数学分析三试卷及答案

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

1.求函数11(,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限.解：11(,)f x y y x =+=，因此二重极限为0.……(4分)因为011x y x →+与011y y x→+均不存在，故二次极限均不存在。

……(9分)2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dzdx.解： 对两方程分别关于x 求偏导:， ……(4分)。

解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '⋅+++-='++. ……(9分)3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。

设,,22y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）.解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x yz w w e μνμν+-====。

……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。

整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂。

……(9分)4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表,()()(1)0x yz dzdy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ⎧'=++++⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩约束条件: 21r h π=。

……(3分)构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

令 22420,20.r hF h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ ……(6分) 解得2h r =，故有r h ==由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为r =高为h =时，制作圆桶用料最省。

……(9分)5. 设322()y x yy F y e dx -=⎰,计算()F y '.解：由含参积分的求导公式332222322222()32y y x yx y x yxy x yx y y yyF y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……(5分)327522232y x yy y yx edx y eye---=-+-⎰375222751222y y y x y y y e ye e dx y ---=--⎰。

……(9分)6. 求曲线222222x y xyab c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所围的面积，其中常数,,0a b c >.解：利用坐标变换cos ,sin .x a y b ρθρθ=⎧⎨=⎩由于0xy ≥，则图象在第一三象限，从而可以利用对称性，只需求第一象限内的面积。

(),0,02πρθθρ⎧⎪Ω=≤≤≤≤⎨⎪⎩。

……(3分) 则(,)2(,)x y V d d ρθρθΩ∂=∂⎰⎰122sin cos 2002ab c d ab d πθθθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰⎰ ……(6分)22220sin cos a b d cπθθθ=⎰2222a b c =. ……(9分)7. 计算曲线积分352Lzdx xdy ydz +-⎰,其中L 是圆柱面221x y +=与平面3z y =+的交线（为一椭圆），从z 轴的正向看去，是逆时针方向.解：取平面3z y =+上由曲线L 所围的部分作为Stokes 公式中的曲面∑，定向为上侧，则∑的法向量为()cos ,cos ,cos 0,αβγ⎛= ⎝。

……(3分) 由Stokes 公式得352Lzdx xdy ydz +-⎰cos cos cos 352dS x y z zxyαβγ∑∂∂∂=∂∂∂-⎰⎰dS ∑= (6))221x y +≤=⎰⎰2π=……(9分)8. 计算积分Syzdzdx ⎰⎰,S 为椭球2222221x y z a b c ++=的上半部分的下侧.解：椭球的参数方程为sin cos ,sin sin ,cos x a y b z c ϕθϕθϕ===，其中02,0,2πθπϕ≤≤≤≤且2(,)sin sin (,)z x ac ϕθϕθ∂=∂。

……(3分)积分方向向下，取负号，因此，yzdzdx ∑=⎰⎰22322sin cos sin d bac d ππθϕϕθϕ-⎰⎰ ……(6分)222320sin sin cos bac d d ππθθϕϕϕ=-⎰⎰24abc π=-……(9分)二. 证明题（共3题，共28分）。

9.（9分）讨论函数3222422,0()0,0xy x y x y f x x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性.解：连续性：当220x y +≠时，2242424()022xy x y y yf x y x y x y +=⋅≤⋅=→++，当()(),0,0x y →， 从而函数在原点()0,0处连续。

……(3分) 可偏导性：()()()0,00,00,0lim0x x f x f f x∆→+∆-==∆，()0,0y f ()()0,00,0lim0y f y f y∆→+∆-==∆，即函数在原点()0,0处可偏导。

……(5分)3f f x f y∆-∆-∆= 不存在，从而函数在原点()0,0处不可微。

……(9分)10.（9分）（9分） 设(),F x y 满足： （1）在(){}00,,D x y x x a y y b =-≤-≤上连续，（2）()00,0F x y =，（3）当x 固定时，函数(),F x y 是y 的严格单减函数。

试证：存在0δ>，使得在{}0xx x δδI =-<上通过(),0F x y =定义了一个函数()y y x =，且()y y x =在δI 上连续。

证明：（i ）先证隐函数的存在性。

由条件（3）知，()0,F x y 在[]00,y b y b -+上是y 的严格单减函数，而由条件（2）知()00,0F x y =，从而由函数()0,F x y 的连续性得()00,0F x y b ->， ()00,0F x y b +<。

现考虑一元连续函数()0,F x y b -。

由于()00,0F x y b ->，则必存在10δ>使得()0,0F x y b ->， x ∀∈01(,)O x δ。

同理，则必存在20δ>使得()0,0F x y b +<， x ∀∈02(,)O x δ。

取12min(,)δδδ=，则在邻域0(,)O x δ内同时成立()0,0F x y b ->， ()0,0F x y b +<。

……(3分) 于是，对邻域0(,)O x δ内的任意一点x ，都成立()0,0F x y b ->， ()0,0F x y b +<。

固定此x ，考虑一元连续函数(),F x y 。

由上式和函数(),F x y 关于y 的连续性可知，存在(),F x y 的零点[]00,y y b y b ∈-+使得(),F x y ＝0。

而(),F x y 关于y 严格单减，从而使(),F x y ＝0的y 是唯一的。

再由x 的任意性，证明了对:δI =0(,)O x δ内任意一点，总能从(),0F x y =找到唯一确定的y 与x 相对应，即存在函数关系:f x y →或()y f x =。

此证明了隐函数的存在性。

……(6分)（ii ）下证隐函数()y f x =的连续性。

设*x 是:δI =0(,)O x δ内的任意一点，记()**:y f x =。

对任意给定的0ε>，作两平行线*y y ε=-， *y y ε=+。

由上述证明知()**,0F x y ε->， ()**,0F x y ε+<。

由(),F x y 的连续性，必存在*x 的邻域*(,)O x δ使得()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<， *(,)x O x δ∀∈。

对任意的*(,)x O x δ∈，固定此x 并考虑y 的函数(),F x y ，它关于y 严格单减且()*,0F x y ε->， ()*,0F x y ε+<。

于是在()**,y y εε-+内存在唯一的一个零点y 使(),0F x y =，即 对任意的*(,)x O x δ∈，它对应的函数值y 满足*y y ε-<。

这证明了函数()y f x =是连续的。

……(9分)11.（10分）判断积分1011sin dx x xα⎰在02α<<上是否一致收敛，并给出证明。

证明：此积分在02α<<上非一致收敛。

证明如下：作变量替换1x t=，则1201111sin sin dx tdt x x t αα+∞-=⎰⎰。

……(3分)不论正整数n 多么大，当[]3,2,244t A A n nππππ⎡⎤'''∈++⎢⎥⎣⎦时，恒有sin 2t ≥。

……(5分)因此，2211sin 2A A A A tdt dt tt αα''''--''≥⎰⎰ (7))A ''=≥2043424n αππ-≥→>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当2α→-时。

因此原积分在02α<<上非一致收敛。

……(10分)注：不能用Dirichlet 判别法证明原积分是一致收敛的。

原因如下：尽管对任意的1B >积分1sin B tdt ⎰一致有界，且函数21tα-关于x 单调，但是当x →+∞时，21t α-关于()0,2α∈并非一致趋于零。

事实上，取,t n = 相应地取12nα=-，则112111lim lim 10lim t n n nn t n n α-→∞→∞→∞===>，并非趋于零。

《 数学分析[3] 》模拟试题一、解答下列各题（每小题5分，共40分）1、 设),ln(y x z +=求y z yx z x∂∂+∂∂；2、,32,24,23,sin 2232t s z t s y t s x x yz u -=-=+==求t us u ∂∂∂∂, 3、设),sin(y x eu x-=求y x u ∂∂∂2在点)1,2(π处的值；4、求由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分dz ；5、求函数)ln(222z y x u ++=在点)2,2,1(-M 处的梯度)2,2,1(-gradu ； 6、求曲面32=+-xy e z z 在点（1，2，0）处的切平面和法线方程； 7、计算积分：dx x e e xx ⎰∞+---02；8、计算积分：⎰⎰-=112xy dye dx I ；二、(10分)求内接于椭球1222222=++c z b y a x 的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。