第十二讲：Matlab稀疏矩阵介绍

满矩阵与稀疏矩阵
满矩阵与稀疏矩阵之间的转化 S=sparse(A)%将以任何形式存储的矩阵转换为 将以任何形式存储的矩阵转换为 稀疏矩阵形式。 稀疏矩阵形式。 A=full(S) )%将以任何形式存储的矩阵转换为满矩 将以任何形式存储的矩阵转换为满矩
阵（全元素）形式。 全元素）形式。
源自文库
例： A=[0 0 5 0; 3 0 3 0 ; 0 0 0 1; 0 4 3 0]
S=sparse(A) whos Full(S)
直接创建稀疏矩阵
直接创建稀疏矩阵 S=sparse(i,j,s,m,n)
分别是矩阵非零元素的行和列指标向量 指标向量， 其中 i 和 j 分别是矩阵非零元素的行和列指标向量，s 分别是矩阵的行数 行数和 是非零元素值向量，m、n 分别是矩阵的行数和列数 非零元素值向量，
查看稀疏矩阵
通常的存储信息 whos 非零元素信息。 非零元素信息。 nnz(S) % 返回非零元素的个数 nonzeros(S) % 返回列向量，包含所有的非零元素 返回列向量， nzmax(S) % 返回分配给稀疏矩阵中非零项的总的存储空间 查看稀疏矩阵的形状 spy(S)
find 函数与稀疏矩阵
% random, m-by-n, sparse matrix with % approximately density*m*n uniformly % distributed nonzero entries
S=bucky
% 一个内置的稀疏矩阵（邻接矩阵） 一个内置的稀疏矩阵（邻接矩阵）
查看稀疏矩阵
例： B=rand(4,2);
S3=spdiags(B,[0 1],4,4)
其它稀疏矩阵创建函数
其它稀疏矩阵创建函数
S=speye(m,n) S=speye(size(A)) R=sprand(S)
% R has the same sparsity structure as S
S=sprand(m,n,density)
find 函数与稀疏矩阵 [i,j,s]= find(S) [i,j]= find(S)
中所有非零元素的下标和数值， 返回 S 中所有非零元素的下标和数值，S 可以是稀疏矩 阵或满矩阵。 阵或满矩阵。
稀疏矩阵的运算
稀疏矩阵的运算
Matlab 中对满矩阵的运算和函数同样可用在稀疏矩阵中。 中对满矩阵的运算和函数同样可用在稀疏矩阵中。 结果是稀疏矩阵还是满矩阵， 结果是稀疏矩阵还是满矩阵，取决于运算符或者函数及下列 几个原则： 几个原则： 当函数用一个矩阵作为输入参数，输出参数为一个标量 当函数用一个矩阵作为输入参数，输出参数为一个标量 矩阵作为输入参数 参数为一个 或者一个给定大小的向量 向量时 或者一个给定大小的向量时，输出参数的格式总是返回一 满矩阵形式 形式， 个满矩阵形式，如命令 size 等。 当函数用一个标量或者一个向量作为输入参数，输出参 当函数用一个标量或者一个向量作为输入参数，输出参 一个标量或者一个向量作为输入参数 矩阵时 输出参数的格式也总是返回一个满矩阵 满矩阵， 数为一个矩阵 数为一个矩阵时，输出参数的格式也总是返回一个满矩阵， 如命令 eye，rand 等。还有一些特殊的命令可以得到稀疏 ， 矩阵， 矩阵，如命令 speye，sprand 等。 ，
例： A=eye(4); B=speye(4); [i,j]=find(A);
S1=A(i,j); whos S1=B(i,j); whos A(i,j)=2*B(i,j); whos B(i,j)=A(i,j)^2; whos
稀疏矩阵的运算
对于单参数的其他函数来说，通常返回的结果和参数的形 对于单参数的其他函数来说，通常返回的结果和参数的形 单参数的其他函数来说 式是一样的 。（sparse 和 full 是例外） 是例外） 式是一样的，如 diag、max 等。（ 、 对于双参数的运算或者函数来说， 对于双参数的运算或者函数来说，如果两个参数的形式 双参数的运算或者函数来说 一样，那么也返回同样形式的结果。 一样，那么也返回同样形式的结果。在两个参数形式不一 样的情况下，除非运算的需要，均以满矩阵 满矩阵的形式给出结 样的情况下，除非运算的需要，均以满矩阵的形式给出结 果。
带状稀疏矩阵的创建 S=spdiags(B,d,m,n)
分别是矩阵的行数和列数； 其中 m 和 n 分别是矩阵的行数和列数；d 是长度为 p 的整数向量， 的对角线位置； 的整数向量，它指定矩阵 S 的对角线位置；B 是全元素 矩阵， 对角线位置上的元素， 矩阵，用来给定 S 对角线位置上的元素，行数为 min(m,n)，列数为 p 。 ，
例：设文本文件 T.txt 中有三列内容，第一列是一些行下标， 中有三列内容，第一列是一些行下标，
第二列是列下标，第三列是非零元素值。 第二列是列下标，第三列是非零元素值。 1 2 2 3 4 4 3 1 3 4 2 3 5 3 3 1 4 3
load T.txt S=spconvert(T)
带状稀疏矩阵的创建
例： A=eye(4); B=speye(4);
S1=A+B; S2=A*B; S3=A\B; S4=A.*B; whos
稀疏矩阵的运算
在赋值语句的右侧的子矩阵索引保留参数的存储形式， 在赋值语句的右侧的子矩阵索引保留参数的存储形式，即： 对于 T=S ( i, j )，若 S 是稀疏矩阵，i, j 是向量或标量，则 T ， 是稀疏矩阵， 是向量或标量， 也是稀疏矩阵。 也是稀疏矩阵。 在赋值语句的左侧的子矩阵索引不会改变左侧矩阵的存储 形式。 形式。
创建稀疏矩阵
创建稀疏矩阵
稀疏矩阵的创建需要用户来决定。用户需要判断在矩阵 稀疏矩阵的创建需要用户来决定。 中是否有大量的零元素，是否需要采用稀疏存储技术。 中是否有大量的零元素，是否需要采用稀疏存储技术。 如果某个矩阵以稀疏方式存储，则它参与运算的结果也将 如果某个矩阵以稀疏方式存储， 以稀疏方式存储，除非运算本身使得稀疏性消失。 以稀疏方式存储，除非运算本身使得稀疏性消失。 矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总 矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总 密度 的元素个数。对于低密度的矩阵， 的元素个数。对于低密度的矩阵，采用稀疏方式存储是一 种很好的选择。 种很好的选择。
Matlab 稀疏矩阵操作
稀疏矩阵介绍
稀疏矩阵
阶矩阵， 对于一个 n 阶矩阵，通常需要 n2 的存储空间和正比于n3 的计算时间， 很大时， 的计算时间，当 n 很大时，进行矩阵运算时会占用大量的内 存空间和运算时间。 存空间和运算时间。 在许多实际问题中遇到的大规模矩阵中通常含有大量 0 元素，这样的矩阵称为稀疏矩阵。 元素，这样的矩阵称为稀疏矩阵。 Matlab 支持稀疏矩阵，只存储矩阵的非零元素，这在矩 支持稀疏矩阵，只存储矩阵的非零元素， 阵的存储空间和计算时间上都有很大的优点。 阵的存储空间和计算时间上都有很大的优点。 稀疏矩阵及其算法： 元素， 稀疏矩阵及其算法：不存储那些 0 元素，也不对它们进行 操作，从而节省内存空间和计算时间， 操作，从而节省内存空间和计算时间，稀疏矩阵计算的复杂 性和代价仅仅取决于稀疏矩阵的非零元素的个数。 性和代价仅仅取决于稀疏矩阵的非零元素的个数。
稀疏矩阵存储
稀疏矩阵的存储
Matlab 的两种存储矩阵的方式： 的两种存储矩阵的方式： 全元素存储（满矩阵）和稀疏存储（稀疏矩阵） 全元素存储（满矩阵）和稀疏存储（稀疏矩阵） 稀疏存储：仅存储非零元素及其下标 稀疏存储：仅存储非零元素及其下标 非零元素及其 设一个m*n的稀疏矩阵有 nnz 个非零元素，Matlab 需要 的稀疏矩阵有 个非零元素， 设一个 三个数组存储实型的稀疏矩阵， 三个数组存储实型的稀疏矩阵，第一个数组存储所有的非 零元素， 零元素，这个数组的长度为 nnz，第二个数组存储非零元 ， 素所对应的行标， 素所对应的行标，长度也是 nnz，第三个数组存储指向每 ， 一列开始的指针， 一列开始的指针，这个数组的长度为 n。这个矩阵的存储 。 包含nnz个浮点数和 个浮点数和nnz+n个整数 个整数. 包含 个浮点数和 个整数
例： S2=sparse([1 2 2 3 4 4],[3 1 3 4 2 3],...
[5 3 3 1 4 3],4,4)
利用文件创建稀疏矩阵
利用文件创建稀疏矩阵
函数可以从包含一系列下 利用 load 和 spconvert 函数可以从包含一系列下 标和非零元素的文本文件中输入稀疏矩阵 中输入稀疏矩阵。 标和非零元素的文本文件中输入稀疏矩阵。