优选MATLAB与线性代数基本运算数学建模
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优选MATLAB与线性代数基本 运算数学建模
一、矩阵的基本输入
在MATLAB命令窗口输入： A＝[1，2，3；2，3，4]
或 A＝[ 1 2 3 234]
二、产生特殊矩阵的函数
zeros 创建零矩阵 ones 创建全1矩阵 eye 创建单位矩阵 rand（randn） 创建随机矩阵 round 四舍五入运算 length(A) 矩阵的长度 size(A) 矩阵的尺寸
例：求非齐次线性方程组的唯一解。
2x1 x2 2x3 4x4 5
174xx11
17x2 12 7x2 6x3
x来自百度文库
7 6x4
x4
5
8
2x1 9x2 21x3 7x4 10
解：在MATLAB命令窗口输入： A=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-
解：在MATLAB命令窗口输入：
A=[1,0,0;0,2,2;0,2,2]; % 输入二次型的矩阵 [P,D]=eig(A)
十、小结
矩阵的输入 = [ ] , ; round rand randn 矩阵的基本运算 + - * ‘ ^ inv rank det 求解方程组 rref([A,b]) null(A,’r’) x=A\b 向量组的线性相关性 [U,r]=rref(A) 特征值和特征向量的求解 [P,D]=eig(A)
2、矩阵的乘法：*
3、矩阵的转置：'
4、方阵的幂运算：^ 5、方阵的逆：inv
6、方阵的行列式：det 7、矩阵的秩：rank
五、求线性方程组的唯一解
问题：设A为n阶可逆矩阵，求方程组Ax＝b的解。 方法一：x=inv(A)* b 或：x=A^-1* b 方法二：U＝rref（[A，b]） U为矩阵[A，b]的行最简形
2x1 4x2 x3 4x4 16x5 2
3x1 3x1
6x2 6x2
2x3 4x3
6x4 6x4
23x5 19x5
7 23
x1 2x2 5x3 2x4 19x5 43
解：在MATLAB命令窗口输入：
A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19] b=[-2;7;-23;43] U=rref([A,b]) x0=A\b x=null(A,'r')
% 输入5个列向量 % 构造矩阵A
八、求方阵的特征值和特征向量
r=eig(A)
r为矩阵A的所有特征值所构成的列向量
[P,D]=eig(A)
D为对角矩阵，对角线上元素为A的所有特征值； P的列向量是A的属于对应特征值的单位特征向量。
九、化二次型为标准形
例 用正交变换法将以下二次型化为标准形。
f x1, x2 , x3 x12 2x22 2x32 4x2 x3
5
2 9
2
求出它的最， 大无关组，并用该最大无关组
来线性表示其它向量。
，
解：在MATLAB命令窗口输入：
a1=[1;1;0;2;2]; a2=[3;4;0;8;3]; a3=[2;3;0;6;1]; a4=[9;3;2;1;2]; a5=[6;-2;2;-9;2]; A=[a1,a2,a3,a4,a5]; [R,s]=rref(A)
二次型的标准化
[P,D]=eig(A)
9,21,-7] b=[5;8;5;10] x=inv(A)*b x=A^-1*b U=rref([A,b])
六、求线性方程组的通解
问题：求方程组Ax＝b的通解 方法一：U＝rref（[A,b]) 方法二：Ax=b的特解：x0=A\b
Ax=0的通解：x=null(A,’r’)
例：求非齐次线性方程组的通解。
三、矩阵的函数输入
A=rand(2,3) B=randn(2,3) C=round(10*randn(2,3)) D=eye(5)
矩阵的剪裁
从一个矩阵中取出若干行（列）构成新矩阵称 为剪裁，“：”是非常重要的剪裁工具。
例如，
键入：A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
A(3, :)
%A的第三行
矩阵的拼接
将几个矩阵接在一起称为拼接，左右拼接行数 要相同，上下拼接列数要相同。
键入：D=[C, zeros(2,1)] 输出：D=
130 460
矩阵的拼接
键入：E=[D;eye (2),ones(2,1)]
输出：E =
130 460 101 011
四、矩阵的基本运算
1、矩阵的加、减与数乘：+， -， *
输出：ans=
789
矩阵的剪裁
键入：B=A(2:3, :) %A的2，3行 输出：B=
456 789 键入：A(:, 1) %A的第一列 输出：ans=
1 4 7
矩阵的剪裁
键入： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; C=A(1:2, [1 3])
输出：C= 13 46
还有A(1:2:3, 3:-1:1),
七、分析向量组的线性相关性
把向量以列的形式放入矩阵A中： A＝[a1,a2,a3,…，am] [R,s]＝rref（A) R 为矩阵 A 的行最简形 s 为矩阵R的基准元素所在列数所构成的行向量
例： 已知向量组
1 1
1 0
2 2
，
3 4
2 0
， 8 3
2 3
3 0
6 1
9
3
4
2 1
2
6
2
一、矩阵的基本输入
在MATLAB命令窗口输入： A＝[1，2，3；2，3，4]
或 A＝[ 1 2 3 234]
二、产生特殊矩阵的函数
zeros 创建零矩阵 ones 创建全1矩阵 eye 创建单位矩阵 rand（randn） 创建随机矩阵 round 四舍五入运算 length(A) 矩阵的长度 size(A) 矩阵的尺寸
例：求非齐次线性方程组的唯一解。
2x1 x2 2x3 4x4 5
174xx11
17x2 12 7x2 6x3
x来自百度文库
7 6x4
x4
5
8
2x1 9x2 21x3 7x4 10
解：在MATLAB命令窗口输入： A=[2,1,2,4;-14,17,-12,7;7,7,6,6;-2,-
解：在MATLAB命令窗口输入：
A=[1,0,0;0,2,2;0,2,2]; % 输入二次型的矩阵 [P,D]=eig(A)
十、小结
矩阵的输入 = [ ] , ; round rand randn 矩阵的基本运算 + - * ‘ ^ inv rank det 求解方程组 rref([A,b]) null(A,’r’) x=A\b 向量组的线性相关性 [U,r]=rref(A) 特征值和特征向量的求解 [P,D]=eig(A)
2、矩阵的乘法：*
3、矩阵的转置：'
4、方阵的幂运算：^ 5、方阵的逆：inv
6、方阵的行列式：det 7、矩阵的秩：rank
五、求线性方程组的唯一解
问题：设A为n阶可逆矩阵，求方程组Ax＝b的解。 方法一：x=inv(A)* b 或：x=A^-1* b 方法二：U＝rref（[A，b]） U为矩阵[A，b]的行最简形
2x1 4x2 x3 4x4 16x5 2
3x1 3x1
6x2 6x2
2x3 4x3
6x4 6x4
23x5 19x5
7 23
x1 2x2 5x3 2x4 19x5 43
解：在MATLAB命令窗口输入：
A=[2,4,-1,4,16;-3,-6,2,-6,-23;3,6,-4,6,19;1,2,5,2,19] b=[-2;7;-23;43] U=rref([A,b]) x0=A\b x=null(A,'r')
% 输入5个列向量 % 构造矩阵A
八、求方阵的特征值和特征向量
r=eig(A)
r为矩阵A的所有特征值所构成的列向量
[P,D]=eig(A)
D为对角矩阵，对角线上元素为A的所有特征值； P的列向量是A的属于对应特征值的单位特征向量。
九、化二次型为标准形
例 用正交变换法将以下二次型化为标准形。
f x1, x2 , x3 x12 2x22 2x32 4x2 x3
5
2 9
2
求出它的最， 大无关组，并用该最大无关组
来线性表示其它向量。
，
解：在MATLAB命令窗口输入：
a1=[1;1;0;2;2]; a2=[3;4;0;8;3]; a3=[2;3;0;6;1]; a4=[9;3;2;1;2]; a5=[6;-2;2;-9;2]; A=[a1,a2,a3,a4,a5]; [R,s]=rref(A)
二次型的标准化
[P,D]=eig(A)
9,21,-7] b=[5;8;5;10] x=inv(A)*b x=A^-1*b U=rref([A,b])
六、求线性方程组的通解
问题：求方程组Ax＝b的通解 方法一：U＝rref（[A,b]) 方法二：Ax=b的特解：x0=A\b
Ax=0的通解：x=null(A,’r’)
例：求非齐次线性方程组的通解。
三、矩阵的函数输入
A=rand(2,3) B=randn(2,3) C=round(10*randn(2,3)) D=eye(5)
矩阵的剪裁
从一个矩阵中取出若干行（列）构成新矩阵称 为剪裁，“：”是非常重要的剪裁工具。
例如，
键入：A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];
A(3, :)
%A的第三行
矩阵的拼接
将几个矩阵接在一起称为拼接，左右拼接行数 要相同，上下拼接列数要相同。
键入：D=[C, zeros(2,1)] 输出：D=
130 460
矩阵的拼接
键入：E=[D;eye (2),ones(2,1)]
输出：E =
130 460 101 011
四、矩阵的基本运算
1、矩阵的加、减与数乘：+， -， *
输出：ans=
789
矩阵的剪裁
键入：B=A(2:3, :) %A的2，3行 输出：B=
456 789 键入：A(:, 1) %A的第一列 输出：ans=
1 4 7
矩阵的剪裁
键入： A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; C=A(1:2, [1 3])
输出：C= 13 46
还有A(1:2:3, 3:-1:1),
七、分析向量组的线性相关性
把向量以列的形式放入矩阵A中： A＝[a1,a2,a3,…，am] [R,s]＝rref（A) R 为矩阵 A 的行最简形 s 为矩阵R的基准元素所在列数所构成的行向量
例： 已知向量组
1 1
1 0
2 2
，
3 4
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， 8 3
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6 1
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