线性代数在数学建模中的应用举例

线性代数在数学建模中的应用举例

1 基因间“距离”的表示

在ABO 血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究。如果我们把四种等位基因A 1，A 2，B ，O 区别开，有人报道了如下的相对频率，见表1.1。

表1.1基因的相对频率

问题 一个群体与另一群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示基因的“距离”的合宜的量度。

解 有人提出一种利用向量代数的方法。首先，我们用单位向量来表示每一个群体。为此目的，我们取每一种频率的平方根，记ki ki f x =

.由于对这四种群

体的每一种有14

1

=∑=i ki f ，所以我们得到∑==4

1

2

1i ki

x .这意味着下列四个向量的每个都是单位向量.记

.44434241,34333231,24232221,141312114321⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x a x x x x a x x x x a x x x x a

在四维空间中，这些向量的顶端都位于一个半径为1的球面上. 现在用两个向量间的夹角来表示两个对应的群体间的“距离”似乎是合理的.如果我们把a 1和a 2之间的夹角记为θ，那么由于| a 1|=| a 2|=1，再由内只公式，得

21cos a a ⋅=θ

而

.8307.03464.02943.03216.0,8228.01778.00000.05398.021⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=a a 故 9187.0cos 21=⋅=a a θ 得 2.23=θ°. 按同样的方式，我们可以得到表1.2.

表1.2基因间的“距离”

爱斯基摩人

班图人 英国人 朝鲜人 爱斯基摩人 0° 23.2° 16.4° 16.8° 班图人 23.2° 0° 9.8° 20.4° 英国人 16.4° 9.8° 0° 19.6° 朝鲜人

16.8°

20.4°

19.6°

0°

由表1.2可见，最小的基因“距离”是班图人和英国人之间的“距离”，而爱斯基摩人和班图人之间的基因“距离”最大.

2 Euler 的四面体问题

问题 如何用四面体的六条棱长去表示它的体积？这个问题是由Euler （欧拉）提出的.

解 建立如图2.1所示坐标系，设A ，B ，C 三点的坐标分别为（a 1,b 1,c 1）,( a 2,b 2,c 2)和（a 3,b 3,c 3），并设四面体O-ABC 的六条棱长分别为.,,,,,r q p n m l 由立体几何知道，该四面体的体积V 等于以向量→

→

→

OC OB OA ,,组成右手系时，以它们为棱的平行

六面体的体积V 6的1

6

.而

)

(.3

3

3

222

1116c b a c b a c b a OC OB OA V =⋅⨯= 于是得 .63

3

3222

111

c b a c b a c b a V = 将上式平方，得

.

3623

23233

2323232313132323222

2222121213131312

1212121

21

21

3

33

22211133

3

222

111

22

c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c b a c c b b a a c c b b a a c c b b a a c

b a

c b a c b a c b a c b a c b a c b a V ++++++++++++++++++=⋅=

根据向量的数量积的坐标表示，有

.

,,,

,2323233232322

22222313131212121212121c b a OC OC c c b b a a OC OB c b a OB OB c c b b a a OC OA c c b b a a OB OA c b a OA OA ++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅++=⋅ 于是

362OC OC OB OC OB OB

OB OB

OA OB OA OA

V ⋅⋅⋅= （2.1）

由余弦定理，可行

.2

cos 2

22n q p q p OB OA -+=⋅⋅=⋅θ

同理

.2

,22

22222l r q OC OB m r p OC OA -+=⋅-+=⋅

将以上各式代入（2.1）式，得

.2

2

2

222

362

2

222

22

2

22

22

222

222

222

2

r l r p m r p l r p p n q p m r p n q p p

V -+-+-+-+-+-+=

（2.2）

这就是Euler 的四面体体积公式.

例 一块形状为四面体的花岗岩巨石，量得六条棱长分别为

l =10m, m =15m, n =12m, p =14m, q =13m, r =11m.

则

.952

2

22,

462

2

22,

5.1102

2

22=-+=-+=-+l r p m r p n q p

代入（2.1）式，得

.75.1369829121

95

46

951695

.11046

5.110196

236==V 于是

.)195(82639.38050223m V ≈≈

即花岗岩巨石的体积约为195m 3.

古埃及的金字塔形状为四面体，因而可通过测量其六条棱长去计算金字塔的体积.

3 动物数量的按年龄段预测问题

问题 某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分成三个年龄组：第一组，0～5岁；第二组，6～10岁；第三组，11～15岁.动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二组和第三组的繁殖率分别为4和3.第一年龄和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1

2 和1

4 .假设农场现有三个年龄段的动物各100头，问15年后农场三个年龄段的动物各有多少头？

问题分析与建模 因年龄分组为5岁一段，故将时间周期也取为5年.15年后就经过了3个时间周期.设)(k i x 表示第k 个时间周期的第i 组年龄阶段动物的数