数学建模与创新思维训练

110警车配置及巡逻方案
第三问
本问的主要技术难点在于要求二十几辆车在
“动态巡逻”条件下保持“分布均匀性”，求最优 解的计算复杂度太高，因此，寻找可接受的计算复 杂度与结果的优化之间的平衡点，是本问的关键所 在。本问的求解充分体现了建模方法的多样性，为
参赛者充分发挥创造性提供了很好的机会。主要解
题方法概述如下：
13%
7% 3%
Verhulst
ARIMA
9%
7%
美国优秀论文方法统计： 52831：MLR 52849：微分方程组 52494：Logistic 43443：水足迹 ，常规预测，印度，农作物
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数学建模中的创新思维训练
结论： 贴标签式的建模思路不符合创新思维的规律，有害
于创新思维习惯的养成，应予以摒弃。 上述现象的发生，数模教师应反思自己的责任。 由问题出发，充分发掘问题内涵，按照问题中蕴含
O奖
国内1
主要方法
灰色相关分析，模糊评价，AHP
国内2
国内3 国内4
灰色相关分析，模糊评价，滑动平均，Shannon熵
谷歌趋势统计，线性拟合，AHP+最大熵模型，灰色相关分析 AHP，模糊综合评价，熵方法，线性加权模型，聚合模型
国内5
国内6 30680
双层评价设计，简单模型+AHP-模糊综合评价模型
培养更精准、更深刻的“第一感觉”。
感性直觉经磨砺上升为理性直觉。
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数学建模中的创新思维训练
案例1. Lanchester 作战模型 乙方获胜条件：
k>0
等价于
y0 b rx px x0 a ry p y
——平方律模型
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2
数学建模中的创新思维训练
案例 2. 车速越快，车流量越大吗？
的内生动力，寻求建立合适模型，此种训练有利于
创新思维模式的形成，应得到鼓励。
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关于数学建模中创新性的几个误区
好创意、好想法应当既在意料之外， 又在情理之中。 新颖性（独特性）与合理性皆备。
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关于数学建模中创新性的几个误区 误区一：数学用得越高深，越有创造性。
解决问题是第一原则，最合适的方法是最好的方
法。
误区二：创造性主要体现在建模与求解上。
创造性可以体现在建模的各个环节上，并且可 以有多种表现形式。
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关于数学建模中创新性的几个误区 误区三：好创意来自于灵感，可遇不可求。 好创意来自于对数学方法的掌握程度与对 问题理解的透彻程度。 从实际出发往往是创新的源泉。
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案例一：锁具装箱（94-B）
(1) (2) 则 n n ,
(1) (2) 2C(T1, n ) C(T2 , n )
K1 1
6 2 2 C10 15
时，抱怨达到极值，设为100.
15 K 2 ln100 2
ln100 1 n 15 2 C (T , n ) e T
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锁具装箱—抱怨度度量
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110警车配置及巡逻方案
2）多车分区法：为了改进以上单车分区法的缺点 ，可以考虑每个区域设置若干辆警车共同巡逻的 方法，这样可以减少一些车辆，但代价是计算难 度的增加，且每一区域配置的车辆越多，计算难 度就越大。
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110警车配置及巡逻方案
3）蚁群算法：此方法属于启发式搜索算法，在此次竞 赛中成为主流解法，其思想是：在道路上设置一个“气 味因子”，某段道路上跑过的车越多，则该段道路的“ 气味”变大，并且“气味”随时间变长而衰减。巡逻车 每到一个路口，根据路口其它各段道路的“气味”大小 ，朝“气味”最小的方向前进。想法蛮有创意，在具体 实现时还要处理好多辆车的协同问题等细节。如果细节
秀数学家；要是他意识到理论之间的类似他就成为杰出
的数学家。”—— 巴拿赫
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数学建模中的创新思维训练
案例3. 眼科病床的合理安排
最高响应比优先（HRRN）调度策略。
效率与公平兼顾
等待时间+服务时间 优先级= 服务时间
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数学建模中的创新思维训练
3. 求异——批判精神与深度思考习惯的养成
数学建模是一个“平台”
智识：有价值导 由“知道”到“会用”的科研实践平台 向和问题意识的 思考能力
由“知”到“识”的催化平台
数学建模是一种“量化思考模式”
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数学建模三大特征

面向问题的数学教学 多学科知识交叉应用 以学生实践为主
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数学建模活动四项功能
加强实践，重新理解知识； 建立关联，完善知识结构； 多元思考，激励发散思维； 团队协作，提升全面素质
D2. 使巡逻效果更显著；
D3. 警车巡逻规律应有一定的隐蔽性。
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110警车配置及巡逻方案
请回答以下问题： 一. 若要求满足D1,该区最少需要配置多少辆警车巡逻？ 二. 请给出评价巡逻效果显著程度的有关指标。 三． 请给出满足D1且尽量满足D2条件的警车巡逻方案及 其评价指标值。 四. 在第三问的基础上，再考虑D3条件，给出你们的警 车巡逻方案及其评价指标值。 五． 如果该区域仅配置10辆警车，应如何制定巡逻方案 ，使D1、D2尽量得到满足？ 六. 若警车接警后的平均行驶速度提高到50km/h，回答 问题三。 七. 你们认为还有哪些因素、哪些情况需要考虑？给出 31/39 你们相应的解决方案。
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数学建模中的创新思维训练
2. 求同——知识结构的完善
求同思维，是创新思维的一种方式。
人们的知识结构是否完善不应只包括掌握知识数
量的多少，还应包括应用这些知识的“软件”能力。数
学建模教学应更多地关注学习者这种关于知识的“应用
软件”的形成与强化。也就是说，我们在教学中应有意
识地将注意力放在“联系”二字上。
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原来，销售部门在一批锁具中随意地取每60个装一箱出售。团 体顾客往往购买几箱到几十箱，他们抱怨购得的锁具会出现互 开的情形。现聘你为顾问，回答以下问题： （1）每一批锁具有多少个，装多少箱。 （2）为销售部门提出一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标 志，出售时如何利用这些标志，使团体顾客不再或减少抱怨。 （3）采取你的方案，团体顾客的购买量不超过多少箱，就可以保 证一定不会出现互开的情形。 （4）按照原来的装箱办法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的 程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）。
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110警车配置及巡逻方案
1）单车分区法：按照覆盖率要求作区域划分，
每个区域固定一辆警车巡逻。此方法主要特点是
计算简单，但是其代价是需要车辆数较多。例如
静态时17辆车即能满足覆盖率要求，如果分成17
个区域，每个区域1辆车，则在动态时要保持满足
覆盖率要求就非常困难了，所以不得不增加划分
区域。此种方法通常要求配置3５辆车以上，才能 达到覆盖率要求。
43443：常规预测 工业、农业、生活用水预测
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数学建模中的创新思维训练
案例7： Are we heading towards a thirsty planet?
Gray 47% AHP 30% MLR 16%
PCA
BP Markov
16%
8.5% 3%
Fuzzy
Entropy GA or SA
其中，K1 ： 表示购买箱数在整个抱怨程度中所占的比重；
K2 ： 表示检验结果在整个抱怨程度中所占的比重； δn ： 顾客检验到有n次互开的比率
n
n 100% 2 Ct m
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锁具装箱—抱怨度度量
对购买一箱，m＝10的情形进行具体分析 。
n
n 100% 2 C10
为确定参数K1，K2，认为： 如果 T1 2T2 , 所以 当互开率达到 所以 所以，
全国数学建模竞赛培训与应用研究研讨会-上海
数学建模与创新思维训练
吴孟达
2016.7.26
目
数学建模是什么？ 数学建模特征 数学建模活动的功能 数学建模与创新思维训练
录
关于数学建模创新性的几个误区
两个数学建模创新案例
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数学建模是什么？
数学建模是一座“桥梁”
连接现实世界和想象世界，但不完全属于任 一个世界。
某厂生产一种弹子锁具，每个锁具的钥匙有5个槽， 每个槽的高度从1，2，3，4，5，6这6个数中任取一数。 由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两 个限制：至少有3个不同的数；相邻两槽的高度之差不能 为5。满足以上条件的所有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥 匙开一把锁”。但是在当前工艺条件下，对于同一批中两 个锁具是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的 5个槽的高度中有4个相同，另一个槽的高度差为1，则可 能互开；在其他情况下，不可能互开。
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锁具装箱—抱怨度度量
顾客的抱怨程度一方面取决于购买的总数量，另一方面取决
于检验的结果，并且从心理学的角度考虑，顾客更偏重于检验结果。
检验方法：从购买的T箱中取出t箱，再从这t箱中每箱各取m把，
对取出的tm把锁具作完全互开试验。 定义抱怨函数为：
C (T , n ) K1 K 2 n e T
以下就购买1、2箱情形作具体分析。 用计算机进行1000次模拟检验，得互开次数统计结果为： 互开次数n 0 1 2 3 4 5 6 ≥7 概率Pn（%） 13.7
6
26.9
28.6
6
17.9
8.7
2.9
0.9
0
购买一、二箱的平均互开率为（每箱抽样10把）：
1 n Pn 0.04
n 1
车辆安全距离实验数据
速度 距离 速度
20 42 55 25 56 60 30 73.5 65 35 91.5 70 40 116 75 45 142.5 80 50 173
距离
209.5
248
292.5
343
401
464
速度单位：英里/小时
距离单位：英尺
车流量 = 车流密度×车辆速度
结论：
v 26.89(mile / h) 43.27(km/h)
2 n Pn 0.01
n 1
故购买一、二箱的平均抱怨程度分别为：
C(1,1 ) 3.98 C(2,2 ) 0.71
即购买一箱的团体顾客抱怨程度更大。
启示：从实际出发，察人所未察，见人所未见。
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锁具装箱—抱怨度度量
“锁具装箱”建模小结： 1、从实际出发，往往是发掘创新点的源泉；
批判精神以及深度思考能力的弱化现象。
案例4. 行走步长问题——脚的运动速度
vl
v？ 2v？
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数学建模中的创新思维训练
案例5. 锁具装箱-抱怨度度量 4. 本源——从问题实际中发掘创新点
美国学生
中国学生
问题
方法
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数学建模中的创新思维训练
案例6： College Coaching Legends
2、使深入思考成为习惯。
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案例二： 110警车配置及巡逻方案 （研究生09－D）
Hale Waihona Puke Baidu
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110警车配置及巡逻方案
某城市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先 进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度 为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车 配置及巡逻方案要尽量满足以下要求： D1. 警车在接警后三分钟内赶到现场的比例不低于 90％；而赶到重点部位的时间必须在两分钟之内。
PCA
BP Markov
16%
8.5% 3%
Fuzzy
Entropy GA or SA
13%
7% 3%
Verhulst
ARIMA
9%
7%
美国优秀论文方法统计： 52831：MLR 52849：微分方程组 52494：Logistic 43443：水足迹 ，常规预测，印度，农作物
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数学建模中的创新思维训练
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数学建模中的创新思维训练
从四个方面谈谈关于数学建模中的创新思维训练。
1. 直觉——透视现象本质的洞察力
2. 求同——知识结构的完善 3. 求异——批判精神与深度思考习惯的养成 4. 本源——从问题实际中发掘创新点
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数学建模中的创新思维训练
1. 直觉——透视现象本质的洞察力
创新离不开直觉。
概括地说， 完善的知识结构 =“知识+联系”
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数学建模中的创新思维训练
关联主义 (connectivism) 将学习看作创建连
接和构建网络的过程。知识可被视为培养和遍
历这些连接的能力，并能及时获得专业信息。
“最小二乘法”与“擦黑板”
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数学建模中的创新思维训练
“一个人是数学家，那是因为他善于发现判断之间 的类似；如果他能判明论证之间的类似，他就是一个优
PCA，聚类分析，相似性评价模型
1.考虑对手权重的队伍能力计算（借鉴PR）；
2. 队伍能力 = 队员能力×教练能力（深入）； 3. 比分出现概率：极大似然法思想应用（得当）
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数学建模中的创新思维训练
案例7： Are we heading towards a thirsty planet?
Gray 47% AHP 30% MLR 16%