数据结构-chap7 (1)图的存储结构

设在4地（A，B，C，D）之间架设有6座桥，如图所示： 要求从某一地出发，经过每座桥恰巧一次，最后仍回到原地。 （1）试就以上图形说明：此问题有解的条件是什么？ （5分） （2）设图中的顶点数为n,试用C或PASCAL描述与求解此问题有关的 数据结构并编写一个算法，找出满足要求的一条回路。（10分） 清华大学2001
主要内容

知识点
– – – – 1．图的定义，概念、术语及基本操作。 2．图的存储结构，特别是邻接矩阵和邻接表。 3．图的深度优先遍历和宽度优先遍历。 4．图的应用（连通分量，最小生成树，拓扑排序，关键路经，最短 路经）。 1．基本概念中，完全图、连通分量、生成树和邻接点是重点。 2．建立图的各种存储结构的算法。 3．图的遍历算法及其应用。 4．通过遍历求出连通分量的个数，深（宽）度优先生成树。 5．最小生成树的生成过程。 6．拓扑排序的求法。关键路经的求法。 7．最短路径的手工模拟。
七桥问题的数学模型
1736 年，欧拉证明了自己的猜想，一次不重复走完七座桥是根本不 可能的。随即，他发表了“一笔画定理”：一个图形要能一笔画完， 必须符合两个条件：（1）图形是封闭连通的；（2）图形中的奇点个 数为0 或2。
欧拉的这个研究成果， 开创了图论和拓扑学这两门新的学科 。这两门学科在计算机科学中有着广泛的应用。由此可见，只 要善于用数学的眼光、数学的方法去观察事物，分析问题，就 能把生活中的一些实际问题转化为数学问题， 并用数学的方法 来处理和解决。
本章目录





7.1 图的定义和术语 7.2 图的存储结构 – 7.2.1 数组表示法 – 7.2.2 邻接表 7.3 图的遍历 – 7.3.1 深度优先搜索 – 7.3.2 广度优先搜索 7.4 图的连通性问题 – 7.4.1 图的连通分量和生成树 – 7.4.2 最小生成树 7.5 有向无环图及其应用 – 7.5.1 拓扑排序 – 7.5.2 关键路径 7.6 最短路径 – 7.6.1 从某个源点到其它各顶点的最短路径 – 7.6.2 每一对顶点之间的最短路径

重点难点
– – – – – – –
图的示例（有向图与无向图）
V1 V3 V4 G1图示 V5 V3 G2图示 V4 V2 V1 V2
结点之间的关系：多对多，任两个结点之间 都可能有关系存在
7.1 图的概念与基本术语
一、图的概念
V1 V3
V2
图G由两个集合构成，记作G=<V,E> 其中，V是顶点的非空有限集合， E是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对集合。 V4
0
V1 e1 V3 V4 V5 V2 1 0 1 0 1
否则
0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 V1 V2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
V3 图2
V4
图1
顶点的存储：用一维数组存储（按编号顺序）. 顶点间关系：用二维数组存储图的邻接矩阵. 0 1 0 1 0
自测题 4
要连通具有n个顶点的有向图，至少需要（）条边。 A．n-l B．n
C．n+l
D．2n 【北京航空航天大学2000一.6(2分）】
自测题 5
G是一个非连通无向图，共有28条边，则该图至少有______个顶点。
【西安电子科技大学2001软件 一.8 （2分）】
7.2
图的存储结构
一 数组表示法 二 邻接表
存在路径，则称G是强连通图。 2 1 4 3 5
ViVj,从Vi到Vj 和从Vj到 Vi都
5 6 3 强连通图 6
连通图 2 1 4 3
非强连通图
5 6
1
2 3
5 6
强连通分量
6、生成树

一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部
顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。 一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。
自测题 2
设无向图的顶点个数为n，则该图最多有（ ）条边。 A．n-1
B．n(n-1)/2
C．n(n+1)/2 D．0 E．N2 【清华大学1998一.5(分）】
自测题 3
一个有n个结点的图，最少有（ ）个连通分量，最多有（ ）个 连通分量。
A． 0
B．1 C．n-1 D．n 【北京邮电大学 2000 二.5 （20/8分）】
例 G1=<V1,E1> V1={v1,v2,v3,v4 ,v5 } E1={(v1,v2),(v1,v4),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v4),(v3,v5)}
V5 G1图示
无序对(vi,vj)： 用连接顶点vi、vj的线段 表示，称为无向边。
例 G2=<V2,E2> V1 V2={v1,v2,v3,v4 } E2={<v1,v2>, <v1,v3>, <v3,v4> , <v4,v1>} V3
v1 5 v3
3 2 7
v2 4 v4
3 2 4 5 7
数组表示法类型定义
#define MAX_VERTEX_NUM m //最大顶点个数 typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}GraphKind； //{有向图，有向网，无向图，无向网} typedef struct ArcCell{ VRType adj； //VRType是顶点关系类型。对无权图，用1或0 //表示相邻否；对带权图，则为权值类型 InfoType *info；//该弧相关信息的指针，对于不带权图，此域不存在 }ArcCell, AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM] ； typedef struct{ VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]； //存储顶点的一维数组 AdjMatrix arcs； //存储邻接矩阵的二维数组 int vexnum, arcnum ； //图的当前顶点数和弧数 GraphKind kind； //图的种类标志 }MGraph；
0 1 2 3 4
V1 V2 V3 V4 V5
存储顶点的 一维数组
0 1 2 3 4 m m+1 m+2
m-1
存储邻接矩阵 的二维数组

Baidu Nhomakorabea
对于网，可以用aij表示权。若vi和vj不邻接（或没有vi邻接到vj ），
则可以用无限大∞表示权。
v1 v2 v3
0 1 0
1 0 0
0 1 0
V1 e1
V3
V2
V4
V5
邻接点：边的两个顶点 关联边：若边e=(v, u), 则称顶点v、u 关联边e 2、顶点的度、入度、出度
顶点V的度 = 与V相关联的边的数目 在有向图中：
V1
V2
顶点V的入度 = 以V为终点有向边数 顶点V的出度 = 以V为起点有向边数 顶点V的度 = V的出度 + V的入度
1 5 7 1 5 7

3
2
4
6
3
2
4
6
连通图
生成树
7、网
权——与图的边或弧相关的数叫权(值)。
网(络）——带权的图叫网
V1
1 2
V6
V2
1
V5
1
1
5
6
V4
V3
3 1
6
抽象数据类型图的定义
ADT Graph{ 数据对象 V：V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。 数据关系 R：R={VR} VR={<v,w>|v,w V且P(v,w), <v,w>表示从v到w的弧， 谓词P(v,w)定义了弧<v,w>的意义或信息} 基本操作P： GraphCreat(G,，V，VR)； GraphDestory(G)； GraphLocateVertex(G，v)； GraphGetVertex(G，v)； GraphFirstAdj(G，v)； GraphNextAdj(G，v，w)； GraphInsertVertex(G，v)； GraphDeleteVertex(G，v)； GraphInsertArc(G，v，w)； GraphDeleteArc(G，v，w)； DFSTtraverse(G，v，Visit())； BFSTtraverse(G，v，Visit())； }ADT Graph
图的存储结构至少要保存两类信息： 1)顶点的数据 2)顶点间的关系
顶点的编号
设 G=<V, E>是图, V={v1,v2,v3, …，vn }, 设顶点的角标为它的编号.
如何表示顶点间的关系？
一、数组表示法
图的任意两个结点（顶点）之间都可能有关系，故用二维数组来表示。 在数组表示法中，用邻接矩阵表示顶点间的关系。 邻接矩阵：G的邻接矩阵是满足如下条件的n阶矩阵： A[i][j]= 0 1 0 1 0 1 若(vi,vj)E 或 <vi,vj>E
V3
V4
3、子图 设有两个图G=（V，E）、G1=（V1，E1）， 若V1V，E1E，E1关联的顶点都在V1中， 则称G1是G的子图。 V1 V3 V4 图1 V5 图2 例 图2、图3 是图1的子图 V2 V1 V3 V5 V4 图3 V2 V1 V3 V5 V2
4、路径、回路
无向图中的顶点序列v1,v2,… ,vk,若(vi,vi+1)E ( i=1,2,…k-1), v=v1, u=vk, 则称该序列是从顶点v到顶点u的路径；若v=u ，则称该序列为回路。 有向图D=V，E）中的顶点序列v1,v2,… ,vk, 若<vi,vi+1>E ( i=1,2,…k-1), v=v1, u=vk, 则称该序列是从顶点v到顶点u的 路径（有向路径）；若v=u，则称该序列为回路。
东普鲁士的七桥问题
普莱格尔河（Pregel）穿过美丽的哥尼斯堡城(即现在的俄罗斯的加里宁格勒。哥尼斯 堡在第二次世界大战前属于德国， 是东普鲁士的首府)。普莱格尔河有两个支流，在城 市中心汇成大河，中间是岛区，人们在河上建起了七座桥，如图1 所示。由于岛上有古 老的哥尼斯堡大学， 有知名的教堂， 有大哲学家康德的墓地和塑像， 因此城中的居民 ，尤其是大学生们经常到河岸和上桥散步。在十八世纪初，有一天，有人突发奇想： 如何才能走过七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原来的出发点？当地的 人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，然而却始终不得其解， 这就是著名的哥尼斯堡七桥问题的由来。
七桥问题的数学模型

通过数学建模， 已经把实际问题转化成了数学问题。这时欧拉注意到，如果一个图形 能一笔画成那么除去起点和终点外，其他的点都是经过点。而经过点是有进有出的点 ，即有一条线进这个点，就一定有一条线出这个点。不可能有进无出， 如果有进无出 ，它就是终点；也不可能有出无进，如果有出无进，它就是起点。因此，在经过点进 出的线总数应该是偶数。我们称在一个点进出线的总数是偶数的点为偶点；总数为奇 数的点称为奇点。如果起点和终点是同一个点，那么它也属于有进有出的点，它也是 偶点，这样图上的点全是偶点。如果起点和终点不是同一个点，那么它们必定是奇点 。因此，能够一笔画的图形最多只有两个奇点。
图的主要操作
GraphLocateVertex(G，v)； GraphGetVertex(G，v)； GraphFirstAdj(G，v)； GraphNextAdj(G，v，w)；
自测题 1
图中有关路径的定义是（ ）。 A．由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列
B．由不同顶点所形成的序列
C．由不同边所形成的序列 D．上述定义都不是 【北方交通大学 2001 一.24 （2分）】
七桥问题的数学模型
欧拉想到：岛的形状、大小、以及桥的长短、宽窄并不影响结果，位置才是最重 要的。于是他联想到了莱布尼兹的位置几何学，既然陆地是桥梁的连接地点，不妨 把图中被河隔开的4 块陆地看成4 个点，7 座桥看成7 条连接这4 个点的线，这样将 图形简化，于是就画了如图2的图形。 七桥问题就相当于一笔画出此图形的问题。这是把陆地（平面）用点来表示，把 桥用线来表示。这就是数学大师欧拉对七座桥问题建立起来的数学模型。
有序对<vi,vj> ： 用以vi为起点、以vj为终点 的有向线段表示， 称为有向边或弧。
V2
V4 G2图示
无向图：在图G中，若所有边是无向边，则称G为无向图。
有向图：在图G中，若所有边是有向边，则称G为有向图。
二、图的基本术语
有向完全图: n个顶点的有向图最大边数是n(n-1) 无向完全图: n个顶点的无向图最大边数是n(n-1)/2 1、邻接点及关联边
V1 e1 V3 V4
V2
V1
V2
V5
V3
V4
5、连通分量与强连通分量
连通——从顶点Vi到顶点Vj有一条路径，则说Vi和Vj是连通的。 连通图——图中任意两个顶点都是连通的图叫连通图。
连通分量——无向图中的最大(含的边和顶点最多)连通子图。
强连通图——有向图中，如果对每一对Vi,VjV,