浙教八年级上册数学特殊三角形经典习题(含答案)

浙教数学八年级上册特殊三角形历年中考典型习题一、等腰三角形1．如图，△ABC中，AB=AC，AM是BC边上的中线，点N在AM上，求证：NB=NC．2．如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2 ，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2 ，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．3．已知：如图，在△ABC中，∠1＝∠2，DE∥AC，求证：△ADE是等腰三角形．4．如图，△ABC中，AD⊥BC，点E在AC的垂直平分线上，且BD＝DE．(1)如果∠BAE＝40°，那么∠B＝，∠C＝°；(2)如果△ABC的周长为13 cm，AC＝6 cm，那么△ABE的周长＝cm；(3)你发现线段AB与BD的和等于图中哪条线段的长？并证明你的结论．5．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．6．如图，∠AOB=30̊，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于D，PE垂直OA于E，若OD=4cm，求PE的长．7.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：EF=CF．8．如图，在四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长．9．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ∥BC 交AB 于点E ． （1）求证：△ADE 是等边三角形．（2）求证：AE =21AB ．10．如图所示，D 、E 分别是 △ABC 的边 BC 、AC 上的点，且 AB =AC ，AD =AE ． （1）若 ∠BAD =20̊，则∠EDC = ； （2）若 ∠EDC =20̊，则∠BAD = ；（3）设∠BAD =ɑ ，∠EDC =β，你能由（1）（2）中的结果找到 ɑ、β 所满足的关系吗?请说明理由．11．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN=α，求∠BDC的大小（用含的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．12．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形。

（1）求证：AE=CD；（2）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论。

13．如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD=CE；（2）求∠DFC的度数．14．如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．(1)求证：△COD是等边三角形；(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？二、直角三角形1．如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，AC ＝4，BC ＝3，DB ＝59，求 （1）AD 的长；（2）求证：△ABC 是直角三角形．2．军在B 处放马，晚上回营，需要将马赶到河CD 去饮水一次，再回到营地A ，已知A 到河岸的距离AE =2公里，B 到河岸的距离BF =3公里，EF =12公里，求将军最短需要走多远．3．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt △ABC 沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A 与B 重合， 折痕为DE ．（1）如果AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，可求得△ACD 的周长为 ； （2）如果∠CAD ：∠BAD =4：7，可求得∠B 的度数为 ；操作二：如图2，小王拿出另一张Rt △ABC 纸片，将直角边AC 沿直线AD 折叠， 使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，若AC ＝9cm ，BC ＝12cm ，请求出CD 的长．4．如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥于点D ，AM 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线． （1）求证：AM ∥BC ；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．5．如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，即可求出x的值．参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4．请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）6．已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=18cm．动点P从点A出发，沿AB向点B 运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，Q以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）t为时，△PBQ是等边三角形？（2）P，Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为何值时，△PBQ是直角三角形？说明理由．7．两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，图中AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠EAD=900，B,C,E在同一条直线上，连结DC．（1）图2中的全等三角形是_______________ ,并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）指出线段DC和线段BE的关系，并说明理由．8．已知：如图T5-6,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2=AD2+DB2．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．10．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3cm，长BC=5cm．求EC的长．11．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．12．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明这样设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请你设法帮小明算出旗杆的高度．13．如图， Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,DE┴AB于E，若AC=6，BC=8,CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．14．如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？15．在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．16．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点P 在AC 上运动，点D 在AB 上，PD 始终保持与PA 相等，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接DE ． （1）判断DE 与DP 的位置关系，并说明理由； （2）若AC =6，BC =8，PA =2，求线段DE 的长．17．如图， C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D 作AB BD ，ED BD ，连结AC 、EC ，已知线段AB =5，DE =1，BD =8，设CD =x （1）用含x 的代数式表示AC +CE 的长；（2）请问点C 满足什么条件时，AC +CE 最小？最小为多少？（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求代数式9)12(422+-++x x 的最小值．18．（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证△BCE≌△ACD．则①∠BEC＝＿＿＿＿＿＿°；②线段AD、BE之间的数量关系是＿＿＿＿＿＿．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：如图3，P为等边△ABC内一点，且∠APC＝150°，且∠APD＝30°，AP＝5，CP＝4，DP＝8，求BD 的长．答案一、等腰三角形1．证明：∵AB=AC，AM是BC边上的中线，∴AM⊥BC．∴AM垂直平分BC．∵点N在AM上，∴NB=NC．2．解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1 ，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+P1P2+P2F=EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．3．证明：∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠ADE＝∠1，∴EA＝ED，即△ADE是等腰三角形．4．（1）70°；35̊（2）7(3)AB ＋BD ＝DC ．证明：∵AD ⊥BC ，BD ＝DE ，∴AB ＝AE ，∵点E 在AC 的垂直平分线上，∴AE ＝CE ，∴AB ＋BD ＝AE ＋DE ＝CE ＋DE ＝DC ． 5．解：（1）∵AB =AC ， ∴∠C =∠ABC =70°， ∴∠A =40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ， ∴∠A N M =90°， ∴∠NMA =50°， 故答案为：50；（2）①∵M N 是AB 的垂直平分线， ∴AM =BM ，∴△MBC 的周长=BM +CM +BC =AM +CM +BC =AC +BC ， ∵AB =8，△MBC 的周长是14， ∴BC =14﹣8=6；②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小， 理由：∵PB +PB =PA +PC ，PA +PC ≥AC ，∴P 与M 重合时，PA +PC =AC ，此时PB +PC 最小， ∴△PBC 周长的最小值=AC +BC =8+6=14．6．过点P 作PH ⊥BO 于点H ，则PE =PH =21PD =2 7．证明：（1）∵AB =AC ，D 是B C 的中点， ∴∠BAE =∠EAC ，∴△ABE ≌△ACE （S A S ）， ∴BE =CE ；（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠EAF+∠C=90°，∵BF⊥AC，∴∠CBF+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBF，∴△AEF≌△BCF（A S A）．∴EF=CF8．延长AD、BC，两条延长线交于点E∵∠B=90°，∠A=30°∴∠E=60°∵∠ADC=120°∴∠CDE=60°∴△CDE是等边三角形则CD=CE=DE设CD=x，则CE=DE=x，AE=x+4，BE=x+1 ∵在Rt△ABE中，∠A=30°∴x+4=2(x+1)解得：x=2∴CD=29．（1）∵△ABC为等边三角形∴∠A=∠ABC=∠C=60°∵DE∥BC∴∠AED=∠ABC=60º，∠ADE=∠C=60º∴∠AED=∠ADE=∠A=60º∴△ADE是等边三角形（2）∵△ABC 为等边三角形 ∴AB =BC =AC∵AB =BC ，BD 平分∠ABC∴AD =21AC ∵△ADE 是等边三角形 ∴AE =AD∴AE =21AB 10．（1） 10° （2）40°（3） α=2β．理由如下：（4）因为 AB =AC ，AD =AE ， 所以 ∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ． 又∠ADC =∠B +∠BAD ， 得∠AED +∠EDC =∠B +∠BAD ． 所以∠EDC +∠C +∠EDC =∠B +∠BAD ， 所以2∠EDC =∠BAD ， 即α=2β ． 11．（1）（2）解：∵点A 与点D 关于CN 对称， ∴CN 是AD 的垂直平分线，∴CA =CD ． ∵∠AC N=α， ∴∠ACD =2α． ∵等边△ABC ，∴CA =CB =CD ，∠ACB =60°． ∴∠BCD =∠ACB +∠ACD =60°+2α． ∴∠BDC =∠DBC =21（180°∠BCD ）=60°-α． （3）结论：PB =PC +2PE ． 本题证法不唯一，如：证明：在PB 上截取PF 使PF =PC ，连接CF ． ∵CA =CD ，∠ACD =2α ∴∠CDA =∠CAD =90°-α． ∵∠BDC =60°-α，∴∠PDE =∠CDA ∠BDC =30°． ∴PD =2PE ．∵∠CPF =∠DPE =90°∠PDE =60°． ∴△CPF 是等边三角形． ∴∠CPF =∠CFP =60°． ∴∠BFC =∠DPC =120°． ∴△BFC ≌△DPC ． ∴BF =PD =2PE ．∴PB = PF +BF =PC +2PE ．12．因为,△ABD ,△BCE 都是等边三角形 AB =BD BE =BC∠ABD+∠DBE=∠EBC+∠DBE所以∠ABE=∠DBC所以△ABE全等△DBC所以AE=CD（2）等边三角形13．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=60°,AB=AC又∵AE=BD,∴△AEC≌△BDA∴AD=CE（2）解由（1）△AEC≌△BDA，得∠ACE=∠BAD∴∠DFC=∠FAC+∠ACE=60°14．(1)证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；(2)解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形．(5分)理由如下：由题意可得△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°．又∵△COD为等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°．即△AOD 是直角三角形；(3)解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°－α，∠ADO＝α－60°，∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°．②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．∵∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝180°－(190°－α＋α－60°)＝50°，∴α－60°＝50°．∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，∴190°－α＝50°，∴α＝140°．综上所述，当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．二、直角三角形根据勾股定理得：AD ＝516； （2）△ABC 为直角三角形，理由为： ∵AB ＝BD +AD ＝5， ∴AC 2+BC 2＝AB 2， ∴△ABC 为直角三角形．2．作A 点关于河岸的对称点A ′，连接BA ′交河岸与P ，连接A ′B ′，则BB ′=2+3=5，则PB +PA =PB +PA ′=BA ′最短，故将军应将马赶到河边的P 地点． 作FB ′=EA ′，且FB ′⊥CD ， ∵FB ′=EA ′，FB ′⊥CD ，BB ′∥A ′A ， ∴四边形A ′B ′BA 是矩形， ∴B 'A '=EF ， 在Rt △BB ′A ′中， BA ′=13，答：将军最短需要走13公里3．（1） 14cm （2） 35°由折叠知：AE =AC =9，DE ⊥AB ，设CD =DE =X ， 则BD =12-X ，∵AB 2=81+144=225， ∴AB =15∴BE =15-9=6，∴36)12(22+=-x x x =4．5，即CD =4．5cm4．证明：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =．∵AM 平分∠EAC ，∴∠EAM =∠MAC =EAC 21． ∴∠MAD =∠MAC +∠DAC =90°． ∵AD ⊥BC ∴∠ADC =90°∴∠MAD +∠ADC =180° ∴AM ∥BC ．（2）△AD N 是等腰直角三角形， 理由是：∵AM ∥AD ， ∴∠A N D =∠NDC ， ∵D N 平分∠ADC ， ∴∠AD N=∠NDC =∠A N D ． ∴AD =A N ，∴△AD N 是等腰直角三角形．5．参考小萍的做法得到四边形AEGF ，∠EA F =60°， ∠EGF =120°，∠AEG =∠AFG = 90°，AE =AF =AD =4． 连结EF ，可得 △AEF 为等边三角形． ∴ EF =4．∴ ∠FEG =∠EFG = 30°．∴ EG =FG ．在△EFG 中，可求，EG =334．∴△EFG 的周长＝BG +CG +BC =BG +CG +EB +FC =2EG =338．6．（1）要使，△PBQ 是等边三角形，即可得：PB =BQ ， ∵在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =18cm ． ∴AB =36cm ，可得：PB =36﹣2t ，BQ =t ， 即36﹣2t=t ， 解得：t=12 故答案为；12（2）当t 为9或572时，△PBQ 是直角三角形， 理由如下：∵∠C =90°，∠A =30°，BC =18cm ∴AB =2BC =18×2=36（cm ）∵动点P 以2cm/s ，Q 以1cm/s 的速度出发 ∴BP =AB ﹣AP =36﹣2t ，BQ =t ∵△PBQ 是直角三角形 ∴BP =2BQ 或BQ =2BP 当BP =2BQ 时， 36﹣2t=2t 解得t=9 当BQ =2BP 时，∴∠B=∠BAC=45°．∵△ACE≌△BCD,∴∠B=∠CAE=45°．∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°,∴AD2+AE2=DE2．由(1)知AE=DB,∴AD2+DB2=DE2,又DE2=2CD2,∴2CD2=AD2+DB2．9．（1）证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，∴△ABD≌△ACE．（2）解：结论：BD2+FC2＝DF2．理由如下：连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠3＝45°由（1）知△ABD≌△ACE∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴BD2+FC2＝EF2，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴△DAF≌△EAF∴DF ＝EF ∴BD 2+FC 2＝DF 2．（3）解：过点A 作AG ⊥BC 于G ， 由（2）知DF 2＝BD 2+FC 2＝32+42＝25 ∴DF ＝5，∴BC ＝BD +DF +FC ＝3+5+4＝12， ∵AB ＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝AG ＝21BC ＝6， ∴DG ＝BG ﹣BD ＝6﹣3＝3，∴在Rt △ADG 中，AD ＝53．10．由折叠可知AD=AF=5cm ，DE=EF∵∠B ＝90°∴ AB 2+BF 2= AF 2， ∵AB=3cm ，AF=5cm∴BF=4cm ，∵BC=5cm ，∴FC=1cm ∵∠C ＝90°，∴ EC 2+FC 2= EF 2 设EC ＝x ，则DE=EF=3－x ∴（3－x ）2＝12+x 2 ∴ x ＝3411．证明：（1）连接BE ，DE∵∠ABC =∠ADC =90°，点E 是AC 的中点，∴BE =21AC ，DE =21AC ∴BE =DE∵点F 是BD 的中点，BE =DE ∴EF ⊥BD（2）∵BE =21AC ∴BE =5∵点F 是BD 的中点 ∴BF =DF =3在Rt △BEF 中，EF ==412．解：设旗杆的高为x 米，则绳子长为x +1米， 由勾股定理得，（x +1）2=x 2+52，解得，x =12米． 答：旗杆的高度是12米．13．(1)∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C =90°， ∴CD =DE ． ∵CD =3，∴DE =3．（2）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，B C =8，由勾股定理，得AB ==10．∴△ADB 的面积为S=21AB •DE =21×10×3=15． 14．解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO =12（米）； 答：这个梯子的顶端距地面有12米高；（2）梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA ′=12﹣5=7（米），根据勾股定理：OB ′=302（米），∴BB ′=OB ′﹣OB =（302﹣5）米答：当梯子的顶端下滑1米时，梯子的底端水平后移了（302﹣5）米． 15．作AD ⊥BC 于D ，如图所示：设BD = x ，则CD =x -14． ∴2222)14(1315x x --=-， 解之得：9=x ． ∴．∴84=S16．（1）DE ⊥DP ， 理由如下：连接OD ，∵PD =PA ，∴∠A =∠PDA ，∵EF 是BD 的垂直平分线，∴EB =ED ，∴∠B =∠EDB ，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°，∴∠PDA +∠EDB =90°，∴∠ODE =180°﹣90°=90°，∴DE ⊥DP （2）连接PE ，设DE =x ，则EB =ED =x ，CE =8﹣x ，∵∠C =∠PDE =90°，∴PC 2+CE 2=PE 2=PD 2+DE 2，∴42+（8﹣x ）2=22+x 2，解得：x =4．75，则DE =4．75． （10分） 17．（1）125)8(22+++-x x（2）解：当点C 为AE 和BD 的交点时，根据两点之间线段最短，所以AC +CE 的值最小（3）解：如图（1），C 为线段BD 上一动点，分别过点B ，D 作AB BD ，ED BD ，连接AC ，ED 。