拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

引言

众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学

应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用. 研究拉格朗日中值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的. 拉格朗日中值定理证明的关键在于引入适当的辅助函数. 实际上，能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中值定理的方法可以说有无数个. 但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引入辅助函数的方法. 首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一概述. 1罗尔()Rolle 中值定理

如果函数()x f 满足条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；（3）

()()b f a f =,则在()b a ,至少存在一点ζ ,使得()0'=ζf

罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线()x f y =在点B A ,处的纵坐标相等，那么，在弧 ⋂

AB 上至少有一点()(),C

f ζζ ，曲线在C 点的切线平行于x 轴，如图1，

注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于()b a ,的ζ，使得()0'

=ζf . 这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.

2拉格朗日()lagrange 中值定理

若函数()x f 满足如下条件：()1在闭区间[]b a ,上连续；()2在开区间()b a ,可导；则在

()b a ,至少存在一点ζ

，使()()()a

b a f b f f

--=ζ'

拉格朗日中值定理的几何意义：函数()x f y =在区间[]b a ,上的图形是连续光滑曲线弧

⋂

AB 上至少有一点C ，曲线在C 点的切线平行于弦AB . 如图2，

从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若()x f 在闭区间[]b a ,两端点的函数值相等，即()()b f a f =，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数()x f 作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理. 3 证明拉格朗日中值定理

3.1 教材证法

证明 作辅助函数 ()()()()

f b f a F x f x x b a

-=-

-

显然，函数()x F 满足在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,可导，而且()()F a F b =．于

是由罗尔中值定理知道，至少存在一点ζ()b a <<ζ，使()()()()0'

'=---

=a

b a f b f f F ζζ.

即()()()a

b a f b f f --=

ζ'

.

3.2 用作差法引入辅助函数法

证明 作辅助函数 ()()()()()()⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡---+

-=a x a b a f b f a f x f x ϕ 显然，函数()x ϕ在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,可导，()()0==b a ϕϕ，因此，由

罗尔中值定理得，至少存在一点()b a ,∈ζ，使得()()()()0'

'=---

=a

b a f b f f ζζϕ，即 ()()()a

b a f b f f --=

ζ'

推广1 如图3过原点O 作OT ∥AB ，由()x f 与直线OT 对应的函数之差构成辅助函数()x ϕ，因为直线OT 的斜率与直线AB 的斜率相同，即有：()()a

b a f b f K K AB OT --=

=，OT 的直线方程为：()()x a

b a f b f y --=

，于是引入的辅助函数为：()()()()x a

b a f b f x f x ---

=ϕ. （证明略）

推广2 如图4过点()O a ,作直线''B A ∥AB ，直线'

'B A 的方程为：

()()()a x a

b a f b f y ---=

，由()x f 与直线函''B A 数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：

()()()()()a x a

b a f b f x f x ----

=ϕ. （证明略） 推广3 如图5过点作()O b ,直线''B A ∥AB ，直''B A 线的方程为

()()()b x a

b a f b f y ---=

，由()x f 与直线A B ''函数之差构成辅助函数()x ϕ，于是有：

()()()()()b x a

b a f b f x f x ----

=ϕ. 事实上，可过y 轴上任已知点()m O ,作

//B A ∥AB 得直线为()()m x a

b a f b f y +--=

，从而利用()x f 与直线的'

'B A 函数之差构成满足罗

尔中值定理的辅助函数()x ϕ都可以用来证明拉格

朗日中值定理. 因m 是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.

3.3 用对称法引入辅助函数法

在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x 轴的对称函数也有无数个，显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数

()x f 减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数()x f ，即可得与之对称的辅助函数如

下：

⑴ ()()()()()()x f a x a b a f b f a f x -⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

---+=ϕ ⑵ ()()()()x f x a

b a f b f x ---=

ϕ