简谐运动的对称性

简谐运动的对称性 It was last revised on January 2, 2021

简谐运动的对称性在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性.

简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。

下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用:

一、运动时间的对称性

例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s 质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（）

A. 8s

B. 4s

C. 14s

D.

s

3

10

【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知：

s

16

T,s4

4

T

=

=

质点第三次经过M点所需时间：△s

14

s2

s

16

s2

T

t=

-

=

-

=，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O →a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有：

s

3

16

T,s4

4

T

2

T

=

=

+

，质点第三次经过M点所需时间：

△

s

3

10

s2

s

3

16

s2

T

t=

-

=

-

=

，故D正确，应选CD。

二、速度的对称性

例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周期内（）

A. 弹力做的功一定为零

B. 弹力做的功可能是0到2

mv 21之间的某

一值

C. 弹力的冲量一定为零

D. 弹力的冲量可能是0到2mv 之间的某一值

【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来

的速度大小相等，方向相反。由动能定理知，

半个周期内弹力做的功为零，A 正确；半个周

期内振子速度变化量的最大值为2mv 。由动量定理知，弹力的冲量为0到2mv 之间的某一值，故D 正确，应选AD 。

三、位移的对称性

例3.一弹簧振子做简谐动动，周期为T ，

则下列说法中正确的是（ ）

A. 若t 时刻和（t+△t ）时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则△t 一定等于T

的整数倍

B. 若T 时刻和（t+△t ）时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则△t 一定等于

T/2的整数倍

C. 若△t=T ，则t 时刻和（t+△t ）时刻，振子运动的加速度一定相等

D. 若△t=2T

，则t 时刻和（t+△t ）时

刻，弹簧的长度一定相等

【解析】两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，说明振子位于同一位置，△t 不定等于T 的整数倍，A 错；振子两次经过同一位置时的速度大小相等、方向相反，但△t

不一定等于2T

的整数倍，B 错；在相隔一个周

期T 的两个时刻振子位于同一位置，振子运动

的加速度一定相等，C 正确；相隔△t=2T

的两

个时刻，振子位于对称位置，位移大小相等方

向相反，这时弹簧的长度不同，D 错，应选

C 。

四、回复力的对称性

例4.如下图在质量为M 的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为m （M ≥m ）的A 、B 两物体，支架放在水平地面上，开始各物体都静止，突

然剪断A 、B 间的连线，此后A 做简谐运动，

当A 运动到最高点时，支架对地面的压力为

（ ）

A. Mg

B. (M

－m)g

C. (M+m)g

D. (M+2m)g

【解析】剪断细线的瞬间，弹簧对A 的弹

力为kx=2mg ，A 受到向上的合外力为mg 。当A

运动到上方最大位移处，由简谐运动的回复力的对称性知，A 将受到竖直向下的合外力，其大小仍为mg ，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力大小为Mg 。应选A 。

例5.质量为M 的框架，如图放置，用轻弹簧连接质量为m 的A 物体，A 下面用细线吊一

质量为2m物体B，上端固定在框架上，剪断细线，在A运动的过程中，框架对地面的最小压力是多大？(M≥m)

解答：剪断细线后，A将作简谐运动，设弹簧劲度系数为k，其平衡位置在自然长度下X0=mg/k时，刚开始，弹簧伸长X=3mg/k，故振幅为A=2mg/k，由对称性，在最高点，弹簧将压缩X’=mg/k，弹簧对框架的作用力的kX’=mg，向上，故框架对地面的最小压力为(M-m)g。

例6.在水中有一木块A，其上置一质量为m物块B，当拿去B后，A恰能跳离水面，求A物体的质量。

解答：拿走B后，A物体将作上下的简谐运动，刚开始，A处于最低振幅位置，其回复力的大小应等于B物体的重力，向上。由于A恰能跳离水面，故最高点就是此位置，其回复力应等于A物体所受的重力，由于最高位置和最低位置的对称性，回复力应相等，故A物质量应等于B物的质量，∴M A=M B

例7.质量为m1、m2两物块间有一轻质弹簧如图所示放在水平地面上，在m1上加一竖直向下的外力F，撤去F后，m2恰能离开地面，求F的大小。

解答：这一问题，用机械能守恒可解，但要用到弹性势能的公式，解答过程中也较繁。

我们利用简谐运动的对称性来分析这一问题。

撤去F后，m1将作简谐运动。

初始，在最低位置，回复力为F向上，由于m2恰能离开地面，此时m1在最高位置，弹簧由于伸长对m2的拉力为m2g，对m1的向下拉力也为m2g。M1所受合力即回复力为

(m1+m2)g。最高点与最低点对称，故

F=(m1+m2)g

解答物理题有很多方法，但如果一个问题有对称性，首先考虑用对称法来解题，将能起到事半功倍的效果。

五、加速度的对称性

例8.如下图所示，一劲度系数为k的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为M的薄板P，另有一质量为m的物块B 放在P的上表面。向下压缩B，突然松手，使系统上下振动，欲使B、P始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？

【解析】将B、P看成一个简谐振子，当B、P在平衡位置下方时，系统处于超重状态，B、P不可能分离，分离处一定在平衡位置上方最大位移处，当B、P间弹力恰好为零时两物体分离，此时B的回复力恰好等于其重力mg，其最大加速度为

g

a

max

=

。由加速度的对称性可知，弹簧处于压缩量最大处的加速度也为

g

a

max

=

。由牛顿第二定律得max

max

a)

m

M

(

g)

m

M

(

kx+

=

+

-

，解得

k

g)

m

M

(2

x

max

+

=

。

由此可见，灵活运用简谐活动的对称性解题，可使解题过程简捷明了，达到事半功倍的效果。