数值微分与数值积分

专题六数值微积分与方程求解6.1 数值微分与数值积分

☐数值微分

☐数值积分

1．数值微分

（1）数值差分与差商

微积分中，任意函数f(x)在x 0点的导数是通过极限定义的：

h

x f h x f x f h )()(lim

)('0

0-+=→h

h x f x f x f h )

()(lim

)('0

00

0--=→h

h x f h x f x f h )

2/()2/(lim

)('0

--+=→

)

()()(000

x f h x f x

f -+=∆)

()()(0

h x f x f x f --=∇)

2/()2/()(0

h x f h x f x f --+=δ如果去掉极限定义中h 趋向于0的极限过程，得到函数在x 0点处以h （h>0）为步长的向前差分、向后差分和中心差分公式： 向前差分： 向后差分： 中心差分：

函数f(x)在点x 0的微分接近于函数在该点的差分，而f 在点x 的导数接近于函数在该点的差商。

h

x f h x f x

f )

()(≈

)('0

00

-+h

h x f x f x f )

()(≈

)('0

00

--h

h x f h x f x f )

2/()2/(≈

)('0

--+向前差商： 向后差商： 中心差商：

当步长h 充分小时，得到函数在x 0点处以h （h>0）为步长的向前差商、

向后差商和中心差商公式：

（2）数值微分的实现

MATLAB提供了求向前差分的函数diff，其调用格式有三种：

☐dx=diff(x)：计算向量x的向前差分，dx(i)=x(i+1)-x(i)，i=1，2，…，n-1。☐dx=diff(x,n)：计算向量x的n阶向前差分。例如，diff(x,2)=diff(diff(x))。☐dx=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时（默认状态），按列计算差分；dim=2，按行计算差分。

注意：diff函数计算的是向量元素间的差分，故差分向量元素的个数比原向量少了一个。同样，对于矩阵来说，差分后的矩阵比原矩阵少了一行或一列。

另外，计算差分之后，可以用f(x)在某点处的差商作为其导数的近似值。

例1 设f(x)=sin x，在[0，2π]范围内随机采样，计算f'(x)的近似值，并与理论值f'(x)=cos x进行比较。

>> x=[0,sort(2*pi*rand(1,5000)),2*pi];

>> y=sin(x);

>> f1=diff(y)./diff(x);

>> f2=cos(x(1:end-1));

>> plot(x(1:end-1),f1,x(1:end-1),f2);

>> d=norm(f1-f2)

d =

0.0433

2．数值积分

（1）数值积分基本原理

在有些情况下，应用牛顿—莱布尼兹公式有困难，例如，当被积函数的原函数无法用初等函数表示，或被积函数是用离散的表格形式给出的。这时就需要用数值解法来求定积分的近似值。

在高等数学中，计算定积分依靠微积分基本定理，只要找到被积函数f(x)的原函数大F(x)，则可用牛顿—莱布尼兹（Newton-Leibniz ）公式：

⎰-=b

a a F

b F x

x f

)

()(d )(

求定积分的数值方法多种多样，如梯形法、辛普森（Simpson ）法、高斯求积公式等。它们的基本思想都是将积分区间[a ，b]分成n 个子区间[x i ，x i+1]，i=1，2，…，n ，其中x 1=a ，x n+1=b ，这样求定积分问题就分解为下面的求和问题：

在每一个小的子区间上定积分的值可以近似求得,从而避免了牛顿—莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。

⎰∑⎰=+=

=

b

a n

i

x x i i

x

x f x

x f S

1

1

d )(d )(

（2）数值积分的实现

☐基于自适应辛普森方法

[I,n]=quad(filename,a,b,tol,trace)

☐基于自适应Gauss-Lobatto方法

[I,n]=quadl(filename,a,b,tol,trace)

其中，filename是被积函数名；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限[a，b]必须是有限的，不能为无穷大（Inf）；tol用来控制积分精度，默认时取

tol=10-6；trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0；返回参数I即定积分的值，n为被积函数的调用次数。

例2 分别用quad 函数和quadl 函数求定积分的近似值，并在相同的积分精度下，

比较被积函数的调用次数。

x d x

14

1

2

⎰

+>> format long

>> f=@(x) 4./(1+x.^2); >> [I,n]=quad(f,0,1,1e-8) I =

3.141592653733437 n = 61

>> [I,n]=quadl(f,0,1,1e-8) I =

3.141592653589806 n = 48

>> (atan(1)-atan(0))*4 ans =

3.141592653589793 >> format short