初中数学解题方法(PDF版)
初中数学解题技巧口诀
有理数的加法运算同号两数来相加，绝对值加不变号异号相加大减小，大数决定和符号互为相反数求和，结果是零须记好【注】“大”减“小”是指绝对值的大小有理数的减法运算减正等于加负，减负等于加正有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负，一项为零积是零合并同类项说起合并同类项，法则千万不能忘只求系数代数和，字母指数留原样去、添括号法则去括号或添括号，关键要看连接号扩号前面是正号，去添括号不变号括号前面是负号，去添括号都变号解方程已知未知闹分离，分离要靠移完成移加变减减变加，移乘变除除变乘平方差公式两数和乘两数差，等于两数平方差积化和差变两项，完全平方不是它完全平方公式二数和或差平方，展开式它共三项首平方与末平方，首末二倍中间放和的平方加联结，先减后加差平方完全平方公式首平方又末平方，二倍首末在中央和的平方加再加，先减后加差平方解一元一次方程先去分母再括号，移项变号要记牢同类各项去合并，系数化“1”还没好求得未知须检验，回代值等才算了因式分解与乘法和差化积是乘法，乘法本身是运算积化和差是分解，因式分解非运算因式分解两式平方符号异，因式分解你别怕两底和乘两底差，分解结果就是它两式平方符号同，底积2倍坐中央因式分解能与否，符号上面有文章同和异差先平方，还要加上正负号同正则正负就负，异则需添幂符号因式分解一提二套三分组，十字相乘也上数四种方法都不行，拆项添项去重组重组无望试求根，换元或者算余数多种方法灵活选，连乘结果是基础同式相乘若出现，乘方表示要记住【注】一提（提公因式）二套（套公式）因式分解一提二套三分组，叉乘求根也上数五种方法都不行，拆项添项去重组对症下药稳又准，连乘结果是基础二次三项式的因式分解先想完全平方式，十字相乘是其次两种方法行不通，求根分解去尝试比和比例两数相除也叫比，两比相等叫比例外项积等内项积，等积可化八比例分别交换内外项，统统都要叫更比同时交换内外项，便要称其为反比前后项和比后项，比值不变叫合比前后项差比后项，组成比例是分比两项和比两项差，比值相等合分比前项和比后项和，比值不变叫等比解比例外项积等内项积，列出方程并解之求比值由已知去求比值，多种途径可利用活用比例七性质，变量替换也走红消元也是好办法，殊途同归会变通正比例与反比例商定变量成正比，积定变量成反比正比例与反比例变化过程商一定，两个变量成正比变化过程积一定，两个变量成反比判断四数成比例四数是否成比例，递增递减先排序两端积等中间积，四数一定成比例比例中项成比例的四项中，外项相同会遇到有时内项会相同，比例中项少不了比例中项很重要，多种场合会碰到成比例的四项中，外项相同有不少有时内项会相同，比例中项出现了同数平方等异积，比例中项无处逃根式与无理式表示方根代数式，都可称其为根式根式异于无理式，被开方式无限制被开方式有字母，才能称为无理式无理式都是根式，区分它们有标志被开方式有字母，又可称为无理式求定义域求定义域有讲究，四项原则须留意负数不能开平方，分母为零无意义指是分数底正数，数零没有零次幂限制条件不唯一，满足多个不等式求定义域要过关，四项原则须注意负数不能开平方，分母为零无意义分数指数底正数，数零没有零次幂限制条件不唯一，不等式组求解集解一元一次不等式先去分母再括号，移项合并同类项系数化“1”有讲究，同乘除负要变向先去分母再括号，移项别忘要变号同类各项去合并，系数化“1”注意了同乘除正无防碍，同乘除负也变号解一元一次不等式组大于头来小于尾，大小不一中间找大大小小没有解，四种情况全来了同向取两边，异向取中间中间无元素，无解便出现幼儿园小鬼当家，(同小相对取较小) 敬老院以老为荣，(同大就要取较大) 军营里没老没少。
初中数学几何题解题技巧
初中数学⼏何题解题技巧⽴体⼏何是初中数学中的重要内容,也是学习的难点,⽽且在中考中⽴体⼏何属于必考点,通常在⼀个题⽬中会包含多个⽴体⼏何的考查点,掌握⽴体⼏何解题技巧⾄关重要。
那么接下来给⼤家分享⼀些关于初中数学⼏何题解题技巧，希望对⼤家有所帮助。
⼀.添辅助线有⼆种情况1按定义添辅助线：如证明⼆直线垂直可延长使它们,相交后证交⾓为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证⾓的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个⼏何定理都有与它相对应的⼏何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质⽽基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防⽌乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：(1)平⾏线是个基本图形：当⼏何中出现平⾏线时添辅助线的关键是添与⼆条平⾏线都相交的等第三条直线(2)等腰三⾓形是个简单的基本图形：当⼏何问题中出现⼀点发出的⼆条相等线段时往往要补完整等腰三⾓形。
出现⾓平分线与平⾏线组合时可延长平⾏线与⾓的⼆边相交得等腰三⾓形。
(3)等腰三⾓形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三⾓形底边上的中点添底边上的中线;出现⾓平分线与垂线组合时可延长垂线与⾓的⼆边相交得等腰三⾓形中的重要线段的基本图形。
(4)直⾓三⾓形斜边上中线基本图形出现直⾓三⾓形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直⾓三⾓形的斜边则要添直⾓三⾓形斜边上的中线得直⾓三⾓形斜边上中线基本图形。
(5)三⾓形中位线基本图形⼏何问题中出现多个中点时往往添加三⾓形中位线基本图形进⾏证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三⾓形不完整时则需补完整三⾓形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带⼀个中点则可过这中点添倍线段的平⾏线得三⾓形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平⾏线得三⾓形中位线基本图形。
初中数学七、八、九年级知识点及公式总结大全(人教版).pdf
初中数学知识点总结九年级数学（上）知识点第二十一章 二次根式 一．知识框架二．知识概念１、二次根式的定义：式子叫做二次根式，其中ａ叫做被开方数。
２、最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式是最简二次根式：（１）被开方数的因数是整数，因式是整式； （２）被开方数中不含有开得尽方的整数或整式。
３、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
４、二次根式的性质：（１）（２）＝|ａ|＝ ａ （ａ＞０）－ａ （ａ＜０） ０ （ａ＝０） （３）积的算数平方根性质：（ａ≥０，ｂ≥０）（４）商的算数平方根性质：ba ba =（ａ≥０，ｂ＞０）５、二次根式的乘法：＝（ａ≥０，ｂ≥０）即两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘。
注意：法则是由积的算数平方根的性质（ａ≥０，ｂ≥０）反过来即得。
６、二次根式的除法：baba =（ａ≥０，ｂ＞０） 注意：法则是由商的算数平方根的性质ba ba =（ａ≥０，ｂ＞０）反过来得到的。
７、二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，在合并同类二次根式，合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变。
注意：二次根式加减混合运算的实质就是合并同类二次根式，不是同类二次根式不能合并。
８、二次根式的混合运算：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。
在运算过程中，有理数（式）中的运算率及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。
９、比较两数大小的常用方法：（１）平方法：若ａ＞０，ｂ＞０，且ａ²＞ｂ²，则ａ＞ｂ；（２）把跟号外的非负因式移到根号内，然后比较被开方数的大小。
第二十二章 一元二次根式 一．知识框 二.知识概念１.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．２.一元二次方程的解法：（1）运用开平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．（2）配方法：将一元二次方程变形为(x+p)２ =q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．（3）公式法：将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•将a、b、c代入式子x=242b b aca−±−就得到方程的根．第二十三章旋转一.知识框架二．知识概念1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)一元一次方程及汇总
第四章一元一次方程及其应用第一节一元一次方程例1、在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可在原方程的两边（）A、乘以同一个数B、乘以同一个整式C、加上同一个代数式D、都加上同一个数例2、方程甲3(x-4)=3x与方程乙x-4=4x同解，其根据是（） 4A、甲方程两边都加上了同一个整式B、甲方程两边都乘以了4/3xC、甲方程两两边都乘以了4/3D、甲方程两边都乘以了3/4例3、方程1⎧1⎡1⎛1⎫⎤⎫x-1⎪-1⎥-1⎬-1=2001的根x=__________。
⎨⎢2⎩2⎣2⎝2⎭⎦⎭例4、1992+1994+1996+1998＝5000- 成立，则中应当填的数是（）A、5B、-900C、-1900D、-2980例5、若P、Q都是质数，以X为未知数的方程PX＋5Q＝97的根是1。
则P2－Q＝____。
例6、有理数111xz、、8恰是下列三个方程的根，则-＝________。
25yx（1）2x-110x+12x+1-=-1 （2）3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3) 3124（3）1⎡1⎤2z-(z-1)=(z-1) ⎥2⎢2⎣⎦327例7、解方程：x-=1990的去处时，某同学误将3.57 错写成3.57，结果与正确答案例8、在计算一个正数乘以3.57相差1.4，求正确的乘积应是多少？ 2829第二节列方程解应用题例1、海滩上有一堆核桃，第一天猴子吃了这堆核桃的2/5，又将4个扔到大海里；第二天猴子吃掉的核桃数加上3个就是第一天所剩核桃数的5/8。
若第二天剩下6个核桃。
问海滩上原有多少个核桃？（20个）例2、古希腊数学家丢番图的墓志铭上记载：“坟中安葬着丢番图，多幺令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途。
初中数学常见解题模型及套路(思路、题眼)总汇
初中数学压轴题常见解题模型及套路（自有定理）A ．代数篇：1．循环小数化分数:设元—扩大——相减（无限变有限）相消法。
例.把0.108108108化为分数。
设S=0.108108108（1）两边同乘1000得：1000S=108.108108（2）（2）-（1）得：999S=108 从而：S=108999余例仿此——2．对称式计算技巧：“平方差公式—完全平方公式”—整体思想之结合：x+y ；x-y ；xy ；22xy中，知二求二。
222222()2()2x y x y x y xy x y x y2222()2()4xy xyx y x y x y加减配合，灵活变型。
3．特殊公式22112x xx x2（）的变型几应用。
4．立方差公式：3322a b a b a abb m （）（）5．等差数列求和的三种方法：首尾相加法；梯形大法；倒序相加法。
例.求：1+2+3+···+2017的和。
三种方法举例：略6．等比数列求和法：方法+公式：设元—乘等比—相减—求解。
例.求1+2+4+8+16+32+ (2)n令S=1+2+4+8+16+32+···+2n（1）两边同乘2得:2S=2+4+8+32+64+ (2)+12n （2）（2）-（1）得：2S-S=12n - 1 从而求得S 。
7．11nmmnmn的灵活应用：如：111162323等。
8．用二次函数的待定系数法求数列（图列）的通项公式f （n ）。
9．韦达定理求关于两根的代数式值的套路：⑴．对称式：变和积。
22221111xy xy xy22；；；xy +x y 等（x 、y 为一元二次方程方程的两根）⑵．非对称式：根的定义—降次—变和积（一代二韦）。
10. 三大非负数：三大永正数；11．常用最值式：2x y （）正数等（非负数+正数）。
12．换元大法。
13．自圆其说加减法与两肋插刀法。
代数式或函数变型（如配方）只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。
（完整版）初二数学因式分解技巧
（完整版）初⼆数学因式分解技巧因式分解技巧⽅法第⼀部分：⽅法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有⼒⼯具．因式分解⽅法灵活，技巧性强，学习这些⽅法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，⽽且对于培养学⽣的解题技能，发展学⽣的思维能⼒，都有着⼗分独特的作⽤．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运⽤公式法、分组分解法和⼗字相乘法．本讲及下⼀讲在中学数学教材基础上，对因式分解的⽅法、技巧和应⽤作进⼀步的介绍．⼀、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)⼆、运⽤公式法.在整式的乘、除中，我们学过若⼲个乘法公式，现将其反向使⽤，即为因式分解中常⽤的公式，例如：（1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．下⾯再补充两个常⽤的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)；例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（）A.直⾓三⾓形 B 等腰三⾓形 C 等边三⾓形 D 等腰直⾓三⾓形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?==三、分组分解法.（⼀）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运⽤公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为⼀组，后两项分为⼀组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
初中数学最值问题解题技巧,初中几何最值问题方法归纳总结
几何最值问题大一统追本溯源化繁为简目有千万而纲为一，枝叶繁多而本为一。
纲举则目张，执本而末从。
如果只在细枝末节上下功夫，费了力气却讨不了好。
学习就是不断地归一，最终以一心一理贯通万事万物，则达自由无碍之化境矣（呵呵，这境界有点高，慢慢来）。
关于几何最值问题研究的老师很多，本人以前也有文章论述，本文在此基础上再次进行归纳总结，把各种知识、方法、思想、策略进行融合提炼、追本溯源、认祖归宗，以使解决此类问题时更加简单明晰。
一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。
由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。
余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。
已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。
证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。
即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。
(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。
上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。
二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。
类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。
（一）直接包含基本图形。
AD一定，所以D是定点，C是直线的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。
初中数学解题方法与技巧(必读)
初中数学解题方法与技巧要学好数学，学会解题是关键。
在进行解题的过程中，不仅需要加强必要的训练，其还要掌握一定的解题规律与技巧。
一、数学思想方法在解题中有不可忽视的作用解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题和老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。
基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。
著名的数学教育家波利亚说“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。
”教师在教学设计中要让解学生好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。
1. 函数与方程的思想函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。
所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。
而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。
2. 数形结合的思想数与形在一定的条件下可以转化。
如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。
因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。
3. 分类讨论的思想分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。
原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。
解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。
常见的类型：类型1 ：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。
初中数学(pdf水印版)—沪教版
【重点】结合具体问题，能列一元一次不等式，解决简单的不等关系问题 【难点】能正确的分析不等关系，建立相应的不等式 第四课时： 【重点】复习一元一次不等式的解法和应用 【难点】性质 3 的正确使用
7.3 一元一次不等式组 第一课时： 【重点】一元一次不等式组的解法 【难点】一元一次不等式组解集的确定 第二课时： 【重点】灵活解一元一次不等式组的解法 【难点】熟练地判断一元一次不等式的解集
4.5 角的比较与补（余）角 第一课时： 【重点】角的大小比较方法以及 【难点】从图形中观察角的数量关系 第二课时： 【重点】两角互补、互余的概念及性质 【难点】从图形中观察角的数量关系
4.6 用尺规作线段与角 第一课时： 【重点】尺规作图的意义、用尺规作一条线段等于已知线段 【难点】让学生理解作图步骤中的语言描述，并会根据画图要求画出图形 第二课时： 【重点】作一个角等于已知角 【难点】让学生理解作图步骤中的语言，并能根据作图要求画出图形
4.3 线段的长短比较 第一课时： 【重点】两条线段长短的比较 【难点】两条线段长短比较的方法 第二课时： 【重点】理解并掌握线段的性质 【难点】掌握并灵活运用线段的性质
4.4 角 第一课时： 【重点】掌握角的表示方法，会用量角器测量角的度数 【难点】掌握角的表示方法 第二课时： 【重点】掌握角的度量单位以及单位之间的换算 【难点】角度的换算以及对方位角的理解
3.4 二元一次方程组的应用 第一课时： 【重点】能根据题意找出等量关系，并能根据题意列二元一次方程组 【难点】正确找出问题中的两个等量关系 第二课时： 【重点】经历和体验用方程组解决实际问题的过程 【难点】用方程组刻画并解决实际问题 第三课时： 【重点】用列表、画图的方法分析题意、建立模型 【难点】如何应用列表法、图像法分析问题、建立模型
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法01和差法对于不规则图形实施分割、叠合后，把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示，再求面积．贵港中考如图1，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与弧AB交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作弧CE交OB于点E，若OA= 4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) ．图1解析: 图形中的阴影部分是不规则图形，较难直接计算．注意到阴影部分是环形BECA的一部分，因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积，又图形DCA的面积等于扇形DOA 的面积减去△ODC的面积．图2如图2，连接OD交弧CE于M．因为OA=4，C是OA的中点，CD⊥OA，所以OD=4，OC=2，DC=2√3，所以∠ODC=30°，∠DOC=60°02割补法对图形合理分割，把不规则图形补、拼成规则图形会，再求面积.吉林中考如图3，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若弧AB和弧BC都经过圆心O，则阴影部分的面积是( 结果保留π) ．图3解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后，可以补到上方两个空白的新月形的位置．是否能够完全重合，通过计算验证即可．图4如图4，过点O作OD⊥AB于D，连接OA、OC、OB．由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO，03等积变形法运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.天水中考如图5，以AD为直径的半圆O经过Ｒt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E，B、E 是半圆弧的三等分点，弧BE的长为2π/3，则阴影部分的面积为图5解析: 阴影部分是Ｒt△ABC的一部分，运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积．连接BD、BE、BO、OE，如图6．图6因为点E、B是半圆弧的三等分点，所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°，所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°，所以BE∥AD．04平移法一些图形看似不规则，将某一个图形进行平移变换后，利用平移的性质，把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算．2019年黄石中考模拟如图7，从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上)，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦，且与小半圆相切，AB∥MN，已知AB=12cm，则阴影部分的面积是．图7解析: 因为AB∥MN，由平行线间的距离处处相等，可以平移小半圆，使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合，这样不规则的阴影图形就变成一个环形.图8如图8．过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OB，设大半圆的半径为Ｒ，小半圆的半径为r.05旋转法一些图形看似不规则，把某个图形进行旋转变换后，利用旋转的性质，把不规则图形的面积转化为规则图形的面积，再进行计算．安顺中考如图9，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为图9解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐，根据已知条件及圆的旋转不变性，利用图形的旋转可实现解题．图10如图10，连接OE 交BD于M．因为CD 是⊙O 的切线，所以OE⊥CD，又AB∥CD，则OE⊥AB，而OE=OB，易知△OBM ≌△EDM，把△OBM绕点M旋转180°就会转到△EDM，阴影部分就转化为扇形BOE，恰好是半径为2的圆的四分之一，06对称法一些图形看似不规则，利用轴对称和中心对称的性质，把不规则图形进行轴对称和中心对称变换，转化为规则图形的面积，再进行计算．赤峰中考如图11，反比例函数y=k/x( k＞0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点，且A( 1,√3) ，图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) ．图11解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性———既是轴对称图形，又是中心对称图形，可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积．过点A作AD⊥x轴于D，如图12．图12因为A( 1，√3) ，所以∠AOD=60°，OA=2，又因为点A、B关于直线y=x对称，所以∠AOB=2×( 60°－45°)=30°．07整体法当已知条件不能或不足以直接求解时，可整体思考，化单一、分散为整体，把所求的未知量整体转换为已知量，再将问题整体化求解．安徽中考如图13，半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离，A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点，则图中阴影部分的面积是图13解析: 由已知条件，分别求阴影部分的圆心角不易求得，但将五个扇形的圆心角合为一整体，它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°，所以阴影部分面积是一个整圆的面积，所以S阴影=π．08方程法有些图形的局部可以看成某个规则图形，或某些图形具有等面积的性质，这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示，再解方程( 组) ，求出图形的面积．2019年武汉模拟如图14，在边长为2的正方形ABCD 中，分别以2为半径，A、B、C、D 为圆心作弧，则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) ．图14解析: 仔细观察图形，有两种相同特征的图形在正方形内部，一起围成所求的阴影部分．设弧AC与弧BD交于点G，连接BE、EC，如图15．图15设形如AED 图形的面积为x，形如DEG 图形的面积为y，那么S阴影= S正-4 ( x+y) ，只需求出(x+y)的结果即可．09推算法某些题目运用已知条件，和图形的性质或定理进行推理，可把阴影部分面积用某个式子表示，从而求得不规则图形的面积．南宁中考如图16，Ｒt△ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆，那么阴影部分的面积为平方单位．图16解析: 设左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，整个图形的面积可以表示成: 以AC 为直径的半圆+ 以BC为直径的半圆+△ABC．也可以表示成: S1+S2+以AB为直径的半圆。
初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第08章-二次方程与方程组
第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。
例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。
（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。
（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。
（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。
例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。
求ab ab ba b a --++的值。
例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。
求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。
初中数学解题技巧(超级完整).
初中数学选择题、填空题解题技巧(完美版)选择题目在初中数学试题中所占的比重不是很大，但是又不能失去这些分数，还要保证这些分数全部得到。
因此，要特别掌握初中数学选择题的答题技巧，帮助我们更好的答题，选择填空题与大题有所不同，只求正确结论，不用遵循步骤。
我们从日常的做题过程中得出以下答题技巧，跟同学们分享一下。
1.排除选项法：选择题因其答案是四选一,必然只有一个正确答案,那么我们就可以采用排除法,从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案,那么留下的一个自然就是正确的答案。
2.赋予特殊值法：即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。
用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。
3.通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果：这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。
4、直接求解法：有些选择题本身就是由一些填空题,判断题,解答题改编而来的,因此往往可采用直接法,直接由从题目的条件出发,通过正确的运算或推理,直接求得结论,再与选择项对照来确定选择项。
我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。
如:商场促销活动中,将标价为200元的商品,在打8折的基础上,再打8折销售,现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元5、数形结合法：解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。
6、代入法：将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。
7、观察法：观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。
8、枚举法：列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。
例如，把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )(A)5种(B)6种(C)8种(D)10种。
分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选 B.9、待定系数法：要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。
初中数学几何必杀技八大模型(pdf)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载!精品文档，名师推荐！初中几何必杀技一一八大模型MH）手拉手模型一旋转型全等1.等边三角形条件:如图1,AOAB,△OCD均为等边三角形.结论:①左OAC^AOBD；②ZAEB= 60°；③EO平分匕AED.2.等腰直角三角形条件:如图2.AOAB,△OCD均为等腰直角三角形.结论:①左QAC丝△OBD ；②ZAEB= 90°；③EO平分/AED.3.任意等腰三角形条件:如图3,AQAB,AOCD均为等腰三角形,OA=OB,OC=OD,ZAOB=ZCOD. 结论:①左OAC^/\OBD；② ZAEB=ZAOB；③ EO 平分/AED.模型二）手拉手模型一旋转型相似1.一般情况条件:如图4,CD//AB,将△OCD旋转至右图位置.结论:右图中①左OCDw AOAB, AOACco AOBD；②延长AC交BD于点E,必有ZBEC=ZBOA.2.特殊情况条件:如图5,CD//AB,ZAOB=90°,将△OCD旋转至右图位置.结论:右图中①左OCD GO AOAB, AOACco AOBD,②连接AC,BD交于点E,必有ZBEC=ZBOA；®|^ = ^ = ^ = tanZOCD；@BD±AC;⑤连接AD,BC,必有AD2 +BC2=AB2+CD2；⑥S mABCD = yACX BD（对角线互相垂直的四边形）.对角互补模型1.全等型一90°条件:如图6①，①ZAOB = ZDCE= 90°；②OC平分ZAOB.结论：®CD=CE；② OD+OE=7^OC；③=扌8气证明提示：①过点C作CM丄OA于点M,CN丄OB于点N,如图②，证明△ CDM^△ CEN；②过点C作CF丄。
C,如图③，证明△ ODC^AFEC.当ZECD的一边交A。
的延长线于点D时，如图④，结论：（DCD=CE（不变）；②OE— OD=72OC；③ S ACCE—S A0CD =yOC2.以上结论证明方法与前一种一致,可自行尝试. A图4图62,全等型一120°条件：如图7①，①ZAOB = 2ZDCE= 120°；②OC平分ZAOB.结论:① CD= CE；② OD+OE= OC；③ S* + S ACCE =^OC2.证明提示：①可参考“全等型一90°”证明结论①；②如图②，在OB上取一点F,使OF=OC,证明△ ECF 丝△DCO.当匕DCE的一边交AO的延长线于点D时，如图③，结论：①CD=CE；（DOE—OD= OC；®S ACCE—Sg =^OC.以上结论证明方法与前一种一致.3.全等型一任意角a条件：如图8①，①/AOB = 2a,ZDCE=180°—2a;②CD=CE.结论：①OC平分ZAOB:②OD + OE=2OC - cosa;③S A0CD + S ACCE = OC2• sina •cosa.当/DCE的一边交AO的延长线于点D时（如图②），结论：①0C 平分ZAOB OD = 2OC - cosa；③S ACC£ -S ACCD = 0C2• sina , cosa.可参考上述方法进行证明.对角互补模型总结：①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；③两种常见的辅助线作法；④注意OC平分ZAOB时,ZCDE=ZCED=ZCOA=ZCOB如何推导.模型四）角含半角模型90。
初中数学10大解题方法及典型例题详解
初中数学10⼤解题⽅法及典型例题详解初中数学10⼤解题⽅法及典型例题详解1、配⽅法所谓配⽅，就是把⼀个解析式利⽤恒等变形的⽅法，把其中的某些项配成⼀个或⼏个多项式正整数次幂的和形式。
通过配⽅解决数学问题的⽅法叫配⽅法。
其中，⽤的最多的是配成完全平⽅式。
配⽅法是数学中⼀种重要的恒等变形的⽅法，它的应⽤⼗分⾮常⼴泛，在因式分解、化简根式、解⽅程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等⽅⾯都经常⽤到它。
例题：⽤配⽅法解⽅程x2+4x+1=0，经过配⽅，得到( )A．(x+2) 2=5 B．(x－2) 2=5 C．(x－2) 2=3 D．(x+2) 2=3 【分析】配⽅法：若⼆次项系数为1，则常数项是⼀次项系数的⼀半的平⽅，若⼆次项系数不为1，则可先提取⼆次项系数，将其化为1后再计算。
【解】将⽅程x2+4x+1=0，移向得：x2+4x=－1，配⽅得：x2+4x+4=－1+4，即(x+2) 2=3；因此选D。
2、因式分解法因式分解，就是把⼀个多项式化成⼏个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的⼀个有⼒⼯具、⼀种数学⽅法在代数、⼏何、三⾓等的解题中起着重要的作⽤。
因式分解的⽅法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、⼗字相乘法等外，还有如利⽤拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
例题：若多项式x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），则m的值为（）A．-2 B．2 C．0 D．1【分析】根据因式分解与整式乘法是相反⽅向的变形，先将（x-1）（x+3）乘法公式展开，再根据对应项系数相等求出m的值。
【解】∵x2+mx-3因式分解的结果为（x-1）（x+3），即x2+mx-3=（x-1）（x+3），∴x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，∴m=2；因此选B。
3、换元法换元法是数学中⼀个⾮常重要⽽且应⽤⼗分⼴泛的解题⽅法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在⼀个⽐较复杂的数学式⼦中，⽤新的变元去代替原式的⼀个部分或改造原来的式⼦，使它简化，使问题易于解决。
初中数学解题技巧总结大全
初中数学解题技巧总结⼤全初中数学解题技巧总结⼤全今天⼩编为⼤家整理了⼀篇有关初中数学解题技巧总结⼤全的相关内容，以供⼤家阅读！⼀、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，最后得到题⽬的所求。
2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关；在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某⼏个特殊值，代⼊原命题进⾏验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题⽬所给的四个结论逐⼀代回原题的题⼲中进⾏验证，把错误的淘汰掉，直⾄找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是⼀步到位，⽽是逐步进⾏，既采⽤“⾛⼀⾛、瞧⼀瞧”的策略；每⾛⼀步都与四个结论⽐较⼀次，淘汰掉不可能的，这样也许⾛不到最后⼀步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，⼜揭⽰其⼏何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利⽤这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
⼆、常⽤的数学思想⽅法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，⼜揭⽰其⼏何意义；使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利⽤这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与⼀般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查；这种分类思考的⽅法，是⼀种重要的数学思想⽅法，同时也是⼀种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式⼦具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式⼦中待确定的字母得值就可以了。
初中数学解题的几种策略
例 ２ 如图 １ ，已知 ａ ｂ为 数 轴 上 的 点 ， ， 则 的值为— —
．
例 １ 设 ２０ ａ ０ ３ ＝２ ０ ｂ ０ ４ ＝２ ０ ｃ，ｂ ０ ５ ａ ｃ＞０ 且 ，
￣０ ａ＋ ０ ｂ＋０５’ ／ ０ ２ ２ ４２ ２ ｃ ： ２３ ０ ０２
糯 ， ＋１＋１： 则 一 一
《 数理化解题研究） ｏ１年第 ７ ｚｌ 期
由．
数学篇 的值 呢？
ｌ １
简解 （ ） （ ）略．（ ） １、 ２ ３
可能 ， 如图 ３ ① 当 Ｐ与 Ａ重合 ．
时， 与 Ｄ重合． Ｑ 所以Ｐ Ｑ＝Ｑ ， ｃ ｚｐ ｑ是等腰三角形 ， ｘｃ 此时 ＝
＼
， ／
新 思路之一 因为 ＝ｌ所 以 ｃ ＝ 一ｌ所 ， Ｑ ，
二 、 解条 件缺 少型试 题 巧 例 ３ 已知 ， ， ｌ＝ｋ ｌ ， ｋｘ＋６， Ｙ ２ ， ｌ＋Ｙ ， ， ２
ｌ ２
数学篇
《 数理化解题研究） ｏ 年第 ７期 ２ｎ
＝Ｂ ＋Ｄ 所 以 Ｅ ＝ ６—４ ：２ｃ 那 么在 Ｅ Ｃ Ｅ， Ｆ ｍ， Ｆ上 运 动 时间为 １ ， 以 Ａ ＝Ａ —Ｈ ＝Ｂ 秒 所 Ｈ Ｆ Ｆ Ｃ＋Ｄ 一 Ｅ
ｌ ￣ ０ ３ ＝ ，； ０ Ｊ ２
１， ０ －－ ０ ４ ＝ ￣２ １
，
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图
ａ
２５ 与代入已知式 ， ０＝ ｏ
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．
只要根据 ｂ 得 吉 ＋ ＋ ＋ ， ＋ 置 ，取特殊值法 ： １３ （ ， ａ， 在数轴上的位 ＋ 寺＝ 所 ａ 寺 可 以取 ａ＝ｌ如图 ，． 口ｂ的取值不唯一 ， １ ｃ 以 丢 ， ｂ＝一 只要
法， 可使 问题 获得 解决． 解 因为 Ｙ １＝ｋ Ｙ ｌ ２＝ｋｘ＋ｂＹ＝Ｙ ， ２ ， １＋Ｙ ， ２所
初中数学规律题解题基本方法
初中数学规律题解题基本方法（一）数列的找规律初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法——看增幅（一）如增幅相等（此实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：a+(n-1)b，其中a为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a+(n-1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅相都是6，所以，第n位数是：4+(n-1)×6＝6n－2（二）如增幅不相等，但是，增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n位的增幅；2、求出第1位到第第n位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
举例说明：2、5、10、17……，求第n位数。
分析：数列的增幅分别为：3、5、7，增幅以同等幅度增加。
那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：3+2×(n-2)=2n-1，总增幅为：［3+（2n-1）］×(n-1)÷2＝（n+1）×(n-1)＝n2-1所以，第n位数是：2+ n2-1= n2+1此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。
（三）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
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初中数学解题方法或技巧目录一、通用解题方法（解题三步骤）： (2)1.具体内容： (2)2.解题三步骤本质是： (2)3. 学生中常见的两种不正确的做法： (2)4.结果和过程的关系： (3)二、解题通用方法的应用 (3)1.七年级上册例题： (3)2.七年级下册例题： (3)3.八年级上册例题： (5)4.八年级下册例题： (6)5.九年级上册例题： (7)6.九年级下册例题： (9)三、时间控制： (11)1.考试时的时间控制： (11)2.平常的时间控制： (12)四、初中生常见的一些问题及解决方法： (12)1.应对生理的变化： (12)2.建立良好的人际关系： (12)3.观念的转变： (13)4.对待情绪的认识和态度： (13)5.在知识学习方面： (13)6.家务劳动方面： (14)7.目标与执行： (14)一、通用解题方法（解题三步骤）：1.具体内容：2.解题三步骤本质是：目标导向。
3.学生中常见的两种不正确的做法：1)只重过程：看到一道题，题都没看完，就开始着急做，不管有没有思路，思路是否正确，计算量大不大，就开始动笔，可能做到一半就发现没法进行了，也不舍得放弃。
给的条件肯定是多的，如果没有目标导向，那就是做到哪是哪，靠运气，可能到进行不下去了，才发现走偏了，时间也浪费了，你也会更着急。
2)只重结果：做题时先看一下问题，特别是选择题，半做半蒙。
题上给的条件与问题之间可能能找到部分联系，不深究不严谨的地方，我感觉这样是对的，就走下去了。
看着好像掌握的还不错，其实学过的知识都是浮于表面的，就靠着自己的一点儿小聪明，在那学习，知识不连贯，串不起来。
这样的，不叫聪明，只能算是小聪明。
聪明加勤奋才能取得优秀的结果，何况这都算不上聪明。
4.结果和过程的关系：两者都重要，缺一不可，但相比来说，结果比过程稍重要。
二、解题通用方法的应用1.七年级上册：列方程解应用题：《九章算术》中“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。
问人数、羊价各几何？”题意是若干人买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元。
求人数和羊价各是多少？解题三步骤（思路）：a)看问题：应用题，求的是具体的值，所以要列方程。
一般求什么，就设什么？这里我们设人数为x人；（像这种含有古文类型的题，前面都不用看，直接从“题意是”开始看。
）b)看条件：有三个，分别是：①若干人买羊；②每人出5元，则差45元；；③每人出7元，则差3元。
c)找联系：列方程要找等量关系，具体到这道题，就是不管每人出几元，羊价是不变的（或相等的），复杂一点的，先把等量关系式列出来，在代入数字和未知数。
解题过程：解：设人数是x人；5x + 45 =7x + 3解得，x=21.羊价=5x + 45=150.答：人数是21人，羊价是150元。
2.七年级下册：(2019河南新乡长垣期末)如图，∠1=80°，∠2=100°，∠C=∠D.（1）判断BC与DE的位置关系，并说明理由。
（2）若∠A=35°，求∠F的度数。
CDEF原图 标记后的图解题三步骤（思路）：a) 看问题：第一问问的是BC 与DE 的关系，从图上看像平行，那就猜它们的关系式平行，看看能不能证明出来（从平行线的判定出发，有三种角的关系可以证明），并将目标用圆圈标在图上？第二问，如果它们是平行关系，∠A 与∠F 是内错角关系，知道了∠A 的度数，∠F 的度数也就知道了。
（“判断XX 与XX 的关系，并说明理由”这是一种常见的问法，前半句是要求你答题开始时就下个结论，不管证不证的出来，至少给1分；后半句就是要你写出证明过程。
） b) 看条件：一共四个，分别是：①∠1=80°，②∠2=100°，③∠C =∠D ，④图形；并将条件在图上标出来。
①②④可以推出∠1+∠2=180°，位置关系是同旁内角，可以继续推出BD ∥CE.其他的暂时看不出来。
c) 找联系：要证BC ∥DE ，那肯定得从“三线八角”模型出发，现在两条直线有了，就差截线了，截线可以是BD 或CE ，看条件③，分别有两条截线有联系，要往一起凑，需要找个中间量∠CED ，∠C 和∠D 与中间量的关系，可以从BD ∥CE 得出，这样就有了严谨的逻辑。
解题过程： 解：（1）BC ∥DE ，理由如下： ∵∠1=80°，∠2=100°； ∴∠1+∠2=180°∴BD ∥CE （同旁内角互补，两直线平行）∴∠D +∠DEC =180°（两直线平行，同旁内角互补。
） 又∵∠C =∠D∴∠C +∠DEC =180°（等量代换） ∴BC ∥DE （同旁内角互补，两直线平行） （2） 由（1）知BC ∥DE ，∴∠A =∠F （两直线平行，内错角相等） ∵∠A =35° ∴∠F =35°。
12ABCDEF这道题的第一问也可以用内错角来证明，同学们可以自己思考一下。
3.八年级上册：（2017江苏苏州中考）如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE和BD 相交于点O.（1）求证：△AEC≅△BED；（2）若∠1=42°，求∠BDE的度数。
BB原图标记后的图解题三步骤（思路）：a)看问题：第一问要证两个三角形全等，那就要想到判定全等的5个定理。
第二问要求∠BDE的度数，由第一问的全等可得：∠BDE=∠C，就转化为求∠C的度数了，在一个三角形中了，就给了一个角的度数，可能是等腰或直角。
b)看条件：给了四个条件，分别是：①∠A=∠B，②AE=BE，③∠1=∠2，④图形；并将条件标到图上。
c)找联系：①②条件可以直接用，是AS，条件③是关于角的，那就猜用ASA，要证∠BED=∠AEC或者用AAS，要证∠BDE=∠C；两种方法都从条件③④推出，看哪种能推出来，哪个简单，就用哪种。
第一问的方法：第一种：要证∠BED=∠AEC，两者有公共角∠AED，所以只需证∠1=∠BEA；知道∠1=∠2，那看能不能证出∠BEA=∠2？你会看到△BOE和△AOD组成一个“8”模型，∠BOE=∠AOD,①∠A=∠B，这两个条件一结合，就可以证出来了。
倒推正着写就可以了。
第二种：要证∠BDE=∠C，而且要和∠1、∠2联系在一起，是不是想到了三角形的外角和内角的关系（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），即∠BDE+∠2=∠1+∠C，因为③∠1=∠2，是不是就得到了要求的？从以上分析来看，第二种方法简单，应选择；下面把两种方法都写出来，参考一下，开拓视野。
解题过程：方法一：（1）证明：在△BOE和△AOD中即∠BED=∠AEC。
∵∠BOE=∠AOD（对顶角相等）在△AEC和△BED中∠A=∠B（已知）∠A=∠B∴∠BEA=∠2；AE=BE又∵∠1=∠2；∠BED=∠AEC∴∠BEA=∠1；∴△AEC≅△BED（ASA）∴∠BEA+∠AED=∠1+∠AED；（2）由（1）△AEC≅△BED得：∠BDE=∠C，ED=EC；又∵∠1=42°，∴∠C=（180°-∠1）÷2=69°；∴∠BDE=69°方法二：（1）证明：∵∠BDE+∠2=∠1+∠C∠1=∠2∴∠BDE=∠C在△AEC和△BED中∠A=∠BAE=BE∠BDE=∠C∴△AEC≅△BED（AAS）（3）略，同方法一相同。
4.八年级下册：[2019四川雅安中考]某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：商品甲乙进价（元/件）x+60 x售价（元/件）200 100若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同。
（1）甲、乙两种商品的进价各是多少？（2）若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30）.设销售完50件，甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值。
解题思路：a)看问题：第一问求两种商品的进价，是确定的值，且已经设了未知数，所以要列方程解决。
第二问是求函数关系式，要找等量关系，求w的最小值，要根据函数的增减性（函数一般的自变量范围是实数，而应用题根据实际情况，自变量是由一个限定的范围的，要注意一下）b)看条件：三个条件；①是表格信息；②是“若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同。
”③是“若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件（a≥30）.设销售完50件，甲、乙两种商品的总利润为w元，”c)找联系：第一问是条件②的等量关系；第二问是：总利润=甲的销售利润+乙的销售利润。
解题过程：（1）依题意列方程：=，（分式方程）解得x=60，经检验x=60是原方程的解，∴x+60=120答：甲、乙两种商品的进价分别是120元/件，60元/件。
（2）销售甲种商品为a件（a≥30）,销售乙种商品为（50-a）件。
根据题意得w=(200-120)a+(100-60)(50-a)=40a+2000（a≥30）40>0，W的值随a的增大而增大，=40*30+2000=3200（元）当a=30时，最小值5.九年级上册：[2017江苏淮安中考]如图，在ABC中，∠ACB=90。
，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得EF=BF，EF与AC交于点G.（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30。
，求图中阴影部分的面积。
原图标记后的图解题思路：第一问：a)看问题：让判断直线EF与⊙O的位置关系，一条直线与圆的关系有三种：相离、相切、相交三种位置关系，判断的依据是圆心到直线的距离与圆半径的大小比较来确定，一般考察的都是相切。
所以这里猜测位置关系是相切，现在已知E点在圆上，要证相切，连接OE,只需证明OE⊥EF，即OE就是圆心到直线EF的距离。
b)看条件：题中给了3个条件：①∠ACB=90。
②⊙O，③EF=BF；④图形。
虽然看着是简单的4个条件，但条件②所含的信息量很大，具体包括：1)圆心角三定理：在同圆或等圆中，相同的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等。
（记住一个就行，其他两个就是这三个条件中的一个推两个。
）2)圆周角三定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
同弧或等弧所对的圆周角相等。
半圆（或直径）所对的圆周角为直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3)等腰三角形：圆上任意两点和圆心组成的三角形都是等腰三角形。
4)圆的对称性：圆上轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
5)垂径定理及推论：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。