高一数学函数的周期性
高一数学复习考点题型专题讲解13 函数的周期性与对称性
高一数学复习考点题型专题讲解 第13讲 函数的周期性与对称性一、单选题1．已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（ ）A ．3B ．3-C ．255D ．255-【答案】B【分析】根据题意可知()f x 是周期函数，根据周期以及奇函数即可求解.【解析】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B2．已知()f x 是R 上的奇函数，且(2)(),(1)3f x f x f -==，则(2022)(2023)f f +=（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A【分析】由题意求得函数()f x 是周期为4的周期函数，得到()()()()2022202321f f f f +=+-，结合()()11f x f x -+=+，得到()()20f f =，进而求得()()1,0f f -的值，即可求解.【解析】由题意，函数()f x 为R 上的奇函数，可得()(2)()f x f x f x +=-=-，所以()()4f x f x +=，所以()f x 是周期为4的周期函数，所以()()()()2022202321f f f f +=+-，因为()()11f x f x -+=+，令1x =，得()()20f f =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()00,113f f f =-=-=-，所以()()20222023033f f +=-=-.故选：A.3．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()()110f x f x -++=，若()03f =，则()()20222023f f +=（ ）A ．0B ．3-C ．3D ．6【答案】B【分析】根据题意, 分析可得函数()f x 是周期为4的周期函数, 由此可得()()()2022203f f f ==-=-，()()()202331f f f ==-，用赋值法求出()1f 的值, 由此计算即可得答案.【解析】根据题意, 函数()f x 满足()()110f x f x -++=, 则()()20f x f x -++=,又由()f x 为偶函数，则有()()2f x f x +=-,则有()()()42f x f x f x +=-+=,即函数()f x 是周期为4的周期函数,()()110f x f x -++=，令0x =可得()10f =.()()()2022203f f f ==-=-，()()()2023310f f f ==-=，所以()()202220233f f +=-故选：B4．已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-3【答案】B【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将()()()2023311f f f ==-=-.【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2f x f x -=，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-． 故选:B ．5．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x -=，在区间()0,1上，有()()()12120x x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称B ．函数()f x 的图象关于直线2x =成轴对称C ．在区间()2,3上，()f x 为减函数D ．7223f f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【分析】对于A ：根据题意结合奇函数可得()()40f x f x -+=，结合对称中心结论()()2f m x f x n b -++=，则()f x 关于,2m n b +⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称理解判断；对于B ：根据对称轴的结论：()()f m x f x n -=+，则()f x 关于2m n x +=成轴对称，结合题意理解判断；对于C ：根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增，结合轴对称性质：对称区间单调性相反理解判断；对于D ：整理可得()()4f x f x +=，则()f x 的周期为4，结合单调性整理分析．【解析】()()()()()42222f x f x f x f x f x ⎡⎤-=--=-=--=-⎣⎦，即()()40f x f x -+=，故()f x 关于()2,0成中心对称，A 不正确；∵()()2f x f x -=，则()f x 关于1x =成轴对称，B 错误；根据题意可得：()f x 在()0,1内单调递增∵()f x 关于1x =成轴对称，（2，0）中心对称，则()f x 在()2,3内单调递减；C 正确； 又∵()()()22f x f x f x =-=--，则()()2f x f x +=-∴()()()42f x f x f x +=-+=，可知()f x 的周期为4 则712,D 223f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭错误 故选：C ．6．已知图象开口向上的二次函数()f x ，对任意x ∈R ，都满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(],2-∞ 【答案】B【分析】根据题意，可知函数的对称性，并明确其对称轴，根据二次函数的图象性质，可得答案.【解析】由3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得函数()f x 图象的对称轴是直线32x =， 又二次函数()f x 图象开口向上，若()f x 在区间(),21a a -上单调递减， 则321221a a a ⎧-≤⎪⎨⎪<-⎩，解得514a <≤．故选：B.7．已知定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++，若()17f -=-，则3m n +=（ ）A ．7B ．2C ．2-D ．12-【答案】C【分析】由已知结合函数对称性可求出()3f ，进而求得结果.【解析】解：因为定义域为R 的函数()f x 的图象关于点()1,0成中心对称，且当1≥x 时，()2f x x mx n =++， 若()17f -=-，则()()317f f =--=.故()23337f m n =++=，即32m n +=-.故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,2B ．()()0,2,6-∞C ．()2,0-D ．()()2,06,-+∞【答案】D【分析】利用奇函数求得()f x 的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合()f x 的对称性，有在12x -≤≤中，420x a --<<或42a x >-恒成立，进而求a 的范围.【解析】由题设知：,20()4,2x x f x x x --≤<⎧=⎨+<-⎩，又()f x 是定义在R 上的奇函数，即(0)0f =， ∴当02x <≤时，20x -≤-<，即()()f x x x -=--=，而()()f x f x x =--=-；当2x >时，2x -<-，即()()44f x x x -=-+=-，而()()4f x f x x =--=-；∴综上，有4,2(),224,2x x f x x x x x ->⎧⎪=--≤≤⎨⎪+<-⎩，可得如下函数图象，∴对任意的[]1,2x ∈-有()()f x a f x +>成立，即在12x -≤≤中，24x a x a x +<-⎧⎨+>--⎩或22x a x a x -≤+≤⎧⎨+<⎩或24x a x a x +>⎧⎨+>-⎩恒成立， ∴420x a --<<或42a x >-恒成立，即有20a -<<或6a >.故选：D.【点睛】关键点点睛：由已知求得()f x 的解析式并画出函数图象草图，由不等式恒成立，结合函数的对称性列不等式组，求参数范围.二、多选题9．设函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当()1,1x ∈-时，()21f x x =-+，则下列结论错误的是（ ）A ．7324f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()7f x +为奇函数C ．()f x 在()6,8上为减函数D ．()f x 的一个周期为8【答案】ABD【分析】由(1)(1)f x f x --=--、(1)(1)-+=+f x f x 可推出()f x 的周期为8，利用对称性、周期性求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、判断()7f x +奇偶性及()7,8x ∈时()f x 的单调性，即可得答案. 【解析】由题设，(1)(1)f x f x --=--，则()f x 关于(1,0)-对称，所以[(1)1](11)f x f x ---=---，即()(2)f x f x -=--，则[(2)](22)f x f x --=---，即(2)(4)f x f x -=--，由(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 关于1x =对称，所以[(1)1](11)f x f x --+=-+，即(2)()f x f x -=，综上，()(4)f x f x =--，则(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--，故()(8)f x f x =-，即()(8)f x f x =+易知()f x 的周期为8，D 正确；773113(2)()(1)(1)()22222412f f f f f f ⎛⎫=-=-=--=--=--=- ⎪⎝⎭，A 正确； 由(1)(7)f x f x -=+，而()1f x -为奇函数，故()7f x +为奇函数，B 正确；由()1,0x ∈-时()21f x x =-+递增，则()7,8x ∈时()f x 递增，显然C 错误.故选：ABD10．已知函数()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，并且当(]()0,1,12x f x x ∈=-，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在()3,2--上为减函数B ．()f x 在13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0f x < C ．()f x 在[]1,2上为增函数D ．()f x 关于3x =对称【答案】BD【分析】由已知可得()f x 的图象关于()0,0中心对称，且关于1x =轴对称，周期为4，则可依次判断每个选项正误.【解析】因为()f x 是奇函数，()1f x +是偶函数，所以()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，所以(4)(31)(31)(2)(2)f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+，又(2)(11)(11)()()f x f x f x f x f x +=++=--+=-=-，所以(4)()f x f x +=，所以函数()f x 的周期为4，其图象关于1x =轴对称，当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，则函数()f x 在()0,1x ∈上递减，根据对称性可得()f x 在()1,2x ∈单调递增，再结合周期性可得()f x 在()3,2--上为增函数，故A 错误，因为当(]0,1x ∈时，()12f x x =-，()f x 在1,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦小于0，根据对称性可得()f x 在13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭小于0，故B 正确； ()f x 的图象关于1x =轴对称，所以13202f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()200f f ==， 所以()f x 不可能在[]1,2上为增函数，故C 错误；因为()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-+，所以(1)(1)(1)(1)f x f x f x f x --=-+=--+=-+所以()f x 的图象关于1x =-轴对称，因为()f x 的周期为4，所以()f x 关于3x =对称，故D 正确.故选：BD.11．已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，如：[]0.20=，[]1.22-=-，则（ ）A ．()f x 是增函数B ．()f x 是周期函数C ．()2f x 的值域为[)0,1D ．()2f x 是偶函数【答案】BC【分析】利用特殊值法可判断AD 选项；利用函数周期性的定义可判断B 选项；利用题中的定义求出函数()2f x 的值域，可判断C 选项.【解析】对于A 选项，因为()[]1110f =-=，()[]2220f =-=，所以，函数()f x 不是增函数，A 错；对于B 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得1k x k ≤<+，则[]=x k ，所以，112k x k +≤+<+，则[][]111x k x +=+=+，所以，()[][]()[]()11111f x x x x x x x f x +=+-+=+-+=-=，故函数()f x 为周期函数，且周期为1，B 对；对于C 选项，对任意的x ∈R ，存在Z k ∈，使得21k x k ≤<+，则[]2x k =，所以，()[][)22220,1f x x x x k =-=-∈，C 对；对于D 选项，令()()2g x f x =，该函数的定义域为R ，因为()()[]0.40.80.80.80.8g f ==-=，()()[]0.40.80.80.80.810.2g f -=-=---=-+=，所以，()()0.40.4g g ≠-，故函数()2f x 不是偶函数，D 错.故选：BC.12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，()(6)0f x f x ++=，且对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ）A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[96]--，上单调递增 C ．x =2是函数(1)f x +的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是12【答案】BCD【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由()(6)0f x f x ++=结合函数的奇偶性可推得(6)()f x f x +=-以及(12)()f x f x +=，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D ；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;【解析】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， 故函数()f x 是奇函数，故A 错误；因为()(6)0f x f x ++=，故(6)()f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以(6)()f x f x +=-，即()f x 的图象关于3x =对称，则x =2是函数(1)f x +的对称轴，故C 正确；因为(6)()f x f x +=-，所以(12)(6)()f x f x f x +=-+=，故12是函数()f x 的周期；对任意的12,[3]0x x ∈-，，当12x x ≠时，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +<+， 即1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<，故3[]0x ∈-，时，()f x 单调递减，又因为()f x 为奇函数，所以]3[0x ∈，时，()f x 单调递减， 又因为()f x 的图象关于3x =对称，故6[3,]x ∈时，()f x 单调递增，因为12是函数()f x 的周期，故函数()f x 在[9,6]-- 单调性与[3,6]x ∈时的单调性相同， 故函数()f x 在[9,6]--上单调递增，故B 正确，作出函数()f x 的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数()f x 的最小正周期，D 正确；故选：BCD【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.三、填空题13．对x ∀∈R ，函数()f x 都有()()20f x f x +-=，则()f x =___________.（答案不唯一，写出一个即可）【答案】sin x π（答案不唯一）【分析】由已知关系式可知()f x 关于点()1,0对称，由此可得函数解析式.【解析】()()20f x f x +-=，()f x ∴图象关于点()1,0对称，则()sin f x x π=.故答案为：sin x π（答案不唯一）.14．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意x 都有()()22f x f x +=-，且()()f x f x -=，下列结论正确的是____.(填序号)①()f x 的图像关于直线2x =对称；②()f x 的图像关于点()20,对称；③()f x 的最小正周期为4；④()4y f x =+为偶函数．【答案】①③④【分析】由()()22f x f x +=-可得()f x 的图像关于直线2x =对称，然后结合()f x 为偶函数可判断出答案.【解析】因为()()22f x f x +=-，所以()f x 的图像关于直线2x =对称，故①正确，②错误； 因为函数f (x )的图像关于直线2x =对称，所以()()4f x f x -=+，又()()f x f x -=，所以()()4f x f x +=，所以4T =，故③正确；因为4T =且()f x 为偶函数，所以()4y f x =+为偶函数，故④正确．故答案为：①③④15．已知函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，则t 的值是_______【答案】5【分析】函数()f x 的图像关于2x =对称，则()()4f x f x =-，代入即可求解．【解析】又因为函数()|1|||f x x x t =++-的图像关于2x =对称，所以()()4f x f x =-，则|1||||5||4|x x t x x t ++-=-+--所以5t =故答案为：516．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -++=，当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，若()0f x x b --≥对一切R x ∈恒成立，则实数b 的最大值为______．【答案】14-##0.25-【分析】根据题设条件可得()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，再根据奇偶性求出()f x 在[]0,1上的解析式，即可画出函数的图象，结合图象可求实数b 的最大值.【解析】解：因为()()22f x f x -++=，故()f x 的图象关于()1,1呈中心对称，因为当[]1,0x ∈-时，()22f x x x =+，当[0,1]x ∈时，()()22()22f x f x x x x x =--=-=+--，故()f x 的图象如图所示：结合图象可得：只需当[1,0]x ∈-时，2()2f x x x x b =+≥+即可， 即21124b x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤，故14b ≤-， 故答案为：14-.四、解答题17．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()121f x f x f x -+=+.(1)若132f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (2)求证：()f x 的周期为4；(3)当[)0,2x ∈时，()3f x x =，求()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式.【答案】(1)3(2)证明见解析(3)()3537x f x x +=-+ 【分析】（1）先求出32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，然后再求72f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可； （2）利用函数周期性的定义，即可证明；（3）根据[)2,0x ∈-以及题设条件，先求出()()232f x x +=+，再根据()()()121f x f x f x -+=+，即可解出()f x 在[)2,0x ∈-时的解析式．(1) ∵1131122122212f f f f ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+- ⎪⎝⎭， ∴317322332212f f f f ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭. (2)∵对任意的x ∈R ，满足()()()121f x f x f x -+=+ ∴()()()()()()()()()1112142211211f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++=++===-++++，∴函数()f x 是以4为周期的周期函数.(3)设[)2,0x ∈-，则[)20,2x +∈，∵当[)0,2x ∈时，()3f x x =，∴当[)20,2x +∈时，()()232f x x +=+，又∵()()()121f x f x f x -+=+， ∴()()()1321f x x f x -+=+ ∴()3537x f x x +=-+. 18．定义域为R 的函数()f x 满足：对任意实数x ，y ，均有()()()2f x y f x f y +=++，且()22f =，当1x >时，()0f x >.(1)求()0f ，()1f -的值；(2)证明：当1x <时，()0f x <.【答案】(1)()02f =-，()14f -=-(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法求解（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->，再结合已知求解.（1）（1）令0x y ==，则()()()0002f f f =++，解得()02f =-.令1x y ==，则()()()2112f f f =++，解得()10f =，令1x =，1y =-，则()()()0112f f f =+-+，解得()14f -=-.（2）（2）当1x <时，21x ->，则()20f x ->.因为()()()()22222f f x x f x f x =-+=-++=，所以()()20f x f x =--<.19．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有(2)()f x f x +=-．当[0x ∈，2]时，2()2f x x x =-．（1）求证：()f x 是周期函数；（2）当[2x ∈，4]时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2008)f f f f ++++的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2()68f x x x =-+；（3）1.【分析】（1）根据函数周期的定义进行证明即可；（2）根据奇函数的性质，结合函数的周期性进行求解即可；（3）根据函数的周期性进行求解即可.【解析】（1）证明：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=．()f x ∴是周期为4的周期函数．（2）当[2x ∈-，0]时，[0x -∈，2]，由已知得22()2()()2f x x x x x -=---=--，又()f x 是奇函数，2()()2f x f x x x ∴-=-=--，2()2f x x x ∴=+．又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]，2(4)(4)2(4)f x x x ∴-=-+-．又()f x 是周期为4的周期函数，22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x ∴=-=-+-=-+．从而求得[2x ∈，4]时，2()68f x x x =-+．（3）(0)0f =，f （2）0=，f （1）1=，f （3）1=-．又()f x 是周期为4的周期函数，(0)f f ∴+（1）f +（2）f +（3）f =（4）f +（5）f +（6）f +（7）(2f =⋯=008)(2f +009)(2f +010)(2f +011)(2f =012)(2f +013)(2f +014)(2f +015)0=．而(2016)(2017)(2008)(0)(1)(2)1f f f f f f ++=++=，所以(0)(1)(2)(2008)1f f f f ++++=.20．已知二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，且满足()()22f x f x -+=--()x R ∈.（1）求()f x 的解析式，并求()f x 在[]3,0-上的最大值；（2）若()f x 在()1,t -+∞上为增函数，求实数t 的取值范围.【答案】（1）()21212f x x x =++；()max 1f x =；（2）1t ≥-.【分析】根据二次函数()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，求得c ，根据()()22f x f x -+=--，得函数关于2x =-对称，即可求得a ，从而可得函数得解析式，再根据二次函数得性质即可的解；（2）根据二次函数得单调性即可的解.【解析】解：（1）因为二次函数为()()220f x ax x c a =++≠的图象与y 轴交于点()0,1，故1c =，又因为函数()f x 满足()()()22f x f x x R -=-∈+-，所以函数关于2x =-对称，即222x a =-=-，所以12a =， 故二次函数的解析式为：()21212f x x x =++由()f x 在[]3,2--单调递减，在[]2,0-单调递增，又()()13,012f f -=-=，所以()()max 01f x f ==；（2）因为函数在()1,t -+∞上为增函数，且函数图象的对称轴为2x =-，即二次函数()f x 在()2,-+∞上递增，所以12t -≥-，故1t ≥-.21．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=-对任意的x ∈R 恒成立，且当[0,1]x ∈时，2()f x x =. （1）求证：()f x 是以2为周期的函数（不需要证明2是()f x 的最小正周期）； （2）对于整数k ，当[21,21]x k k ∈-+时，求函数()f x 的解析式.【答案】（1）证明见解析；（2）2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.【分析】（1）通过证明(2)()f x f x +=成立得解；（2）先求解[1,1]x ∈-时，2()f x x =，再通过周期为2得(2)()f x k f x -=可求解当[21,21]x k k ∈-+时函数()f x 的解析式【解析】解：（1）因为()(2)[(1)1]11()()f x f x f x f x f x ⎡⎤+=++=-+=-=⎣⎦， 所以：()f x 是以2为周期的函数；（2）∵当[0,1]x ∈时，2()f x x =，函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，∴[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∵()f x 是以2为周期的函数，即(2)()f x k f x -=，()k ∈Z设[21,21]x k k ∈-+，则2[1,1]x k -∈-，2(2)(2)f x k x k ∴-=-，即2()(2),[21,21]()f x x k x k k k Z =-∈-+∈.22．已知函数2()21f x x ax =--，且(2)(2)f x f x +=-.(1)求函数()y f x =的解析式；(2)若()()g x f x mx =+在[1,1]-上时单调函数，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2()41y f x x x ==--.(2)[6,)(,2]+∞-∞【分析】（1）利用函数的对称性和二次函数的性质进行求解即可；（2）根据二次函数的性质，结合分类讨论法进行求解即可.(1)解：因为(2)(2)f x f x +=-，所以函数()y f x =的对称轴为：2x =，函数2()21f x x ax =--的对称轴为：x a =，所以有2a =，即2()41y f x x x ==--.(2)解：2()()(4)1g x f x mx x m x =+=+--， 该函数的对称轴为：42m x -=-， 当412m -≤-时，函数在[1,1]-上单调递减，解得 2m ≤； 当412m --≤-时，函数在[1,1]-上单调递增，解得6m ≥， 综上所述：实数m 的取值范围为[6,)(,2]+∞-∞.23．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．(1)求证：点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心；(2)已知函数32()3f x x x =+，求(2021)(2020)(2019)(2018)f f f f -+-++的值．【答案】(1)证明见解析；(2)8.【分析】（1）令()(1)2g x f x =--，利用单调性的定义证明()g x 是奇函数即可；（2）根据条件可得()()0g x g x +-=，即(1)(1)4f x f x -+--=，将数字直接代入计算即可.(1)证明：因为32()3f x x x =+，令()(1)2g x f x =--，所以32()(1)3(1)2g x x x =-+--3223(331)3(21)23x x x x x x x =-+-+-+-=-即3()3g x x x =-，33()()3()3()g x x x x x g x -=---=-+=-所以()g x 是奇函数．由题意，点(1,2)-是函数32()3f x x x =+图象的对称中心．(2)由（1）知函数32()3f x x x =+的图像的对称中心为(1,2)-，所以()()(1)2(1)20g x g x f x f x +-=--+---=，所以(1)(1)4f x f x -+--=，所以(2021)(2019)=(2020)(2018)=4f f f f -+-+，所以(2021)(2020)(2019)(2018)=8f f f f -+-++．24．设函数()()R y f x x =∈.(1)若对任意实数a ，b 有()()()f a b f a f b +=+成立，且当0x >时，()0f x >； ①判断函数的增减性，并证明；②解不等式：()()2560f t f t ++<；(2)证明：“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.【答案】(1)①函数()y f x =为R 上增函数，证明见解析；②{|51}t t -<<-(2)证明见解析【分析】（1）①利用赋值法和单调性的定义进行证明，②先利用赋值法得到()00=f ，再利用单调性和()()()f a b f a f b +=+进行变形求解；（2）结合函数的性质，从充分性、必要性两方面进行证明.(1)解：①函数()y f x =为R 上增函数，证明如下：由()()()f a b f a f b +=+，得()()()f a b f a f b +-=，对于12,R x x ∈，且12x x >，则120x x ->，则()()()12120f x f x f x x -=->，所以当12x x >时，有()()12f x f x >，所以函数()y f x =为R 上增函数.②由①得：()()2560f t f t ++<可化为2[(5)6]0f t t ++<，取0b =，得()()()0f a f a f =+，解得()00=f ，又因为函数()y f x =为R 上增函数，所以2(5)60t t ++<，解得51t -<<-即()()2560f t f t ++<的解集为{|51}t t -<<-.(2)证明：因为()y f x =图象关于直线x a =对称，所以()()f a x f a x =-+，令a x t -=，则x a t =-，2a x a t +=-，所以()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-成立；若()(2)f x f a x =+，令x a t =-，则2a x a t -=+，即()()f a t f a t -=+，即()()f a x f a x =-+成立，即()y f x =图象关于直线x a =对称；所以“()()R y f x x =∈图象关于直线x a =对称”的充要条件是“任意给定的R x ∈，()2()f a x f x -=”.25．已知函数()21f x x =-+. (1)利用函数单调性定义证明()21f x x =-+在区间()1,-+∞上的单调性； (2)请利用（1）的结论，说出()21f x x =-+在区间(),1-∞-上的单调性（不用证明）； (3)利用本题中（1）（2）得到的结论，求函数()21f x x =-+在区间()5,2--上的值域. 【答案】(1)证明见解析(2)()21f x x =-+在区间(),1-∞-上单调递增 (3)1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）根据函数图象的变换，结合函数的对称性与单调性求解即可；（3）根据函数的单调性，结合函数的值域求解即可.(1)设1x ，2x 是区间()1,-+∞上的任意两个实数，且12x x <，则()()()()()()()()212112121212211222111111x x x x f x f x x x x x x x +---⎛⎫-=---=-=- ⎪++++++⎝⎭ 由121x x -<<，得210x x ->，()()12120x x ++> 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()21f x x =-+在区间()1,-+∞上单调递增. (2)()21f x x =-+由反比例函数()2f x x=-向左平移得到 所以()21f x x =-+图像关于点()1,0-对称 由（1）知()21f x x =-+在区间()1,-+∞上单调递增 所以()21f x x =-+在区间(),1-∞-上单调递增. (3) 因为()()5,2,1--⊆-∞-，由（1）（2）知()21f x x =-+在区间()5,2--上单调递增 所以()()max 22f x f =-=，()()min 152f x f =-=.即()21f x x =-+在区间()5,2x ∈--上的值域为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
高一数学周期知识点
高一数学周期知识点一、周期的概念及表示方法周期是指在一个特定的时间范围内，某个事物或现象发生的规律性重复。
在数学中，周期性是指函数在特定条件下，其取值在一定间隔内重复的特性。
周期可以通过函数的图像来表示，通常使用周期性的波形图像，如正弦曲线、余弦曲线等。
以正弦函数为例，其函数图像是一个波状的周期图形，它在给定的时间内重复出现。
二、正弦函数的周期性正弦函数是数学中常见的周期性函数之一。
它的周期为2π，即在横坐标轴上每走过一个完整的周期，正弦函数的值就会有一次完整的变化。
在数学中，正弦函数的表示形式为：y = A sin(Bx + C) + D。
其中A、B、C、D为常数，分别决定了正弦函数的振幅、周期、相位和纵向位移。
三、余弦函数的周期性余弦函数是正弦函数的相似函数，也具有周期性。
余弦函数的周期也是2π，即在横坐标轴上每走过一个完整的周期，余弦函数的值也会有一次完整的变化。
余弦函数的表示形式为：y = A cos(Bx + C) + D。
同样，A、B、C、D为常数，分别决定了余弦函数的振幅、周期、相位和纵向位移。
四、正弦函数与余弦函数的关系正弦函数和余弦函数是互为相似函数，它们的图像有很多相同的性质和特点。
正弦函数的图像是余弦函数图像向左平移π/2的结果，而余弦函数的图像是正弦函数向右平移π/2的结果。
因此，我们可以通过正弦函数和余弦函数的互相转化，来分析和解决一些周期性问题。
例如，求解正弦函数的最大值、最小值、零点等问题，可以通过将其转化为余弦函数的问题来求解。
五、周期函数的应用周期函数在数学中具有广泛的应用。
它们可以用来描述一些具有规律性变化的事物或现象，比如天体的运行、信号的周期性等。
在物理学中，周期函数常常用于描述振动和波动现象。
例如，弹簧振子的运动、声波的传播等都可以通过周期函数来描述和分析。
此外，周期函数还在工程学、经济学等领域得到广泛运用。
在电路设计中，周期函数可以用来描述交流电信号的变化规律；在经济学中，周期函数可以用于预测经济周期的变化。
数学高一-【】函数的周期性 教学案例
5.函数的周期性一. 知识要点:1. 函数的周期性周期函数定义：若函数)(x f 满足 )()(x f T x f =+, ()0≠T ，则称函数)(x f 为周期函数，T 是其周期说明:定义域为R 时，若T 是周期，那么nT 也是周期 ( n 为整数）2。
最小正周期最小正周期定义:若)(x f y =是周期函数，且在它所有的周期中存在最小的正数0T ，称0T 为)(x f y =的最小正周期。
说明:（1）周期函数不一定有最小正周期（常数函数）（2）最小正周期相同的两个函数的和，其最小正周期不一定不变3.如何判断函数的周期性：⑴ 定义; ⑵ 图象;⑶利用下列补充性质： 设a>0，则：① 函数y=f(x),x ∈R, 若f(x+a)=f(x-a)，则函数的周期为2a② 函数y=f(x),x ∈R, 若f(x+a)=-f(x)，则函数的周期为2a③ 函数y=f(x),x ∈R, 若)(1)(x f a x f ±=+，则函数的周期为2a ④ 若函数)(x f 的图象同时关于直线a x =与b x =对称，那么其周期为||2a b -；证：若关于x=a 对称，则有f(a+x)=f(a-x)，用x+a 代x 可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，从而有：f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a 代x 可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期为||2a b -；特例：若函数)(x f 是偶函数，且其图象关于直线a x =对称，那么其周期为 T=2a⑤若函数)(x f 关于直线a x =对称，又关于点()0,b 对称, 那么函数)(x f 的周期是4|b-a|； 证：关于直线a x =对称可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a 代x 可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，关于点()0,b 对称可得：f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b 代x 可得：f(-x)+f(2b+x)=0，与（1）式联立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得：f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），进而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，与（2）；联立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|；特例：若函数)(x f 是奇函数，又其图象关于直线a x =对称，那么其周期为T=4a二. 例题选讲:例1. 已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+,且当[]1,0∈x 时,13)(-=-x x f , 求)(log 32131f 的值解:(2)(1)(),2f x f x f x T +=-+=∴=,又13331log log 32,log 32432=<<且33log 3241333149(log )(log 32)(log 324)313281f f f -∴==-=-=- 例２．已知定义在R 上函数)(x f y =满足)2()2(-=+x f x f ,且)(x f 是偶函数,当[]2,0∈x 时，12)(-=x x f ，求当[]4,0x ∈-时，函数)(x f y =的解析式.解：27[4,2)()21[2,0]x x f x x x ⎧+∈--⎪∴=⎨⎪--∈-⎩ 变式 :已知)()2(x f x f -=+，当(]4,0∈x 时，1)(2+-=x x f ，求函数)(x f y =的解析式.解：2()(4)(4)1f x f x n x n ∴=-=--+例3：设函数()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)(7)f x f x -=+，且在闭区间［0，7］上，只有(1)(3)0f f ==．（1）试判断函数()y f x =的奇偶性和周期性；（2）试求方程()f x =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． .解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(x f y =的对称轴为72==x x 和,从而知函数)(x f y =不是奇函数,由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f ,从而知函数)(x f y =的周期为10=T又0)7(,0)0()3(≠==f f f 而,故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(2) 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧+=-+=- )10()(+=⇒x f x f又0)9()7()13()11(,0)0()3(=-=-====f f f f f f 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数)(x f y =在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数)(x f y =在[-2005,2005]上有802个解.三. 课外作业:1.已知定义在R 上的函数()y f x =，对于任意x 都有)(1)(1)2(x f x f x f -+=+成立,设)(n f a n =, 数列{}n a 中值不同的项最多有几项？解：由)(1)(1)2(x f x f x f -+=+得)(1)2(1)2(1)4(x f x f x f x f -=⋅⋅⋅=+-++=+进而得到)()8(x f x f =+，即T=8，所以数列{}n a 中值不同的项最多有8项；2.定义在R 上的函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+,且当[]1,1-∈x 时，3)(x x f =⑴ 求()y f x =在[]5,1∈x 上的表达式.⑵ 若{}R x x f x A ∈>=,0)(|，且φ≠A ,求实数a 的取值范围.解：可得周期T=4，⑴33(2)[1,3]()(4)[3,5]x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨⎪-∈⎩⑵a<13.设()y f x =是定义在 ()+∞∞-,上以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间(]12,12+-k k ，已知当当0I x ∈时，2)(x x f =，（1）求()y f x =在k I 上的解析式；（2）对*∈N k ，求集合{}上有两个不相等的实根在使方程k k I ax x f a M ==)(| 解：（1）由周期T=2结合平移可得在k I 上2()(2)f x x k =-；（2）上有两个不相等的实根在使方程k I ax x f =)(，即ax k x =-22）（在(]12,12+-k k 上有两个不等实根，也即04)4(22=++-k x k a x 在(]12,12+-k k 上有两个不等实根，可得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<+<->∆>-≥+12241200)12(0)12(k k a k k f k f 解得：1021a k <≤+；。
高一数学函数的周期性PPT课件
思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
7
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
例1 求下列函数的周期： （1）y=3cosx; x∈R （2）y=sin2x，x∈R； （ （34） ）yy==|s2isninx(|x2 -x∈p6 )R.， x∈R ；
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周
期函数？
11
例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
8
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为 周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ） 是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]
的周期.
13
4.函数 y = A sin(wx + j) 和 y = A cos(wx + j)
2p
(A ? 0, w 0)的最小正周期都是 w ，这 是正、余弦函数的周期公式，解题时可 以直接应用.
作业：P36练习：1，2，3.
14
12
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质， 判断一个函数是否为周期函数，一般以 定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
数学高一周期性总结知识点
数学高一周期性总结知识点高一数学周期性知识点总结导语：数学是一门需要不断联系和积累的学科，尤其是高中数学，各个知识点相互联系，构成一个大的知识体系。
其中，周期性是高一数学中一个重要的知识点，涉及到函数、图像、方程、不等式等多个概念。
本文将对高一数学的周期性知识点进行总结，旨在帮助同学们系统地掌握这一方面的知识。
1. 函数的周期性函数的周期性是指函数在一定规律的条件下，以某个特定的周期不断地重复。
在高一数学中，我们主要接触到正弦函数、余弦函数等具有周期性的函数。
1.1 正弦函数的周期性正弦函数是最常见的周期函数之一，它的周期是2π。
即当自变量x增加或减小2π的倍数时，函数值会重复。
例如，sin(x)在区间[0,2π]的图像是一个正弦波，在区间[2π,4π]上的图像与之完全相同，以此类推。
1.2 余弦函数的周期性余弦函数也是一种常见的周期函数，它的周期同样是2π。
与正弦函数类似，余弦函数的图像在每个周期内都有相同的形状，当自变量增加或减小2π的倍数时，函数值会重复。
2. 图像的周期性图像的周期性是指图像在某个规律下不断重复出现。
在高一数学中，我们经常遇到的周期性图像有菱形、正方形等。
2.1 菱形的周期性菱形是一个经典的周期性图像。
当x坐标和y坐标之和是一个定值的倍数时，图像上的点形成菱形。
例如，在坐标平面上，当x+y=4和x+y=10时，图像上的点会形成两个菱形，且这些菱形是周期性重复的。
2.2 正方形的周期性正方形也是一种常见的周期性图像，它具有四个对称轴。
在坐标平面上，当x和y的绝对值都是一个定值的倍数时，图像上的点会形成正方形。
例如，当|x|=3和|y|=3时，图像上的点会形成一个边长为6的正方形。
3. 方程及不等式的周期性解周期性解是指方程或不等式在一定规律下，以某个特定的周期不断地得到相同的解。
3.1 方程的周期性解对于具有周期性解的方程，我们可以通过求解一个周期内的解，再通过周期的倍数得到其他解。
高一数学142-1函数的周期性课件新人教版必修
周期函数的判定方法二
利用特殊值法判断一个函数是否为周期函数。具体来说，就是取定义域内的某些 特殊值，例如0、1、2等，看这些特殊值是否满足f(x+T)=f(x)。如果满足，则可 以初步判断该函数是周期函数。
选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
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答案：B
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题目：函数$f(x) = cosfrac{1}{x}$的周期为( )
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选项A：$pi$ B：$2pi$ C：$frac{pi}{2}$ D： $frac{3pi}{2}$
高一数学142-1函数的 周期性课件新人教版必 修
CONTENTS
目录
• 函数的周期性定义 • 常见周期函数类型 • 周期函数的应用 • 周期函数的习题及解析
CHAPTER
01
函数的周期性定义
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于定义域内的每一个x，函数f(x)满足f(x+T)=f(x) ，那么就把函数f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
三角函数的周期计算
三角函数的周期可以通过公式 T=2π/ω来计算，其中ω是角频率。 对于正弦函数和余弦函数，ω=1， 因此它们的周期T=2π。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他 形式的三角函数，如tan(x)、cot(x)等 。这些函数的周期也可以通过公式 T=π/ω来计算。
其他周期函数类型
01
高一数学周期函数的图像与性质
WPS,a click to unlimited possibilities
汇报人：WPS
周期函数的定 义
周期函数的图 像
周期函数的性 质
周期函数的应 用
周期函数的扩 展知识
周期函数的定义
周期函数的定义
周期函数：在 一定区间内， 函数值按照一 定的周期重复
出现的函数
周期函数的性质
最小正周期
定义：周期函 数的最小正周 期是指函数图 像重复出现的 最小时间间隔
性质：周期函 数的最小正周 期是函数图像 重复出现的最
小时间间隔
计算方法：最 小正周期可以 通过函数表达 式中的系数和 常数项来确定
应用：最小正 周期在解决实 际问题中具有 重要意义，如 周期性运动、 周期性变化等
三角函数与矩阵的关系
三角函数与矩阵的关系：三角函数 可以通过矩阵来表示
矩阵性质：矩阵具有一些特殊的性 质，如对称性、正交性等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
矩阵表示：三角函数可以通过矩阵 乘法来实现
矩阵运算：三角函数可以通过矩阵 运算来实现，如加法、乘法、求逆 等
感谢观看
汇报人：WPS
周期函数的图像
正弦函数和余弦函数的图像
正弦函数：图像是一条正弦曲 线，周期为2π
余弦函数：图像是一条余弦曲 线，周期为2π
正弦函数和余弦函数的图像都 是周期函数，具有周期性
正弦函数和余弦函数的图像都 可以通过旋转得到其他周期函 数的图像
三角函数图像的变换
平移变换：改变函数图像的位 置
伸缩变换：改变函数图像的大 小
信号压缩：通过傅里叶变换进行信号压缩， 减少数据量
高一必修二数学周期函数知识点
高一必修二数学周期函数知识点一、引言周期函数是数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。
本文将介绍高一必修二数学课程中的周期函数知识点，包括周期函数的定义、性质及常见的周期函数类型。
二、周期函数的定义与性质周期函数是指函数在某一段长度的自变量上有某种规律地重复出现的函数。
周期函数的周期是指最小正周期，即在一个完整周期内，函数值重复出现且函数值随自变量变化的规律相同。
周期函数具有以下性质：1. 周期函数的函数值在一个完整周期内重复出现；2. 周期函数的图像以某一点对称；3. 周期函数的奇偶性：如果一个周期函数满足 f(x+T)=f(x)，其中 T表示周期，那么函数是偶函数；如果一个周期函数满足 f(x+T)=-f(x)，那么函数是奇函数。
三、正弦函数与余弦函数正弦函数和余弦函数是最常见的周期函数类型。
在高一必修二的数学课程中，我们学习到了正弦函数和余弦函数的基本性质和图像特点。
1. 正弦函数正弦函数的基本形式为 y = A sin(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。
其中 A 表示振幅，B 表示频率，C 表示相位差，D 表示纵向平移。
正弦函数的图像呈现出波形，振幅决定了波浪的高度，频率决定了波浪的密度和间距，相位差和纵向平移决定了波浪在坐标系中的位置。
2. 余弦函数余弦函数的基本形式为 y = A cos(Bx + C) + D，其中 A、B、C、D都是常数。
余弦函数和正弦函数非常相似，只是在相位差上有所差异。
余弦函数的图像也呈现出波形，与正弦函数相比，余弦函数的波峰和波谷的位置与振幅决定的相位差有关。
四、切线方程与图像变换在周期函数中，切线方程和图像变换是我们经常需要处理的问题。
下面我们详细讨论一下这两个问题。
1. 切线方程在周期函数图像中，切线方程是确定切线斜率的关键。
对于任意一点 P(x,y)，切线的斜率等于函数在该点的导数值。
在函数 y = A sin(Bx + C) + D 中，求得的导数为 f'(x) = AB cos(Bx + C)，因此切线的斜率为 AB cos(Bx + C)。
高一数学函数知识点归纳总结
高一数学函数知识点归纳总结一、函数的基本概念函数的定义：对于两个非空数集A和B，如果存在某种对应关系f，使得A中的每一个元素x都能在B中找到唯一的元素y与之对应，则称f是从A到B的函数，记作y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量。
函数的定义域：函数y=f(x)中，自变量x的取值范围称为函数的定义域。
函数的值域：函数y=f(x)在定义域内所有函数值的集合称为函数的值域。
二、函数的性质单调性：如果对于定义域内的任意两个数x1和x2（x1<x2），都有f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)，则称函数f(x)在定义域内单调递增或单调递减。
奇偶性：如果对于定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于定义域内的任意x（且x≠0），都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
周期性：如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)具有周期性，T为函数的周期。
三、基本初等函数幂函数：形如y=x^a（a为实数）的函数称为幂函数。
指数函数：形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。
对数函数：如果a^x=N（a>0且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=log_aN。
函数y=log_ax（a>0，且a≠1）叫做对数函数。
三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们与角度和弧度有关。
四、函数的应用函数模型的应用：通过建立函数模型来解决实际问题，如最优化问题、增长率问题等。
函数图像的应用：通过观察和分析函数的图像来理解函数的性质和行为，从而解决相关问题。
以上是高一数学函数的主要知识点总结。
在学习过程中，应注重理解和掌握这些基本概念和性质，并通过练习和应用来加深对知识点的理解和记忆。
高一数学周期函数知识点归纳
高一数学周期函数知识点归纳高一学年是数学学科中一个重要的节点，学生们开始接触到更加具体和深入的数学知识。
其中，周期函数是高中数学中的一个重要内容，也是学生们在数学学科中的一个重要门槛。
本文将围绕着高一数学中周期函数的知识点进行归纳和总结。
一、周期函数的定义和特点周期函数是指在一定的时间内，函数值呈现出一定的规律性重复变化的函数。
其中，最基本的周期函数是正弦函数和余弦函数。
它们的最小正周期都是2π，即在一个周期内，函数的值会重复。
周期函数有以下几个特点：1. 函数值在一个正周期内重复；2. 函数值在一个正周期内的增减变化规律相同；3. 函数值在不同的周期上的增减变化规律不同；4. 函数值在不同的周期上的取值范围可能不同。
二、周期函数图像的性质周期函数的图像具有一定的对称性，这是由函数的周期性决定的。
周期函数的图像有以下几个特点：1. 函数在每一个正周期内都有对称轴；2. 函数在每一个正周期内的增减变化过程都是对称的；3. 函数在不同的周期上的图像可能有水平平移、垂直平移和挤压等变化。
三、周期函数的性质和运算周期函数有一些特殊的性质和运算规律。
任务是关注其中的一些重要内容：1. 周期函数的零点：周期函数的零点是指函数值等于零的点。
对于正弦函数和余弦函数，它们的零点在每个周期的中间，分别为x=kπ和x=(k+0.5)π，其中k为整数。
2. 周期函数的最值：周期函数的最值指函数值的最大值和最小值。
对于正弦函数和余弦函数，它们的最大值和最小值分别为1和-1。
3. 周期函数的复合函数：周期函数的复合函数是指将周期函数放到另一个函数中进行求解。
通过合理的复合，可以使得周期函数的图像发生各种变化，如垂直平移、水平平移、挤压等，从而得到更加复杂的图像。
4. 周期函数的运算性质：周期函数也可以进行通常的四则运算和复合运算。
特别是正弦函数和余弦函数，在一些特定的运算过程中具有一定的性质，如：正弦函数的和函数还是正弦函数，除了函数值的增大和减小方向发生变化。
高一数学函数重点知识点归纳总结三篇
高一数学函数重点知识点归纳总结三篇高一新生对数学的函数知识是相当头疼的，函数知识面广，思维灵活，题型更是千奇百怪，要想学好函数，就需要一份准确的函数知识点归纳。
高一函数知识点归纳总结1函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。
判定方法有：定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。
应用：比较大小，证明不等式，解不等式。
奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。
f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。
判别方法：定义法，图像法，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。
周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。
高一函数归纳总结2一：函数及其表示知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等1. 函数与映射的区别：\2. 求函数定义域常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。
③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。
④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。
⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。
⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。
高一数学周期函数知识点汇总
高一数学周期函数知识点汇总周期函数是数学中的一种特殊函数类型，其具有重复出现的特点。
在高一数学学习中，周期函数是一个重要的知识点。
本文将对高一数学周期函数的相关知识进行汇总，以帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、周期函数的定义和性质周期函数指的是具有周期性质的函数。
周期函数的定义如下：若对于任意实数x，都有f(x+T)=f(x)，其中T>0为周期，那么函数f(x)就是周期函数。
周期函数具有以下几个性质：1. 周期函数在一个周期内的取值是相等的。
2. 周期函数的图像在每个周期内是对称的。
3. 周期函数的最小正周期是所有周期中最小的一个。
4. 若f(x)是周期函数，则对于任意的整数n，f(x+nT)=f(x)，其中T为最小正周期。
二、常见的周期函数类型在高中数学中，有几类常见的周期函数，分别是：1. 常函数：f(x)=c，其中c为常数。
常函数是一种特殊的周期函数，其任意实数都是它的周期。
2. 正弦函数：f(x)=sin(x)。
正弦函数的最小正周期是2π。
3. 余弦函数：f(x)=cos(x)。
余弦函数的最小正周期也是2π。
4. 正切函数：f(x)=tan(x)。
正切函数的最小正周期是π。
5. 指数函数：f(x)=a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数以a为底的指数函数的最小正周期是lna。
6. 对数函数：f(x)=loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数以a为底的对数函数的最小正周期是1。
三、周期函数的图像特点周期函数的图像具有一些特点，对于学生来说，通过观察并了解这些特点，可以更好地理解周期函数的性质。
1. 常函数的图像是一条水平直线，与x轴平行。
2. 正弦函数的图像是一条上下波动的曲线，称为正弦曲线。
在一个周期内，正弦曲线的最大值为1，最小值为-1。
3. 余弦函数的图像也是一条上下波动的曲线，称为余弦曲线。
与正弦曲线相比，余弦曲线的最大值和最小值的位置有所不同。
4. 正切函数的图像在每个周期内都会出现无穷多个间断点，这些点的位置由tan(x)=0确定。
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
高一数学必修一函数专题：周期性
高一数学必修一函数专题：周期性【知识点一】：周期函数与周期（Ⅰ）周期函数的定义：函数的图像由一段图像重复出现组成，该函数为周期函数。
（Ⅱ）周期的定义：这一段重复图像在x 轴上的长度为周期。
（Ⅲ）最小正周期的定义：这一段重复图像内部无重复，在x 轴上的长度为最小正周期。
例题：根据下列图像判断函数的周期和最小正周期。
第一题第二题解答：第一题：周期：k T ⋅=2π，Z k ∈；最小正周期：2π=T 。
第二题：周期：k T ⋅=2，Z k ∈；最小正周期：2=T 。
【知识点二】：周期定义式（Ⅰ）定义式描述：周期函数的自变量x 加上或者减去一个周期或者周期的倍数，函数值不变。
（Ⅱ）定义式：)()(T k x f x f ⋅+=，Z k ∈。
例题一：已知：函数)(x f 的周期为2，当)1,1(-∈x 时：1)(-+=x e x f x。
计算：)12(f 的值。
解答：函数)(x f 的最小正周期为2)0()620()12(f f f =⨯+=⇒，0)12(01110)0(0=⇒=-=-+=f e f 。
例题二：已知：周期为2的函数)(x f 在R x ∈上是奇函数，当)1,0(∈x 时：12log )(2-+=x x x f 。
计算：)211(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为2)21()2321()211(-=⨯+-=⇒f f f 。
函数)(x f 在R x ∈上是奇函数)21()21(f f -=-⇒，1111121221log )21(2-=-+-=-⨯+=f 1)21()211(1)1()21()21(=-=⇒=--=-=-⇒f f f f 。
例题三：已知：周期为3的函数)(x f 在R x ∈上是偶函数，当)0,1[-∈x 时：22)(x x f x-=。
计算：)13(f 的值。
解答：函数)(x f 的周期为3)1()341()13(f f f =⨯+=⇒。
函数)(x f 在R x ∈上是偶函数)1()1(-=⇒f f ，21)1(21121)1(2)1(21-=⇒-=-=--=--f f ， 21)1()13(-==⇒f f 。
高一数学函数知识点归纳
高一数学函数知识点归纳一、函数的概念1. 函数定义：函数是从一个数集A（定义域）到另一个数集B（值域）的映射，通常表示为y=f(x)。
2. 定义域：能够输入到函数中的所有可能的x值的集合。
3. 值域：函数输出的所有可能的y值的集合。
4. 函数图像：函数在坐标系中的图形表示。
二、函数的表示法1. 公式法：用数学公式表示函数关系，如y=2x+3。
2. 表格法：用表格列出x与y的对应值。
3. 图像法：通过函数图像直观表示函数关系。
三、函数的性质1. 单调性：函数在定义域内随着x的增加，y值单调递增或递减。
2. 奇偶性：函数f(x)如果满足f(-x)=-f(x)称为奇函数；如果满足f(-x)=f(x)称为偶函数。
3. 周期性：函数如果存在一个非零常数T，使得对于所有x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性。
4. 有界性：函数的值域在某个区间内有限，称函数在该区间内有界。
四、基本初等函数1. 线性函数：y=kx+b（k≠0），其中k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：y=ax^2+bx+c（a≠0），顶点形式为y=a(x-h)^2+k。
3. 幂函数：y=x^n，其中n为实数。
4. 指数函数：y=a^x（a>0，a≠1）。
5. 对数函数：y=log_a(x)（a>0，a≠1）。
6. 三角函数：正弦函数y=sin(x)，余弦函数y=cos(x)，正切函数y=tan(x)等。
五、函数的运算1. 函数的和差：(f±g)(x)=f(x)±g(x)。
2. 函数的乘积：(f*g)(x)=f(x)g(x)。
3. 函数的商：(f/g)(x)=f(x)/g(x)（g(x)≠0）。
六、复合函数1. 复合函数定义：如果有两个函数f(x)和g(x)，那么(f∘g)(x)=f(g(x))。
2. 复合函数的运算法则：(f∘g)(x)=f(g(x))，其中g(x)≠0。
七、反函数1. 反函数定义：如果函数y=f(x)在区间I上是单调的，则存在一个函数x=f^(-1)(y)，使得f(f^(-1)(y))=y。
高一数学函数周期性知识点
高一数学函数周期性知识点函数是数学中的重要概念，而函数的周期性是数学函数中一个重要的性质。
下面将介绍高一数学中与函数周期性相关的知识点。
一、周期函数的定义和性质周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T为正实数，称为函数的周期。
例如，正弦函数和余弦函数都是周期为2π的函数。
周期函数的性质有以下几个方面：1. 周期函数的值在一个周期内是重复的，即f(x) = f(x ± nT)，其中n为整数。
2. 周期为T的函数，在一个周期内有无穷多个周期点，即f(x)= f(x + nT)。
3. 函数的图像在一个周期内是对称的，即f(x) = f(2a - x)，其中a为周期中心。
二、正弦函数和余弦函数的周期性正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的周期函数。
1. 正弦函数的周期性：正弦函数y = sin x的周期是2π，即sin(x + 2π) = sin x。
正弦函数的图像在一个周期内以原点为对称中心。
2. 余弦函数的周期性：余弦函数y = cos x的周期是2π，即cos(x + 2π) = cos x。
余弦函数的图像在一个周期内以y轴的中点为对称中心。
三、常见函数的周期性除了正弦函数和余弦函数，还有其他一些常见函数具有周期性。
1. 周期为T的正弦函数的性质：y = A*sin(Bx + C) + D是一个周期为T = |2π/B|的函数。
其中，A为振幅，B为频率，C为初相位，D为纵坐标平移量。
2. 周期为T的余弦函数的性质：y = A*cos(Bx + C) + D是一个周期为T = |2π/B|的函数。
其中，A为振幅，B为频率，C为初相位，D为纵坐标平移量。
3. 其他函数的周期性：除了三角函数，指数函数、对数函数等也可以具有周期性，其周期的计算方法与三角函数类似。
四、函数周期性的应用函数周期性的应用广泛，尤其在信号处理、物理学、工程等领域。
1. 信号处理：在通信系统中，许多信号都具有周期性，利用函数周期性的性质可以对信号进行分析和处理。
函数的周期性与对称性-高一数学上学期(人教A版2019必修第一册)(解析版)
函数专题：函数的周期性与对称性一、周期函数的定义1、周期函数：对于函数()=y f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有()()+=f x T f x ，那么就称函数()f x 为周期函数，称T 为这个函数的周期．2、最小正周期：如果在周期函数()f x 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期．3、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数） （1）若()()+=f x a f x ，则=T a ； （2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ； （3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ； （4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ； （5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ； （6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）； 二、函数的对称性 1、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称； （3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称； （4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 2、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数； （2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ，0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；三、函数对称性与周期性的关系1、若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；2、若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；3、若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a . 四、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系1、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .2、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .3、①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .4、①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a . 其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
高一周期函数知识点
高一周期函数知识点周期函数是数学中的一种特殊函数类型，它具有一定的周期性质。
在高中数学课程中，周期函数是重要的知识点之一。
本文将介绍高一周期函数的相关知识，包括定义、图像、性质及应用等内容。
1. 基本概念周期函数是指函数在某个区间上的函数值具有重复的规律性，这个区间被称为函数的周期。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数，它们是三角函数的特殊形式。
2. 周期函数的图像周期函数的图像通常以正弦函数和余弦函数为例进行展示。
正弦函数的图像为一条波浪线，而余弦函数的图像则为一条与正弦函数相位差π/2的波浪线。
这两种函数的图像都具有周期性重复的特点，可以通过函数图像来观察其周期和振幅等性质。
3. 周期函数的性质周期函数具有以下几个重要的性质：（1）周期性：周期函数在周期内的函数值具有重复的规律性；（2）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数；（3）对称性：正弦函数关于原点对称，余弦函数关于y轴对称；（4）振幅：周期函数的振幅是函数图像在垂直方向上的最大偏移量。
4. 周期函数的应用周期函数在各个领域都有广泛的应用。
在物理学中，周期函数可以描述波动、振动等现象；在工程学中，周期函数可以用来表示电信号、声波等；在经济学中，周期函数可以用来描述经济波动等。
周期函数的应用范围非常广泛，对于理解各种周期性现象具有重要的作用。
5. 周期函数的性质证明周期函数的性质在数学中是可以通过严格的证明来得到的。
例如，可以通过级数展开和数学归纳法来证明正弦函数和余弦函数是周期函数；可以通过函数的图像进行观察和分析来验证函数的对称性和振幅等性质。
总结：高一周期函数是数学中的重要知识点，它是一种具有周期性重复规律的函数。
通过研究周期函数的定义、图像、性质和应用等内容，我们可以更好地理解和应用周期函数。
在解决实际问题中，我们可以利用周期函数来描述和分析各种周期性现象，为工程、物理、经济等领域提供了有力的工具。
以上是关于高一周期函数知识点的简要介绍，希望能对你的学习有所帮助。
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鞭炮还在断续地稀稀拉拉地响着，给这个即将结束的2019年做一个纪念。我想牵着时间的手，今晚就睡在老家，再温乡愁，此时乡愁最浓。就让时间停留在四十年前的老屋里啊。 2019年12月18日原创首发江山文学