相似三角形动点

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专题12 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版)

专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。

相似三角形动点问题

相似三角形中的动点问题（1）例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？练习1：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t.求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？练习2：课后作业：（选做题）如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s,点Q 运动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时，判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积S(cm2),求S 与t 之间的函数关系式; (3)作QR ∥BA 交AC 于点R, 连接PR,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ.1、2、相似三角形中的动点问题（2）例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时, 求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.练习：课后作业：1、平面直角坐标系中,已知点A(0，6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时Q点从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q移动的时间为t秒;(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时, 以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积是多少个平方单位.（选做题）（3）在AB上是否存在点M,使得△EFM为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.2、。

相似三角形中的动点问题—2023-2024学年九年级数学下册(苏科版)(解析版)

相似三角形中的动点问题【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C−D−A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接PQ交AC于点E．过点E作EF⊥PQ，交直线CD于点F．（1）当点Q在线段CD上时，求证：CEAE =32．（2）当DQ=1时，求△APE的面积．（3）在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．（1）证明△CQE∽△APE（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=ℎ，再利用相似三角形的性质求解三角形的高，再利用面积公式计算即可；（3）分三种情况讨论：①当点Q在CD上时，设CQ=3t，则AP=2t，若点F在Q的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC，则∠1=∠2，作PH⊥CD于点H，而∠B=∠PHQ=90°，∴△ABC∽△PHQ，则PHQH =ABBC=2，从而可得答案；若点F在Q的左侧，如图4，△FEQ∽△ABC，点F与点C重合，从而可得答案；②当点Q在AD上时，如图5，△FEQ∽△ABC，EFEQ =BABC=2，∠FEG=∠B=90°，作EN⊥CD于点N，EG⊥AD于点G．，则∠NEQ=90°，再结合相似三角形的性质建立方程可得答案．（1）当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB∥CD，CQ=3t，AP=2t，∴△CQE∽△APE，∴CE AE =CQAP=32．（2）①当点Q在CD上时，如图1，CQ=CD−DQ=3．过点E作AB的垂线交AB于点M，交CD于点N．由CQAP =V点QV点P=32，得AP=2．由△CQE∽△APE，得ENEM =CEAE=32，∴EM=25MN=45，∴S△APE=12AP⋅EM=12×2×45=45．②当点Q在AD上时，如图2，作EM⊥AB于点M，设EM=ℎ．AQ=AD−DQ=1，AP=23(CD+DQ)=103．同理：△AME∽△ABC，∴EM AM =BCAB=12，∴AM=2EM=2ℎ．同理：△PME∽△PAQ，得EMPM =AQPA=1103=310，∴PM=103EM=103ℎ．∴AP=PM+AM=103ℎ+2ℎ=103，解得ℎ=58，∴S△APE=12AP⋅EM=12×103×58=2524．∴△APE 的面积为45或2524．（3）①当点Q 在CD 上时，设CQ =3t ，则AP =2t ．若点F 在Q 的右侧，如图3，当△FEQ∽△ABC ，则∠1=∠2．作PH ⊥CD 于点H ，而∠B =∠PHQ =90°， ∴△ABC ∽△PHQ ，则PHQH =ABBC =2， ∴QH =12PH =1．∵HD =AP =2t ，∴CD =CQ +QH +HD =3t +1+2t =4，解得t =35．∴BP =4−2t =4−65=145．若点F 在Q 的左侧，如图4，△△ABC ，点F 与点C 重合．∵AC =√AB 2+BC 2=√42+22=2√5，又∵CEAE =32 ∴AE =25AC =4√55． ∵由△FEQ∽△ABC 结合对顶角可得：∠AEP =∠B =90°，而∠PAE =∠BAC ， ∴△AEP∽△ABC ，∴AE AB =APAC ，即4√554=2√5，则AP =2，∴BP =AB −AP =2．②当点Q 在AD 上时，如图5，△FEQ∽△ABC ，EFEQ =BABC =2，∠FEG =∠B =90°，作EN ⊥CD 于点N ，EG ⊥AD 于点G ．，则∠NEQ =90°，由∠FEQ =∠NEG =90°，得∠FEN =∠QEG ， ∴Rt △FEN∽Rt △QEG ， ∴ENEG =EFEQ =2．同理可得：AGEG =BCAB=12，设AG =k ，则EG =2AG =2k ，EN =2EG =4k ． ∴DG =EN =4k ，AD =AG +DG =5k ，由AD =2，得5k =2，k =25， ∴AG =25，EG =45．由题意，AQ BP =V 点Q V 点P=6−3t 4−2t=32，设AQ =3x ，则BP =2x ，AP =4−2x ，QG =AQ −AG =3x −25，由△QGE∽△QAP ，得EGAP =QGQA ，即454−2x =3x−253x，化简，得15x 2−26x +4=0，解得x 1=13+√10915（舍去），x 2=13−√10915．∴BP =2x =26−2√10915．综上所述，BP 的长为145或2或26−2√10915．1．（2023秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(20,0)和(0,15)，动点P从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动(即EF∥x轴)，分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．（1）求t=9时，△PEF的面积；（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．【思路点拨】（1）由于EF//x轴，则S△PEF=12⋅EF⋅OE,t=9时，OE=9，关键是求EF.易证△BEF∽△BOA，则EFOA=BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．即可得解．【解题过程】（1）∵EF//OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA =BEBO，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，BE=OB−OE=15−9=6，∴EF=20×615=8，∴S△PEF=12EF⋅OE=12×8×9=36(cm2)；（2）不存在．理由：∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE⋅OABO =(15−t)⋅2015=43(15−t)，∴12×43(15−t)×t=40，整理，得t2−15t+60=0，∵△=152−4×1×60<0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA =OEOB，即20−2t20=t15，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB =OEOA，即20−2t15=t20，解得t=8011．∴当t=6s或t=8011s时，△EOP与△BOA相似．2．（2022·四川·九年级专题练习）如图1，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动：同时点N从点D出发，沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，点N运动到点A时停止运动，运动时间为t．（1）若△AMN是等腰直角三角形，则t=___________（直接写出结果）．（2）是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接CN 、CM ，试求CN +2CM 的最小值．【思路点拨】（1）根据题意可知只有AM =AN 时，△AMN 是等腰直角三角形，再根据题意可用t 表示出AM =t ，AN =6−2t ，列出等式，解出t 即可；（2）分类讨论①当△ACD ∼△NMA 时和②当△CAD ∼△NMA 时，列出比例式，代入数据，即可求解；（3）取CN 中点E ，作E 点关于CD 的对称点E ′，连接CE ′．作M 点关于BC 的对称点M ′，连接CM ′，E ′M ′．根据作图可知CE ′=CE ，CM ′=CM ，即可知当CE ′+CM ′最小时CN +2CM 最小，即最小值为E ′M ′的长．连接E ′E 并延长，交CD 于点F ，AB 于点G ．由作图结合题意易求出E ′G =E ′F +AD =t +6，BG =12AB =32，BM ′=BM =AB −AM =3−t ，从而可求出GM ′=BG +BM ′=92−t ．在Rt △E ′GM ′中，利用勾股定理可求出E ′M ′=√E ′G 2+GM ′2=√2(t +34)2+4418，最后根据二次函数的性质，即得出t =0时，√2(t +34)2+4418最小，即此时E ′M ′=152，故可求出CN +2CM 的最小值为15．【解题过程】（1）∵∠MAN =90°，∴若△AMN 是等腰直角三角形时，只有AM =AN ．根据题意可知AM =t ，DN =2t AN =AD −DN =6−2t ， ∴t =6−2t ，解得t =2，故答案为：2．（2）∵∠MAN =∠ADC =90°，∴以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似分为两种情况， ①当△ACD ∼△NMA 时，有ADAN =CDAM ，即66−2t =3t ，解得：t =32；②当△CAD ∼△NMA 时，有ADAM =CDAN ，即6t =36−2t ，解得：t =125．当t =32或t =125时，以A 、M 、N 为顶点的三角形与△ACD 相似；（3）如图，取CN中点E，作E点关于CD的对称点E′，连接CE′．作M点关于BC的对称点M′，连接CM′，E′M′．根据作图可知CE′=CE，CM′=CM，∴CN+2CM=2(CE+CM)=2(CE′+CM′)，∴当CE′+CM′最小时CN+2CM最小，∵CE′+CM′≥E′M′，∴CE′+CM′的最小值为E′M′的长，即CN+2CM的最小值为2E′M′的长．如图，连接E′E并延长，交CD于点F，AB于点G．∵作E点关于CD的对称点E′，∴E′F//AD，E′F=EF．又∵E为中点，∴E′F=EF=12DN=t，G为AB中点，∴E′G=E′F+AD=t+6，BG=12AB=32．∵作M点关于BC的对称点M′，∴BM′=BM=AB−AM=3−t，∴GM′=BG+BM′=32+3−t=92−t．在Rt△E′GM′中，E′M′=√E′G2+GM′2=√(6+t)2+(92−t)2=√2(t+34)2+4418，∵t≥0，2>0∴t=0时，√2(t+34)2+4418最小，即E′M′=√2×(34)2+4418=152．∴CN+2CM=2E′M′=15．3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）如图1，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作PE⊥CD于点E，连接PB，已知AD＝3，AB＝4，设AP＝m．（1）当m＝1时，求PE的长；（2）连接BE，试问点P在运动的过程中，能否使得△P AB≌△PEB？请说明理由；（3）如图2，过点P作PF⊥PB交CD边于点F，设CF＝n，试判断5m+4n的值是否发生变化，若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．【思路点拨】（1）根据勾股定理得出AC，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可；（3）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【解题过程】解：（1）连接BE，由已知：在Rt△ADC中，AC＝√AD2+DC2=√32+42=5，当AP＝m＝1时，PC＝AC﹣AP＝5﹣1＝4，∵PE⊥CD，∴∠PEC＝∠ADC＝90°，∵∠ACD＝∠PCE，∴△ACD∽△PCE，∴AD PE =ACPC，即3PE=54，∴PE＝125；（2）如图1，当△P AB≌△PEB时，∴P A ＝PE ，∵AP ＝m ，则PC ＝5﹣m ，由（1）得：△ACD ∽△PCE ， ∴3PE =55−m， ∴PE ＝3(5−m)5，由P A ＝PE ，即3(5−m)5=m ，解得：m ＝158， ∴EC ＝√PC 2−PE 2=√(5−158)2−(158)2=52，∴BE ＝√EC 2+BC 2=√(52)2+32=√312≠AB ，∴△P AB 与△PEB 不全等， ∴不能使得△P AB ≌△PEB ；（3）如图2，延长EP 交AB 于G ，∵BP ⊥PF ， ∴∠BPF ＝90°， ∴∠EPF +∠BPG ＝90°， ∵EG ⊥AB ， ∴∠PGB ＝90°， ∴∠BPG +∠PBG ＝90°， ∴∠PBG ＝∠EPF ， ∵∠PEF ＝∠PGB ＝90°， ∴△BPG ∽△PFE ，∴BG PE =PGEF，由（1）得：△PCE∽△ACD，PE＝3(5−m)5，∴EC DC =PCAC，即EC4=5−m5，∴EC＝4(5−m)5，∴BG＝EC＝4(5−m)5，∴3−3(5−m)54(5−m)5−n=4(5−m)3(5−m)=43，∴5m+4n＝16．4．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图（1），在矩形ABCD中，AB=6cm，tan∠ABD=43，E、F 分别是AB、BD中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D 出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ，设运动时间为ts（0<t<4），解答下列问题：∴t=1（1）当0<t<2.5时，FQ=______．（用含有t的式子表示）（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）当t为______时，△PQF为等腰三角形?（直接写出结果）．【思路点拨】（1）先由题目条件求出AD，再利用勾股定理求出DF，当0<t<2.5时，接着判断出点Q的位置，即可求解．（2）先判断出△QMF∽△BEF，进而得出，再利用面积公式建立方程求解即可．（3）分点Q在DF和BF上，利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．【解题过程】（1）在矩形ABCD中，∠A=90°∴在直角三角形DBA中tan∠ABD=ADAB =AD6=43∴AD=8∵E、F分别是AB、BD中点，∴EF=12AD=4∵BD=√AB2+AD2=10∴DF=12BD=5∴Q从D到F的时间为52=2.5当0<t<2.5时，Q在线段DF上，∴FQ=DF−DQ=5−2t．故答案为：5−2t．（2）过点Q作QM⊥EF交EF延长线于点M，可知：QM∥BE，∴△QMF∽△BEF，∴QM BE =QFBF，∴QM3=5−2t5，可得QM=35(5−2t)，∴S△PFQ=12×PF⋅QM=12×(4−t)×35(5−2t)=0.6=35，解得：t=92（舍去）或t=2，∴当t=2时，△PQF的面积为0.6cm2；故答案为：t=2．（3）当点Q在DF上时，如图PF=QF∴4−t=5−2t∴t=1当点Q在BF上时，如图PF=QF∴4−t=2t−5∴t=3当PQ=FQ时，如图∴12(4−t)2t−5=45∴t=207当PF=PQ时，如图∴12(2t−5)4−t=45∴t=19 6所以t=1或3或207或196时，△PQF为等腰三角形．故答案为：t=1或3或207或196．5．（2023秋·山东青岛·九年级山东省青岛第五十九中学校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止运动．设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式分别表示线段CP=_______________、CQ=_______________．（2）在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ:S△ABC=9:100？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长，据此求解即可；（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式；利用S△CPQ:S△ABC=9:100建立t的方程，解方程即可解决问题；（3）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论．【解题过程】（1）解：如图1，∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB =√62+82=10，∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12BC ⋅AC =12AB ⋅CD ， ∴CD =BC·AC AB =6×810=245，由题意得CQ =PD =t ，∴CP =245−t故答案为：t ，245−t ；（2）解：过点P 作PH ⊥AC ，垂足为H ，如图2所示．由题可知CQ =PD =t ，CP =245−t ，∵∠ACB =∠CDB =90°，∴∠HCP =90°−∠DCB =∠B ，∵PH ⊥AC ，∴∠CHP =90°，∴∠CHP =∠ACB ，∴△CHP ∽△BCA ，∴ PH AC =PC AB ， ∴ PH 8=4.8−t 10，∴PH =9625−45t ，∴S △CPQ =12CQ ⋅PH =12t (9625−45t)=−25t 2+4825t ；存在某一时刻t ，使得S ΔCPQ :S ΔABC =9:100，∵S ΔABC =12×6×8=24，且S △CPQ :S △ABC =9:100，∴(−25t 2+4825t):24=9:100，整理得：5t 2−24t +27=0，即(5t −9)(t −3)=0，解得：t =95或t =3，∵0≤t ≤245， ∴当t =95秒或t =3秒时，S ΔCPQ :S ΔABC =9:100；（3）解：由（2）知∠ACD =∠B ①当∠CPQ =∠BCA =90°时，∴△CPQ ∽△BCA ，∴CP BC =CQ AB ，∴245−t 6=t 10， ∴t =3；②当∠CQP =∠BCA =90°时，∴△CQP ∽△BCA ，∴CP AB =CQ BC ，∴245−t 10=t 6∴t=95，即：t为3秒或95秒时，△CPQ为直角三角形．6．（2022·山东青岛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB=6cm，BC=8cm．点E从点D 出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN 是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3．6），请回答下列问题：（1）求当t为何值时，△EFD～△ABD？（2）设四边形BMEN的面积为S（cm2），求S关于t之间的函数关系式；（3）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形；（4）将△EMN沿直线MN t的值；若不存在，请说明理由；【思路点拨】（1）由题意得，DE=2t，BF=t，在Rt△ABD中，BD=10，DF=BD=BF=10-t，当△ABD∼△EFD，利用对应边成比例，即可求出t值；（2）证得△BFM∼△BAD，可求出BM=53t，BN=54t，AM=AB-BM=6-53t，代入面积表达式，即可求出关系式；（3）分种情况进行讨论即可，注意结果是否符合；（4）假设t值存在，则四边形EKCD为矩形，利用勾股定理表示出EN2=EK2+NK2=16916t2−52t+100，EM2=AM2+AE2=616t2−52t+100，可知t=0，不符合题意，可知不存在符合的t值．【解题过程】（1）解：由题意得，DE=2t，BF=t，∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，在Rt△ABD中，BD=√AB2+AD2=√62+82=10，∴DF=BD=BF=10-t，当△ABD∼△EFD时，则EDAD =DFDB，即2t8=10−t10，解得：t=207．即当t为207时，△EFD～△ABD；（2）∵MN⊥BD，∴∠MFB=90°，∵∠MBF=∠MBF，∴△BFM∼△BAD，∴BF AB =BMBD，即t6=BM10，∴BM=53t，同理BN=54t，∴AM=AB-BM=6-53t，S=S梯形ABNE −S△AME=(8−2t+54t)×62−(8−2t)×(6−53t)2=−53t2+12512t，即S关于t之间的函数关系式为：S=−53t2+12512t；（3）ED=DF时，则2t=10-t，解得：t=103；ED=EF时，过点E作EG⊥BF于G，∵ED=EF，∴△EFD为等腰三角形，又∵EG⊥DF，∴DG=12DF=10−t2，∵∠EDG=∠BDA，∠EGD=∠BAD=90°，∴△EGD∼△BAD，∴DG AD =EDBD，即10−t28=2t10，∴t=5021；EF=FD时，过点F作FH⊥AD，∵EF=FD，∴△EFD为等腰三角形，又∵FH⊥ED，∴HD=12ED=t，∵∠ADB=∠HDF，∠BAD=∠FHD，∴△DHF∼△DAB，即t8=10−t10，∴t=409＞3.6（舍去）；综上所述，当t=103或5021时，△EFD为等腰三角形；（4）假设存在符合题意的t，则EM=EN，过点E作EK⊥BC交BC于K，则四边形EKCD为矩形，∴ED=CK=2t，EK=CD=6，NK=BC-BN-CK=8−54t−2t=8−134t，∴EN2=EK2+NK2=62+(842=16916t2−52t+100，EM2=AM2+AE2=(6−53t)2+(8−2t)2=616t2−52t+100，∴169 16t2−52t+100=619t2−52t+100，即t1=t2=0，∵t=0不符合题意，∴不存在符合题意的t．7．（2023春·山东青岛·九年级专题练习）已知，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm.延长BC至点E，使CE=BC，连接ED，点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm s⁄，过点F作FG⊥ED垂足为点F交CE于点G；点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm s⁄，过点H作HP∥AB，交BD于点P，当F点停止运动时，点H也停止运动.设运动时间为t(0<t≤3)，解答下列问题：（1）求证：∠BDE=90°；（2）是否存在某一时刻t，使G点在ED的垂直平分线上?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.（3）设六边形PCGFDH的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；（4）连接HG，是否存在某一时刻t，使HG∥AC?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.【思路点拨】（1）根据菱形和等腰三角形的性质，得四边形ACED为平行四边形、∠E=∠CDE，从而完成证明；（2）根据平行四边形和垂直平分线的性质分析，即可得到答案；（3）根据菱形和勾股定理的性质，得CE；延长CP，交AD于点M，根据相似三角形的性质，得MD；设AD和BC的距离为ℎ，根据三角形面积的性质，得ℎ=245cm，根据相似三角形的性质得S△GFES△BDE=t6，通过计算即可得到答案；（4）根据相似三角形的性质，得GE=5t3cm，根据平行四边形和一元一次方程的性质计算，即可得到答案．【解题过程】（1）∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，AD=BC，AD//BC，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴∠CBD+∠ACB=90°，∠CBD=∠CDB，∵CE=BC，∴AD=CE，CD=CE，∴四边形ACED为平行四边形，∠E=∠CDE，∴AC//DE，∴∠ACB=∠E，∴∠CDB+∠CDE=90°，即∠BDE=90°；（2）∵四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC=6cm，∵FG⊥ED，∴当EF=DF=12DE时，使G点在ED的垂直平分线上，∴t=12DE1cm s⁄=3s；（3）∵点F从点E出发，沿ED方向向点D运动，速度为1cm s⁄，点H从点A出发，沿AD方向向点D运动，速度为1cm s⁄，∴AH=EF=t(cm)，∵AC⊥BD，AC=6cm，BD=8cm，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，∴CE=BC=CD=AD=√(12AC)2+(12BD)2=5cm，∴DH=AD−AH=5−t(cm)，∵菱形ABCD，∴∠ADP=∠CDP，∵HP，∴∠HPD=∠CDP，∴∠ADP=∠HPD，∴PH=DH，如图，延长CP，交AD于点M，∵HP，∴∠MHP=∠MDC，∵∠PMH=∠CMD，∴△MPH∽△MCD，∴S△MPH S△MCD =PHCD=DHCD=5−t5，MHMD=MHMH+DH=PHCD=5−t5，∴MH MH+5−t =5−t5，∴MH=(5−t)2t，∴MD=MH+DH=(5−t)2t +5−t=5(5−t)t，设AD和BC的距离为ℎ，∴S△ACD=12AC×OD=12AD×ℎ，∴ℎ=245cm，∵∠BDE=90°，FG⊥ED，∴△GFE∽△BDE，∴S△GFE S△BDE =EFDE=t6，∴六边形PCGFDH的面积，=S△MCD−S△MPH+S△CDE−S△GFE=S△MCD−5−t5×S△MCD+S△CDE−t6×S△BDE=t5×S△MCD+S△CDE−t6×S△BDE=t5×12×MD×ℎ+12×CE×ℎ−t6×12×(BC+CE)×ℎ=t5×12×5(5−t)t×245+12×5×245−t6×12×10×245=12−12t5+12−4t=24−32t5cm，∴S=24−32t5(0<t≤3)；（4）∵△GFE∽△BDE，∴GE BE =EFDES，∴GE=EF×BEDE =t×(BC+CE)6=t×106=5t3cm，∵DH=AD−AH=5−t(cm)，当GE=DH时，得5t3=5−t，∴t=158，∵AD//BE，GE=DH，∴四边形HGED为平行四边形，∴HG//DE，∵AC//DE，∴HG//AC，∴当t=158时，HG//AC．8．（2022秋·山西运城·九年级校考阶段练习）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5．（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B→A→D→C方向，向点C运动：动点Q从点C出发，以1cm/s 的速度，沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①在运动过程中，是否存在这样的t P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DP为底的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△COE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）作DF∥AB交BC于F，即易证四边形ABFD是平行四边形，从而可求出DF=AB=3，BF=AD=1，CF=3．再利用勾股定理逆定理即可证∠ABC=∠DFC=90°，最后利用梯形的面积公式计算即可；（2）①在图1的基础上作QG⊥AB于G，易证四边形BEQG是矩形，即得出BG=EQ，QG=BE．又易证△CEQ∽△CFD，得出EQDF =CECF=CQCD，从而可用t表示出CE=35t，EQ=45t，BG=45t，QG=BE=4−35t．PG=t5，即可利用勾股定理得出PQ2=(15t)2+(4−35t)2，最后根据等腰三角形的定义列出等式，解出t即可；②分类讨论当△PAD∽△QEC时和当△PAD∽△CEQ时，根据对应边成比例计算即可．【解题过程】（1）如图1，作DF∥AB交BC于F，∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴DF=AB=3，BF=AD=1，∴CF=BC−BF=3．∵32+42=52，即CF2+DF2=CD2，∴∠DFF=90°，∴∠ABC=∠DFC=90°，∴S梯形ABCD =12(1+4)×4=10；（2）①如图2，在图1的基础上作QG⊥AB于G，由题意可知t≤6．∵∠B=∠QEB=90°，∴四边形BEQG是矩形，∴BG=EQ，QG=BE．∵EQ∥DF，∴△CEQ∽△CFD，∴EQ DF =CECF=CQCD，∴EQ 4=CE 3=t 5， ∴CE =35t ，EQ =45t ，∴BG =45t ，QG =BE =BC −CE =4−35t ．在Rt △PQG 中，PG =BP −BG =t −45t =t 5， ∴PQ 2=PG 2+QG 2=(15t)2+(4−35t)2，由PQ 2=DQ 2得，(15t)2+(4−35t)2=(5−t)2，解得：t 1=13−√1092，t 2=13+√1092(舍去)， ∴当t =13−√1092时，使得以P 、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DP 为底的等腰三角形；②如图3，当△PAD∽△QEC 时，∵∠A =∠QEC =90°，∴PA AD =QE CE，即AP 1=43， ∴AP =43，∴t =4−43=83；当△PAD∽△CEQ 时，∴PA AD =CE QE ，即PA 1=34，∴PA =34，∴t =4−34=134．综上所述：t =83或134．9．（2022秋·陕西咸阳·九年级期末）在平面直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC，连接OB，点D为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连接DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连接EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t秒．（1）如图①，当t＝3时，求DF的长；（2）如图②，当点E在线段AB上移动的过程中，DFDE的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出DFDE的值；（3）连接AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t＜3时的值．【思路点拨】（1）当t=3时，可知DE//OA，DE=12OA=4，则四边形DFAE是矩形，得DF=AE=3；（2）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB N，根据两个角相等，可证明ΔDMF∽ΔDNE，得DFDE =DMDN=34；（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，则点G为EF的三等分点，利用（2）同理可得E、F的坐标，从而得出点G的坐标，代入直线AD的解析式即可解决问题．【解题过程】（1）当t=3时，E为AB的中点，∵A(8,0)，C(0,6)，∴OA=8，OC=6，∵点D为OB的中点，∴DE//OA，DE=12OA=4，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴DE⊥AB，∴∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四边形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）DFDE的大小不变，理由如下：如图，作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，∵四边形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四边形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM//AB，DN//OA，∴BDDO =BNNA,DOBD=OMMA，∵点D是OB的中点，∴M，N分别是OA，OB的中点，∴DM=12AB=3,DN=12OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴ΔDMF∽ΔDNE，∴DFDE =DMDN=34；（3）作DM⊥OA于点M，DN⊥AB于点N，若AD将ΔDEF的面积分成1:2的两部分，设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点，如图，NE=3−t，由ΔDMF∽ΔDNE得，MF=34(3−t)，∴AF=4+MF=−34t+254，∵点G为EF的三等分点，∴G(3t+7112,23 t)，设直线AD的表达式为y=kx+b，将A(8,0)，D(4,3)代入得{8k+b=04k+b3，解得{k=−34b=6，∴直线AD的表达式为y=−34x+6，将G(3t+7112,23t)代入得：t=7541，∴当t<3时的值为t=7541．10．（2022秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校考期末）如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB=14cm，BC=CD=6cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t(s)，0<t<10．（1）用含t的代数式表示AP；（2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值；（3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当ΔQMB为直角三角形时，直接写出．．．．t的值．【思路点拨】（1）作DH⊥AB于H，得矩形DHBC，则CD=BH=6cm，DH=BC=6cm，AH=8cm，由勾股定理可求得AD的长，从而可得AP；（2）分两种相似情况加以考虑，根据对应边成比例即可完成；（3）分∠QMB=90°和∠MQB=90°两种情况考虑即可，再由相似三角形的性质即可求得t的值．【解题过程】（1）如图，作DH⊥AB于H则四边形DHBC是矩形∴CD=BH=6cm，DH=BC=6cm∴AH=8cm在RtΔADH中，由勾股定理得AD=√DH2+AH2=√62+82=10(cm)∵DP=tcm∴AP=AD−DP=(10−t)cm（2）①当ΔAPQ∽ΔADB时则有APAQ =ADAB∴10−tt =1014解得：t=356②当ΔAPQ∽ΔABD时则有APAQ =ABAD∴10−tt =1410解得：t=256综上所述，当t=356或256时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似；（3）①当∠QMB=90°时，ΔQMB为直角三角形如图，过点P作PN⊥AB于N，DH⊥AB于H∴∠PNQ=∠BHD∵∠QMB=90°∴∠PQN+∠DBH=90°∵∠PQN+∠QPN=90°∴∠QPN=∠DBH∴ΔPNQ∽ΔBHD∴QN PN =DHBH=66=1即QN=PN∵PN∥DH∴ΔAPN∽ΔADH∴PN AP =DHAD=610=35，ANAP=AHAD=810=45∴PN=35AP=35(10−t)，AN=45AP=45(10−t)∴QN=AN−AQ=45(10−t)−t=8−95t由QN=PN得：8−95t=35(10−t)解得：t=53②当∠MQB=90°时，ΔQMB为直角三角形，如图则PQ∥DH∴ΔAPQ∽ΔADH∴AQ AP =AHAD=45∴AQ=45AP即t=45(10−t)解得：t=409综上所述，当t=53或409时，ΔQMB是直角三角形．11．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）如图1，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB 于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）当ΔPQC 是等腰三角形时，请直接写出t 值为．（2）如图2，在运动过程中是否存在某一时刻t ，使得沿PC 翻折ΔCPQ 所得到的四边形CQPM 是菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（3）如图3，连接BP ，设四边形BPQC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t ，使得P 、Q 、B 三点共线？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据勾股定理及等面积法可求CD ，由等腰三角形的性质分PC =QC 、PC =QP 、PQ =CQ 三种情况讨论即可求解；（2）根据菱形的性质可知，当PQ =CQ 时复合题意，过点Q 作QF ⊥CD ，证ΔABC ∼ΔQCF ，得CF =35t ，由PC =2×35t =245−t ，即可求解；（3）过点Q 作QH ⊥CD ，证ΔABC ∼ΔQCH ，得10t=8QH，即QH =45t ，证ΔABC ∼ΔBCD ，得BD =185，由S =S Δ⬚PCQ +S ΔBPC =12PC ⋅QH +12PC ⋅BD 即可求解；（4）过点P 作PG ⊥BC ，可得，ΔABC ∼ΔCPG ，得245−t 10=CG8，即CG =45(245−t)，BG =6−45(245−t)，由S ΔPBC =12PC ⋅BD =12BC ⋅PG 可得PG =35(245−t)，由CQPG =66−45(245−t)，当ΔBCQ ∼ΔBGP 时，B 、P 、Q 三点共线，得t35(245−t)=66−45(245−t)，即可求解；【解题过程】（1）解：∵∠ACB =90°，AC =8，BC =6， ∴AB =√AC 2+BC 2=√82+62=10， ∵CD ⊥AB ， ∴CD =AC⋅BC AB=6×810=245，∵ΔPQC 是等腰三角形，①当PC =QC 时，即245−t =t ，解得：t =125；②当PC =QP 时，如图，过点P 作PE ⊥AC ，∵PC =QP ，PE ⊥AC ， ∴QE =CE ，∵PE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∠ACB =90°， ∴∠A =∠ACD ， ∴ΔABC ∼ΔPCE ， ∴AB PC=BC EC，即，10245−t=612t，解得：t =14455．③当PQ =CQ 时，过点Q 作QF ⊥CD ，∵∠A =∠ACD ， ∴ΔABC ∼ΔQCF ， ∴ABQC =BCCF，即10t =6CF ， ∴CF =35t ，∵PQ =CQ ，QF ⊥CD ， ∴CF =PF =35t ， ∴PC =2×35t =245−t ，解得：t=2411，故当ΔPQC是等腰三角形时，t值为125或14455或2411．（2）当PQ=CQ时，四边形CQPM是菱形，过点Q作QF⊥CD，∵∠A=∠ACD，∴ΔABC∼ΔQCF，∴AB QC =BCCF，即10t=6CF，∴CF=35t，∵PQ=CQ，QF⊥CD，∴CF=PF=35t，∴PC=2×35t=245−t，解得：t=2411，（3）如图，过点Q作QH⊥CD，∵∠A=∠ACD，∴ΔABC∼ΔQCH，∴AB QC =ACQH，即10t=8QH，∴QH =45t ，易证ΔABC ∼ΔBCD ，AB BC=BC BD ，即106=6BD ，解得：BD =185．S =S Δ⬚PCQ +S ΔBPC =12PC ⋅QH +12PC ⋅BD =12×(245−t)(45t +185)=−25t 2+325t +21625；（4）如图过点P 作PG ⊥BC ，可得，ΔABC ∼ΔCPG ，∴CPAB =CGAC ，即245−t 10=CG 8，∴CG =45(245−t)， ∴BG =6−45(245−t)，∵S ΔPBC =12PC ⋅BD =12BC ⋅PG ， ∴PG =PC⋅BD BC =(245−t)×1856=35(245−t)，∴CQPG =t 35(245−t)，BCBG =66−45(245−t)，当ΔBCQ ∼ΔBGP 时，B 、P 、Q 三点共线，所有t35(245−t)=66−45(245−t)，解得：t 1=12√6−185，t 2=−12√6−185（舍去）， ∴当t =12√6−185时，P 、Q 、B 三点共线．12．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图1，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =3，动点P 从点A 出发，沿AB 边以每秒2个单位的速度向点B 运动，同时，动点Q 从点B 出发，沿BC −CD 匀速向终点D 运动，点P 、Q 同时到达终点，BD 与PQ 交于点E ．过点B 作BF ⊥PQ 于点F ．设点P 、Q 的运动时间为t 秒．（1）求点Q的运动速度．（2）如图2，当点Q与点C重合时，求BE的长．（3）在点P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以B、E、F为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）求出点P运动的时间即Q运动的时间计算解题即可；（2）当点Q与点C重合时，求出BD长，利用△EPB∽△ECD解题即可；（3）分①点Q在BC边上，②点Q在DC边上，点Q在P的右侧时，③点Q在DC边上，点Q在P的左侧时三种情况利用三角形相似解题即可．【解题过程】（1）解：由题可知点P运动的时间为62=3s，点Q运动的速度为：3+63=3，（2）如图，当点Q与点C重合时，∴t=33=1∴BP=AB−AP=6−2×1=4，在Rt△BDC中，BD=√BC2+CD2=√32+62=3√5，∵AB∥CD∴△EPB∽△ECD∴BE ED =BPCD即3√5−BE=46解得：BE =65√5（3）解：∵BF ⊥PQ ∴∠BFE =∠C =90°，当△BEF ∽△BDC 时，则∠BEF =∠BDC ∴PQ ∥CD 不符合题意，当△BEF ∽△DBC 时， ∴∠BEF =∠DBC , 当点Q 在BC 边上∴BQ =EQ =3t ，EP =PQ −3t 过点Q 作QH ∥CD 交BD 于点H ，则AB ∥CD ∥QH ,∴HQBP =EQ EP ,HQCD=BQ BC∴HQ =EQ×BP EP =3t(6−2t)PQ−3t,∴3t(6−2t)PQ−3t6=3t 3，解得：PQ =2t +3，在Rt △PQB 中，PB 2+BQ 2=PQ 2 即(2t +3)2=(6−2t)2+(3t)2, 解得：t =1或t =3(舍去)当点Q 在DC 边上，点Q 在P 的右侧时，如图，过Q 作QH ∥BC 交AB 、BD 于点H 、M ，则HB=QC=3t−3，DQ=9−3t ∵QH∥BC，BC∥AD∴QH∥BC∥AD，∴△BMH∽△BDA∴HM AD =HBAB即3t−36=HM3解得HM=32t−32，∴QE=MQ=3−(32t−32)=92−32t，PH=6−2t−(3t−3)=9−5t∵AB∥CD∴△BPE∽△DQE∴PB DQ =PEEQ即6−2t9−3t =PE92−32t，解得PE=3−t∴PQ=PE+EQ=3−t+92−32t=152−52t在Rt△PQH中，PH2+HQ2=PQ2即(152−52t)2=(9−5t)2+32解得t=95或t=1(舍去)；如图，当点Q在P的左侧时，过Q作QH∥BC交AB、BD于点H、M，则∠PEB=∠EDQ=∠DEQ=∠PBE∴PE=PB=6−2t，EQ=QD=9−3t，∴PQ=6−2t+9−3t=15−5t在Rt △PQH 中，PH 2+HQ 2=PQ 2 即(15−5t)2=(9−5t)2+32 解得t =94综上所述，当t =1或t =95或t =94时，以B 、E 、F 为顶点的三角形与△BCD 相似13．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市南长实验中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点B (6,5)，过点B 作x 轴的垂线，垂足为A ，作y 轴的垂线，垂足为C ．点D 从O 出发，沿y 轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒3个单位长度运动；点F 从B 出发，沿BA 方向以每秒2个单位长度运动．当E 点运动到点A 时，三点随之停止运动．运动过程中△ODE 关于直线DE 的对称图形是△O ′DE ，设运动时间为t ．（1）用含t 的代数式分别表示点E ，点F 的坐标；（2）若△ODE 与以点A ，E ，F 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在这样的t ，使得以D ，E ，F ，O′所围成的四边形中有一组对边平行?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）由题可得OE =3t ，OD =t ，BF =2t ，易证四边形OABC 是矩形，从而得到AB =OC ，BC =OA ，即可求出AF ， OE ，即可求出点E ，点F 的坐标（2）只需两种情况讨论①当△ODE ∽△AEF ，②当△ODE ∽△AFE ，然后运用相似三角形的性质即可求解；（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，易得△MDO′∽△NO′E，设MO′=a，根据相似三角形的性质可得出a=35t，然后分两种情况讨论即可求解．【解题过程】（1）由题可得OE=3t，OD=t，BF=2t，∵BA⊥x轴，BC⊥y轴，∠AOC=90°，∴∠AOC=∠BAO=∠BCO=90°，∴四边形OABC是矩形，∴AB=OC，BC=OA，∵B(12,10)，∴BC=OA=12，AB=OC=10，∴AF=10−2t，OE=12−3t，∴点E的坐标为(3t,0)，点F的坐标为(12,10−2t)；（2）①当△ODE∽△AEF时，则有ODAE =OEAF，∴t 12−3t =3t10−2t，解得t1=0(舍去)，t2=267，②当△ODE∽△AFE时，则有ODAF =OEAE，∴t 10−2t =3t12−3t，解得t1=0(舍去)，t2=6，∵点E运动到点A时，三点随之停止运动，∴3t≤12，∴t≤4，∴t=6舍去，综上所述：t的值为267；（3）过点O′作x轴的平行线与y轴交于点M，与过点E的y轴的平行线交于点N，如图1，则有∠DMN=90°，∠N=90°，由折叠可得：DO′=DO=t，O′E=OE=3t，∠DO′E=∠DOE=90°，∴∠DMO′=∠N=90°，∠MDO′=90°−∠MO′D=∠NO′E，∴△MDO′∽△NO′E，∴MO′NE =MDNO′=O′DEO′=t3t=13，∴NE=3MO′，NO′=3MD，设MO′=a，则有OM=NE=3a，NO′=3t−a，MD=3a−t，∴3t−a=3(3a−t)，解得：a=35t，∴MO′=35t，OM=95t，∴点O′的坐标为(35t,95t)，①若DO′∥EF，如图2，延长O′D交x轴于S，则有O′M∥OS，∠DSE=∠FEA，∴∠MO′D=∠DSE=∠FEA，∵∠O′MD=∠EAF=90°，∴∠O ′MD ∽∠EAF ，∴MO ′AE =MD AF ， ∴35t 6−3t =95t−t 5−2t ，解得：t 1=0(舍去)，t 2=32，经检验：t =32是分式方程的解， ②若OF∥DE ，如图3，过点O ′作x 轴的平行线与AB 交于点Q ，延长DE 交 BA 的延长线于点T ，同①可得：△DOE ∽△FQO ′，∴OD QF =OE QO ′，t95t−(5−2t )=3t 6−35t ，解得t 1=0(舍去)，t 2=74，综上所述：t 的值为32或74． 14．（2023秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考阶段练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，AB =5，点D 为边AB 上一点且BD =2．动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，且点P 不与点A 、B 、D 重合．过动点P 作PQ ⊥AB 交折线AC −CB 于点Q ，作点P 关于点D 的对称点E ，连结QE ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当点Q 与点C 重合时，t =________；（2）用含t的代数式表示PE的长；（3）当△PEQ∽△CAB时，求t的值；（4）当Q在BC上运动时，若△BEQ为等腰三角形，直接写出此时t的值．【思路点拨】（1）利用面积计算即可；（2）分两种情况讨论即可；（3）由△PEQ∽△CAB可得PEAC =PQBC，代入线段计算即可；（4）画出图形，分类讨论即可．【解题过程】（1）∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴BC=√AB2−AC2=4，当点Q与点C重合时，S△ABC=12AC⋅BC=12PQ⋅AB∴S△ABC=12×3×4=12PQ×5∴PQ=125，∴PA=√AC2−PQ2=95，∴t=PA÷1=95，故答案为：95；（2）由题意可得，PA=t，PB=AB−PA=5−t，AD=AB−BD=3∵点P关于点D的对称点E，∴PD=DE，∴PE=2PD，当点P在点D的右边时，0<t<3，此时PD=AD−PA=3−t=DE，∴PE=2PD=6−2t，当点P在点D的左边时，3<t<5，此时PD=PA−AD=t−3=DE，∴PE=2PD=2t−6，综上所述，PE ={6−2t(0<t <3)2t −6(3<t <5)（3）当0<t ≤95时，点Q 在AC 边上，点P 在点D 的右边，PE =6−2t ∵∠APQ =∠ACB =90°∴△PAQ ∽△CAB ，∴PA AC=PQ BC ， ∴t 3=PQ 4∴PQ =43t ∵△PEQ ∽△CAB∴PE AC =PQ BC ∴6−2t 3=43t 4 ∴t =2（舍）当95<t <3时，点Q 在BC 边上，点P 在点D 的右边，PE =6−2t ，∵∠BPQ =∠ACB =90°∴△PBQ ∽△CBA ，∴BP BC =PQ AC =BQ AB ， ∴5−t 4=PQ 3=BQ 5 ∴PQ =34(5−t)，BQ =54(5−t)∵△PEQ ∽△CAB∴PE AC =PQ BC ∴6−2t 3=34(5−t)4t =5123，当3<t<5时，点Q在BC边上，点P在点D的左边，此时PQ=34(5−t)，PE=2t−6∵△PEQ∽△CAB∴PE AC =PQBC∴2t−63=34(5−t)4t=141 41综上，当△PEQ∽△CAB时，t=5123，t=14141（4）当当Q在BC上运动时，95<t<5，当95<t<3时，点Q在BC边上，点P在点D的右边，PE=6−2t，PQ=34(5−t)此时△BEQ为钝角三角形，若△BEQ为等腰三角形，则EB=EQ=AB−PE−PA=5−(6−2t)−t=t−1，在Rt△PQE中，PQ2+PE2=QE2，∴[34(5−t)]2+(6−2t)2=(t−1)2，此方程无解当3<t<5时，点Q在BC边上，点P在点D的左边，PE=2t−6，PQ=34(5−t)，BE=PA−PE=t−(2t−6)=6−t，BQ=54(5−t)。

相似三角形汇总5相似中的动点问题

相似三角形提高一、相似三角形动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB 1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

相似三角形之动点问题-含参考答案

中考数学复习之相似之动点问题（学案）知识与方法梳理1．研究基本图形，标注基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式．2．分析运动过程，分段，定范围关注起点、终点和状态转折点．状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等．3．根据不变特征建等式依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果．表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等．例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻使△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．（1）1025713t=或；（2）525321t=或．解：(1)若A、P、Q与ABC相似时，∆APQ为直角三角形；1.若∠APQ=90°时，易知∆APQ~∆ACB，AP AQAC AB=即有5245t t-=得t=2513Q2.若∠AQP=90°时，∆APQ~∆ABC ，AP AQ AB AC =即有5254t t -=得t=107(2)1.当PA=PQ 时，作PD ⟂AQ 于点D ，AQ=2t ，则AD=t ，AP=5-t ，∆APD~∆ABC ，AP AD AB AC =，即有554t t -=，t=209>2，故舍去.2.当AP=AQ 时，即有5-t=2t ，即t=53；3.当QA=AP 时，作QF ⟂AP 于点F ，易知∆AQF~∆ABC ，AF AQ AC AB =，即有52245tt-=，t=2521练习题1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿折线B→C→A 向点A运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x（s）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当Q在BC上运动时，是否存在以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当Q在CA上运动，且PQ⊥AB时，以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC是否相似？请说明理由．CA BCA BCA B2．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(4，0)，B(3，3)．点M从点O出发以每秒2个单位长的速度向点A运动，同时点N从点B出发，以每秒1个单位长的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点N作Array NP⊥x轴于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t（秒）．（1）使线段AQ，QM，MA能围成三角形的t的取值范围是_____________．（2）求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式．（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=B=45°．动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长的速度向终点C运动，动点N同时从点C出发，沿折线C→D→A以同样速度向终点A运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t（秒）．（1）求在运动过程中形成的△MCN的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）当N在CD上运动时，△MCN能否成为等腰三角形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．A DB CA DB CA DB C4．如图，直角梯形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，OA∥CB，A(15，0)，B(10，12)．动点P，Q分别从O，B两点同时出发，点P以每秒2个单位长的速度沿OA方向向终点A运动，点Q以每秒1个单位长的速度沿BC方向向终点C运动，当一个点到达Array终点时，另一个点也随之停止运动．线段OB，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q的运动时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形P ABQ是平行四边形？（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？5．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A ，B 坐标分别为(8，6)，(16，0)．点P 从点O 出发沿OA 方向向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 从点B 出发沿BO 方向向终点O 运动，速度为每秒2个单位．如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示运动时间，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）设△OPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（2）△OPQ 与△OAB 能否相似？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．6．如图，直线y=-4x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，直线y=43x-b过点C，与x轴交于点B．动点D从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时动点E从点B出发，沿线段BC向终点C运动，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t （秒），当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）连接ED，设△BDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式；（2）在运动过程中，当△BDE为等腰三角形时，求t的值．【参考答案】1.（1）2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤．（2）存在，3013x =．（3）不相似 2.（1）0≤t <2（2）23332442S t t t =-++<（0）≤（3）存在，M (2,0)或M (2619，0)3.（1）22405522058t tt S t t ⎧-+⎪=⎨⎪-+⎩＜＜≤≤（2）能成为等腰三角形，50511t =或 4. （1）t =5（2）174（3）t =13或56或43或1935.（1）232455y t t =-+(08)t <<（2）能相似，12840219t t ==或 6.（1）22855S t t =-+（2）202421111t =或或。

有关相似三角形的动点问题探究

解法探究２０２４年３月下半月㊀㊀㊀有关相似三角形的动点问题探究◉甘肃省白银市教育科学研究所㊀何丽君㊀㊀摘要:点是构成图形最基本的元素,其多样的运动状态与图形结合构成了一道道灵活且精彩的综合题．本文中从点的运动出发,研究点运动时形成的相似三角形,尝试通过例题分析探讨这类问题的解决方法．通过这样的研究,一方面与更多教师形成教法上的交流,另一方面间接促进学生综合素养的提升．关键词:点;相似三角形;分类讨论思想;运动;策略㊀㊀在教学过程中,时常会遇到点的运动类问题．由于动点处于不断的运动中,教师讲解时倍感压力,而这类问题在练习与检测中又经常出现．因此,研究点的运动问题非常有必要．本文中以点的运动形成相似三角形为切入点,探究图形中点的运动问题的解决方法．１素养体现动点问题一方面综合了诸多知识点,另一方面对解决技巧有较高的要求．由此观之,动点问题通常体现以下素养:(１)画图能力,体现数形结合思想．由于点是运动的,因此分析其运动情况就离不开画图．换言之,将运动情况用图形表现出来,既是解决这类问题的首要环节,也是数形结合的重要体现[１]．(２)问题分析能力,体现分类讨论思想．点的运动形成相似三角形后,往往存在多个符合题意的三角形,这就需要对每种情况进行分类讨论．(３)符号化语言,体现转化思想．根据点的运动情况画好图后,需将相关的线段用代数式表示出来,有利于分析和解决问题,同时也是将文字语言转化成符号语言的过程．下面结合一道题加以说明:图１例题㊀如图１,四边形A B C D是一个长为８c m ㊁宽为６c m 的矩形．在B C ,D C 上分别有动点P ,Q ,点P 的速度是２c m /s ,Q 的速度是１c m /s ．现规定:点P 从点B 出发向点C 运动,点Q 从点C 出发向点D 运动,当一个点到达终点时,另一个点也立即停止运动．几秒时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似本题出现了两个动点,运动的速度㊁方向等为分析动点状态提供了重要条件．那么,本题是如何体现上文中提到的素养的呢(１)通过动点的运动情况画图,体现了数形结合思想．由于P ,Q 两点的运动,线段P Q 与B C 或D C 形成的夹角大小不同．考虑到әA B C 是直角三角形,点P ,Q 在运动的过程中并不能改变øP C Q 为直角这个事实,所以只需线段P Q 与B C 或D C 形成的夹角中有一个与øB A C 相等即可．于是,可画出图２中的简图:图２(２)根据画出的图形,利用分类讨论思想解决问题,体现了分类讨论思想．从图２可以看出,øP Q C 和øB A C 相等㊁øQ P C 和øB A C 相等是动点运动时存在的两种情况．(３)根据点的运动情况,将相关线段用代数式表示出来,并根据需要列方程解决问题,体现了转化思想．在确定两种情况后,接下来需进行分析,而分析中的第一步就是根据两点的运动状况用代数式表示出相关线段．如下:设t s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．情况一:如图２(１),有әA B C ʐәQ １C P １,此时可知B P １＝２t ,C P １＝８－２t ,C Q １＝t ,D Q １＝６－t ．情况二:如图２(２),有әA B C ʐәP ２C Q ２,此时可知B P ２＝２t ,C P ２＝８－２t ,C Q ２＝t ,D Q ２＝６－t ．接下来,由相似三角形的性质列出方程并解出t ．最后,解决本题[２]．２解法说明既然点的运动产生的相似三角形问题蕴含着如６７２０２４年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀此丰富的素养,那么这类问题具体应如何解决呢?下面进行说明:首先,根据动点的运动情况画出符合题意的图形．由于øA B C ＝øP C Q ＝９０ʎ,根据相似三角形的判定,若әA B C 和әP C Q 相似,应有以下两种情况:情况一:øP Q C ＝øB A C ,如图２(１)．情况二:øQ P C ＝øB A C ,如图２(２)．其次,分类讨论并计算．根据以上两种情况,分别利用相似三角形的性质列方程．本题的解决过程如下:解:设t s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．根据题意,有以下两种情况．情况一:øP Q C ＝øB A C ,如图２(１)．此时易证得әA B C ʐәQ １C P １．因为B P １＝２t ,C P １＝８－２t ,C Q １＝t ,D Q １＝６－t ,所以A B C Q １＝B C C P １,即６t ＝８８－２t ,解得t ＝１２５．情况二:øQ P C ＝øB A C ,如图２(２)．此时易证得әA B C ʐәP ２C Q ２．因为B P ２＝２t ,C P ２＝８－２t ,C Q ２＝t ,D Q ２＝６－t ,所以A B P ２C ＝B C C Q ２,即６８－２t ＝８t ,解得t ＝３２１１．综上所述,１２５s 或３２１１s 时,以C ,P ,Q 为顶点的三角形与әA B C 相似．３反思与启示本题是在已经确定一组对应角相等的情况下寻求另一组对应相等的角．为了简化问题,将øB A C 设为参考对象,只需寻找øP Q C 或øQ P C 与之相等即可．最后,分析出了两种不同的情况．这种先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角的方法,对解决因动点产生的相似三角形问题有重要作用．如下面这道中考真题:(２０２２湖州)已知在平面直角坐标系x O y 中,O 是坐标原点,以P (１,１)为圆心的☉P 与x 轴㊁y 轴分别相切于点M 和N ,点F 从点M 出发,沿x 轴正方向以１个单位长度/s 的速度运动,连接P F ,过点P 作P E ʅP F 交y 轴于点E ,设点F 运动的时间是t s (t ＞０)．(１)若点E 在y 轴的负半轴上(如图３所示),求证:P E ＝P F ;(２)在点F 运动过程中,设O E ＝a ,O F ＝b ,试用含a 的代数式表示b;图３(３)作点F 关于点M 的对称点F ᶄ,经过M ,E 和F ᶄ三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q ,连接Q E ．在点F 运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q ,O ,E 为顶点的三角形与以点P ,M ,F 为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t 的值;若不存在,请说明理由．不难发现,本题第(３)小题与例题类似,故先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角的方法的启示在解决此小题时可发挥作用．因此,本题第(３)小题的解决思路简要分析如下:首先,根据题意确定１＜t ＜２或t ＞２两种情况．然后,在每种情况中根据点的运动情况,同时结合先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角的方法,得到１＜t ＜２时әO E Q ʐәM P F 或әO E Q ʐәM F P 两种情况,如图４;t ＞２时әO E Q ʐәM P F或әO E Q ʐәM F P 两种情况,如图５．最后,进行分类讨论和计算．图４㊀图５４结语综上所述,图形中的动点虽然常令人眼花缭乱,但掌握其分析方法,就可以化繁为简．本文中先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角的方法,适用于因动点产生的相似三角形㊁全等三角形等问题中,是解决这类问题一种行之有效的方法．作为教师,应在讲解中多渗透该种方法,直至学生能掌握并灵活应用于问题解决中[３]．参考文献:[１]朱炜炜．关于相似三角形动态问题的研讨[J ]．中学生数学,２０２０(１８):１１Ｇ１４．[２]陈国玉,郑利年．相似三角形中的分类讨论[J ]．数理化学习(初中版),２０２０(１０):２８Ｇ３０．[３]李松．例谈相似三角形分类讨论问题[J ]．中学数学教学参考,２０２１(１５):６３Ｇ６４．Z ７７。

部编数学九年级下册专题15相似三角形之动点问题(解析版)含答案

专题15 相似三角形之动点问题1．如图，在Rt ABC V 中，9034C AC BC Ð=°==，，，点E 是直角边AC 上动点，点F 是斜边AB 上的动点（点F 与A B 、两点均不重合）．且EF 平分Rt ABC V 的周长，设AE 长为x ．(1)试用含x 的代数式表示AF = ；(2)若AEF △的面积为165，求x 的值；(3)当AEF △是等腰三角形时，求出此时AE 的长．∵BC AC FD ⊥，∴BC DF ∥．∴FDA BCA ∽V V ∴BC DF AB AF =，即∵EMA C Ð=Ð=∴EAM BAC ∽V V ∴AE AM AB AC=，1(6)x -同理FAN BAC ∽V V ∴FA AN AB AC=，∴16253x x -=，2．如图，在ABC V 中，90ABC Ð°＝，4AB ＝，3BC ＝，点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒5个单位长度的速度向终点B 运动，当点P 不与点A 、B 重合时，作点P 关于直线AC 的对称点Q ，连结PQ ，以PQ 、PB 为边作PBMQ Y ．设PBMQ Y 与ABC V 重叠部分图形的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒．(1)直接用含t 的代数式表示线段PQ 的长并写出t 的取值范围；(2)当点M 落在边AC 上时，求t 的值及此时PBMQ Y 的面积；(3)求S 与t 之间的函数关系式；(4)当PBMQ Y 的对角线的交点到ABC V 的两个顶点的距离相等时，直接写出t 的值．由意得5AP t ＝，PO QO ＝∴225AC AB BC +=＝，∵ABC AOP ∽△△，AC BC \=1122ABC S AB BC AC =×=Q △125AB BC BM AC ×\==∵四边形PQMB 是平行四边形，(45PQMB TQO S S S t =-=-Y △当2455t << 时，如图3﹣BT AC⊥Q 125AB BC BT AC \==g 2224AT AB BT \=-=则AK CK =，设AK CK =在Rt CBK V 中，2CK BC =∴()22234x x =+-，解得258x =，∵OL AB ∥，QO OB = ，∴直线OL 平分QP ，∴点L 在线段PQ 上，且AL ∴5t =．3．如图，在矩形ABCD 中，BC CD >，,BC CD 分别是一元二次方程214480x x -+=的两个根，连结BD ，动点P 从B 出发，以1个单位每秒速度，沿BD 方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，以同样的速度沿射线DA 运动，当点P 到达点D 时，点Q 即停止运动，设运动时间为t 秒.以PQ 为斜边作Rt PQM D ，使点M 落在线段BD 上.(1)求线段BD 的长度；D面积的最大值；(2)求PDQ(3)当PQMD与BCDD相似时，求t的值.4．如图，在ABC V 中，10cm AB = ，20cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm /s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm /s 的速度移动，如果P Q ，分别从A B ，同时出发，问经过几秒钟，△△P B Q A B C : ．5．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，6AC =，8BC =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF Ð=°，EF 交射线BC 于点F ．设BE x =，BED V 的面积为y ．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED V 相似，求BED V 的面积．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，函数关系式．注意（2）中都要分情况进行讨论：要分BEF Ð时钝角还是锐角进行分类讨论，不要丢掉任何一种情况．6．如图，矩形ABCD 中，AD AB ==25，，P 为CD 边上的动点，当ADP △与BCP V 相似时，求DP 长．7．如图，在ABC V 中，908C AC Ð=°=，cm ，动点P 从点C 出发沿着C B A --的方向以2cm/s 的速度向终点A 运动，另一动点Q 同时从点A 出发沿着AC 方向以1cm/s 的速度向终点C 运动，P 、Q 两点同时到达各自的终点，设运动时间为t （s ）．APQ V 的面积为2cm S ．(1)求BC的长；(2)求S与t的函数关系式，并写出的取值范围；V相似？(3)当t为多少秒时，以P、C、Q为顶点的三角形和ABC8．如图，在ABC V 中，8cm 10cm AB AC ==、，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为s t ,(1)则AP = ；AQ = ____ (用含t 的代数式表示)(2)求运动时间t 的值为多少时，以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ABC V 相似？9．如图1，在Rt ABC △中，=90=6cm =8cm ACB AC BC Ð°，，，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒()02t ＜＜，连接PQ ．(1)若BPQ V 与ABC V 相似，求t 的值；(2)直接写出BPQ V 是等腰三角形时t 的值；(3)如图2，连接AQ 、CP ，若AQ CP ⊥，求t 的值．则12BG PB ==∵=QBG ABC ÐÐ∴BGQ BCA ~V V BG BQ =5∵PM BC ACB ⊥Ð，∴PM AC ∥，10．如图1，在ABC V 中，90,3,4BCA AC BC Ð°＝＝＝，点P 为斜边AB 上一点，过点P 作射线PD PE ⊥，分别交AC 、BC 于点D ，E ．(1)问题产生∶若P 为AB 中点，当,PD AC PE BC ⊥⊥时，PD PE= ；(2)问题延伸：在（1）的情况下，将若∠DPE 绕着点P 旋转到图2的位置，PD PE 的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决：如图3，连接DE ，若PDE V 与ABC V 相似，求BP 的值．（3）如图2，连接CP，如图3，当PDE △∽△∵90DPE ACB Ð+Ð=°∴点C 、D 、P 、E 共圆，综上所述：165BP =或【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．通过添加合适的辅助线证明三角形相似是解题的关键．同时，本题考查了三角形的中位线定理，以及利用四点共圆证明角相等，是一道综合题．11．如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒．(1)当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？(2)当t 为何值时，△APQ 的面积为245∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QE∥BO，∴△AEQ∽△AOB，∴45QE BOAQ AB==44812．如图，在矩形ABCD中，12AB=cm，=3AD cm，点E、F同时分别从D、B两点出发，以1cm/s 的速度沿DC、BA向终点C、A运动，点G、H分别为AE、CF的中点，设运动时间为t（s）．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形．(2)填空：①当t为______s时，四边形EGFH是菱形；②当t为______s时，四边形EGFH是矩形．13．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4cm ，BC ＝8cm ，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，连结DE ，点P 从点B 出发，沿折线BD －DE －EA 运动，到点A 后立即停止．点P 在BD 的速度运动，在折线DE －EA 上以1cm/s 的速度运动．在点P 的运动过程中，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，点M 在线段BQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．(1)当点P 在线段DE 上时，求正方形PQMN 的边长．(2)当点N 落在边AB 上时，求t 的值．(3)在点P 的整个运动过程中，记正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形面积为S （cm ²），求S 与t 的函数关系式，写出相应t的取值范围．14．如图，矩形ABCD 中，15AB cm =，10BC cm =，动点P 从点A 出发，沿AB 边以2/s cm 的速度cm的速度向点A匀速移动，一个动点到达端向点B匀速移动，动点Q从点D出发，沿DA边以1/s点时，另一个动点也停止运动，点P，Q同时出发，设运动时间为s t．(1)当t为何值时，APQ△的面积为216cm(2)t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与ABCV相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的解法等知识，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用．15．阅读与思考如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务．解决问题：(1)写出正确的比例式及后续解答．(2)指出另一个错误，并给出正确解答．拓展延伸：(3)如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米．点P从点O开始沿OA向点A 以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO向点O以1厘米/秒的速度移动．当一点运动到终点时，另一点也随之停止．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0＜t＜6)，求当V POQ与V AOB相似时t的值．17．如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm．BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也停止运动，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的⊙Q与射线BA、线段BC分别交于点D，E，连接DP．(1)当t为何值时，线段DP与⊙Q相切；(2)若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围；(3)当△APC是等腰三角形时，直接写出t的值．18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，点P，Q同时从点B出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿折线BC﹣CA运动，当点P，Q相遇时，两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，△PBQ的面积为S．(1)当P，Q两点相遇时，t＝秒；(2)求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．90PHB C \Ð=Ð=°，B B ÐÐ=Q ，ΔΔABC PBH \∽，\PH BP AC AB=，165PC t =-，113(16522S PQ PC t t =´=´´-当833t ……时，如图，248PQ t =-，118(248)22S PQ BC t =´=´-=-19．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝16，BC＝12．动点P 从点B 出发，沿线段BA 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 A 运动，同时动点Q 从点 A 出发，沿折线AC—CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动．当点P 到达终点时，点Q 也停止运动．设运动的时间为t 秒．(1)AB= ；(2)用含t 的代数式表示线段CQ 的长；(3)当Q 在AC 上运动时，若以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，求t 的值；(4)设点O 是PA 的中点，当OQ 与△ABC 的一边垂直时，请直接写出t 的值．【点睛】本题考查了勾股定理，动点问题，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键．20．如图，抛物线23y ax bx =+-交x 轴于()30A -,，()10B ,两点，与y 轴交于点.C 连接AC ，BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 为抛物线在第三象限的一个动点，PM x ⊥轴于点M ，交AC 于点G ，PE AC ⊥于点E ，当PGE V 的面积为1时，求点P 的坐标；(3)如图2，若Q 为抛物线上一点，直线OQ 与线段AC 交于点N ，是否存在这样的点Q ，使得以A ，O ，N 为顶点的三角形与ABC V 相似．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把()30A -，和()10B ，的坐标代入抛物线解析求出a 和b 即可求解；（2）求出直线AC 的解析式为3y x =--，设()223P n n n +-，，则()3G n n --，，由三角形面积可得出1n =-或2n =-，则可得出答案；（3）分两种情况，①若AON ABC V V ∽，②若AON ACB V V ∽，由相似三角形的性质可求出ON 的长，求出N 点坐标，联立直线ON 和抛物线的解析式可求出答案．（1）解：∵抛物线y =a 2x +bx -3交x 轴于()30A -，，()10B ，两点，∴933030a b a b --=ìí+-=î ，解得12a b =ìí=î，∴该抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）解：∵抛物线的解析式为223y x x =+-，∴0x =时，=3y -，∴()03C -，，∴AO OC =．∵=90AOC Ð°，∴45CAO Ð=°．∵PM OA ⊥，PE AC ⊥，∴45PGM PGE GPE Ð=Ð=Ð=°，设直线AC 的解析式为y kx m =+，∴303k m m +=ìí=-î ，∴13k m =-ìí=-î，∴直线AC 的解析式为3y x =--，设()223P n n n +-，，则()3G n n --，，∴94 AK=，∴93344 OK=-=，∴39,44Næö--ç÷èø，∴直线ON的解析式为3y=。

初三数学相似三角形的动点问题

初三数学---相似三角形的动点问题模型：图務中，如果存在一个或者两个动点，求两个动点与某一个定点所构成的三角邢与原三角形相似如图：RtAABC 中，AB=8, AO10*点卩以每秒1个单位由A 点向B 点够动，点Q 以每秒2个单位由匚点向A 点移动，当其中一点到达时，两个运动的点同时停止运动，问：如杲设运动吋间为匚当t 为多少时’ AAPQ 与△ABC 相似？分祈：(1)动点：在本筷型中，卩、Q 为两个动点，线段AP 、BP. CQ. AQ 长随时莊找生改变.但是， AP 段代表P 点移动的距离，可以用 ________________ 来表示，那么BP 线段可以用 ____ 来表示一同理,CQ 线段代表Q 点移动的距离，可以用 ______ 表示，AQ 则囲 _______ 養示.(2)相似：两种情况：①△APQ S AABC;②厶APQ S AACB证明：〒先 AP 二 __ , BP= ___________ , CQ=_______, AQ= __________①当△APQ S AABC 时②当△APQ CO AACB 时AP _ <)AE - <AP L?AC _：t ( \ t _ f ? a~ r \d'lQ _ ( 3:X =.-.t =当亡=或上=时’ AAPQ 与△ABC 相似.总结：在劫点型间題中，我们要注意两项：1，把国形中所有变化的議段的长度全部用字母表示出来; 2. 在求证三角瑙相似时，要记住有两种情况！例1在RtAABC中，ZC=90D , AO20cm. BC=15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点（：出发’沿线段OJ也向点B方向运动.如果点卩的速度是4切/秒「点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点吋，就停止运动.设运动的时间为t秒，（1）用含t的代数式表示RtACPQ的血积Sj <2）当说秋时*人Q两点之间的距离是务少？（3）当t为多少秒时，以点C.Q为顶点的三箱形与比相似?例2如图*在矩形ABCD中，AB-12CJT, BC-ficm，点卩沿妞边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动：点◎沿DA边从点D开始问点A以lcm/s的速度’如果化Q同时出发，用t （s）袤示移动的时虬共屮0<t<6（那么：（1）当t为何值时，△QA卩是等腰直角三角形？住）求四边形QAPC的谄枳，提出一牛与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A. P为顶点的三角形与△ABC相似？A P U例3如圈所示，在A ABC BA=BC=20cm J AC=30cm,点卩从A 点出发，沿着屈以每秒4伽的速度向11 点运动；同时点Q 从匚点出发，沿CA 以每秋3cm 的速度向A 点运动’设运动时间为x, ｛门当x 为何值时,能，请说明理由.例巾如图，在平面直角坐标系内，己知点A (0,6X 点H (8+0),动点卩从点A 幵始在线段AO 上以每秒I 个单位长度的速度向点0移动*同时动点Q 从点R 开始在线段BA 上以每秒2个单位抵度的速度向点A 移动’设点巴Q 移动的时间为t 秒.(D 求直线AB K 解析式；(2)当t 为何值时+ MPQ 与MOR 相伽课堂练习PQ//BC?的值* (3) AAPQ 能否与ACQB 相似？若能，求出2的长；若不<3)当t 为何值时’ 24MPQ 的血积为g 个平方单位?*砒Q1*如图*直角梯形ABCD中，AD/7BC. AB丄BC,若AD=2, BC=3, AB^7,动点P在AB上，则使△PAD与△PBC相似的PA的值？(求出所有可能的情形)2.如图’在长方形ABCD中，AB-2T BC=4, Q是DC边的中点，P为一动点，若点P从B点出发：以1个单位/秒的速度沿着BC方向运动.设从点B出发运动了1秒，(1)写出AAQP的面积y关于x的函数关系式.并求出自变量從的取值范围.(2)问当x取何值时，AAQP是等腰三角形？3,如图，AABC中，ZC=90° , AC=3cm, BC=4cm,动点P从点B岀发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q 从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，耍使ACPQ与ACBA相似「所需要的时间是多少秒？P4. i □图，正方形ABCD 的边长为4, E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 点作PF 丄AE 丁 F. 1 ）求证：A PFA^A ABE ：<2)当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x,是否存在实数也使以P 、F 、E 为顶点的三角形也与A ABE相似？若存在，请求出x 的值：若不存在，说明理由*5. 如图，已^flAABC 是边长是6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中，点P 运动的速度是Icm/s,点Q 送动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t, (I)当"2时，判断ZXBPQ 的形状，并说明理由；(2)设ABPQ 的面积为 S,求S 与I 的函数关系式：(3)作QR//BA 交AC 于点R,连接PR*当t 为何值时，AAPR^APRQ?BRC。

相似三角形的动点问题题型(整理)

相似三角形的动点问题题型(整理) 相似三角形的动点问题一、动点型例1、已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形。

当点M在点B左侧时，可以得出结论：EN与MF相等且点F不在直线NE上。

当点M在BC上时，该结论仍然成立，可以利用图2证明。

若点M在点C右侧时，画出相应的图形，可以直接得出结论，不必证明或说明理由。

例2、在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm。

点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动。

点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G时，三个点随之停止移动。

设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）。

1）当t=1秒时，S的值为多少？2）S与t之间的函数解析式为S=2t^2+4t，自变量t的取值范围为0<t<2.3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似。

理由是BC与FG平行，因此△BEF与△FCG相似，当EF=FG 时，两个三角形相似，即t=1秒。

二、迁移应用1、已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s）。

1）当t＝2时，可以判断△BPQ为等腰三角形，因为BP=2PQ，且∠BPQ=120°。

2）设△BPQ的面积为S（cm2），则S=6t/(5+t)，其中0<t<2.3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t=2时，可以得出△APR∽△PRQ，因为∠RAP=∠QRP且∠APR=∠RPQ。

2、在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)。

相似三角形的动点问题题型(整理)word版本

相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．1）求证：△ACD∽△BAC；2）求：DC的长；3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=33，点M 是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP= ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O →A →B →O →）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△OPQ 的最大面积；（2）在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标．4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ，点A 、C 的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)，43AC BC , （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点Dyx O AB的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．5、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在Y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠CE=55，且43DAEA（1）判断OCD与△ADE是否相似？请说明理由；x（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线L，使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△CDE相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存Array在，请说明理由．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x．1）当x= 秒时，射线DE经过点C；2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y，求y与x的函数关系式；3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S，求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD 的交点为E ，与折线A-C-B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．（1）当t=0.5时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究RQCQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．9、如图1，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点E 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度向中点D 运动；点F 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为。

相似三角形难题集锦(含答案)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC 中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

(word完整版)相似三角形动点问题题型

动点问题题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

相似三角形动点问题

相似三角形动点问题相似三角形动点问题是高中数学中的经典问题之一，在解决这类问题时，需要具备一定的数学知识和思维能力。

本文将介绍相似三角形动点问题的基本概念和解题方法，以及一些注意事项。

首先，我们来了解一下相似三角形动点问题的基本概念。

相似三角形是指两个三角形的三个角分别相等，并且两个三角形的对应边成比例。

相似三角形动点问题是指，在一个给定的相似三角形中，其中一个点在某个定点上以一定速度运动，而另一个点在另外一个定点上以相同的速度运动，求这两个点之间的距离随时间变化的函数关系。

解决相似三角形动点问题的关键是找到这两个点之间的关系。

在相似三角形中，如果我们知道其中一个点到三角形的某个定点的距离，以及该点的速度，那么我们就可以用类似于比例的方法来求出另一个点到定点的距离，并且通过这个距离计算出两个点之间的距离。

在具体解决问题时，我们需要确定两个点的位置以及它们到对应定点的距离。

通常情况下，我们可以将一个点标记为位置变量，并用变量表示到定点的距离，并将另一个点表示为速度变量，用变量表示速度大小和方向。

尤其需要注意的是，在解决相似三角形动点问题时，需要仔细分析每一个信息，确定其对最终结论的影响。

有时候，我们必须结合多个信息才能得到正确的方程式或结论。

下面，我们来看一个实例来解决相似三角形动点问题。

假设有一个三角形ABC和一个点D，点D沿着边AB运动，初始时D到A的距离为2厘米，速度为每秒1厘米，求当D到达B点时，点D和点C之间的距离。

首先，我们需要确定点D的初始坐标和速度，以及ABC三角形上另外一个点C的坐标。

可以假设点D的位置为(x, y)，速度为(1,0)，点C的坐标为(p,q)，因为ABC是一个相似三角形，所以我们可以将三角形ABC中每一个点到A点的距离表示为x倍的AC的长度。

假设C到A的距离为k，则有以下公式：AD = 2BD = x*ABBC = x*AC而因为BD和BC成比例，所以我们可以得到以下等式：BD/BC = AB/AC即：x*AB/(x*AC) = AB/AC同理，我们可以得到以下等式：AD/AB = BD/BC即：2/AB = x*AB/(x*AC)将以上等式联立，可以消除x的影响，得到以下方程式：2/AB = AB/AC解得：AC = sqrt(2)*AB现在我们可以计算出点C的坐标了，因为BC = x*AC，所以BC =x*sqrt(2)*AB，又因为BD = x*AB，所以点D的坐标可以表示为(x, 0)。

相似三角形中的动点问题综合讲义

相似之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题解决套路1．研究基本图形，标注基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式．2．分析运动过程，分段，定范围关注起点、终点和状态转折点．状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等．3．根据不变特征建等式依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果．表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等．二、精讲精练1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿折线B→C→A 向点A运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x（s）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当Q在BC上运动时，是否存在以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当Q在CA上运动，且PQ⊥AB时，以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC是否相似？请说明理由．CA B2．如图，直角梯形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA ∥CB ，A (4，0)，B (3，3)．点M 从点O 出发以每秒2个单位长的速度向点A 运动，同时点N 从点B 出发，以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t （秒）．（1）使线段AQ ，QM ，MA 能围成三角形的t 的取值范围是_____________．（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，DC =5，AB=B =45°．动点M 从点B 出发，沿线段BC 以每秒1个单位长的速度向终点C 运动，动点N 同时从点C 出发，沿折线C →D →A 以同样速度向终点A 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t （秒）．（1）求在运动过程中形成的△MCN 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（2）当N 在CD 上运动时，△MCN 能否成为等腰三角形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．ADBC如图，直角梯形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA ∥CB ，A (15，0)，B (10，12)．动点P ，Q 分别从O ，B 两点同时出发，点P 以每秒2个单位长的速度沿OA 方向向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位长的速度沿BC 方向向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．线段OB ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 的运动时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形PABQ 是平行四边形？（2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1.（1）2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤．（2）存在，3013x =．（3）不相似 2.（1）0≤t <2（2）23332442S t t t =-++<（0）≤（3）存在，M (2,0)或M (2619，0)3.（1）22405522058t tt S t t ⎧-+⎪=⎨⎪-+⎩＜＜≤≤（2）能成为等腰三角形，50511t =或 4. （1）t =5（2）174（3）t =13或56或43或193相似之动点问题（每日一题）姓名_________1．如图1，在四边形ABCD 中，∠D =90°，BC ∥AD ，BC =20，DC =16，AD =30．动点P 从点D 出发，沿射线DA 方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2）当t 为何值时，使得线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO =OB ？（3）当t 为何值时，使得PQ ⊥BD ？（4）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？备用图备用图图1ABCD ABCD Q PDCBA2．如图，边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t （秒）．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得到点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP ，CA ，过点P 作PD ⊥OB 于点D ．（1）填空：PD 的长为_______（用含t 的代数式表示）．（2）求点C 的坐标（用含t 的代数式表示）．（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．3．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P，Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P，Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t（s）．（1）在点P，Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由．（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P，M，N在同一直线上？②当点P，M，N不在同一直线上时，是否存在这样的t值，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．4．如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，其中O(0，0)，A(0，，B(4，，C(8，0)，OH⊥BC于点H．（1）求∠HOC的度数．（2）动点P从点O出发，沿线段OH向点H运动，动点Q从点A出发，沿线段AO向点O运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t（秒）．①若直线QP交x轴的正半轴于点N，当t为何值时，QP=2PN？②在P，Q运动过程中，是否存在t值，使得△OPQ与△HOB相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O→C→A的路线向点A运动，同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P的运动时间为t（秒）．（1）求点A和点B的坐标．（2）当t为何值时，以A，P，R为顶点的三角形的面积为8？（3）是否存在以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】1.解：（1）由题意得：CQ=t ∴BQ=20-t∴S=12(20-t)×16=-8t+160（2）如果线段PQ与线段AB相交，则P点应运动到A点的左侧，此时15<t≤20由题意得：AP=2t-30，△BOQ∽△AOP∴BQ BO AP AO==2即202 230tt-= -∴t=16即：当t=16s时，2AO=OB（3）MPQAB CD当PQ⊥BD时，过点Q作QM⊥AD交AD于点M由题意得：PM=PD-MD=PD-CQ=t，△PQM∽△DBC∴PM QM DC BC=即：16 1620 t=∴t=12.8s（4）NPQB CD A过点P作PN⊥BC于点N①PB=PQ时，BN=NQ，即：20-2t=t，解得t=203；②当PQ=BQ时，t2+162=(20-t)2，解得t=185；③当BQ=PB时，无解．综上，当t=203s或185s时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．2.解：（1（2）过C作CE⊥OA于E ∴∠PEC=90°由题意知：OD=1 2 t∴BD=4-1 2 t∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C ∴∠BPC=60°∵∠OPD=30°∴∠BPD+∠CPE=90°∵∠BPD+∠DBP=90°∴∠DBP=∠CPE∴△PCE∽△BPD∴CE PE PC PD BD BP==11242PEt==-∴CE=4，PE=2-14t∴OE=2+34t∴C(2+34t)（3）能①当∠PCA=90°时，作CF⊥PA∴△PCF∽△CAF∴PF CFCF AF=∴2CF PF AF=⋅∵PF=2-14t，AF=4-OF=2-34t，CF=4t ∴213)(2)(2)44t t=--∴t=2，此时P是OA的中点．②当∠CAP=90°时，C的横坐标就是4∴2+34t =4∴t=8 3综上，当t=2s或83s时，△PCA能成为直角三角形．3.解：（1）∵AB=20cm，∠ABC=120°∴∠BAO=30°∴AO=，AC=①0<t≤5时，AP=4t，AQ=∴AP AB AQ AO∵∠BAO=30°∴△APQ∽△ABO ∴∠AQP=90°即：PQ⊥AC②当5＜t≤10时，CP=40－4t，CQ=同理可证：△PCQ∽△BCO∴∠CQP=90°即：PQ⊥AC综上，在点P，Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．（2）①由题意得，CM =AQ=，AP =4t 若点P ，M ，N 在同一直线上，则AMt ∴ AM ＋CM＋=∴ t =307 ②存在设l 交AC 于HHMAB CD P Q ON当点N 在AD 上时，若PN ⊥MN ，则∠NMH =30°=∠NAH ∴ MH =2NH ，NH =AH ∴ AC －CM －AH =2NH =2 AH即：－3t ＝2×3t ∴ t =2N H MAB CD PQO N当点N 在CD 上时，若PM ⊥MN ，则∠HMP =30° ∴ MH =2PH同理可得：t =203 综上，当t =2s 或203s 时，存在以PN 为一直角边的直角三角形．4.解：（1）由题意得：OA=AB=4，∠OAB=90°，OC=8 ∴OB=8，∠AOB=30°∴∠BOC=60°，OC=OB即：△BOC是等边三角形∵OH⊥BC∴∠HOC=30°（2）①过点N作NK⊥x轴交OH于点K ∴△POQ∽△PKN如果QP=2PN，则12 NK PK PN OQ OP PQ===由题意得：OQ=t，OP=t∴PK=12t，NK=12(t)∴OK=3 2 t∵∠HOC＝30°∴1)12322tNKOK t==∴t＝5②存在当QP ⊥OH 时，△OPQ ∽△HOB ∵ ∠QOP =60° ∴12OP OQ == ∴ t=3当PQ ⊥OA 时，△OPQ ∽△BOH则2OP OQ == ∴ t综上，当t=3s或3s 时，△OPQ 与△HOB 相似．5.解：（1）由题意得：A 为y =-x +7与43y x =交点联立得743y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩ ∴ A (3，4)∵ B 为y =-x +7与x 轴交点 ∴ B (7，0) （2）①图1如图1所示，当0≤t ≤4时，点P 在线段OC 上则P (0，t )，R (7-t ，0) ∵ A （3，4），AC ⊥y 轴 ∴ AC =3，OC =4 ∵ OP =t ∴ CP =4-t ∴ S △ACP =12AC CP ⋅=3(4)2t - ∵ BR =t ，OB =7 ∴ OR =7-t∴ S △OPR =12OP OR ⋅=1(7)2t t -∴ S △APR =S 梯形ACOR - S △ACP - S △OPR=131(37)4(4)(7)222t t t t +-⋅----=214142t t -+若S △APR =8，则214142t t -+=8，即t =2或t =6（舍）②图2如图2所示，当4<t <7时，点P 在线段AC 上 ∵ OC +CP =t ，OC +AC =7 ∴ AP =7-t ∴ S △APR =12AP OC ⋅=-2t +14 若S △APR =8，则-2t +14=8，即t =3（舍）综上，t =2时，S △APR =8. （3）存在①图3如图3所示，当0≤t ≤4时，点P 在线段OC 上，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，则OD =AC =3，AD =OC =4 ∴ OA =5，BD =OB -OD =4∴∠ABO=45°∴AB=∵l∥y轴∴QR=BR=t∵OP=t∴PQ∥x轴此时欲使△APQ为等腰三角形，显然只有使AP=AQ 在Rt△ACP中，AC=3，CP=4-t，∴229(4)AP t=+-在Rt△BRQ中，∠QBR=45°∴QB，2AQ=2()AB BQ-=2)若AP=AQ，则t=1或t=7（舍）②图4如图4所示，当4<t<7时，点P在线段AC上则AP=7-t，OR=7-t∵△OQR∽△AOC∴OQ OR AO AC=∴OQ=5 (7) 3t-∴AQ=520 33 t-若AP=AQ则t=41 8若AP=PQ，过点P作PE⊥AQ于点E，则AE=12AQ=51063t-∵∠PEA=90°，∠P AE=∠OAC ∴△P AE∽△OAC∴AE AP AC OA=即：51063t-=3(7)5t-解得t=226 43若AQ=PQ类比上一种情况，可以解得t=5综上，当t的值为1s或418s或22643s或5s，以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形．相似之动点问题（随堂测试）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻使△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．【参考答案】（1）1025713t=或；（2）525321t=或．A CB相似之动点问题（作业）1. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A ，B 坐标分别为(8，6)，(16，0)．点P 从点O 出发沿OA 方向向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 从点B 出发沿BO 方向向终点O 运动，速度为每秒2个单位．如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示运动时间，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）设△OPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（2）△OPQ 与△OAB 能否相似？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．2. 如图，直线y =-4x -4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，直线y =43x -b 过点C ，与x 轴交于点B ．动点D 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时动点E 从点B 出发，沿线段BC 向终点C 运动，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t （秒），当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）连接ED ，设△BDE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）在运动过程中，当△BDE 为等腰三角形时，求t 的值．【参考答案】1. （1）232455y t t =-+(08)t <<（2）能相似，12840219t t ==或 2. （1）22855S t t =-+（2）202421111t =或或相似之动点问题讲义第1题过程示范1．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，AC :BC =4:3 ∴AC =8，BC =6（1）①当0<x ≤3时，BQ =2x ，AP =x ∴BP =10-x图1MBCPQ如图1，过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，则 △BMQ ∽△BCA ∴MQ BQCA BA =即2810MQ x=∴85MQ x = ∴214825y BP QM x x =⋅=-+②当3<x <7时，AQ =14-2x ，BP =10-x图2NA P QC如图2，过点Q 作QN ⊥AB 于点N ，则 △AQN ∽△ABC ∴AQ QN AB BC = 即142106x QN -= ∴()31425QN x =- 2123514255y BP QN x x =⋅=-+ 综上，()()2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤，，（2）存在，理由如下：当Q 在BC 上运动，即0<x ≤3时， ∵∠QBP=∠ABC由题意，需分成两种情况：① 如图3，PA QCB图3△BPQ ∽△BAC ∴BP BQ BA BC = 即102106x x -=∴x =3013，符合题意 ② 如图4，图4P CQ△BQP ∽△BAC ∴BQ BP BA BC = 即210106x x -=∴x =5011，不符合题意综上：x =3013（3）不相似，理由如下：如图5，图5PQCB∵PQ ⊥AB ，∠C =90°，∠A =∠A ， ∴△APQ ∽△ACB ∴AP AQ PQ AC AB CB == 即1428106x x PQ -== ∴56421313x PQ ==， ∴741013PB x =-=∵2137PQ BC PB AC =≠∴△BPQ 与△ABC 不相似.。