大学线性代数-Laplace展开定理和行列式计算方法小结
线性代数行列式计算总结
线性代数行列式计算总结线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在矩阵理论、线性方程组的解法、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量的计算中都起到至关重要的作用。
行列式的计算方法有很多，下面我将总结一下常见的行列式计算方法。
首先，我们先来定义什么是一个行列式。
行列式是一个标量，它是一个n阶方阵所带的一个数值特征。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为，A，或者det(A)，它的计算方法如下所示。
1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=，a11a12a21a2它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22-a12*a212.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=，a11a12a13a21a22a2a31a32a3它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a11*a23*a323.高阶行列式的计算方法对于一个高阶方阵A，可以通过对其中一行或一列进行展开来计算行列式。
展开的方式有很多种，常用的有代数余子式展开和化简为三角行列式展开两种。
3.1代数余子式展开对于一个n阶方阵A，选择一行或一列展开，计算每个元素的代数余子式，然后按照正负交替的方式相乘相加得到行列式的值。
具体步骤如下：- 选择第i行展开，行列式的值为，A， = ai1*C_1i + ai2*C_2i+ ... + ain*C_ni- 其中，C_ij是元素a_ij的代数余子式，计算方法是去掉第i行和第j列剩余元素构成的(n-1)阶子阵的行列式。
3.2三角行列式展开对于一个n阶方阵A，通过初等变换将方阵化为上三角形或下三角形，然后计算对角线的乘积得到行列式的值。
除了以上两种展开的方法，还可以通过矩阵的特征值和特征向量计算行列式的值。
具体步骤是：-计算矩阵A的特征值λ_1,λ_2,...,λ_n-计算矩阵A的特征向量v_1,v_2,...,v_n-行列式的值等于特征值的乘积：，A，=λ_1*λ_2*...*λ_n行列式的计算方法还有很多，比如拉普拉斯展开、按行或按列展开等。
线性代数技巧行列式的计算方法
线性代数技巧行列式的计算方法行列式是线性代数中重要的概念，它是一个数，可以用来描述矩阵的性质。
在计算行列式时，可以使用不同的方法，如拉普拉斯展开、余子式法、矩阵分解等。
下面我将详细介绍三种常用的行列式计算方法。
1.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式最常用的方法之一、对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用下式计算：det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj其中，a1j、a2j、..、anj 表示第1行、第2行、..、第n行的第j 列元素，C1j、C2j、..、Cnj 表示第1行、第2行、..、第n行的第j列的余子式。
在计算过程中，我们可以选择第i行或第j列，将行列式分成两个更小的行列式，然后递归计算这两个行列式的值。
这种方法的计算复杂度为O(n!)，在计算较大的行列式时效率较低。
2.余子式法余子式法是计算行列式的另一种常用方法，它的基本思想是利用代数余子式的概念来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用下式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nAn其中，a11、a12、..、a1n表示第1行的各个元素，A11、A12、..、An表示对应元素所在的代数余子式。
代数余子式的计算公式如下：Ai = (-1)^(i+1) × det(Mi)其中，Mi表示去掉第1行和第i列之后的(n-1)阶方阵。
通过递归计算，可以将大的行列式转化为多个小的行列式的计算，从而提高计算效率。
3.矩阵分解法矩阵分解法是一种便捷的计算行列式的方法。
对于特殊的矩阵，如三对角矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等，可以通过矩阵的分解来简化行列式的计算。
例如，对于上（下）三角矩阵A，它的行列式等于主对角线上的元素相乘：det(A) = a11 × a22 × ... × ann这种方法的计算复杂度为O(n)，适用于这类特殊矩阵。
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
行列式计算方法小结
行列式计算方法小结行列式是线性代数中的一个重要概念，它为矩阵提供了一种重要的性质。
在计算行列式时，有几种常见的方法可以使用，包括拉普拉斯展开、三角形展开和直接计算等。
本文将对这几种方法进行详细介绍和比较。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是求解行列式的一种常用方法。
它利用行列式的定义，将行列式按照其中一行或一列展开，转化为更小的行列式的求解问题。
具体步骤如下：1.选择一个行或列，记为第i行（列）；2.将第i行（列）展开为n个代数余子式的乘积，并计算每个代数余子式的数值；3.将每个代数余子式乘以对应的元素，并根据正负法则进行求和。
例如，对于一个3阶的行列式A=abdegh通过拉普拉斯展开法，我们可以选择第一行展开：det(A) = aM11 - bM12 + cM13其中，M11，M12和M13分别表示代数余子式，具体计算方法为：M11=eM22-fM23M12=dM21-fM23M13=dM21-eM22代数余子式计算完成后，再将它们代入到展开式中计算即可。
拉普拉斯展开法的优点是思路清晰，易于理解和操作，适用于2阶及以上的行列式。
但当阶数较高时，计算量较大，效率较低。
二、三角形展开法三角形展开法是另一种常用的行列式计算方法。
它通过将行列式中的元素进行重新排列，使得计算过程更加规整，从而简化计算。
具体步骤如下：1.首先确定一个元素，例如第一行第一列的元素a；2.从第一行第一列开始，按照三角形的形状依次向右下方展开，依次得到包围a的三个三角形；3.将三个三角形的元素进行乘积运算，并根据正负法则求和；4.将得到的结果乘以a。
例如，对于3阶行列式A=abdegh我们可以选择第一行第一列的元素a进行三角形展开：det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)通过三角形展开法，我们将行列式按照三角形的形状展开并进行计算，最后得到结果。
三角形展开法的优点是计算规整，清晰明了，可以简化计算过程。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结在线性代数中，行列式是一个非常重要的概念，它在矩阵运算和线性方程组的求解中起着至关重要的作用。
本文将总结一些常见的行列式计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用线性代数中的行列式。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常见的计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以通过以下公式来计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n是矩阵A的第一行元素，A11, A12, ..., A1n分别是对应元素的代数余子式。
代数余子式的计算方法是先将对应元素所在的行和列去掉，然后计算剩下元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式，再乘以对应元素的符号（正负交替）。
通过递归的方式，可以计算出整个矩阵的行列式。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，如果它的行列式不为0，那么可以通过克拉默法则来求解它的逆矩阵。
逆矩阵的元素可以通过矩阵A的各个元素的代数余子式和行列式的比值来计算。
虽然克拉默法则在实际计算中并不常用，但它对于理解行列式的性质和逆矩阵的计算方法有一定的帮助。
3. 初等行变换法。
初等行变换法是一种通过对矩阵进行一系列行变换来简化行列式计算的方法。
这些行变换包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
通过这些行变换，可以将一个矩阵化简为上三角形矩阵或者对角矩阵，从而更容易计算它的行列式。
需要注意的是，进行行变换时要保持行列式的值不变，即每一次行变换都要乘以一个相应的系数。
4. 特征值法。
特征值法是一种通过矩阵的特征值和特征向量来计算行列式的方法。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式可以表示为其特征值的乘积。
通过计算特征值和特征向量，可以得到矩阵A的行列式的值。
特征值法在实际计算中比较复杂，但它对于理解矩阵的性质和特征值分解有一定的帮助。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个重要分支，而行列式是线性代数中的一个重要概念。
行列式计算方法是线性代数的基础知识，掌握好行列式的计算方法对于深入理解线性代数具有重要的意义。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助读者更好地掌握这一知识点。
1. 行列式的定义。
在开始介绍行列式的计算方法之前，我们先来回顾一下行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为：|A| = Σ(−1)^σP1,1 P2,2 ... Pn,n。
其中，σ是1到n的一个排列，P1,1 P2,2 ... Pn,n是这个排列的乘积，Σ表示对所有可能的排列求和。
2. 行列式的计算方法。
接下来，我们将介绍几种常见的行列式计算方法。
2.1 余子式法。
余子式法是计算行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过递归的方式计算得到。
具体步骤如下：对于n阶方阵A，选择第i行（或第j列）展开，得到A的余子式Mij；计算Mij的行列式|Aij|，其中Aij是Mij的转置矩阵；根据公式|A| = ai1 |A1| + ai2 |A2| + ... + ain |An|，计算得到行列式|A|。
2.2 克拉默法则。
克拉默法则是一种用于求解n元线性方程组的方法，它也可以用来计算行列式。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过克拉默法则计算得到。
具体步骤如下：对于n元线性方程组Ax = b，其中A是系数矩阵，x是未知数向量，b是常数向量，如果A是非奇异矩阵（即|A| ≠ 0），则方程组有唯一解；解出方程组的每个未知数，可以得到方程组的解向量x；根据克拉默法则，方程组的解向量x的每个分量可以表示为xj = |Aj| / |A|，其中Aj是将系数矩阵A的第j列替换为常数向量b得到的矩阵的行列式。
2.3 对角线法则。
对角线法则是一种简单直观的计算行列式的方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过对角线法则计算得到。
大学线性代数Laplace展开定理和行列式计算方法小结.pdf
Laplace 展开定理二、Laplace 定理行列式按某几行或几列展开定义:12(1)k i i i +++- ()22111k kj j j i i i M +++++++'- 即，中,k n (1)≤≤个元素，按原来的顺序,余下的元素按原来的顺序,余子式.其中ki i i 12,,, kj j j 12,,, 12kj j j ++++ ，D =M '525435+24++如Da aa aa a=111221223132a a111314a a313334Laplace 定理a ab b 1212+213+34c c 34d d c c0000a a=)......k kk a a a a 1111 ...a ...rb b 111...11a...b b 11k a 1.. 01．利用行列式定义直接计算2．利用行列式的性质计算3．化为三角形行列式4．降阶法5．逆推公式法6．利用已知行列式（范德蒙行列式）7．加边法（升阶法）8．数学归纳法9. 分拆法2123n n n降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用Laplace 定理a100 00naa+.0n x x D -=D=加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
x a +na1n a D =。
行列式的计算技巧总结
行列式的计算技巧总结行列式是线性代数中的重要概念，它在计算中有着广泛的应用，如矩阵求逆、解线性方程组、判断矩阵的线性无关性等。
行列式的计算可以通过展开定理、性质和转置等多种方法进行。
下面是行列式计算的一些常见技巧总结。
1.行列式的定义和性质行列式是一个标量，用来描述一个矩阵的一些特性。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，A，或∆。
行列式具有以下性质：(1) det(A) = det(A^T) //行列互换，行列式不变(2) det(A·B) = det(A)·det(B) //两个矩阵相乘的行列式等于两个矩阵的行列式的乘积(3) 若矩阵A的其中一行（列）全为0，则det(A) = 0(4) 若矩阵A的两行（列）相同，则det(A) = 0(5) 若矩阵A的其中一行（列）成比例，即全部为c倍关系，则det(A) = c^n·det(A')(6) 若矩阵A的其中一行（列）都是两个矩阵B和C对应行（列）的和，则det(A) = det(B) + det(C)2.二阶和三阶行列式的计算二阶行列式的计算可以直接进行运算，即ad-bc。
三阶行列式的计算可以通过对角线和副对角线元素的乘积之和减去反对角线和主对角线元素的乘积之和，即a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)。
其中a、b、c、d、e、f、g、h、i是矩阵A的元素。
3.行列式的展开行列式的展开定理是行列式计算的重要工具。
对于n阶行列式，可以通过对任意一行（列）展开来计算行列式的值。
展开的时候，可以选择展开到其他行（列）上，也可以选择展开到其他元素，具体选择哪一行（列）或元素展开要根据实际情况决定。
展开后的行列式可以继续进行展开，直到变为二阶行列式，然后通过二阶行列式的计算结果反推回原行列式。
4.行列式的转置行列式的转置是行列式计算的另一个常用方法。
对于n阶行列式A，可以将其转置为A^T，然后利用性质(1) det(A) = det(A^T)进行计算。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。
计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。
1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。
对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。
（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。
A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。
2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。
（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。
A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。
3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。
对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。
如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。
具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式的计算方法有哪些呢?可能大部分同学并不知道。
为了普及知识。
下面是由小编为大家整理的“行列式的计算方法总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。
行列式的计算方法总结第一、行列式的计算利用的是行列式的性质，而行列式的本质是一个数字，所以行列式的变化都是建立在已有性质的基础上的等量变化，改变的是行列式的“外观”。
第二、行列式的计算的一个基本思路就是通过行列式的性质把一个普通的行列式变化成为一个我们可以口算的行列式(比如，上三角，下三角，对角型，反对角，两行成比例等)第三、行列式的计算最重要的两个性质：(1)对换行列式中两行(列)位置，行列式反号(2)把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式不变对于(1)主要注意：每一次交换都会出一个负号;换行(列)的主要目的就是调整0的位置，例如下题，只要调整一下第一行的位置，就能变成下三角。
拓展阅读：行列式的性质有哪些?行列式与它的转置行列式相等;互换行列式的两行(列)，行列式变号;行列式的某一行(列)的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式;行列式如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零;若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和;把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
n阶行列式实质上是一个n^2元的函数，当把n^2个元素都代上常数时，自然得到一个数。
当我们写的时候，写成一个表是为了方便的反映函数的物性。
当然，决不是指任何n^2元函数都是行列式，具体的行列式函数定义你找书一看看。
为了让你自己觉得好理解一些，你可以试着照行列式的定义把行列式写成多项式和的常见形式，当然那个形式比较复杂，但本质上与行列式是一样的，只是写成行列式易于直观的做各种运算处理。
(完整版)行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结:1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式:B A BC A BC A ==0021,B A BA D DB Amn )1(0021-==,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: nn abab ab b a b abaD 22=,利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式ab ba 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-=n n n n n n n D b a D ab b a D ,此为递推公式,应用可得n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=-- .3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.例:nn n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=0001133112211321321321321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100101010011)(3332221111-------⋅-=∏=nn n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1001000010)(33322221111nn n ni ii i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-⋅-=∑∏== --------(将第n ,,3,2 列加到第一列)其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.n x a aa a a x a a a a a x a a a aa x a ++++ 321,nn n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++ 321321321321. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).例子:nn n n nnn n nn n n nn b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++++-++++-++++----=++++++++++++10101010000011112122212212111121212221212111∑∑∑∑∑∑======+--+=---+--+=------=ni in i i i ni in ni i n i i i ni in n b b a na b b b b b a na a a ab b b 1112111121211110100000101111111010100111011101∑∑∑∑∑∑∑=≠======-+++=-++=nj nji i j i j ni i ni i ni i i ni i ni i a a b b a b a n b a 1111111)(1)1)(1(.例子:nnx a aaaa x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a aaaa x a a a a a x a aa a a x a ++++=++++0001321321).1(00000000000010100010001000111213211321∑∑==+=+=----=ni in nni inx a x x x x x x x a a a a x a x x x x a a a a6. 利用范德蒙德行列式.计算行列式: n nn n nn nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x D321223222122322213211111----=解: 令: nnnn nn n nn n n n nn n n ny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D211112112222212222212111111--------=,这是一个1+n 级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行列式得)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ .可看做是关于y 的一个n 次多项式.另一方面,将1D 按最后一列展开,可得一个关于y 的多项式01111p y p y p y p D n n n n ++++=-- ,其中1-n y 的系数1-n p 与所求行列式D 的关系为1--=n p D .由)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ 来计算1-n y的系数1-n p 得:∑∏=≤<≤-⋅--=ni i ni j j in x x xp 111)(,故有∑∏=≤<≤-⋅-=-=ni i ni j j in x x xp D 111)(其它的例子:=+-+++-++-++------n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nb b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 111121211111212222222122111121211111……每一行提公因子n i a ,nn n n n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a ba b a a a )()()()(1)()()()(1)()()()(1111112111122122222221111121111121++-++++++--+=).(1121∏≤<≤+-=n i j j j ii nn n n a b a b a a a7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)证明当βα≠时,,1000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D证明时,将n D 按第一行(或第一列)展开得21)(---+=n n n D D D αββα,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式.例子: 计算行列式,10000010001000βααββαβααββααββα+++++=n D 解: 按第一行展开得: 21)(---+=n n n D D D αββα,将此式化为:(1) )(211----=-n n n n D D D D αβα或 (2) )(211----=-n n n n D D D D βαβ 利用递推公式(1)得:n n n n n n n n D D D D D D D D βαβαβαβα=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D βα+=-1. (3)利用递推公式(2)得:n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβαβ=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D αβ+=-1. (4)由(3)(4) 解得: ,,)1(,11⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=++βααβαβαβαn n n n n D其它的例子nn acb a ac b a c b a D00000000000=,按第一行展开可得21---=n n n bcD aD D ,此时令,,bc a ==+αββα则21)(---+=n n n D D D αββα,变形为211)(----=-n n n n D D D D αβα,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里,,bc a ==+αββα即βα,是方程02=+-bc ax x 的两个根.9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.例子:accccb ac c c bb ac c bbbac b b b b c a c accccb ac c c bb ac c bbbacb b b b a D n-+==210000V V acccb ac c b b a c b b b a b b b b c a accccb ac c c b b a c c b b b a c b b b b c +=-+=1V : 除第一行外,其余各行加上第一行的1-倍,所得行列式按第一列展开,2V 按第一列展开.11)(0000000--=----------=n b a c ba b c b c bc ba b c b c b b b a b c ba b b b b c V12)(--=n D c a V , 故11)()(---+-=n n n D c a b a c D ,由c b ,的对称性质,亦可得11)()(---+-=n n n D b a c a b D ,这两个式子中削去1-n D ,可得结论,bc c a b b a c D nn n ----=)()(.注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法. (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学中的一个重要分支，而行列式计算方法则是线性代数中的一个重要内容。
行列式是矩阵的一个标量，它可以帮助我们求解线性方程组的解、判断矩阵的可逆性以及计算向量的夹角等。
在学习线性代数的过程中，行列式的计算方法是一个必须要掌握的基础知识。
本文将对线性代数中行列式的计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、行列式的定义。
行列式是一个非常重要的概念，它可以用来描述一个矩阵的性质。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)或者|A|。
行列式的计算方法有多种，接下来我们将逐一介绍。
二、行列式的计算方法。
1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常用的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过如下公式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nA1n。
其中，a11, a12, ..., a1n为矩阵A的元素，A11, A12, ..., A1n为对应元素的代数余子式。
通过递归计算每个代数余子式的行列式，最终可以得到整个矩阵的行列式值。
2. 克拉默法则。
克拉默法则是另一种行列式计算方法。
对于一个n阶线性方程组Ax = b，如果A是一个可逆矩阵，那么方程组的解可以表示为：xi = det(Ai) / det(A)。
其中，det(Ai)是将矩阵A的第i列替换为b后所得到的新矩阵的行列式，det(A)是矩阵A的行列式。
通过计算各个未知数的值，可以得到方程组的解。
3. 数学归纳法。
数学归纳法是一种递归的行列式计算方法。
对于一个n阶方阵A，它的行列式可以通过以下步骤计算：当n=1时，行列式的值就是矩阵A的唯一元素。
当n>1时，可以通过展开定理将n阶矩阵的行列式转化为n-1阶矩阵的行列式，然后递归计算下去，直到n=1时结束。
4. 其他方法。
除了上述方法外，行列式的计算还有其他一些特殊情况下的方法，比如利用特征值和特征向量、利用矩阵的对角化等。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结线性代数是数学的一个分支，研究向量空间与线性映射的代数理论。
行列式是线性代数中重要的概念之一，用于判断线性方程组的解的存在与唯一性，以及计算线性变换的特征值与特征向量等。
本文将介绍线性代数中行列式的计算方法，并总结为以下几种常见的方法。
方法一：定义法行列式的定义是一个很重要的概念，也是计算行列式的基础。
对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为|A|或det(A)，定义为n个行向量或列向量所组成的n维向量空间的基向量所构成的平行多面体的有向体积。
根据这个定义，我们可以通过构造平行多面体来计算行列式的值，方法即是代数余子式展开法。
方法二：对角线法则对角线法则是计算2阶或3阶方阵行列式的简易方法。
对于2阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积；对于3阶方阵A，其行列式的值等于主对角线上元素的乘积与副对角线上元素的乘积之差。
此方法适用于小规模方阵的计算。
方法三：按行展开法按行展开法是计算n阶方阵行列式的一种常用方法。
对于一个n阶方阵A，选择其中一行（通常选择第一行）展开，即将该行中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
按行展开法在计算大规模方阵的行列式时，不仅简化了计算过程，还可以通过递归的方式实现。
方法四：按列展开法按列展开法与按行展开法类似，只是选择展开的对象变为一列。
选择第j列展开，则将该列中的元素与所在行和列上排列的剩余元素分别构成n-1阶的方阵，然后将其乘以对应元素的代数余子式，最后再按正负号相间相加得到行列式的值。
方法五：性质法行列式具有一系列的性质，可以根据这些性质来简化行列式的计算过程。
这些性质包括行列对换，相同行列的元素倍加，行列式放缩等。
利用这些性质，我们可以通过对行列式进行简单的变换，使其更容易计算，例如将行列式转化为上三角形矩阵，然后直接求解主对角线上元素的乘积即可。
线性代数行列式计算方法总结
线性代数行列式计算方法总结1. 引言行列式是线性代数中的重要概念，用于描述线性方程组的性质以及向量空间的基本性质。
在实际应用中，行列式计算是非常常见的操作。
本文将总结常用的线性代数行列式计算方法，并通过具体的例子进行说明。
2. 行列式的定义行列式是一个将矩阵映射为一个标量的函数。
设A为一个n阶方阵，则其行列式记作|A|，它由元素a_ij组成的n×n矩阵所决定。
行列式的计算方法有多种，下面将介绍其中几种常用的方法。
3. 基本行列变换法基本行列变换法是求解行列式值的一种常见方法。
它包括以下三种基本行列变换：3.1 行交换行交换是将两行互换位置的操作。
当行交换次数为偶数次时，行列式的值保持不变；当行交换次数为奇数次时，行列式的值取负。
例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们交换第一行和第三行，得到矩阵 B：B = [g h i][d e f][a b c]则有 |A| = -|B|。
3.2 行倍加行倍加是将某一行乘以一个非零常数，并加到另一行上去的操作。
行倍加不改变行列式的值。
例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第一行的2倍加到第二行上，得到矩阵 C：C = [a b c][2a+e 2b+f 2c+f][g h i]则有 |A| = |C|。
3.3 行倍乘行倍乘是将某一行乘以一个非零常数的操作。
行倍乘改变行列式的值。
例如，对于一个3×3矩阵 A：A = [a b c][d e f][g h i]如果我们将第三行乘以2，得到矩阵 D：D = [a b c][d e f][2g 2h 2i]则有 |A| = 2|D|。
4. Laplace展开法Laplace展开法是求解行列式值的另一种常用方法。
它基于以下原理：设A是一个n阶方阵，将A的第i行第j列的元素记为a_ij，则A的行列式可展开为a_ij 与其余元素构成的n-1阶矩阵的行列式的代数余子式之和。
行列式的计算方法和技巧大总结
行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。
在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。
以下是行列式计算方法和技巧的大总结。
1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。
2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。
3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。
行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。
当进行行变换时，行列式的值保持不变。
4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。
5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。
展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。
6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。
这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。
7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。
克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。
具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。
8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。
对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。
具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。
行列式的计算方法总结要点
行列式的计算方法总结要点行列式的计算方法总结要点引导语：行列式的计算很多人都掌握不好，那么要怎样学好行列式的计算方法呢？接下来是小编为你带来收集整理的行列式的计算方法总结要点，欢迎阅读！对于数值型行列式来说，我们先看低阶行列式的计算，对于二阶或者三阶行列式其是有自己的计算公式的，我们可以直接计算。
三阶以上的行列式，一般可以运用行列式按行或者按列展开定理展开为低阶行列式再进行计算，对于较复杂的三阶行列式也可以考虑先进行展开。
在运用展开定理时，一般需要先利用行列式的性质将行列式化为某行或者某列只有一个非零元的形式，再进行展开。
特殊低阶行列式可以直接利用行列式的性质进行求解。
对于高阶行列式的计算，我们的基本思路有两个：一是利用行列式的性质进行三角化，也就是将行列式化为上三角或者下三角行列式来计算;二是运用按行或者按列直接展开，其中运用展开定理的行列式一般要求有某行或者某列仅有一个或者两个非零元，如果展开之后仍然没有降低计算难度，则可以观察是否能得到递推公式，再进行计算。
其中在高阶行列式中我是用加边法把其最终化为上（下）三角，或者就直接按行或者列直接展开了，展开后有的时候就直接是上或者下三角形行列式了，但有时其还不是上下三阶，可能就要用到递推的类型来处理此类题目了。
总之，我们对于高阶行列式要求不是很高，只要掌握几种常见的情形的计算方法就可以了。
有的时候，对于那些比较特殊的形式，比如范德蒙行列式的类型，我们就直接把它凑成此类行列式，然后利用范德蒙行列式的计算公式就可以了，但是，我们一定要把范德蒙行列式的形式，一阶其计算方法给它掌握住，我们在上课时也给同学们讲解了其记忆的方面，希望同学们课下多多做些练习题进行巩固。
当然对于行列式我们有时可能还会用到克莱默法则和拉普拉斯展开来计算，只是这些都是些特殊的行列式的计算，其有一定的局限性，比如1995年数三就考到了一题用克莱默法则来处理的填空题。
对于抽象型行列式来说，其计算方法就有可能是与后面的知识相结合来处理的。
行列式的解法小结
行列式的解法小结摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。
关键词：行列式 三角形行列式 范德蒙行列式 循环行列式行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。
对于一般n 阶行列式，特别是当n 较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。
因此，研究一般n 阶行列式的计算方法是十分必要的。
由于不存在计算n 阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n 阶行列式的计算问题。
1 升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展 开定理使之降阶，从而使问题得到简化。
有时与此相反，即在原行列式的基础上 添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。
这种 计算行列式的方法称为升阶法。
凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除 主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。
升 阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点 作出选择。
例1计算n 阶行列式 2212221212121nn n n nn a c a a a a a a a c a a a a a a a c D +++=，其中0≠c解 2212221212121210001nn n n n nn a c a a a a a a a c a a a a a a a c a a a D +++= ca c a c a a a a n n 00000012121---= 将最后一个行列式的第j 列的11--j a c 倍加到第一列（)13,2+=n j ，就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+∑=-ni ic c c ac121,,,,故 ∑=++=ni in n n ac c D 121例2 计算n 阶行列式n nnnn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=解 好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令nnnn nn n nn n n n nn n n nn y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D21111211222221222221211111--------= 按第1+n 列展开，则得到一个关于y 的多项式，1-n y 的系数为n n nn D D -=-++1)1(。
拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则
拉普拉斯（Laplace）定理行列式的乘法规则§8 拉普拉斯(Laplace)定理行列式的乘法规则一、拉普拉斯定理定义9 在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列(n k ≤)，位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ，称为行列式D 的一个k 级子式.在D 中划去这k 行k 列后余下的元素按照原来的次序组成的k n -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式.从定义立刻看出，M 也是M '的余子式.所以M 和M '可以称为D 的一对互余的子式.例1 在四级行列式310120012104121-=D中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M ：1042=M ,M 的余子式为1020='M .例2 在五级行列式555453525125242322211514131211a a a a a a a a a a a a a a a D=中454342252322151312a a a a a a a a a M =和54513431a a a a M =' 是一对互余的子式.定义10 设D 的k 级子式M 在D 中所在的行、列指标分别是k k j j j i i i ,,,;,,,2121 ，则M 的余子式M '前面加上符号)()(2121)1(k k j j j i i i +++++++- 后称做M 的代数余子式.因为M 与M '位于行列式D 中不同的行和不同的列，所以有下述引理行列式D 的任一个子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致.定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D 中任意取定了k (11-≤≤n k )个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .例3 利用拉普拉斯定理计算行列式131310112104121-=D从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用.二、行列式的乘积法则定理7 两个n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a D2122221112111=和nn n n nn b b b b b b b b b D 2122221112112=的乘积等于一个n 级行列式nnn n nn c c c c c c c c c C212222111211=,其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和：∑==+++=nk kj ik nj in j i j i ij b a b a b a b a c 12211 .这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了.。
线性代数 1.5 行列式按 k 行(列)展开——拉普拉斯(Laplace)定理
. #;
请同学们自己计算下面的行列式：
00ab 00ba ba00 ab00
按第 1，2 行展开 a b (1)(12)(34) b a
ba
ab
(a2 b2 )(b2 a2 ) (a 2 b2 )2
. #;
二、小结
按第 i 行展开 按第 j 列展开
(a 2 b2 )2 D2(n2) (a 2 b2 )n1 D2
(a2 b2 )n1 a b (a2 b2 )n . ba
证明二：（数学归纳法）见课本 P34 .
. #;
a1 0 b1 0 例 计算 4 阶行列式 : 0 c1 0 d1 .
b2 0 a2 0 0 d2 0 c2
. #;
作业
课本 P36：题3 课本 P40：题1. (3) 课本 P41：题5
按第 i1, i2, …, ik 行展开 按第 j1, j2, …, jk 列展开
. #;
思考题
a1 a2 a3 a4 a5
b1 b2 b3 b4 b5
计算行列式 c1 c2 0 0 0 .
d1 d2 0 0 0
e1 e2 0 0 0
思考题解答
等于0. 根据拉普拉斯定理，按照第 3, 4, 5 行展开.
B 为 r 阶矩阵, C为任意 k r 或 r k 矩阵, O 为零矩阵.
. #;
例 设 A 为 k 阶矩阵, B 为 r 阶矩阵, 且已知 A a, B b, 求行列式 O A 的值.
BC
解 将行列式按前 k 行展开 :
O A A (1) B (12k )[(r 1)(r 2)(r k )] BC
. #;
拉普拉斯定理适合于计 算形如
拉普拉斯定理与行列式的乘法规则
例3.16 设 1 1 A 0 2 0 2 4 1 2 . 0 ，B 1 5
1 1 1
1 1 1
利用行列式的乘法规则求AB .
3.7.3 行列式的乘法规则
设n 阶行列式
D1
则
a11 a12 a21 a22 a n1 a n 2
a1n a2 n ann
,
D2
b11 b12 b21 b22 bn1 bn 2
b1n b2 n bnn
.
D1 D2
c11 c12 c21 c22 c n1 c n 2
c1n c2 n cnn
,
aik bkj , k 1
n
其中 cij ai 1b1 j ai 2b2 j nj
证明 作2n阶行列式
a11 a n1 D 1 a1n 0 ann 0 b11 1 bn1 0 0 . b1n bnn
由拉普拉斯定理，
D
a11 a n1
3.7.1 k 阶子式及其余子式、代数余子式
定义 在一个 n 级行列式 D 中任意选定 k 行 k 列
2 k ( k n)， 位于这些行和列的交叉点上的 个元素
按原来的相对次序构成的k 阶行列式 S称为行列 式 D 的一个 k 阶子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后， 余下的元素按照原来的次序构成的 n k 阶行列 式 M称为 S的余子式;
A1 , A2 ,
, At , 则
例3.13 把行列式
D 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2
按第1, 2两行展开. 解 由第1,2两行可以得到 c =6个2阶子式:
S1 S4 2 1 1 2 1 0 2 1 3, S2 1, S5 2 0 1 1 1 0 2 0 2, S3 0, S6 2 0 1 0 0 0 1 0 0, 0.
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1
j 1
aj x
a1 x 0 0
a2 an 0 x 0 0 0 x
第i行减第1行
i 2, , n 1 1 1
0 0 0
（箭形行列式）
8．数学归纳法
x 0 Dn 0 an 1 x 0 0 1 0 0 0 0 1 a1 x 0 x
2 x2
1 x2 1 2 x2 x2
1 xn 1 2 xn xn
n 1 n2 n 1 n2 x2 x2 xn xn
1 xn
2 xn
n 1 n 1 x2 xn
n i j 1
( xi x j )
7．加边法（升阶法）
3
b b
( n) ( n 1)
a a
例
a11 ak 1 c11 cr 1 ... a1k ... akk ... c1k ... crk 0 0 b11 br 1 ...
4
0 a11 ... a1k b11 ... b1r ... 0 ... b1r ak 1 ... akk br 1 ... brr ... brr (k r) (k r)
an 1 an 2 a2
9．拆开法(分拆法)
a1 1 Dn a1 a1
a1 a1 a1 a2
a2
an an
a2 2 a2
an n
an
1
a2 2 an 0 a2 an n 0
a2 a2 2 a2
例
a11 ... a1k c11
5
... c1r
ak 1 ... akk 0 ... 0 0 ... 0
ck 1 b11 br 1 ... brr
a11 ... a1k b11 ... ckr ... b1r ak 1 ... akk b r1
(k r) (k r)
0 b3
( 1)
1 2 1 3
c2 c4 d2 d4
a2 b2
0 ( 1)1 2 2 3 c1 c4 d d 1 4 b3
例
a 0 0 D6 0 0 0 a 0 0 b 0 0 a b 0 0 0 b a 0 0 b 0 0 a b 0 0 0 0
2
b 0 0 0 0 a a 0 a b 3 4 3 4 0 a ( 1) 0 b b a b 0
a11 a12 a21 a22 D a31 a32 a41 a42 a51 a52
(1 )
a13 a23 a33 a43 a53
(3)
a14 a24 a34 a44 a54
(4)
a15 (1) a25 a35 (3) a45 a55 (5)
a11 a13
a14
M a31 a33 a34 a51 a53 a54
5．递推公式法
x 0 Dn 0 an
x 0 x 0 an 1
1 x
0 1
0
0 0 1 a1 x
0 1 0 0 0 x 1 0 n 1 (1) an 1 a1 x
0
0 0 x an 1 an 2 a2
1 x 0 an 2 0 1 0 0 0 x
0 0 1
an 3 a2
0
0
x
an xDn 1
6．利用已知行列式 （Vandermonder行列式）
1 D x1 1 x12 x1 x1n 1 x1n 2
1 x1 x12 x1n 1 1 x2
a1n a2 n a3n 0
3．化为三角形行列式
a b b b b a b b D b b a b b b b a
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用 Laplace 定理
.
Dn
a 0 0 0 1 0 a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方 法。
x a1 a1 Dn a1 a1
a2 a2 a2
1 a1 1 x 0 0
an an
x a2
1 a1 0 0
n
Dn
an
an x an
a2 an 0 0 x 0 0 x
如 D a31 a32 a33 a34 a35 （3行）
M
a32 a34
a52 a54
a11 a13 a15 M a21 a23 a25 a41 a43 a45
a15 a25 a45
a11 a13 3 5 2 4 14 M (1) M M a21 a23 ( 1) a41 a43
，
j1 , j2 , , jk
i1 i 2 i k j1 j2 jk
M ，
a11 a21 a41 a51
a12 a22 a42 a52
2 列
a13 a23 a43 a53
a14 a24 a44 a54
4 列
a15 a25 a45 a55 （5行）
Laplace 展开定理
二、 Laplace定理
行列式按某几行或几列展开 定义: 中,
(1 k n )
个元素， 按原来的顺序, 余下的元素按原来的顺序, 余子式. 其中 i1 , i 2 , , i k
即 ( 1)
( 1)
i1 i2 i k j1 j2 jk
a22
a25
a42 a45
( 1)
1 3 5 1 3 4
a22 a42
a25 a45
a22 a42
a25 a45
Laplace 定理
例
a1 a2 b1 b2 c1 c2 d1 d 2 0 b3 c3 d3 0 0 c4 d4
1
a1 b1
a1 b1
a2 1 2 1 2 c3 c4 ( 1) b2 d 3 d4
1．利用行列式定义直接计算
0 0 Dn 0 0 1 0 2 0 0 0 0 n
n 1 0 0 0
2．利用行列式的性质计算
0 a12 Dn a13 a1n
a12 0 a23 a2 n
a13 a23 0 a3n
an an
an n
a1 a2 an 0 2 0 0 0 n
1 Dn 1
n ai 12 n 1 i 1 i
... b1r ... brr
例
0 ... 0 a11
6
... a1k
0 ... 0 c11 ... c1r cr 1 ... crr
ak 1 ... akk b11 ... b1k br 1 ... brk
(k r) (k r)
1．利用行列式定义直接计算 2．利用行列式的性质计算 3．化为三角形行列式 4．降阶法 5．逆推公式法 6．利用已知行列式（范德蒙行列式） 7．加边法（升阶法） 8．数学归纳法 9. 分拆法
a 0 0 0
0 a 0 0
0 a 0 0 0 0 a 0 a 0 0 a 0 (1) n 1 0 0 0 a 0 0 0 a 1 0 0 0
a n (1) n 1 (1) n a n 2
a n a n2
0 b a 0
b 0 0 a
a a b 0 b a 0 b a ba b ab a b b a
3
0 a b 0
0 b a 0
b 0 0 a
b 2 3 2 3 a b ( 1) b a a
(a 2 b 2 ) 3
例
a a D2 n b b a b b a