华东理工大学2016学年第一学期高等数学(上)期末考试(含答案)
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（其中 = 9.8/ ，水的密度为 = 1000/ ，答案保留, , ）
．
17.wk.baidu.com8 分）
（8、9 学分）设 > 0，试证明0 < arctan <
（11 学分）求幂级数∑
(
)
!
．
的收敛域与和函数．
18.（6 分）设函数()在闭区间[, ]上连续，在开区间(, )内有二阶导数，且函数()在
( !)
的敛散性．
)!
(
<<2
16.（8 分）
（8、9 学分）往半径为 1 米，深为 2 米的圆柱形容器内注水，注水的速度为
/．当液面高度达到容器一半深度时，求液面升高的速度．
（11 学分）半径为 1 米，深为 2 米的圆锥形容器，其中盛满了水，现在要将其中的水从上
口全部抽尽，问需克服重力做功多少？
> 0( > 0)．
（2 分）
=
所以()单调递增，故() > (0) = 0， 即 − arctan > 0．
（2 分）
②设() =
− + arctan ，则(0) = 0，
() = − 1 +
> 0( > 0)．
（2 分）
=
所以()单调递增，故() > (0) = 0， 即 − arctan <
根据罗尔定理可知，存在ξ ∈ (, )，使 (ξ) = 0，即 (ξ) − 2e (ξ) = 0．由于
(, ) ⊂ (, )，所以存在ξ ∈ (, )，使 () = 2 ()．
（2 分）
区间(, )内，且必有 () = () = 0．
（2 分）
若 = ，函数()为常值函数，结论容易证明．以下假设α ≠ β，不妨设α < β．
作辅助函数() = ()．
（2 分）
则()在[, ]上连续，在(, )内可导，且() = () = 0．
由于做功的位移为2 − ，所以功元素为 = (2 − ) = (2 − ) ．
（3 分）
=∫
(2 − ) （2 分）= ( − )
= ．
（3 分）
17.（8、9 学分）①设() = − arctan ，则(0) = 0，
() = 1 −
．
（9、11 学分）计算广义积分∫
13.（6 分）设() = ∫
√
．
，计算 (3)．
14.（6 分）
（8 学分）求函数ln
带佩亚诺型余项的 5 阶麦克劳林公式．
（9、11 学分）计算定积分∫
15.（6 分）
（8、9 学分）计算不定积分∫
（11 学分）判断级数∑
(
)
(
．
)
．
，求
= arctan
5.（6 分）求函数() = ( − 1)
6.（4 分）若() =
．
在区间[0, +∞)上的最大值．
间断点的个数为，可去间断点的个数为，则
A. = 2, = 1
B. = 2, = 2
C. = 3, = 1
D. = 3, = 2
（3 分）
12.（8 学分）∫
= − [
= − ∫
−
= 2 +
− ln
−
(
)
(
+
−
+ ( )，
（2 分）
−
)
= ∫
)
)(
)
−∫
(
)
（3 分）
（3 分）= − + ln
− +
→
(
=
．
（3 分）
（11 学分）利用比值判别法，有 lim
(
]（3 分）
（3 分）
当0 ≤ ≤ 2时， () > 0，函数单调递增；当 > 2时， () < 0，函数单调递减．
因此，当 = 2时函数取到最大值，最大值为(2) = ．
（3 分）
6-10 DABDC
11.∫ cos = ∫(1 − sin ) sin （3 分）= sin − sin + ．
条件有 = ，且 = ℎ =
ℎ （3 分）
，故有
又
=
=
，所以当ℎ = 1时，
= ℎ
．
（3 分）
/．
（2 分）
（11 学分）任取[, + ] ⊂ [0,2]，对于该区间上一层水的体积元素为 = () =
= ，质量元素为 = = ，重力元素为 = = ．
+ ( )，
（2 分）
+
= ∫ ln
= ln(1 + ) −
15.（8、9 学分）∫
→
+ ( )．
（2 分）
+
（9、11 学分）∫
= lim
−∫
（4 分）
，故 (3) = 3（2 分）
．
ln(1 − ) = − −
=
= − [
| |
14.（8 学分）ln(1 + ) = −
，故 (0) = − ．
（4 分）
3 + 6 − 4 sin − 2 cos ∙ = 0， =
所求法线方程为 = 2 + 1（2 分）
．
4.
=
=(
)
（4 分），所以
= （2 分）
．
5. () = − ( − 1) = (2 − ) ，由 () = 0得到唯一驻点 = 2．
C. (1) = (1) =
D. (1) = (1) = −
9.（4 分）若∫ () = cos( ) + ，则 √ =
A. −1
B. 0
C. −2√
D. 4
10.（4 分）
（8、9 学分）
“ lim () = ”是“ lim (2) = ”的
→
→
A. 充分条件
C. 充分条件，非必要条件
（11 学分）级数∑
(
A. 0 < < 1
B. 必要条件，非充分条件
D. 既不是必要条件，也不是充分条件
) √
条件收敛的充要条件是
B. 1 ≤ < 2
C.
<≤
D.
11.（6 分）计算不定积分∫ cos ．
12.（6 分）
（8 学分）计算不定积分∫
故ln
（3 分）
− ∫
= （3 分）
．
= −
13. () =
+ ]（3 分）．
+
（9、11 学分）原式= − ∫
= ∫
=−
= lim
→
[(
(
)!]
)!
( !)
( )!
= < 1（3 分），故原级数收敛．
（3 分）
+ （3 分）
．
16.（8、9 学分）设注水过程中，水深ℎ米，水面的半径为米，水的体积为立方米，则由
7.（4 分）若 () = 0，则
A. () − () = ( − )
B. () − ()~ −
C. − = [() − ()]
D. 以上都不对
8.（4 分）设() = |sin |，则
A. (1) = , (1) = −
B. (1) = −, (1) =
．
（2 分）y
综上所述，结论成立．
（11 学分）由 =
(
)
!
，可得 lim
→
=(
)(
)
= 0，
所以收敛域为(−∞, +∞)．（3 分）
() = ∑
(
)
!
=∑
(
)!
+∑
!
= 2 + ．
（5 分）
18.设, 分别是函数()在闭区间[, ]上的最大值点和最小值点，据题意知它们都是在开
闭区间[, ]上的最大值点和最小值点都在开区间(, )内．试证明：存在 ∈ (, )，使
() = 2 ()．
参考答案
1.lim
（3 分）= lim
= lim
→
→
= （2 分）
．
→
(
2. lim
= lim 1 +
→
)
∙
（3 分）= （2 分）
．
→
3.首先容易求得 = (0,1)．对3 + 2 − 2 sin = 2关于求导，有
华东理工大学 2016-2017 学年第一学期
《高等数学（上）》课程期末考试试卷
1.（5 分）计算极限lim
．
→
2.（5 分）计算极限 lim
．
→
3.（6 分）记曲线3 + 2 − 2 sin = 2与轴交点为，求曲线在点处的法线方程．
4.（6 分）设
= ln(1 + ) +
．
17.wk.baidu.com8 分）
（8、9 学分）设 > 0，试证明0 < arctan <
（11 学分）求幂级数∑
(
)
!
．
的收敛域与和函数．
18.（6 分）设函数()在闭区间[, ]上连续，在开区间(, )内有二阶导数，且函数()在
( !)
的敛散性．
)!
(
<<2
16.（8 分）
（8、9 学分）往半径为 1 米，深为 2 米的圆柱形容器内注水，注水的速度为
/．当液面高度达到容器一半深度时，求液面升高的速度．
（11 学分）半径为 1 米，深为 2 米的圆锥形容器，其中盛满了水，现在要将其中的水从上
口全部抽尽，问需克服重力做功多少？
> 0( > 0)．
（2 分）
=
所以()单调递增，故() > (0) = 0， 即 − arctan > 0．
（2 分）
②设() =
− + arctan ，则(0) = 0，
() = − 1 +
> 0( > 0)．
（2 分）
=
所以()单调递增，故() > (0) = 0， 即 − arctan <
根据罗尔定理可知，存在ξ ∈ (, )，使 (ξ) = 0，即 (ξ) − 2e (ξ) = 0．由于
(, ) ⊂ (, )，所以存在ξ ∈ (, )，使 () = 2 ()．
（2 分）
区间(, )内，且必有 () = () = 0．
（2 分）
若 = ，函数()为常值函数，结论容易证明．以下假设α ≠ β，不妨设α < β．
作辅助函数() = ()．
（2 分）
则()在[, ]上连续，在(, )内可导，且() = () = 0．
由于做功的位移为2 − ，所以功元素为 = (2 − ) = (2 − ) ．
（3 分）
=∫
(2 − ) （2 分）= ( − )
= ．
（3 分）
17.（8、9 学分）①设() = − arctan ，则(0) = 0，
() = 1 −
．
（9、11 学分）计算广义积分∫
13.（6 分）设() = ∫
√
．
，计算 (3)．
14.（6 分）
（8 学分）求函数ln
带佩亚诺型余项的 5 阶麦克劳林公式．
（9、11 学分）计算定积分∫
15.（6 分）
（8、9 学分）计算不定积分∫
（11 学分）判断级数∑
(
)
(
．
)
．
，求
= arctan
5.（6 分）求函数() = ( − 1)
6.（4 分）若() =
．
在区间[0, +∞)上的最大值．
间断点的个数为，可去间断点的个数为，则
A. = 2, = 1
B. = 2, = 2
C. = 3, = 1
D. = 3, = 2
（3 分）
12.（8 学分）∫
= − [
= − ∫
−
= 2 +
− ln
−
(
)
(
+
−
+ ( )，
（2 分）
−
)
= ∫
)
)(
)
−∫
(
)
（3 分）
（3 分）= − + ln
− +
→
(
=
．
（3 分）
（11 学分）利用比值判别法，有 lim
(
]（3 分）
（3 分）
当0 ≤ ≤ 2时， () > 0，函数单调递增；当 > 2时， () < 0，函数单调递减．
因此，当 = 2时函数取到最大值，最大值为(2) = ．
（3 分）
6-10 DABDC
11.∫ cos = ∫(1 − sin ) sin （3 分）= sin − sin + ．
条件有 = ，且 = ℎ =
ℎ （3 分）
，故有
又
=
=
，所以当ℎ = 1时，
= ℎ
．
（3 分）
/．
（2 分）
（11 学分）任取[, + ] ⊂ [0,2]，对于该区间上一层水的体积元素为 = () =
= ，质量元素为 = = ，重力元素为 = = ．
+ ( )，
（2 分）
+
= ∫ ln
= ln(1 + ) −
15.（8、9 学分）∫
→
+ ( )．
（2 分）
+
（9、11 学分）∫
= lim
−∫
（4 分）
，故 (3) = 3（2 分）
．
ln(1 − ) = − −
=
= − [
| |
14.（8 学分）ln(1 + ) = −
，故 (0) = − ．
（4 分）
3 + 6 − 4 sin − 2 cos ∙ = 0， =
所求法线方程为 = 2 + 1（2 分）
．
4.
=
=(
)
（4 分），所以
= （2 分）
．
5. () = − ( − 1) = (2 − ) ，由 () = 0得到唯一驻点 = 2．
C. (1) = (1) =
D. (1) = (1) = −
9.（4 分）若∫ () = cos( ) + ，则 √ =
A. −1
B. 0
C. −2√
D. 4
10.（4 分）
（8、9 学分）
“ lim () = ”是“ lim (2) = ”的
→
→
A. 充分条件
C. 充分条件，非必要条件
（11 学分）级数∑
(
A. 0 < < 1
B. 必要条件，非充分条件
D. 既不是必要条件，也不是充分条件
) √
条件收敛的充要条件是
B. 1 ≤ < 2
C.
<≤
D.
11.（6 分）计算不定积分∫ cos ．
12.（6 分）
（8 学分）计算不定积分∫
故ln
（3 分）
− ∫
= （3 分）
．
= −
13. () =
+ ]（3 分）．
+
（9、11 学分）原式= − ∫
= ∫
=−
= lim
→
[(
(
)!]
)!
( !)
( )!
= < 1（3 分），故原级数收敛．
（3 分）
+ （3 分）
．
16.（8、9 学分）设注水过程中，水深ℎ米，水面的半径为米，水的体积为立方米，则由
7.（4 分）若 () = 0，则
A. () − () = ( − )
B. () − ()~ −
C. − = [() − ()]
D. 以上都不对
8.（4 分）设() = |sin |，则
A. (1) = , (1) = −
B. (1) = −, (1) =
．
（2 分）y
综上所述，结论成立．
（11 学分）由 =
(
)
!
，可得 lim
→
=(
)(
)
= 0，
所以收敛域为(−∞, +∞)．（3 分）
() = ∑
(
)
!
=∑
(
)!
+∑
!
= 2 + ．
（5 分）
18.设, 分别是函数()在闭区间[, ]上的最大值点和最小值点，据题意知它们都是在开
闭区间[, ]上的最大值点和最小值点都在开区间(, )内．试证明：存在 ∈ (, )，使
() = 2 ()．
参考答案
1.lim
（3 分）= lim
= lim
→
→
= （2 分）
．
→
(
2. lim
= lim 1 +
→
)
∙
（3 分）= （2 分）
．
→
3.首先容易求得 = (0,1)．对3 + 2 − 2 sin = 2关于求导，有
华东理工大学 2016-2017 学年第一学期
《高等数学（上）》课程期末考试试卷
1.（5 分）计算极限lim
．
→
2.（5 分）计算极限 lim
．
→
3.（6 分）记曲线3 + 2 − 2 sin = 2与轴交点为，求曲线在点处的法线方程．
4.（6 分）设
= ln(1 + ) +