑推理能力进行评价。
2. 作业布置布置若干道练习题作为课后作业，巩固所学知识。
七、板书设计•导数的定义•导数的计算公式•导数的运算法则•利用导数计算函数的极值八、教学反思通过此次课堂教学，我发现学生对导数的概念理解较为深刻，能熟练运用导数的计算方法。
《导数的概念》教案新人教A版选修
《导数的概念》教案9（新人教A版选修1-1）课题： 3．1导数的概念（一）-曲线的切线教学目的：1.了解曲线的切线的概念2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程教学重点：理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．教学难点：会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.但导数作为微分学中最主要概念，却是英国科学家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分别在研究力学与几何学过程中建立的.微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿和莱布尼兹的工作.但遗憾的是他们之间发生了优先权问题的争执.其实，他们差不多是在相同的时间相互独立地发明了微积分.方法类似但在用语、符号、算式和量的产生方式稍有差异.牛顿在1687年以前没有公开发表，莱布尼兹在1684年和1686年分别发表了微分学和积分学. 所以，就发明时间而言，牛顿最于莱布尼兹，就发表时间而言，莱布尼兹则早于牛顿.关于谁是微积分的第一发明人，引起了争论.而我们现在所用的符号大多数都是莱布尼兹发明的.而英国认为牛顿为第一发明人，拒绝使用莱布尼兹发明的符号，因此，使自己远离了分析的主流教学过程：一、复习引入：圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线二、讲解新课：１．曲线的切线如图，设曲线c是函数的图象，点是曲线 c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线2.确定曲线c在点处的切线斜率的方法：因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即tan=我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了.三、讲解范例：例1曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程.解：k=∴切线的斜率为2.切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.例2求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方程.解:k=∴切线的方程为y－4=5(x－1)，即y=5x－1例3求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角.分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tanα，求出倾斜角α.解：∵tanα=∵α∈［0，π，∴α=π.∴切线的倾斜角为π.例4求曲线y=sinx在点()处的切线方程.解：k=∴切线方程是，即例5 y=x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标. 解：设点P的坐标(x0，x03)∴斜率3=∴3x02=3，x0=±1∴P点的坐标是(1，1)或(－1，－1)四、课堂练习：1．已知曲线y=2x2上一点A(1，2)，求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程.解：(1)k=∴点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y－2=4(x－1)即y=4x－22.求曲线y=x2+1在点P(－2，5)处的切线方程.解：k=∴切线方程是y－5=－4(x+2)，即y=－4x－3.点评：求切线的斜率与方程，主要转化为求极限，要从切线的斜率的定义出发五、小结：这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线的斜率的概念.要学会利用求极限来得到切线的斜率以及斜率的方程六、课后作业：1. 求下列曲线在指定点处的切线斜率.(1)y=－+2, x＝２处（２）y＝，x＝０处．答案：(1)k=－１２，（２）k=－１七、板书设计（略）八、课后记：。
《导数的概念》教学设计
《导数的概念》教学设计《《导数的概念》教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书(A版)数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.教学内容分析1.导数的地位、2.本课内容剖析教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的.教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习.所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础.另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数.进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度;从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想.教学目的1.使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度;2.使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变教学重点通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念.教学难点使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.教学准备1.查找实际测速中测量瞬时速度的方法;2.为教学流程框图教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质.教学复习准备理解平均速度与瞬时速度的区别与联系．体会模型感受当△t→0时，平均速度逼近于某个常数．提炼模型从形式上完成从平均速度向瞬时速度的过渡．形成概念由物体运动的瞬时速度推广到函数瞬时变化率，并由此得出导数的定义．应用概念理解导数概念，熟悉求导的步骤，应用计算结果解释瞬时变化率的意义．小结作业通过师生共同小结，使学生进一步感受极限思想对人类思维的重大影响．教学过程设计0=1.6 →－9.18《导数的概念》教学设计这篇文章共9711字。
3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)
3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．3．情感、态度与价值观学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．(教师用书独具)●教学建议学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升．●教学流程创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.⇒通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第45页)【问题导思】实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快． 1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？ 【提示】 可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t 1≈t 2时刻时，平均变化率有什么样的特点？ 【提示】 平均变化率接近t 1或t 2时刻的速度． 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(对应学生用书第45页)求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx ＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy . 2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为 Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为 Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为 li mΔt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs ，再用公式v ＝li mΔt →0 Δs，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c ) ＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy ＝2a ·Δx ＋(Δx )2＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a＝2，a＝1.(对应学生用书第48页)求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【思路点拨】本题已知函数解析式，求初速度即t＝0时的瞬时速度，t＝2时的瞬时速度和t∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】(1)当t＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt]，即[0，Δt]，∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，2分Δs Δt＝3Δt－(Δt)2Δt＝3－Δt，3分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(3－Δt)＝3.4分∴物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt]，∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2，6分Δs Δt＝－Δt－(Δt)2Δt＝－1－Δt，7分lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(－1－Δt)＝－1，8分∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.(3)当t∈[0,2]时，Δt＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝210分 v ＝Δs Δt ＝22＝1. ∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.(对应学生用书第48页)1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1， ∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b 【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度． 【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt . ∴当Δt →0时，瞬时速度为4.(对应学生用书第103页)一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵Δs Δt ＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516. 【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( )A ．(1,10)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2.【答案】 B二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →0 s (5＋Δt )－s (5)Δt＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10 【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________.【解析】 f ′(1)＝lim Δx →0 a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a Δx Δx＝2，∴a ＝2. 【答案】 28．若函数f(x)在x＝a处的导数为m，那么limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝________.【解析】∵limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)Δx＝m，则limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m.∴limΔx→0f(a＋Δx)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋f(a)－f(a－Δx)Δx＝limΔx→0f(a＋Δx)－f(a)＋limΔx→0f(a－Δx)－f(a)－Δx＝m＋m＝2m.【答案】2m三、解答题9．已知f(x)＝(x－1)2，求f′(x0)，f′(0)．【解】∵Δf＝(x0＋Δx－1)2－(x0－1)2＝2x0·Δx－2Δx＋(Δx)2，∴ΔfΔx＝2x0Δx－2Δx＋(Δx)2Δx＝2x0－2＋Δx，f′(x0)＝limΔx→0ΔfΔx＝limΔx→0(2x0－2＋Δx)＝2x0－2，把x0＝0代入上式，得f′(0)＝2×0－2＝＝－2.10．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数：s＝3t2＋2t＋1.(1)求从t＝2到t＝2＋Δt的平均速度，并求当Δt＝1，Δt＝0.1时的平均速度；(2)求当t＝2时的瞬时速度．【解】(1)从t＝2到t＝2＋Δt内的平均速度为：Δs Δt＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝3(2＋Δt)2＋2(2＋Δt)＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt＋3(Δt)2Δt＝14＋3Δt.当Δt＝1时，平均速度为14＋3×1＝17；当Δt＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3.(2)t＝2时的瞬时速度为：v＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(14＋3Δt)＝14.11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 【解】 ∵s (t )＝12at 2， ∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3 ＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.(教师用书独具)求函数y ＝1x在x ＝1时的瞬时变化率． 【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝11＋Δx －1＝1－1＋Δx 1＋Δx＝1－1－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx， ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . ∴Δx 趋于0时，Δy Δx 趋于－12. ∴x ＝1时的瞬时变化率为－12.求y ＝x 在x ＝1处的导数．【解】 由题意知Δy ＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx －1)(1＋Δx ＋1)Δx (1＋Δx ＋1) ＝11＋Δx ＋1， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.。
《 导数 的概念》教学设计
《导数的概念》教学设计一、学习内容分析:1.本节内容:导数的概念是高中新教材人教版选修1-1第一章第一节1.1.2的内容，是在学生学习了物理的平均速度和瞬时速度的背景下，以及前节课所学的平均变化率的基础上，阐述了平均变化率和瞬时变化率的关系，从实例出发得到导数的概念。
新教材从平均变化率入手，用形象直观的"逼近"方法定义导数。
2.在课程标准、高考考纲中的地位与作用:"导数的概念"是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性。
3.与前后章节的联系:在前节课所学的平均变化率的基础上学习平均变化率，进而得到导数的概念，为下一节研究导数的几何意义和导数的应用奠定基础。
二、学生分析:1.学生的情感特点和认知特点:学生思维较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础2.已具备的与本节课相联系的知识、生活经验:学生已较好地在物理中学过平均速度、瞬时速度，并学习了一些的关于函数变化率的知识，为本节课学习瞬时变化率、导数做好铺垫。
3.学习本课存在的困难:导数概念建立在极限基础之上，极限是文科学生没有学习过的新知，超乎学生的直观经验，抽象度高;再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度.三、学习环境分析:导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在其它学科中同样具有十分重要的作用.在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.四、学习目标:(1)知识与技能目标:①通过实例分析，经历由平均变化率过度到瞬时变化率的过程，体会导数概念的实际背景。
②会用定义求导数。
(2)过程与方法目标:通过导数概念的形成过程，让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法;领悟"逼近"思想和函数思想;提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力.(3)情感、态度与价值观目标:通过合作与交流，让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。
人教A版高二数学选修函数的单调性与导数-1教案
教案人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。
《左传》关注本店铺，下次再找不迷路杭信一中何逸冬引入好了，复习完了相关求导公式后，我们便来开始今天的学习吧。
我们依然从高台水说起。
左边这幅图是高台跳水动员高度h随时间t变化的函数图象；右边是其速度v随时间t变化的函数图象.通过前面的学习，我们应该已经知道了()v t就是()h t的导数了吧.从起跳点到最高点和从最高点到落水点，运动员的运动状态有么特点呢？【预设】从起跳点到最高点，高度增加，速度大于0；从最高嗲到落水点高度在减小，速度小于0.高台跳水这个情景贯穿整个导数章节.对学生来说是熟悉的情景了.新课【观察】请同学们观察从()v t和单调性有什么关？【预设】(0,)t a∈时，()0v t>，()h t单调递增；(,)t a b∈时，()0v t<，()h t单调递减；【猜想】由于()v t恰好是()h t的导数，由此请同学们猜想，函数的单调性和导数具有什么样的关系呢？【预设】在某区间(,)a b内，如果()0f x'>，那么()f x单调递增；在某区间(,)a b内，如果()0f x'<，那么()f x单调递减.【操作确认】这种情况是否具有一般性呢？请同学们再举一些函数的例子确认一下.【预设1】函数()f x x=在区间(,)-∞+∞上，()0f x'>，()f x单调递增.猜想成立.【预设2】函数2()f x x=通过观察、归纳、猜想、操作确认、解释说明等环节，探究函数的单调性和导数的关系.一方面加深对导数概念的理解，体会数形结合，掌握研究问题的一般思路.猜想有可能正确，也有可能不正确，培养学生对于猜想要有验证的意识.可以通过列举熟悉的函数进行检验.117(2-+【预设】不能，如图可知在此范围呢存在2()x .【方法小结】通过刚才3个例题，请同学们概况利用导数研究函数单调性的一般方法.【预设】1.求导以及定义域；2.研究导数符号；根据导数符号和原函数单调的关系求解单调区间.【例4】水以恒定的速度注入下列四种底面积相同的容器之中.请分别找出各容器对应的水面高度h 和时间t的函数图象.【分析】由于单位时间注入的水的体积相同，因此高度变化与底面积相关.容器2下粗上细，因此开始水面升高较慢，以后高度增加越来越快。
人教数学A版选修】《导数的概念》优秀教学设计
数学
课题
§导数的概念教材分 Nhomakorabea析
重点
导数的定义与求导数的方法
难点
理解导数的概念
疑点
导数与极限的联系，导数在实际问题中有什么应用，函数的连续性与可导性的关系，可通过举例说明（如：y=|x|在点x=0处连续，但不可导）
教
学
目
标
知识目标
了解导数概念的某些实际背景（如光滑曲线的切线斜率、瞬时速度等）；掌握函数在一点处的导数定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
例题 P（1,2）是曲线 +1上的一点，Q是曲线上点P附近的一个点，当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时割线PQ的斜率的变化情况.（图略）
3．巩固练习 P111练习1，2（处理：学生自求）
4．瞬时速度
例题 一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？
说明：1）上例中，如果运用物理所学地匀变速直线运动地速度公式，可得
能力目标
知识迁移应用能力，运用所学的极限定义理解导数的概念，抽象概括能力，分析实际问题中存在的数学关系，抽象提炼产生新的数学概念的能力，直觉思维能力。
情感目标
1．德育渗透点： 运动的观点，辨证地看问题；数学来源于生活，数学理论来源于时间的辨证唯物主义观点。
2．美育渗透点：感受数学的创造美，内容的和谐美
5．巩固练习：P113练习1，2（处理：学生自求）
【小结】
瞬时速度是平均速度 当 趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率 当 趋近于0时的极限。
【提高练习】
1．判断曲线 在点P（1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程。
2．物体的运动方程为s=t3+10，试求物体在t=3时的瞬时速度。
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3.代数式化简，体会极限思想.
计算在 这段时间内的平均速度: 通过前面的探究，我们知道时间变化量无限接近0时，平均速度近似认为是的瞬时速度，我们可以这样来描述：当 时， 的极限值就是运动员在 时的瞬时速度，引入极限符号，表示为： .
例题
（一）理解概念，应用概念求函数在某一点处的导数
例1求函数 在 处的导数.
解：
小结：求函数 在 处的导数的一般步骤：做差、做比、求极限，
1. 求增量（函数值增量 与相应自变量的增量 ），
2. 求比值（ ），
3. 求极限 .
（二）理解概念，应用概念求函数的导数
例2求函数 的导数
解:
学生类比求函数 在 处的导数的一般步骤：作差、作比、求极限，让学生动笔计算，为推导常用函数导数公式做好铺垫.
从特殊点 上升到任意点 瞬时速度的表示，从数量与数量关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言予以表征，发展学生的数学抽象素养.
理解导数的内涵是本节课的教学重难点，通过层层设疑，把学生推向问题的中心，让学生动手操作，收集和整理数据，理解和处理数据，获得和解释结论，概括和形成知识，培养学生的数据分析素养，突出重点，突破难点.
2.领会瞬时变化率的实质，形成导数概念，给出导数的严格数学定义，了解导数内涵.
3.通过导数概念的形成过程，学习归纳、类比的推理方式；体验有限与无限、特殊与一般、化归与转化的数学思想；提高广泛联系、抽象概括能力；培养正确认识量变与质变、运动与静止等对立统一观点，形成正确的数学观.
教学重点、难点：
描述导数的概念及其形成过程.
还有同学会有这样的想法：极短的一段时间内的平均速度可以近似认为是瞬时速度.也就是说：当时间变化量 越来越小时，平均速度 的值越来越接近瞬时速度.
师：首先选取 附近的一段时间 或 ，然后求运动员在 附近的平均速度.
（二）多角度探究、观察分析、发现平均速度与瞬时速度之间的关系规律
我们可计算在 及计算 的平均速度.
当 时， 是一个确定的数，当 变化时， 随着变化吗？ 随着 的变化而变化，形成了函数 的导函数 ，简称导数.
将 代换为 得到：
，即 的导函数为 .
组织学生讨论运动员在 附近的平均速度和瞬时速度之间的关系，教师引导学生以已知探求未知.
(1)学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，以便观察、比较、归纳、提炼实质.
教 案
教学基本信息
课题
导数的概念
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2 （A版）
出版社：人民教育出版社出版日期：2007 年 1 月
教学设计参与人员
姓名பைடு நூலகம்
单位
设计者
实施者
指导者
课件制作者
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.通过对不同背景的分析，与学生共同体验由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数概念的形成过程.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
创设情景，探究高台跳水运动的平均速度与瞬时速度之间的关系
问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 （单位： ）与起跳后的时间 （单位： ）存在函数关系 ，如何求运动员在 时的瞬时速度呢？
提出问题，引发思考.
新课
（一）设计方案，解决问题
由前面物理学科的学习我们会这样思考：物理上分析运动员运动状态，当运动员到达最高点，速度为零，所以运动员从起跳到达最高点所用时间是 ，此时 ，所以当 时，运动员在下落，利用公式 ， 时，瞬时速度为 .
（四）抽象概括，形成函数在某一点处的导数概念
将不同情境下的函数值增量与自变量增量比值中的函数都用 来表示，我们称 为函数 从 到 的平均变化率，当 时， 为函数的瞬时变化率.
将不同情境下的平均变化率问题中的函数都用 来表示，得出函数 在 处的瞬时变化率 即 在 处的导数，记作：
，(也可记为 )
（五）具体抽象到一般，形成函数的导数概念
小结：探究高台跳水运动员在 时的瞬时速度的过程，我们做了五项工作：设计方案、多角度探究、观察分析、发现规律、准确表达.在这里我们引入了“极限”符号，实现了准确表达.
（三）准确表达，明确平均速度与瞬时速度之间的关系
如果我们从 这一具体时刻抽象为一般时刻 ,如何表达运动员在时刻的瞬时速度呢?
将 代替2，可类比得到运动员在某个时刻 的瞬时速度：
作业
求函数 和 的导数
解:因为
所以 .
因为
所以
，
1.借助EXCEL进行“数据运算”为了实现快速、准确计算.
我们的学习活动不仅是获取知识的过程，更应主动发现新问题，引发新思考.请同学们观察我们在 前这段时间内的平均速度在数值上有什么规律吗？
运动员在 左侧平均速度趋近于常数 .
在 后一段时间内的平均速度有同样的规律出现吗？我们可以用同样的方式进行研究，观察数据，也可得到运动员在 右侧平均速度趋近于常数 .
(2)让学生经历观察、分析、比较、归纳、发现规律的过程，体会瞬时速度的含义.
(3)让学生在亲自计算的过程中感受和观察逼近的趋势，这种计算非常美妙，用静态的计算刻画了动态过程的瞬间，就像高速摄影的定格一样.
熟悉符号，鼓励学生尝试用 来计算高台跳水运动员在 前后运动员的平均速度，通过动手计算，培养学生分析，比较和推理能力.
总结
1.本节课你学到了什么？
平均变化率、瞬时变化率、导数的概念；
2.你是如何获得这些知识的？
从特殊到一般，从具体到抽象；
3.通过本节课的学习，谈谈你的体会.
我们学到了研究问题的步骤：提出问题、提出想法、确定方法、实施操作、发现规律.在此过程中体会了无限逼近的数学思想.
这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我熟悉过程. 让学生通过小结，反思学习过程，加深对导数的产生背景和形成过程的印象，从而深刻理解导数概念及其内涵；领会研究问题的方法；明确研究问题的步骤.
小结：已知在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 （单位： ）与起跳后的时间 （单位： ）存在函数关系 ，若求运动员在 时的瞬时速度，我们借助EXCEL进行“数据运算”，计算了在 附近的平均速度，观察所得数据，发现规律：平均速度趋近于常数 ，我们初步认为运动员在 时的瞬时速度为 .
2.使用图形计算器，直观的建立平均速度与瞬时速度的关系.